8.2一元线性回归模型及其应用 同步练习-2023--2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2一元线性回归模型及其应用 一、单选题 1．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．变量y与x之间的回归方程 A．表示y与x之间的函数关系 B．表示y和x之间的不确定关系 C．反映y和x之间真实关系的形式 D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合 3．某产品的宣传费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如表所示： 4 5 6 7 8 60 80 90 100 120 根据上表可得回归方程，则宣传费用为9万元时，销售额最接近（    ） A．123万元 B．128万元 C．133万元 D．138万元 4．近10年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)数据如下: 工资总额x/亿元 23.8 27.6 31.6 32.4 33.7 34.9 43.2 52.8 63.8 73.4 社会商品零售总额y/亿元 41.4 51.8 61.7 67.9 68.7 77.5 95.9 137.4 155.0 175.0 建立社会商品零售总额y与职工工资总额x的线性回归方程是(　　) A．=2.799 1x-27.248 5 B．=2.799 1x-23.549 3 C．=2.699 2x-23.749 3 D．=2.899 2x-23.749 4 5．某地为了解居民的每日总用电量（万度）与气温（）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表： 气温（） 19 13 9 -1 每日总用电量（万度） 24 34 38 64 经分析，可用线性回归方程拟合与的关系. 据此气温是时，该地当日总用电量（万度）为（    ） A． B． C． D． 6．人们眼中的天才之所以优秀卓越，并非是他们的天赋异禀，而是付出了持续不断的努力．一万小时的锤炼是任何人从平庸变成非凡，从困境走向成功的必要条件．某个学生为提高自己的数学做题准确率和速度，决定坚持每天刷题，刷题时间与做题正确率的统计数据如下表： 刷题时间个单位（10分钟为1个单位） 2 3 4 5 准确率（%） 26 39 49 54 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报刷题时间为6个单位的准确率为（    ） A．72.0% B．67.7% C．65.5% D．63.6% 7．变量x，y的几组实验测量数据如下表所示： 0.50 0.99 2.01 2.98 1.42 1.99 3.98 8.00 则根据上表数据，在下列函数中，拟合变量，关系的最佳函数是（   ） A． B． C． D． 8．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用（万元） 4 2 3 5 销售额（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为7万元时销售额为（    ） A．73万元 B．81.4万元 C．77.1万元 D．74.9万元 二、多选题 9．由一组样本数据得到的线性回归方程为，那么下面说法正确的有（    ） A．直线必经过点 B．直线至少经过点中的一个 C．直线的斜率为 D．线性回归方程最能代表样本数据中，之间的线性关系，大于0时与正相关，小于0时与负相关 10．下列结论中正确的是（    ） A．若变量与之间的相关系数，则与正相关 B．由样本数据得到的线性回归方程必过点 C．已知，，则 D．已知随机变量，则 11．某工厂研究某种产品的产量x（单位：吨）与需求某种材料y（单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示 3 4 6 7 2.5 3 4 5.9 根据表中的数据可得回归直线方程，则以下说法正确的是（    ） A．y与x的相关系数 B．产量为8吨时预测所需材料约为5.95吨 C． D．产品产量增加1吨时，所需材料一定增加0.7吨 三、填空题 12．已知具有相关关系的两个随机变量的一组数据的散点图如图所示，可以用来拟合，设，将其变换后得到线性回归方程，若，则 ． 13．为了解某小区居民的家庭年收入（万元）与年支出（万元），随机调查了该小区的10户家庭，根据调查数据可得关于的回归直线方程为，，．若该小区某家庭的年收入为30万元，则估计该家庭的年支出为 万元． 14．奶茶店老板对本店在2021年12月份出售热饮的杯数y与当天的平均气温进行线性回归分析，随机收集了该月某4天的相关数据（如下表），并由最小二乘法求得回归方程为. 气温 10 6 2 售出热饮的杯数y 24 ▉ 42 48 表中有一个数据看不清楚，请你推断出该数据的值为 . 15．网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷､商品种类齐全､性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据（其中“”表示2015年，“”表示2016年，且x为整数，依次类推；y表示人数）： 1 2 3 4 5 （万人） 20 50 100 150 180 根据表中的数据，可以求出，若预测该公司的网购人数能超过300万人，则的最小值为 . 四、解答题 16．随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格： A大学 B大学 C大学 D大学 年毕业人数（千人） 年考研人数（千人） (1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程； (2)假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴. （i）若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？ （ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围. 参考公式：，. 参考答案： 1．C 【分析】设回归直线方程为，根据回归直线必过样本中心，求. 【解析】由回归直线的斜率的估计值为1.23， 设回归直线方程为，代入 ， ，解得： ， 回归直线方程是. 故选：C 【小结点评】本题考查回归直线方程，意在考查基本公式和计算，属于简单题型. 2．D 【解析】此题考查相关关系的两个变量之间的回归方程的知识；两个量不具有函数关系，只是具有相关关系；所以选D 3．C 【分析】由表格数据求样本中心，根据回归直线过样本中心点求，将代入方程求销售额估计值即可. 【解析】由表格数据知：，， ∴由回归方程，有：，即，故， ∴当万元时，万元. 故选：C. 4．B 【解析】代入验证可知选项正确. 5．A 【分析】根据回归直线方程过样本中心即可求解. 【解析】由题意知：， 所以，即，所以线性回归方程， 当时，， 故选：A. 6．C 【分析】首先根据题意得到，，代入回归直线方程得到，即，再将代入回归直线方程计算即可. 【解析】，， 因为过点，所以，即回归直线方程为. 当时，. 故选：C 7．A 【分析】由散点图或代入值计算可知结果. 【解析】画出散点图，如图， 由图知，BC函数关系不合适，将分别代入A、D解析式计算可知最适合． 故选：A. 8．D 【分析】先求样本中心点为，进而得，回归方程为，再代入计算即可得答案. 【解析】解：由题知，， 因为回归方程过定点， 所以，即 所以回归方程为， 所以当广告费用为7万元时销售额为万元. 故选：D 9．ACD 【分析】根据线性回归方程的形式和性质可判断ABD的正误，根据最小二乘法可判断C的正误. 【解析】线性回归直线一定过样本点的中心，故A正确； 线性回归直线可以不经过所有的样本点，故B不正确； 通过最小二乘法知，C是正确的； 线性回归方程是一次函数，由一次函数的性质可知，D是正确的. 故选：ACD. 10．ABD 【分析】对于A，由相关系数的符号意义即可判断，对于B，由回归直线的特点即可判断，对于C，由条件概率即可验算，对于D，由二项分布均值公式即可验算. 【解析】对于A，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故A正确； 对于B，回归直线方程必过样本点的中心，故B正确； 对于C，已知，，则，故C错误； 对于D，已知随机变量，则，故D正确. 故选：ABD. 11．BC 【分析】根据回归方程的意义即可判断AD；求出样本中心点，再根据回归直线必过样本中心点求出，即可判断BC. 【解析】解：因为根据表中的数据可得回归直线方程， 所以产量与材料呈正相关， 所以相关系数，故A错误； ， 则，解得，故C正确； 所以回归直线方程， 当时，， 即产量为8吨时预测所需材料约为5.95吨，故B正确； 产品产量增加1吨时，所需材料约增加0.7吨，故D错误. 故选：BC. 12． 【分析】对进行取自然对数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【解析】， 因为变换后得到线性回归方程，所以有， 又，所以，因此， 故答案为： 13．. 【分析】根据回归直线恒过样本中心点，求得回归直线方程为，代入，即可求解. 【解析】由题意，回归直线恒过样本中心点，可得，解得， 即回归直线方程为， 当时，可得， 故估计该家庭的年支出为万元. 故答案为：. 14． 【分析】利用平均数的定义，结合样本中心在回归直线上即可求解. 【解析】设看不清的这个数据为，则， . 由于回归直线必过样本中心，所以，解得. 所以该数据的值为. 故答案为：. 15．8 【分析】求出样本中心，根据样本中心在回归直线上求回归方程，再由求的范围，即得最小值. 【解析】由题设，， 所以，即，则， 令，可得，又x为整数， 所以的最小值为8. 故答案为：8 16．(1) (2)（i）5028万元（ii） 【分析】（1）利用题中的数据代入参考公式，即求出线性回归方程； （2）（i）直接将将x=120代入（1）中所求的线性回归方程计算即可； （ii）先求出小江、小沈两人中考研人数的数学期望，再求出考研补贴的总期望，根据题意列出不等式组求解p的范围. 【解析】（1）由题意得，， 又，                ， ， ，           所以， 故得y关于x的线性回归方程为； （2）（i）将x=120代入， 估计该省要发放补贴的总金额为（万元）； （ii）设小江、小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为、、， ， ， ，                        ， ，可得，           又因为，可得， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $$