专题01 一元二次方程重难点题型汇编(十大题型）-2024-2025学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题01 一元二次方程重难点题型汇编 【题型01 ：一元二次方程的概念】 【题型02 ：一元二次方程的解】 【题型03：解一元二次方程】 【题型04：一元二次方程根的判别式】 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 【题型05：有关一元二次方程传播问题】 【题型06：有关一元二次方程面积问题】 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 【题型01 ：一元二次方程的概念】 1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）下列方程中一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 3．（2024八年级下·安徽·专题练习）关于的方程是一元二次方程，则值为（   ） A．2或 B．2 C． D．且 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，4，1 C．3，4， D．3，， 5．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）将一元二次方程化成一般形式为 ． 【题型02 ：一元二次方程的解】 6．（23-24八年级下·北京昌平·期末）若是方程的一个解，则m的值为（    ） A．2 B． C．0 D．4 7．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若a是关于x的方程的一个根，则的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 8．（2024·广东东莞·二模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D．2025 9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则一元二次方程必有一个根是（    ） A．0 B．1 C． D． 10．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【题型03：解一元二次方程】 11．解下列一元二次方程： (1) (2)（公式法） (3)（配方法）； (4) 12．解方程： (1)； (2)． 13．解方程： (1) (2) 14．解方程： (1) (2) 15．解方程（注意解题要求） (1)（1）；（配方法） (2)． (3) (4)． 【题型04：一元二次方程根的判别式】 16．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 17．关于x的一元二次方程（其中）的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不等的实数根 18．一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数 B．有两个相等的实数根 C．根有两个不相等的实数根 D．没有实数根 19．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)己知5是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根 21．已知：关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根． 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 22．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若a，b是方程的两个根，则（    ） A． B．1 C． D．56 23．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 24．（2024·湖南益阳·三模）已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（   ） A． B．0 C．2 D．6 25．（2024·天津和平·三模）若，是方程的两个根，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【题型06：有关一元二次方程传播问题】 26．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·福建福州·期末）学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 28． （2024·重庆·一模）某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ． 29．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 30．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图所示，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若使所有草坪的面积和为，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为，则满足的方程为 ． 31．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门． (1)求线段的取值范围； (2)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽． (3)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 32．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）致富新村要修建一个长方形的养猪场，猪场的一面靠墙（墙长25米），另外三边用长40米的木栏围成． (1)设长为x米，则的长为______米； (2)长为多少时，养猪场的面积为平方米？ (3)养猪场的面积能否为平方米？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由． 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 33．（23-24八年级下·广东广州·期末）某地2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24九年级下·重庆·期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？ 36．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳． 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 37．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用． (1)当定价为200元时，会空______间房，每天的利润是______元． (2)如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加元时，宾馆______间房有游客居住（用含的代数式表示）； (3)若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？ 38．（2024·陕西西安·模拟预测）陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我团五大面食．西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面新”餐馆能实现每天1080元的利润？    39．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？ 40．（2024八年级下·浙江·专题练习）据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； (2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 41．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了，假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首． (1)求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率； (2)某商店购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件． ①若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润； ②要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 42．（23-24九年级下·黑龙江大庆·期中）商场销售某商品，2月份销售150台，4月份销售216台，若从2月份到4月份销售量的月增长率相同． (1)求该商品销售量的月增长率； (2)该商品的进价为48元/台，售价为58元/台，5月份可卖400台，已知该商品每涨5元，销售量就减少40件，若要每月获得6048元利润且让利顾客，则售价应定为多少元？ 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 43．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 44．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，为矩形的四个顶点， ，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？ 45．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程重难点题型汇编 【题型01 ：一元二次方程的概念】 【题型02 ：一元二次方程的解】 【题型03：解一元二次方程】 【题型04：一元二次方程根的判别式】 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 【题型05：有关一元二次方程传播问题】 【题型06：有关一元二次方程面积问题】 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 【题型01 ：一元二次方程的概念】 1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）下列方程中一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意： 根据化简后只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程，逐个判断即可． 【详解】A．，是一元二次方程，故本选项符合题意； B．，是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．，当时，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意； D．，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2； 结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得． 故选：C． 3．（2024八年级下·安徽·专题练习）关于的方程是一元二次方程，则值为（   ） A．2或 B．2 C． D．且 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得． 故选：C． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，4，1 C．3，4， D．3，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中， a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，根据概念作答即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数，常数项． 故选A． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）将一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，首先移项，合并同类项，化为一般式即可． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得，即， 故答案为：． 【题型02 ：一元二次方程的解】 6．（23-24八年级下·北京昌平·期末）若是方程的一个解，则m的值为（    ） A．2 B． C．0 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解代入方程中求解即可．理解方程的解满足方程是解答的关键． 【详解】解：把代入 可得出：， 解得：， 故选：B． 7．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若a是关于x的方程的一个根，则的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，由方程解的定义得到，把代数式变形后整体代入即可． 【详解】解：∵a是关于x的方程的一个根， ∴， ∴ ， 故选：A． 8．（2024·广东东莞·二模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， ∴， 故选：D． 9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则一元二次方程必有一个根是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键． 由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】∵ ∴ ∴方程必有一根为． 故选：C． 10．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解．根据题意，得到，整体代入代数式进行求值即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型03：解一元二次方程】 11．解下列一元二次方程： (1) (2)（公式法） (3)（配方法）； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项再直接开平方解方程，即可作答； （2）运用公式法进行解方程，即可作答； （3）利用配方法解方程，即可作答； （4）运用因式分解法解方程，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ， ； （3）解： ； （4）解： 或 ． 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴或， ∴； （2）， 整理得：， ∴， 或， ． 13．解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法． （1）整理成一般式，再利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得； （2）利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得． 【详解】（1）解：， ， 则，即， ； （2）解：∵． ∴， ∴或 ∴． 14．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法． （1）先移项，然后直接开平方即可； （2）利用配方法解此方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ，； （2）， ， ， ， ， ． 15．解方程（注意解题要求） (1)（1）；（配方法） (2)． (3) (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有公式法、因式分解法、直接开平方法、配方法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【题型04：一元二次方程根的判别式】 16．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查根的判别式．分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系得出答案． 【详解】解：A、 ， 方程没有实数根，不符合题意； B、 ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、 ， 方程有两个不相等的实数根，符合题意； D、 ， 方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 17．关于x的一元二次方程（其中）的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算判别式的值得到，则利用非负数的性质可判断，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况． 【详解】 解：由题意，， ， ， ． ， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 18．一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数 B．有两个相等的实数根 C．根有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系式解题的关键． 先把一元二次方程化为一般式，然后利用根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选． 19．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】运用根的判别式求参数即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，整理得，，解得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程中根据根的情况求参数，掌握根的判别式求参数的计算方法是解题的关键． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)己知5是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根 【答案】(1)证明见解析 (2)，方程的另一根为 【分析】本题考查了根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系为：．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式，即可得出，由此可证出不论取何值，方程必有两个不相等的实数根； （2）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根． 【详解】（1）证明：∵， ， 无论取何值，， 则， ∴不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：把代入方程可得， 解得：， 当时，原方程为， 解得， 即方程的另一根为． 21．已知：关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入一元二次方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可； （2）先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入得， 解得； （2）证明： ， 方程有两个不相等的实数根． 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 22．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若a，b是方程的两个根，则（    ） A． B．1 C． D．56 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及已知式子的值，求代数式的值，根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后代入代数式即可得出答案． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴， ∴， 故选：D． 23．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则 ． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分， ，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 24．（2024·湖南益阳·三模）已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（   ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后展开代入求解即可． 【详解】解：由可得：， ∴； 故选B． 25．（2024·天津和平·三模）若，是方程的两个根，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】题考查了一元二次方程根与系数的关系，． 由一元二次方程根与系数的关系直接求出的值，再将问题中代数式展开代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，是方程的两根， ∴， ∴， 故选A． 【题型06：有关一元二次方程传播问题】 26．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，第一轮传染了x人，第二轮传染了人，根据“经过两轮传染后共有256人感染”列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染平均一个人传染x人， 根据题意，得， 故选：C． 27．（23-24八年级下·福建福州·期末）学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支，以及1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，列出一元二次方程即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：1个主干上有x个支干，x个支干上共有个小分支， ∴可列方程为：， 故选C． 28．（2024·重庆·一模）某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为49人，依此列出一元二次方程即可. 【详解】解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，，依题可得： . 故答案为. 29．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)7 (2)512 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）设每轮传染中平均每人传染了人， 或(舍去)． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人； （2）(人． 答：第三轮感染后，患流感的共有512人． 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 30．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图所示，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若使所有草坪的面积和为，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为，则满足的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；把甬道移到小区的上边及左边，根据草坪的面积得到相应的等量关系即可． 【详解】解：设甬路的宽度为，草坪可整理为一个矩形，长为，宽为， 即列的方程为， 故答案为． 31．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门． (1)求线段的取值范围； (2)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽． (3)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)自行车车棚的长和宽分别为， (3)不能围成面积为的自行车车棚，见解析 【分析】（1）设线段的长为，则的长为，根据可利用的增长为，即可求解； （2）表示出矩形面积，求出即可； （3）由长方形的面积列出方程，解方程，即可解决问题． 此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设线段的长为，则的长为， 根据题意得，解得， 线段的取值范围为； （2）解：根据题意列方程，得， 解得，； 当时，， 当时，，而墙长，不合题意舍去， 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为，； （3）解：不能围成面积为的自行车车棚．理由如下： 根据题意得， 整理得：， ， 方程无实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 32．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）致富新村要修建一个长方形的养猪场，猪场的一面靠墙（墙长25米），另外三边用长40米的木栏围成． (1)设长为x米，则的长为______米； (2)长为多少时，养猪场的面积为平方米？ (3)养猪场的面积能否为平方米？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)长为15米时，养猪场的面积为平方米； (3)养猪场的面积不能为平方米．理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和一元二次方程根据的判别式，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）根据木栏长求解即可； （2）结合（1）可求出养猪场的面积为，从而得出方程，解之，再求出x的取值范围，即可得出答案． （3）按照（2）的方法列出方程，求出一元二次方程根的判别式，即可作出判断． 【详解】（1）解：设长为x米，即米， ∴平行于墙的边长为米． 故答案为：； （2）解：由（1）可得养猪场的面积为， 又∵养猪场的面积为150平方米， ∴， 解得：，． ∵， ∴， ∴． ∴垂直于墙的边长为15米，平行于墙的边长为10米． 即长为15米时，养猪场的面积为平方米； （3）养猪场的面积不能为平方米．理由如下： 由（1）可得养猪场的面积为， 又∵养猪场的面积为240平方米， ∴， ∴， ∵， ∴原方程没有实数根， 即养猪场的面积不能为平方米． 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 33．（23-24八年级下·广东广州·期末）某地2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x， 根据题意得， 故选：A． 34．（23-24九年级下·重庆·期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约亿元、第三天票房约亿元，根据三天后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：第一天票房约5亿元，增长率为x， 第二天票房约亿元，第三天票房约亿元． 依题意得：． 故选：D． 35．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？ 【答案】(1) (2)2592 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）（个）． ∴预计7月份该品牌头盔销售量是2592个． 36．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳． 【答案】(1)月平均增长率为 (2)能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由等量关系列出方程是解题的关键； （1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据三个月进馆人次和等于608，列出一元二次方程求解即可； （2）根据（1）计算出的月平均增长率，可计算出第四个的进馆人次，再与500比较大小即可． 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x， 由题意得：， 化简得：， 解得：（舍去）； 答：进馆人次月平均增长率为； （2）解：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次； 由于进馆人次的月平均增长率为， 则第四个月的进馆人次为：； 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 37．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用． (1)当定价为200元时，会空______间房，每天的利润是______元． (2)如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加元时，宾馆______间房有游客居住（用含的代数式表示）； (3)若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)应该将每间房每天定价为350元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． （1）根据“当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房”和“利润=(定价-每天支出20元的费用）×房间数”． （2）根据有游客居住的房间数增加的价格，即可求出结论； （3）根据总利润每间房的定价 有游客居住的房间数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）解：当定价为200元时，(间)． 元， 故答案为：； （2）解：当每间房当天的定价比房间住满时的房价增加元时，宾馆会空闲间房， ∴此时宾馆间房有游客居住． 故答案为：． （3）设房价定为元， 根据题意，得． 整理，得， 解得． 答：应该将每间房每天定价为350元． 38．（2024·陕西西安·模拟预测）陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我团五大面食．西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面新”餐馆能实现每天1080元的利润？    【答案】销售价格为元或元时，餐馆能实现每天1080元的利润 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目数量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意，设提高了元，用含的式子表示出销售价格，利润，销售份数，根据题目数量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设提高了元，则销售价格为元，利润为（元），少卖份， ∴，整理得，， ∴， 解得，，， ∴销售价格为元或元时，餐馆能实现每天的利润． 39．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？ 【答案】每件工艺品单价应降25元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件工艺品单价应降x元，则当天销售量为件，根据总利润等于每件的销售利润乘以销售数量列出方程求解即可． 【详解】解：设每件工艺品单价应降x元，则当天销售量为件， 依题意，得：， 整理，得，           解得：， 尽快减少库存，（舍去）， 答：商店想通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，每件工艺品单价应降25元． 40．（2024八年级下·浙江·专题练习）据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； (2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列方程，解出值，结合问题的实际意义作出取舍即可； （2）设售价降低元，则每天可售出千克，根据题意列方程，解出值，结合问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为，依题意， 得， 解得，（不合题意，舍去）． 月平均增长率是； （2）解：设售价降低元，则每天可售出千克，依题意， 得， 整理得， 解得，． 要尽量减少库存， ． 答：售价应降低3元． 41．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了，假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首． (1)求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率； (2)某商店购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件． ①若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润； ②要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 【答案】(1)假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为； (2)①元，②每件元 【分析】（1）设假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为，根据2023年“五一”假期，假期接待游客突破81万人次，再建立方程求解即可； （2）①由每件利润乘以销售量可得利润；②设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件，由题意得，，计算求解，然后判断即可． 【详解】（1）解：设假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为，则 ， ∴， 解得：，（舍去）， ∴假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为； （2）①当销售单价定为每件45元，每天的销售利润为； （元）， ②设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得，， ∵，要让利给顾客， ∴该纪念品的售价单价应定为每件50元． 42．（23-24九年级下·黑龙江大庆·期中）商场销售某商品，2月份销售150台，4月份销售216台，若从2月份到4月份销售量的月增长率相同． (1)求该商品销售量的月增长率； (2)该商品的进价为48元/台，售价为58元/台，5月份可卖400台，已知该商品每涨5元，销售量就减少40件，若要每月获得6048元利润且让利顾客，则售价应定为多少元？ 【答案】(1)该该商品销售量的月增长率为； (2)该商品的实际售价应定为66元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练求得等量关系是解题的关键． （1）设该商品销售量的月增长率为x，可根据2月份到4月份销售量的月增长率相同，列方程，即可解答； （2）设该商品的实际售价为y元，可得销售数量为件，即可解答． 【详解】（1）解：设该商品销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：该该商品销售量的月增长率为； （2）解：设该商品的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， （不合题意，舍去）， 答：该商品的实际售价应定为66元. 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 43．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，； (3)当时，四边形的面积等于． 【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值； （2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值； （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． 【详解】（1）解：由题意，得，． 故答案为：，； （2）解：在中，由勾股定理，得， 解得：，； （3）解：由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 四边形的面积． 答：当时，四边形的面积等于． 44．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，为矩形的四个顶点， ，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的定义和性质、一元二次方程的应用、一元一次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）设运动时间为，则，，进而可得，然后根据梯形面积公式求解即可； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，根据题意可得，易得，然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，， ∵四边形是矩形， ∴ ， ，， ∴， ∴四边形的面积 ； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形， ∵， ∴， ①当时， 如图1，过作于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，可有， ∴， 解得，； ②当时， 如图2，过作于， 由①可知四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得； ③当时， ∴， ∴， 在中，可有， ∴， ∴． 综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形． 45．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 【答案】(1)当t为5时，四边形的面积为 (2)当t为或时．线段的长为 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确表示运动过程中的相关线段、灵活应用勾股定理构建方程是关键； （1）先表示，．再利用面积公式列方程解题即可； （2）过点Q作于点M，则，表示．．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，． 由题意得， 解得． 答；当t为5时，四边形的面积为． （2）如图，过点Q作于点M，则， 由题意知．． 在中．由勾股定理得， 即， 解得，．经检验符合题意； 答：当t为或时．线段的长为． 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