精品解析：江西省宜春市丰城中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

丰城中学2023-2024学年下学期初二期末试卷 数 学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围（　　） A. B. 且 C. 且 D. 4. 有下列四个命题： ①等圆或同圆中等弧所对的圆周角相等； ②相等的圆周角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦； ④三点确定一个圆． 其中正确有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二次函数图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则的值为________． 8. 已知抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，对称轴为直线x＝1，若点A（2，y1）与B（3，y2）是此抛物线上的两点，则y1___y2（填“＞”或“＜“）． 9. 如图，是的直径，点C，D，E在⊙O上，若，则的度数为_____． 10. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则_______________． 11. 抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________ 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，与关于C点成中心对称，若，，，求的长． 14. 一个不透明的口袋里装有分别标着汉字“魅”“力”“平”“凉”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸前先搅拌均匀． （1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“魅”的概率为______； （2）先从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率． 15. 已知内接于，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图1，是边的中点； （2）如图2，直线与相切于点，且． 16. 如图，已知三个顶点坐标分别为，，，将绕坐标原点逆时针旋转90度，请在图中画出旋转后的图形 （1）请直接写出点关于坐标原点对称的点的坐标为 ； （2）将绕坐标原点O逆时针旋转，画出旋转后的图形，并写出的坐标； （3）已知点P在y轴上，且是以为斜边直角三角形，则P的坐标为 . 17. 已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点和．如果抛物线的对称轴为直线，求这个二次函数的解析式． 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于，求的取值范围． 19. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． （1）若苗圃园的面积为72平方米，求的值． （2）若平行于墙的一边长不小于8米，当取何值时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是多少？ 20. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F． （1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）． 五、（本大题共2小题，每小题9分） 21. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 22. （1）问题发现：如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A逆时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （1）探究证明：如图2，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在的延长线上时，连接，写出此时线段，，之间的等量关系，并证明； （2）拓展延伸：如图3，在四边形中，，．若，，请求出的长． 六、（本大题共12分） 23. 如图，二次函数y=ax2+bx+c图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）； （1）求二次函数的解析式； （2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2023-2024学年下学期初二期末试卷 数 学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 二次函数下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式即可依次判断正确与否. 【详解】∵a=-2 ∴开口向下，A选项错误； ∵， ∴对称轴为直线x=-1，故B错误； ∵， ∴顶点坐标为（-1，-4），故C错误； ∵对称轴为直线x=-1，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，故D正确. 故选：D. 【点睛】此题考查二次函数的性质，掌握不同函数解析式的特点，各字母代表的含义，并熟练运用解题是关键. 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用且求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况，解题关键是掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，本题易忽略二次项系数不为0的条件． 4. 有下列四个命题： ①等圆或同圆中等弧所对的圆周角相等； ②相等的圆周角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦； ④三点确定一个圆． 其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，根据垂径定理，圆周角与弧之间的关系，不共线三点确定一个圆，逐一判断选项即可． 【详解】解：①等圆或同圆中等弧所对的圆周角相等，原命题是真命题； ②同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题； ③平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题； ④不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题． 故选：A． 5. 如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，得到，推出为直角三角形，利用的面积等于，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积等于； 故选B． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，得到三角形全等是解题的关键．本题蕴含手拉手全等模型，平时要多归纳，多总结，便于快速解题． 6. 如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与轴有2个交点， ∴，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴和对应的函数值相等， ∴时，，即，所以③错误； ∵， ∴，所以④正确； ∵顶点坐标纵坐标为， ∴， ∴，所以⑤正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】将代入方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程得，， 解得， 故答案：． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的含义，解题的关键是掌握一元二次方程根的含义，方程的根是使得方程成立的未知数的值． 8. 已知抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，对称轴为直线x＝1，若点A（2，y1）与B（3，y2）是此抛物线上的两点，则y1___y2（填“＞”或“＜“）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据二次函数在对称轴左右两侧的增减性求解即可． 【详解】解：由题意可得，对称轴为， ∴时，随的增大而减小 又∵ ∴ 故答案为＞ 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质． 9. 如图，是的直径，点C，D，E在⊙O上，若，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】先利用直径所对的圆周角是直角求出，然后求出，再利用圆的内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论、圆的内接四边形对角互补等知识，解题关键是牢记相关概念并灵活运用． 10. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质求得，再根据旋转的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据旋转的性质可得：，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________ 【答案】，. 【解析】 【分析】由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元二次方程组进行求解即可得. 【详解】依题意，得：， 解得：， 所以，关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx为：， 即：， 化为：， 解得：，， 故答案为，. 【点睛】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键. 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为______． 【答案】（7，4）或（6，5）或（1，4）． 【解析】 【分析】由勾股定理求出PA=PB==，由点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，得出PC=PA=PB=，即可得出点C的坐标． 【详解】∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）， ∴PA=PB==， ∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心， ∴PC=PA=PB==， 则点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）； 故答案为（7，4）或（6，5）或（1，4）． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，与关于C点成中心对称，若，，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，中心对称图形的性质，全等的性质，勾股定理等知识． （1）利用因式分解的方法解出方程即可； （2）根据与关于C点成中心对称，可得，即可得，，，进而有，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则或， 解得； （2）解：∵与关于C点成中心对称， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴在中，有：． 即． 14. 一个不透明的口袋里装有分别标着汉字“魅”“力”“平”“凉”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸前先搅拌均匀． （1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“魅”的概率为______； （2）先从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率． 【答案】（1） （2）摸出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． （1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：从中任取一个球，球上的汉字刚好是“魅”的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 魅 力 平 凉 魅 （力，魅） （平，魅） （凉，魅） 力 （魅，力） （平，力） （凉，力） 平 （魅，平） （力，平） （凉，平） 凉 （魅，凉） （力，凉） （平，凉） 由列表可以看出所有可能出现的结果共有12种 其中取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的结果有2种，即（凉，平）；（平，凉）， 摸出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率为． 15. 已知内接于，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图1，是边的中点； （2）如图2，直线与相切于点，且． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于，根据是边的中点，可得垂直平分，进而得到点为的中点，连接，则，因此即为所求； （2）连接并延长，交于，根据直线与相切于点，且，可得垂直平分，进而得到点为的中点，连接，则，因此即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查了复杂作图、垂径定理以及切线的性质的综合应用，解题的关键是掌握：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．解题时注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 16. 如图，已知的三个顶点坐标分别为，，，将绕坐标原点逆时针旋转90度，请在图中画出旋转后的图形 （1）请直接写出点关于坐标原点对称的点的坐标为 ； （2）将绕坐标原点O逆时针旋转，画出旋转后的图形，并写出的坐标； （3）已知点P在y轴上，且是以为斜边的直角三角形，则P的坐标为 . 【答案】（1） （2）画图见解析， （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数可得答案； （2）分别确定A，B，C绕原点逆时针旋转后的对应点，，，再顺次连接点，，即可，再根据点的位置可得其坐标； （3）先表示，设，再表示，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：点关于坐标原点对称的点的坐标为：． 【小问2详解】 如图，即为所求作的三角形， 点． 【小问3详解】 ∵，， ∴， 设， ∴，， ∵为直角三角形，为斜边， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或． 【点睛】本题考查的是画旋转图形，坐标与图形，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的利用旋转的性质画图是解本题的关键． 17. 已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点和．如果抛物线的对称轴为直线，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式，灵活运用待定系数法求函数解析式成为解题的关键． 先求得、，再根据对称轴为设二次函数的解析式为，然后将、代入求得a、h即可解答． 【详解】解:∵二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点和， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设二次函数的解析式为 将，代入可得： ，解得：， ∴ ∴． 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围． 【小问1详解】 解： ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：原方程可化为： 或 解得： ， 由题意可得： 解得： 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 19. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． （1）若苗圃园的面积为72平方米，求的值． （2）若平行于墙的一边长不小于8米，当取何值时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可得出答案； （2）先根据题意求出x的取值范围，然后表示出苗圃园的面积，再利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）依题意可列方程， 即． 解得，． 当时，，故舍去； 当时，， ． （2）依题意，得，解得． 面积. 当时，有最大值，； 答：当时，苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用及性质，掌握一元二次方程的解法及二次函数的性质是解题的关键． 20. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F． （1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1）直线BC与⊙O相切，证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线； （2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积． 【详解】解：（1）BC与⊙O相切．理由如下： 连接OD．∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠BAD=∠CAD． ∵OD=OA ∴∠OAD=∠ODA ∴∠CAD=∠ODA ∴OD∥AC ∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC． 又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切； （2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2． 根据勾股定理得：， 即， 解得：x=2，即OD=OF=2 ∴OB=2+2=4． Rt△ODB中 ∵OD=OB ∴∠B=30° ∴∠DOB=60° ∴S扇形DOF== 则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF==． 故阴影部分的面积为． 五、（本大题共2小题，每小题9分） 21. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得出，结合题意可得，再由三角形内角和定理得，最后由圆内接四边形对角互补可求解； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵ ∴ 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. （1）问题发现：如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A逆时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （1）探究证明：如图2，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在的延长线上时，连接，写出此时线段，，之间的等量关系，并证明； （2）拓展延伸：如图3，在四边形中，，．若，，请求出的长． 【答案】（1）问题发现：；（1）探究证明：见解析（2）拓展延伸： 【解析】 【分析】（1）问题发现：证明，利用全等三角形对应边相等对应角相等即可求解． （1）探究证明：证明，利用全等三角形对应边相等对应角相等即可求解． （2）拓展延伸：先利用旋转构造出等腰三角形，再构造直角三角形利用勾股定理求解． 【详解】（1）问题发现： 解：由旋转知：，， ∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴线段与的数量关系是，位置关系是； （1）探究证明：． 证明：∵在与中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即； （2）拓展延伸： 解：如图，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，连接， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴旋转后，与重合，， ∴，， ∴， ∴， 过点E作，垂足为点F， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形，勾股定理等知识，解题关键是牢记相关概念并灵活应用，要求学生会通过作辅助线构造等边三角形和直角三角形． 六、（本大题共12分） 23. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）； （1）求二次函数解析式； （2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（-，0）． 【解析】 【分析】（1）设二次函数的交点式为y=a，将C点代入交点式，求出a，即可得出解析式； （2）设出N点坐标（n，-n2-n+2），利用未知数表示出△NAC的面积的表示方法，再利用二次函数求最值的方法，求出面积的最大值； （3）利用等腰三角形的特点，分类进行分析，即可求出结果． 【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0）， 设二次函数的解析式为：y=a， 把C（0，2）代入得：2=a， a=-1， ∴y==-x2-x+2， ∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2； （2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2）， 设直线AC的解析式为：y=kx+b， 把A（-2，0）、C（0，2）代入得：， 解得： ， ∴直线AC的解析式为：y=x+2， ∴D（n，n+2）， ∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n， ∴S△ANC=×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1， ∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2）， （3）存在，分三种情况： ①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）； ②如图2，由勾股定理得：BC=， 以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=， 此时，M2（1-，0），M3（1+，0）； ③如图3，作BC中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4， 设OM4=x，则CM4=BM4=x+1， 由勾股定理得：22+x2=（1+x）2， 解得：x=， ∵M4在x轴的负半轴上， ∴M4（，0）， 综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（，0）； 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，包括求解析式，面积问题，等腰三角形求值问题，掌握相关知识点并进行熟练运用是解综合题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $