精品解析： 重庆市第八中学校2023-2024学年八年级下学期6月期末考试数学试题

重庆八中2023-2024学年度（下）期末考试初二年级 数学试题 A卷（100分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记定义是解题关键．根据中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、是中心对称图形，则此项符合题意； D、不是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 2. 要使分式有意义，则的取值应满足（　　） A. 且 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能等于0是解题关键．根据分式的分母不能等于0求解即可得． 【详解】解：由分式的分母不能等于0得：， 解得， 故选：D． 3. 如图，在平行四边形中，，相交于点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握性质是解题关键．平行四边形的性质：①两组对边平行且相等；②对角相等，邻角互补；③对角线互相平分． 【详解】A、平行四边形邻边不一定相等，故选项不符合题意； B、平行四边形邻边不一定垂直，故选项不符合题意； C、平行四边形对边相等，故选项符合题意； D、平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，故选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，熟记定义是解题关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是单项式，则此项不是因式分解，不符合题意； B、，是因式分解，此项符合题意； C、等式的右边不是积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； D、等式的右边不是积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．根据5月2日的全国旅游收入5月1日全国旅游收入，5月3日的全国旅游收入5月1日全国旅游收入，据此列出方程即可得． 【详解】解：由题意，可以列出方程为， 故选：A． 7. 如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是，边的中点，连接，若，，则菱形的周长为（　　） A. B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的性质，勾股定理．根据三角形中位线定理，可得，再由菱形的性质以及勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵，分别是，边的中点，， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为． 故选：B 8. 如图，第①个图形中共有5个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有13个小黑点，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中小黑点的个数为（　　） A. 17 B. 21 C. 25 D. 29 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形中点的规律问题，仔细观察图形，发现各图形中点的数量关系用代数式表示是解题关键． 根据图①可得；图②可得；图③可得，…发现规律图n可得，第⑥个图形中小黑点的个数，把代入计算即可． 【详解】解：第①个图形中中心1个，正方形四角一共4个，共有个小黑点， 第②个图形中中心1个，有两个正方形，每个正方形四角各有1个，每个正方形有4个，共有个小黑点， 第③个图形中中心1个，有三个正方形，每个正方形四角各有1个，每个正方形有4个，共有个小黑点， ．．．．．． 第n个图形中中心1个，有n个正方形，每个正方形四角各有1个，每个正方形有4个，四角一共各4个，共有个小黑点， 第⑥个图形中小黑点的个数小黑点， 故选：C． 9. 若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（　　） A. B. 2018 C. D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得，从而可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴，即， ∴， 故选：D． 10. 已知反比例函数，下列说法正确的有（　　） A. 当时，在每一个象限内，随的增大而增大 B. 若它的图象在第二、四象限，则的值为 C. 若它的图象经过，则它的图象一定经过 D. 若它的图象与正比例函数的图象交于，两点，点坐标为，则点的坐标是 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴，且， ∴， A、当时，，此时在每一个象限内，随的增大而减小，故本选项错误，不符合题意； B、∵它的图象在第二、四象限， ∴，此时，故本选项正确，符合题意； C、∵它的图象经过， ∴，此时， ∴此时反比例函数解析式为， 当时，， 即的图象一定经过，故本选项正确，符合题意； ∵它的图象与正比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于坐标原点对称， ∵点坐标为， ∴点的坐标是，故本选项正确，符合题意； 故选：BCD 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 第五套人民币中的5角硬币色泽为镍白色，正、反面的内周边缘均为正十一边形，则其内角和为______． 【答案】1620° 【解析】 【分析】边形的内角和是，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和． 【详解】根据多边形的内角和公式，得． 故答案为：1620°． 【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，此题难度不太． 12. 已知，且，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解答本题的关键．设，则，代入，求出k的值即可得到a的值． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 13. 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．小亮打算暑假来重庆旅游，他准备从，，，四个景点中随机选择两个景点游览，则他刚好选到景点和景点的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得小亮从四个景点中随机选择两个景点游览的所有等可能的结果，再找出他刚好选到景点和景点的结果，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，小亮从四个景点中随机选择两个景点游览的所有等可能的结果共有12种，其中，他刚好选到景点和景点的结果有2种， 则他刚好选到景点和景点的概率为， 故答案为：． 14. 如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：． 三、解答题：（本大题5个小题，15—17题每小题8分，18、19各10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 15. 因式分解，分式计算． （1）因式分解：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程和一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． （1）先将分式方程化成整式方程，解一元一次方程求出方程的解，再代入检验即可得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得，即， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原分式方程的解， 所以方程的解为． 【小问2详解】 解：， ， 或， 或， 所以方程的解为． 17. 如图，在四边形中，，，点为的中点． （1）尺规作图：作的平分线，与交于点，连接． （2）求证：四边形是菱形，请根据以下思路完成填空． ∵平分， ∴① ， ∵， ∴， ∴② ， ∴． ∵，点是中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴③ ， 又∵， ∴是菱形（④ ）． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③四边形为平行四边形；④一组邻边相等的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，作一个角平分线，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法． （1）按照作一个内角平分线的方法，进行作图即可； （2）先证明，得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，，得出，证明，得出四边形为平行四边形，再证明是菱形． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的角平分线． 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴①， ∵， ∴， ∴②， ∴， ∵，点是中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴③四边形为平行四边形， 又∵， ∴是菱形（④一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 18. 暑期将至，天气炎热，某校举办了“防溺水”安全知识讲座，并在讲座结束后进行了安全知识测试，成绩采用百分制．现从初中部和高中部各随机抽取20名学生的成绩进行整理与分析（成绩用表示，单位：分，且成绩为整数，共分为5组，组：，组：，组：，组：，组：），下面给出了部分信息： 初中部被抽取学生的测试成绩为：52，59，66，67，70，72，74，78，78，83，86，88，90，91，92，92，92，94，97，99； 将高中部被抽取学生的测试成绩绘制成了扇形统计图如图所示，其中组的所有数据为：80，83，85，88． 初、高中部被抽取的学生测试成绩统计表 平均数 众数 中位数 初中部 81 92 a 高中部 81 92 81.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校是初中学生还是高中学生对“防溺水”安全知识掌握得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校初中部有3800名学生，高中部有1600名学生，估计该校初中部和高中部在此次安全知识测试中成绩在组的学生一共有多少人？ 【答案】（1），35 （2）初中学生对“防溺水”安全知识掌握得更好，理由见解析 （3）估计该校初中部和高中部在此次安全知识测试中成绩在组的学生一共有890人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、平均数、众数与中位数、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据中位数的定义即可得的值，求出高中部成绩在组的学生所占百分比，由此即可得的值； （2）从平均数、众数与中位数的角度进行分析即可得； （3）先求出初中部学生成绩在组所占百分比为，再利用各部的总人数乘以各部组所占百分比，然后求和即可得． 【小问1详解】 解：将初中部学生的成绩按从小到大进行排序后，第10个和第11个数的平均数即为中位数， 则， 高中部成绩在组的学生所占百分比为， 则， 所以， 故答案为：，35． 【小问2详解】 解：初中学生对“防溺水”安全知识掌握得更好，理由如下： 在被抽取的学生测试成绩中，该校是初中学生和高中学生的成绩的平均数和众数都相等，但初中部的学生成绩的中位数高于高中部的． 【小问3详解】 解：初中部学生成绩在组所占百分比为， 则（人）， 答：估计该校初中部和高中部在此次安全知识测试中成绩在组的学生一共有890人． 19. 小宏去水果店购买了中果和大果两种车厘子，分别花费元和元．若中果的单价比大果少元/斤，且购买的中果数量是大果数量的倍． （1）求中果车厘子与大果车厘子的单价分别是多少？ （2）小宏发现网上购买车厘子比水果店更便宜．其中果单价便宜了元/斤，大果单价便宜，于是小宏第二次在网上购买，中果的数量在上次的基础上增加了，大果的数量在上次的基础上增加了，结果这次购买车厘子的金额比上一次共多了元，求的值． 【答案】（1）中果车厘子的单价是元，大果车厘子的单价是元 （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设大果车厘子的单价是元，则中果车厘子的单价是元，根据“购买的中果数量是大果数量的倍”，列方程即可求解； （2）先分别表示出网购中果、大果的数量和单价，再根据“这次购买车厘子的金额比上一次共多了元”，列方程即可求解． 【小问1详解】 解：设大果车厘子的单价是元，则中果车厘子的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 中果车厘子单价：（元）， 答：中果车厘子的单价是元，大果车厘子的单价是元； 【小问2详解】 水果店购买大果的数量：（斤）， 水果店购买中果数量：（斤）， 网购中果的单价为：（元）， 网购大果的单价为：， 网购中果的数量：（斤）， 网购大果的数量：（斤）， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 的值为． B卷（50分） 四、选择填空题：（本大题5个小题，每小题4分，共20分）20，21题在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑，请将22，23，24题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 20. 已知实数满足，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识，由题意得到是一元二次方程的两个实数根，再由根与系数的关系得到，再化简代值即可得到答案． 【详解】解：实数满足，， 是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：B． 21. （多选）如图，点是正方形对角线上一点（不与点，点重合），点是正方形的外角的角平分线上一点，且，连接，．下列说法正确的是（　　） A. 当点是的中点时，四边形是平行四边形 B. 的值为常数 C. 当时， D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，证明为等腰直角三角形、算出、算出即可判断A，B，C，D对错． 【详解】解：A．当点是的中点时，，， ， ， 四边形是平行四边形，故选项正确， B．连接， ， ， ， 同理可证：， ， ， 为等腰直角三角形， ，故选项正确， C．当时， ， ， ∴， ， ， ， ，故选项正确， D．当时， ， ， ， ， ， ，故选项错误， 故选：ABC． 【点睛】本题考查方形的性质，角平分线，三角形全等的判定及性质，平行四变形的判定及性质、求正弦值等知识，解题的关键是添加辅助线构建全等三角形． 22. 若关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的值之和是________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组和分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解不等式组求出，再解分式方程可得且，然后根据分式方程的解是非负整数可得符合条件的所有整数的值，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵这个不等式组至少有三个整数解， ∴， 解得， ， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵这个分式方程的解是非负数， ∴且， 解得且， 又∵这个分式方程的解是非负整数， ∴整数所有可能的取值为， 所以符合条件的所有整数的值之和是， 故答案为：9． 23. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上（点不与点，点重合），连接，，且，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则________（用含的代数式表示），的长为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据矩形性质和折叠性质得到，，；进而推导出，，过D作于H，利用角平分线的性质得到，证明得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中，，，，， ∵将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，则， 过D作于H，则， ∴，又， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由得， 整理，得， 解得，， 即，， 当时，此时，则点E与A重合， 故不合题意，应舍去； 所以．　 故答案为：5或． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，涉及矩形的性质、折叠性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握折叠性质是解答的关键． 24. 自然数各数位上的数字都不为0，将其各数位上的数字任意排列，用排列后的最大的数减去最小的数，记．例如：若，则，，．已知（，为整数）． （1）若为整数，则________； （2）在（1）的条件下，若（，且，均为整数），且，则________． 【答案】 ①. 2 ②. 8262 【解析】 【分析】本题考查新定义的应用；能够通过题意，利用代数式将进行正确的表示是解题的关键； （1）根据可得，再由整数，即可求解； （2）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：， ∵为整数， ∴为整数， ∵，为整数 ∴， ∴； 故答案为：2 （2）由（1）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时，不合题意； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，不合题意； 当时，，此时，不合题意； 当时，，此时，不合题意； 当时，，此时，不合题意； ∴． 故答案为：8262 六、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 如图1，矩形中，，．动点从点出发，沿着折线方向运动，到达点时停止运动．已知点运动的速度为个单位每秒，时间为秒（其中），连接，记的面积为，请解答下列问题： （1）直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）已知函数的图像如图所示，结合你所画的函数图像，请直接估计当时的取值：________（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 【答案】（1）关于的函数关系式为 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了动点问题与函数图象，反比例函数的图象与性质，解题的关键是数形结合． （1）分情况讨论：当点在上时，即，当点在上时，即，根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据（1）中的解析式画图即可，再结合图象写出一条性质即可； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：如图，当点在上时，即， 根据题意得：， 矩形中，，， ， 即； 如图，当点在上时，即， 矩形中，，，， ， ， 即； 综上所述，关于的函数关系式为； 【小问2详解】 函数图象如下： 该函数的性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案为不唯一）； 【小问3详解】 根据函数图象，两个函数的交点坐标估值为：，， 故答案为：或． 26. 如图，直线分别与轴，轴交于点，点，点是反比例函数图象与直线在第一象限内的交点，过点作轴于点，且． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是直线右侧反比例函数图象上一点，且，直线交轴于点，点，是直线上两点，点在点的左侧且，求的最小值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点为反比例函数图象上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为； （2）的最小值为，此时； （3）符合条件的点的横坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，利用求出点的坐标，继而求出反比例函数解析式即可； （2）过点作轴的平行线交直线于点，根据面积求出点坐标，再求出直线解析式，得到点坐标，继而求出线段长，将点沿着射线方向平移个单位长度得到点，连接，，则四边形是平行四边形，则，当点、、共线时取等号，此时最小，最小值为的长，据此求出最小值和点坐标即可； （3）分两种情况讨论①当在左侧时，②当在右侧时，根据条件分别求出点的横坐标即可． 【小问1详解】 解：在一次函数中，令时，， ， ， ， 当时，， ， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴的平行线交直线于点， 设点，，则， ， ， 整理得：， 解得或（舍去）， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线解析式为， ， ，， ， 将点沿着射线方向平移个单位长度得到点，连接，， 则四边形是平行四边形，则， ， 当点、、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ，， 直线的解析式为，， 由，解得， ，则， 的最小值为，此时； 【小问3详解】 解：①当在左侧时，如图所示， 设与轴交于点，则， ，则， 当时，， ，则， 过点作轴，垂足为， ，，， ， ，则， ， ， ，即点、、共线， 则点为直线与反比例函数图象的交点， 由得， 解得或（舍去）， 点的横坐标为； ②当在右侧时，如图，轴，则， 则， ，则， 直线的解析式为， 由得， 解得或（舍去）， 在右侧的点横坐标为． 综上分析，符合条件的点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、平移性质、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活数形结合和分类讨论思想是解答本题的关键． 27. 如图，在中，．点在上，连接，，点在上，点在上，且． （1）如图1，若，，，求的长度： （2）如图2，若，过点作于点，点为的中点，过点作交于点，过点作于点，求证：； （3）如图3，若，，将沿直线翻折至所在平面内，得到，点为上一点，且，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的判定与性质证得，，再根据平行四边形的性质得到，证明推导出，然后利用含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求解即可； （2）延长交延长线于P，取的中点R，连接，先证明得到，，再证明得到，利用三角形的中位线得到M、O、R共线，即，进而推导出为等腰直角三角形，则，即，进而可求解； （3）过A作于M，过F作于H，根据等腰直角三角形的判定和性质，结合已知可推导出，然后证明得到，作C关于的对称点Q，连接，，则，进而得到，当M、F、Q共线时取等号，此时最小，过E作于S，设，利用等腰直角三角形的判定与性质以及含30度角的直角三角形的性质分别求得，，，利用三角形的中位线性质求得为的中位线， ，作于R，于T，利用等腰直角三角形的判定与性质以及含30度角的直角三角形的性质求得，，再由得到，利用求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴； 【小问2详解】 证明：延长交延长线于P，取的中点R，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为的中点，R为的中点， ∴为的中位线，， ∴，又， ∴M、O、R共线，即， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，则， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：过A作于M，过F作于H， ∵， ∴和都为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴，又， ∴， ∴，则， 作C关于的对称点Q，连接，，则， ∴，当M、F、Q共线时取等号，此时最小，最小值为长， 过E作于S，设， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 由得，解得， ∴， ∵，， ∴为的中位线，又， ∴，则， 作于R，于T， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，又， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、三角形的中位线性质、最短路径问题等知识，涉及知识点较多，综合性极强，计算量大，是一道极难的压轴题，此题还涉及到相似三角形的判定与性质，需要学生有极强的综合能力和超前学习的能力，熟练掌握相关知识的联系和运用，利用数形结合思想和灵活添加辅助线找寻边和角关系是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2023-2024学年度（下）期末考试初二年级 数学试题 A卷（100分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 要使分式有意义，则的取值应满足（　　） A. 且 B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，，相交于点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是，边的中点，连接，若，，则菱形的周长为（　　） A. B. C. 16 D. 8. 如图，第①个图形中共有5个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有13个小黑点，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中小黑点的个数为（　　） A. 17 B. 21 C. 25 D. 29 9. 若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（　　） A. B. 2018 C. D. 2024 10. 已知反比例函数，下列说法正确的有（　　） A. 当时，在每一个象限内，随的增大而增大 B. 若它的图象在第二、四象限，则的值为 C. 若它的图象经过，则它的图象一定经过 D. 若它的图象与正比例函数的图象交于，两点，点坐标为，则点的坐标是 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 第五套人民币中的5角硬币色泽为镍白色，正、反面的内周边缘均为正十一边形，则其内角和为______． 12. 已知，且，则________． 13. 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．小亮打算暑假来重庆旅游，他准备从，，，四个景点中随机选择两个景点游览，则他刚好选到景点和景点的概率为________． 14. 如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，，则的值是________． 三、解答题：（本大题5个小题，15—17题每小题8分，18、19各10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 15. 因式分解，分式计算． （1）因式分解：； （2）计算：． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在四边形中，，，点为的中点． （1）尺规作图：作的平分线，与交于点，连接． （2）求证：四边形是菱形，请根据以下思路完成填空． ∵平分， ∴① ， ∵， ∴， ∴② ， ∴． ∵，点是中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴③ ， 又∵， ∴是菱形（④ ）． 18. 暑期将至，天气炎热，某校举办了“防溺水”安全知识讲座，并在讲座结束后进行了安全知识测试，成绩采用百分制．现从初中部和高中部各随机抽取20名学生的成绩进行整理与分析（成绩用表示，单位：分，且成绩为整数，共分为5组，组：，组：，组：，组：，组：），下面给出了部分信息： 初中部被抽取学生的测试成绩为：52，59，66，67，70，72，74，78，78，83，86，88，90，91，92，92，92，94，97，99； 将高中部被抽取学生的测试成绩绘制成了扇形统计图如图所示，其中组的所有数据为：80，83，85，88． 初、高中部被抽取的学生测试成绩统计表 平均数 众数 中位数 初中部 81 92 a 高中部 81 92 81.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校是初中学生还是高中学生对“防溺水”安全知识掌握得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校初中部有3800名学生，高中部有1600名学生，估计该校初中部和高中部在此次安全知识测试中成绩在组的学生一共有多少人？ 19. 小宏去水果店购买了中果和大果两种车厘子，分别花费元和元．若中果的单价比大果少元/斤，且购买的中果数量是大果数量的倍． （1）求中果车厘子与大果车厘子的单价分别是多少？ （2）小宏发现网上购买车厘子比水果店更便宜．其中果单价便宜了元/斤，大果单价便宜，于是小宏第二次在网上购买，中果的数量在上次的基础上增加了，大果的数量在上次的基础上增加了，结果这次购买车厘子的金额比上一次共多了元，求的值． B卷（50分） 四、选择填空题：（本大题5个小题，每小题4分，共20分）20，21题在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑，请将22，23，24题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 20. 已知实数满足，，则的值为（　　） A. B. C. D. 21. （多选）如图，点是正方形对角线上一点（不与点，点重合），点是正方形的外角的角平分线上一点，且，连接，．下列说法正确的是（　　） A. 当点是的中点时，四边形是平行四边形 B. 的值为常数 C. 当时， D. 当时， 22. 若关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的值之和是________． 23. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上（点不与点，点重合），连接，，且，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则________（用含的代数式表示），的长为________． 24. 自然数各数位上的数字都不为0，将其各数位上的数字任意排列，用排列后的最大的数减去最小的数，记．例如：若，则，，．已知（，为整数）． （1）若为整数，则________； （2）在（1）的条件下，若（，且，均为整数），且，则________． 六、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 如图1，矩形中，，．动点从点出发，沿着折线方向运动，到达点时停止运动．已知点运动的速度为个单位每秒，时间为秒（其中），连接，记的面积为，请解答下列问题： （1）直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）已知函数的图像如图所示，结合你所画的函数图像，请直接估计当时的取值：________（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 26. 如图，直线分别与轴，轴交于点，点，点是反比例函数图象与直线在第一象限内的交点，过点作轴于点，且． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是直线右侧反比例函数图象上一点，且，直线交轴于点，点，是直线上两点，点在点的左侧且，求的最小值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点为反比例函数图象上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 27. 如图，在中，．点在上，连接，，点在上，点在上，且． （1）如图1，若，，，求的长度： （2）如图2，若，过点作于点，点为的中点，过点作交于点，过点作于点，求证：； （3）如图3，若，，将沿直线翻折至所在平面内，得到，点为上一点，且，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $