第11讲 直线中的对称问题（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第11讲 直线中的对称问题 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 几类常见的对称问题 2 题型02 光的反射问题 5 题型03 利用对称解决有关最值问题 9 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 22 创新拓展 30 题型01几类常见的对称问题 【解题策略】 对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式． 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x,2b－y)． (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得． (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题． 【典例分析】 【例1】已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 【变式3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 题型02 光的反射问题 【解题策略】 　根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解． 【典例分析】 【例2】一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·江西九江·阶段练习）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 ． 【变式2】（23-24高二上·河北·阶段练习）一条光线从点射入，经轴反射后沿直线射出，则 ． 【变式3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点，在直线上反射，且反射光线经过点，求： (1)入射光线与直线l的交点． (2)入射光线与反射光线所在直线的方程． 题型03 利用对称解决有关最值问题 【解题策略】 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，应注意两点在已知直线的同侧还是异侧 【典例分析】 【例3】在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得： (1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大； (2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小． 【变式演练】 【变式1】（2023高二上·全国·专题练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为 . 【变式2】（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的最小值为 .    【变式3】（2022高二·江苏·专题练习）已知直线及点，，． (1)试在上求一点，使最小，并求这个最小值； (2)试在上求一点，使最大，并求这个最大值． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）在中，，，点C在直线上运动，则内切圆的半径的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·浙江宁波·期末）下列说法中正确的是（   ） A．直线在轴上的截距是 B．直线恒过定点 C．点关于直线对称的点为 D．过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程为 6．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．直线的点斜式方程可以表示任何直线 B．直线在轴上的截距为 C．直线关于点对称的直线方程是 D．直线：与：之间的距离为 三、填空题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程为 ． 8．（23-24高二上·广西·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，点是直线上一动点，则的最大值为 . 9．（23-24高二上·北京·阶段练习）直线关于x轴对称的直线方程为 . 四、解答题 10．（22-23高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知平面上两点和，在直线上求一点M． (1)使最大值； (2)使最小． 11．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点. (1)已知直线与平行，求的值； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江温州·期中）在等腰直角中，，点是边的中点，光线从点出发，沿与所成角为的方向发射，经过反射后回到线段之间（包括端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 二、多选题 5．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知点与直线，下列说法正确的是（    ） A．过点且直线平行的直线方程为 B．过点且截距相等的直线与直线一定垂直 C．点关于直线的对称点坐标为 D．直线关于点对称的直线方程为 6．（22-23高二上·江苏南通·期中）已知直线：，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C．点到直线的距离为2 D．直线关于轴对称的直线方程为 三、填空题 7．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）与直线关于点对称的直线方程是 . 8．（23-24高二上·湖北荆门·期末）一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为 ． 9．（22-23高二上·福建福州·期中）已知点，直线：，则点到直线的距离为 ，直线关于点对称的直线方程为 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线过点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程 (2)若已知直线，点关于直线的对称点的坐标． 11．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）直线：，直线的一个方向向量的坐标为，直线：与直线垂直 (1)求a，b的值； (2)已知点，求点关于直线对称的点的坐标． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知直线，点，则（    ） A．过点A与l平行的直线的方程为 B．点A关于对称的点的坐标为 C．点A到直线l的距离为 D．过点A与l垂直的直线的方程为 三、填空题 3．（22-23高二上·河北保定·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过的重心G，则AP= ．直线PQ的斜率为 四、解答题 4．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于直线对称，点，都在上. (1)求线段垂直平分线的方程； (2)求的标准方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 直线中的对称问题 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 几类常见的对称问题 2 题型02 光的反射问题 5 题型03 利用对称解决有关最值问题 9 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 22 创新拓展 30 题型01几类常见的对称问题 【解题策略】 对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式． 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x,2b－y)． (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得． (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题． 【典例分析】 【例1】已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程． 解　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l， 即解得 ∴点P′的坐标为(－2,7)． (2)解方程组得 则点在所求直线上． 在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)， 设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， 则 解得 点M′也在所求直线上． 由两点式得直线方程为＝， 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程． (3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)， 则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4)． 因为点E′，F′在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为＝， 即3x－y－17＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【分析】在直线上取点、，求出这两点关于点的对称点的坐标，并求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3） 在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 题型02 光的反射问题 【解题策略】 　根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解． 【典例分析】 【例2】一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程． 解　设原点O(0,0)关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上，得 解得 ∴点A的坐标为(4,3)． ∵反射光线的反向延长线过A(4,3)， 又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y＝3. 联立解得 由于反射光线为射线， 故反射光线的方程为y＝3. 由光的性质可知， 光线从O到P的路程即为AP的长度， 由A(4,3)，P(－4,3)知，AP＝4－(－4)＝8， 即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·江西九江·阶段练习）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求得点关于的对称点A，再由入射点P的坐标，再由点A，P，M三点共线，求得点M的坐标，再求得点P关于x轴的对称点，再根据三点共线求得点N的坐标求解. 【详解】解：如图所示： 点关于的对称点为， 由，解得，所以， 因为点A，P，M三点共线，则， 令，得，所以， 点P关于x轴的对称点， 因为点三点共线，则， 令，的，所以， 所以， 解得或（舍去）， 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·河北·阶段练习）一条光线从点射入，经轴反射后沿直线射出，则 ． 【答案】 【分析】先求出点关于轴对称的点，由题意可知反射光线经过点，代入求解即可. 【详解】点关于轴对称的点为， 由题意可知，反射光线经过点， 将点的坐标代入方程，解得． 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点，在直线上反射，且反射光线经过点，求： (1)入射光线与直线l的交点． (2)入射光线与反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)入射光线的方程，反射光线的方程 【分析】（1）根据题意，求得点关于直线的对称点为，得到反射光线的方程，联立方程组，即可求得交点坐标； （2）根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求得入射和反射光线的方程. 【详解】（1）解：设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 则反射光线所在的直线的方程，即， 又由，解得， 即直线与直线的交点为. （2）解：由点，可得， 所以入射光线所在的直线的方程为，即， 反射光线所在直线的的方程，即. 题型03 利用对称解决有关最值问题 【解题策略】 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，应注意两点在已知直线的同侧还是异侧 【典例分析】 【例3】在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得： (1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大； (2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小． 解　(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1， ∴a＋b－4＝0，① ∵BB′的中点在直线l上， ∴－－1＝0，即a－b－6＝0.② 由①②得 ∴点B′的坐标为(5，－1)． 于是AB′所在直线的方程为＝， 即2x＋y－9＝0. 易知PB－PA＝PB′－PA，当且仅当P，B′，A三点共线时，PB′－PA最大． ∴联立直线l与AB′的方程，解得x＝，y＝， 即l与AB′的交点坐标为. 故点P的坐标为. (2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1,2)， ∴AC′所在直线的方程为 x＋3y－7＝0. 易知QA＋QC＝QA＋QC′，当且仅当Q，A，C′三点共线时，QA＋QC′最小． ∴联立直线AC′与l的方程，解得x＝，y＝， 即AC′与l的交点坐标为. 故点Q的坐标为. 【变式演练】 【变式1】（2023高二上·全国·专题练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为 . 【答案】 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则有， 点关于轴的对称点为，如图所示： 当四点共线时，的周长的最小， 最小值为. 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的最小值为 .    【答案】 【分析】作出点关于轴的对称点以及关于的对称点，将问题转化为求解，由此求解出结果. 【详解】点关于轴的对称点，关于的对称点，如图所示，      又因为，，所以直线方程为：，即， 所以，解得，即. 所以光线经过的路程为， 当四点共线时，. 故答案为： 【变式3】（2022高二·江苏·专题练习）已知直线及点，，． (1)试在上求一点，使最小，并求这个最小值； (2)试在上求一点，使最大，并求这个最大值． 【答案】(1)，，最小值为 (2)，最大值为 【分析】（1）求出关于直线的对称点的坐标，线段与直线的交点为，最小值为； （2）求出关于直线的对称点的坐标，射线与直线的交点为，最大值为． 【详解】（1）设关于直线的对称点的坐标， 则，解得，即， 则的直线方程为：，联立，解得， 即交点为，，此时最小，最小为； （2）设关于直线的对称点的坐标，则，解得，得， 直线的方程为，即， 联立，解得，即， 由对称性知，，（当且仅当、、三点共线时取“” ， 上的点，是使最大的点． 此时最大值为； 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求对称点的坐标为，根据垂直平分列方程组求解即可. 【详解】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为. 故选：D. 2．（22-23高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，再利用反射光线过点，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，化简得，解得， 故反射光线过点， 则反射光线所在直线的方程为. 故选：B. 3．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线关于点的对称直线平行，设出所求直线，利用点到直线距离求解. 【详解】因为不在直线l：上， 所以可设直线l：关于点对称的直线方程为， 则，解得或（舍去）， 故所求直线方程为：. 故选：A 4．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）在中，，，点C在直线上运动，则内切圆的半径的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得直线与直线平行，设内切圆的半径为，利用等面积法可得，则要使内切圆的半径最大，只要最小即可，求出点关于直线对称的点即可得解. 【详解】直线的方程为，即， 则直线与直线平行， 所以点到直线的距离等于直线到直线的距离， 即点到直线的距离为， ， 所以， 设内切圆的半径为， 则， 所以， 则要使内切圆的半径最大， 只要最小即可， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则， 当且仅当共线时，取等号， 所以的最小值为， 所以的最大值为. 故选：D.    二、多选题 5．（23-24高二上·浙江宁波·期末）下列说法中正确的是（   ） A．直线在轴上的截距是 B．直线恒过定点 C．点关于直线对称的点为 D．过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【分析】对于A项，将直线方程化成斜截式方程即得；对于B项，把直线方程化成关于参数的方程，依题得到，解之即得；对于C项，只需验证两点间的线段中点在直线上，且两点的直线斜率与已知直线斜率互为负倒数即可；对于D项，需注意截距相等还包括都为0的情况. 【详解】对于A项，由可得：，可得直线在轴上的截距是，故A项错误； 对于B项，由可得：，因，则有：， 故直线恒过定点，故B项正确； 对于C项，不妨设,直线，因直线的斜率为与直线的斜率为1的乘积为，则得, 又由点到直线的距离为与点到直线的距离为相等，且在直线的两侧，故点关于直线对称的点为，即C项正确； 对于D项，因过点且在轴､轴上的截距相等的直线还有，故D项错误. 故选：BC. 6．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．直线的点斜式方程可以表示任何直线 B．直线在轴上的截距为 C．直线关于点对称的直线方程是 D．直线：与：之间的距离为 【答案】BC 【分析】根据点斜式方程判断A；根据斜截式方程判断B；设直线关于点对称的直线方程是，利用点到直线的距离公式求解判断C；利用平行线间距离公式判断D. 【详解】直线的点斜式方程不表示直线，故A不正确； 由直线的斜截式方程可知，直线在轴上的截距为，故B正确； 设直线关于点对称的直线方程是， 由点到两直线的距离相等得，解得， 则直线关于点对称的直线方程是，故C正确； 直线：即，与：之间的距离为，故D不正确. 故选：BC. 三、填空题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据点关于点对称的坐标关系，即可将关于点对称的点代入已知直线中求解. 【详解】在对称直线上任取一点,设关于点对称的点为，由于在直线上，所以，即， 故答案为： 8．（23-24高二上·广西·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，点是直线上一动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】求出点关于的对称点，利用求解即可. 【详解】设点关于的对称点，则,    则， 当且仅当三点共线时等号成立. 故答案为： 9．（23-24高二上·北京·阶段练习）直线关于x轴对称的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据直线与直线关于轴对称，得到，然后根据直线与轴的交点为得到直线与轴的交点为，然后求直线方程即可. 【详解】设直线与直线关于轴对称，所以， 在中，令，则，所以直线与轴的交点为，即直线与轴的交点为， 所以直线的方程为，整理得. 故答案为：. 四、解答题 10．（22-23高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知平面上两点和，在直线上求一点M． (1)使最大值； (2)使最小． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设求出关于直线的对称点，再根据，即可求最大值； （2）利用两点间线段长度最短，即可求最小值. 【详解】（1）若为关于直线的对称点，则中点在直线上， 所以，得，则， 由，则， 要使最大，只需共线，. （2）如上图，要使最小，只需共线， 所以. 11．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点. (1)已知直线与平行，求的值； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系列式运算得解； （2）设出对称点的坐标，利用中点在直线上，以及直线垂直，列出方程，即可求得结果. 【详解】（1）由直线平行直线，可得，解得或， 当时，直线符合题意， 当时，直线与直线重合，不合题意， 所以的值为3. （2）设对称点的坐标为，则中点的坐标为， 所以可得，解得， 所以的坐标为. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案. 【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 2．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，解得：， 所以，设直线关于点的对称直线方程为：， 则到直线与的距离相等， 所以，解得：，即（舍去）或. 故直线关于点的对称直线方程为：. 故选：D. 3．（23-24高二上·浙江温州·期中）在等腰直角中，，点是边的中点，光线从点出发，沿与所成角为的方向发射，经过反射后回到线段之间（包括端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意建立直角坐标系，根据点关于线对称画出光路图，利用表示各点坐标，求出满足使反射后回到线段之间角范围. 【详解】   建立直角坐标系如图所示，，，，则直线 由题光线从点出发，沿光线路径依次为其中分别为光线与对应边交点， 设，点关于直线对称点为，设点关于直线对称点为，根据对称则有， 因为光线与所成角为的方向发射，即，令，k即为直线斜率， 则直线方程为，则与联立， 由光线反射的性质与光路可逆性知四点共线， 则直线方程为， 令得， 所以的取值范围为. 故选：D 4．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】求得关于轴的对称点，根据三点共线时取到最小值，进一步计算即可求解 【详解】如图所示， 关于轴的对称点为, 则, 当三点共线时等号成立， 又, 故的最小值为5, 故选：B. 二、多选题 5．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知点与直线，下列说法正确的是（    ） A．过点且直线平行的直线方程为 B．过点且截距相等的直线与直线一定垂直 C．点关于直线的对称点坐标为 D．直线关于点对称的直线方程为 【答案】ACD 【分析】设所求直线方程为，代入点的坐标求出，即可判断A，当截距都为时求出直线方程，即可判断B，设点关于直线的对称点坐标为，即可得到方程组，解得即可判断C，求出直线上任意两点关于点对称的点的坐标，从而求出对称的直线方程，即可判断D. 【详解】对于A：设所求直线方程为，则，解得， 所以过点且直线平行的直线方程为，故A正确； 对于B：若截距都为，即过点且经过坐原点的直线为， 此时直线的斜率，但是，，所以直线与直线不垂直，故B错误； 对于C：设点关于直线的对称点坐标为，则，解得， 所以点关于直线的对称点坐标为，故C正确； 对于D：因为点、在直线上，点关于点对称的点为， 点关于点对称的点为， 则过和的直线方程为，即， 所以直线关于点对称的直线方程为，故D正确； 故选：ACD 6．（22-23高二上·江苏南通·期中）已知直线：，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C．点到直线的距离为2 D．直线关于轴对称的直线方程为 【答案】ACD 【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A；求出直线与坐标轴的截距可判断B；由点到直线的距离公式可判断C；由点关于轴对称的特征，代入求解可判断D 【详解】对于A：因为直线：的斜率为， 所以直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：令，则；令，则； 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故B错误； 对于C：点到直线的距离为，故C正确； 对于D：设在直线关于轴对称的直线上， 则关于轴对称的点在直线上， 则有，即， 所以直线关于轴对称的直线方程为，故D正确； 故选：ACD 三、填空题 7．（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）与直线关于点对称的直线方程是 . 【答案】 【分析】由两直线对称得，由此设直线的方程，再利用点线距离公式即可得解. 【详解】因为直线与直线关于点对称，所以，且点到两直线的距离相等， 设直线为，则，解得或（舍去）， 所以所求直线方程为. 故答案为：. 8．（23-24高二上·湖北荆门·期末）一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为 ． 【答案】 【分析】先求出关于x轴的对称点，再求出直线的方程，即可得点的坐标，即可得解. 【详解】关于x轴的对称点， 光线从射出与x轴相交于点， 则反射光线所在的直线经过点，Q， 则反射光线所在直线的方程为，化简得，得， 所以则光线从P到R所走的路程为． 故答案为：. 9．（22-23高二上·福建福州·期中）已知点，直线：，则点到直线的距离为 ，直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 / 【分析】利用点到直线距离公式求点到直线的距离，设直线上任一点关于点的对称点，确定的坐标关系，利用代点法求对称直线方程． 【详解】点，直线：， 则点到直线的距离为， 设直线关于点的对称直线为， 则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上， ，解得， 将代入直线的方程可得，． 所以直线关于点对称的直线方程为. 故答案为：；. 四、解答题 10．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线过点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程 (2)若已知直线，点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直关系得到斜率，结合点坐标得到直线方程. （2）设出对称点，根据斜率的关系和中点坐标得到方程组，解得答案. 【详解】（1）直线与直线垂直，则， 故直线的方程为，即 （2）设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得，故对称点坐标为. 11．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）直线：，直线的一个方向向量的坐标为，直线：与直线垂直 (1)求a，b的值； (2)已知点，求点关于直线对称的点的坐标． 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）根据直线的方向向量求出，根据直线：与直线垂直求出. （2）设出对称点的坐标，然后根据点关于直线对称联立求解即可. 【详解】（1）因为直线：的一个方向向量的坐标为， 所以， 又因为直线：与直线垂直， 所以. 所以，. （2）由（1）知直线：即， 设点关于直线对称的点， 则直线的斜率为， 线段的中点为， 代入直线方程得， 联立， 所以点的坐标为. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出草图可知，点M、点N在直线l同侧，运用对称性即可求得结果. 【详解】如图所示， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以． 故选：C. 二、多选题 2．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知直线，点，则（    ） A．过点A与l平行的直线的方程为 B．点A关于对称的点的坐标为 C．点A到直线l的距离为 D．过点A与l垂直的直线的方程为 【答案】ACD 【分析】由平行垂直求出直线方程判断AD，写出对称点坐标判断B，由得点到直线距离判断C． 【详解】与直线平行的直线方程可设为，代入点坐标得，即，即平行线方程为，A正确； 关于的对称点坐标为，B错； 到直线的距离为，C正确； 与直线垂直的直线方程可设为，代入点坐标得，，直线方程即为，D正确． 故选：ACD． 三、填空题 3．（22-23高二上·河北保定·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过的重心G，则AP= ．直线PQ的斜率为 【答案】 2 【分析】根据已知，利用对称性、重心的性质，求出对称点坐标，联立直线方程进行求解. 【详解】       建立如图所示的平面直角坐标系，可得，， 所以直线的方程为，的重心G的坐标为， 设点，，分别是点关于直线BC和y轴的对称点， 连接，所以，设，则有 ，解得，所以， 由光的反射原理可知，四点共线，所以， 即，解得，此时， 所以，，，直线的方程为， 联立直线的方程与的方程有：，解得， 即，所以直线PQ的斜率为. 故答案为：，2. 四、解答题 4．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可； （2）根据相关点法分析运算即可. 【详解】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在对称直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于直线对称，点，都在上. (1)求线段垂直平分线的方程； (2)求的标准方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求线段的中点，且斜率不存在，写出方程； （2）解法一：由题意，设，将点代入得方程； 解法二：求出直线与直线的交点为圆心，可得方程. 【详解】（1）因为点，， 所以线段的中点为 因为直线的斜率为，所以垂直平分线的斜率不存在. 所以垂直平分线的方程为； （2）解法一：因为关于直线对称，则可设的方程为， 又因为点，在上，所以， 解得， 所以的标准方程为. 解法二：因为直线与直线的交点为圆心， 由，解得， 故圆心. 又因为. 所以的标准方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$