第02讲 有理数（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第02讲 有理数 课程标准 学习目标 ①有理数的认识 ②有理数的分类 1. 掌握有理数及其有理数的分类，能够熟练的判断有理数的类型以及熟练的对其进行分类。 2. 能够对有理数熟练的应用。 知识点01 有理数的定义 1. 有理数的相关概念： 有理数： 整数 与 分数 统称为有理数。 整数包含 正整数 、 负整数 、 0 。 分数包含 正分数 与 负分数 。 自然数： 0 与 正整数 都是自然数。 非负数包含 0 与 正数 。非负整数包含 正整数 和 0 。 知识点02 有理数的分类 1. 有理数按定义分类：正 2. 有理数按正负分类： 【即学即练1】 1．把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）：﹣18，3.14，0，2024，，80%，，﹣|﹣5|，﹣（﹣7）． 负整数集合{ 　﹣18，﹣|﹣5|　…} 整数集合{ 　﹣18，0，2024，﹣|﹣5|，﹣（﹣7）　…} 正分数集合{ 　3.14，80%　…} 非负整数集合{ 　0，2024，﹣（﹣7）　…} 有理数{ 　﹣18，3.14，0，2024，，80%，﹣|﹣5|，﹣（﹣7）　…} 【分析】根据正数，负数，整数，分数，有理数，以及无理数的概念解答即可． 【解答】解：∵﹣|﹣5|＝﹣5，﹣（﹣7）＝7，，， ∴这些数可按如下分类， 负整数集合{﹣18，﹣|﹣5|……} 整数集合{﹣18，0，2024，﹣|﹣5|，﹣（﹣7）……} 正分数集合{3.14，80%……} 非负整数集合{0，2024，﹣（﹣7）……} 有理数{﹣18，3.14，0，2024，，80%，﹣|﹣5|，﹣（﹣7）……}． 故答案为：﹣18，﹣|﹣5|；﹣18，0，2024，﹣|﹣5|，﹣（﹣7）；3.14，80%；0，2024，﹣（﹣7）；{﹣18，3.14，0，2024，，80%，﹣|﹣5|，﹣（﹣7）． 【即学即练2】 2．下列说法正确的是（　　） A．一个有理数不是正数就是负数 B．分数包括正分数、负分数和零 C．有理数分为正有理数、负有理数和零 D．整数包括正整数和负整数 【分析】根据有理数的分类进行解答即可． 【解答】解：A．有理数包括正数、负数和0，不符合题意； B．分数包括正分数、负分数，不符合题意； C．有理数分为正有理数、负有理数和零，符合题意； D．整数包括正整数，负整数和零，不符合题意； 故选：C． 题型01 有理数的认识 【典例1】下列各数中，是有理数的是（　　） A． B．π C． D． 【分析】整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可． 【解答】解：，π，是无限不循环小数，它们都不是无理数； 是分数，它是有理数； 故选：C． 【变式1】在1.5，﹣2，，﹣0.7，6，15%中，负分数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据负分数的定义判断即可． 【解答】解：负分数有：，﹣0.7，共2个， 故选：A． 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．自然数就是非负整数 B．正数和负数统称为有理数 C．零是最小的有理数 D．有最小的正整数，没有最大的负整数 【分析】根据有理数的定义：正数、负数和0统称为有理数，以及0和正整数属于自然数，没有最小的有理数，最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1即可求解． 【解答】解：A、自然数就是非负整数，是正确的，故符合题意； B、正数、负数和0统称为有理数，是错误的，故不符合题意； C、没有最小的有理数，是错误的，故不符合题意； D、最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1，是错误的，故不符合题意； 故选：A． 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．所有的整数都是正数 B．整数和分数统称有理数 C．0是最小的有理数 D．零既可以是正整数，也可以是负整数 【分析】根据有理数的分类，绝对值的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、所有的整数不都是正整数，还有负整数和0，故A不符合题意； B、整数和分数统称有理数，故B符合题意； C、0是绝对值最小的有理数，故C不符合题意； D、零既不是正整数，也不是负整数，故D不符合题意； 故选：B． 【变式4】下列说法中正确的是（　　） A．一个有理数不是正数就是负数 B．正整数与负整数统称为整数 C．正分数、0、负分数统称为分数 D．正整数与正分数统称为正有理数 【分析】根据整数、负数、正有理数、有理数的定义分别对每个选项进行判断，特别注意0． 【解答】解：有理数0既不是正数也不是负数，故选项A错误；正整数、0、负整数统称整数，故选项B错误；正分数、负分数统称分数，0不属于分数故选项C错误；正整数、正分数统称正有理数，故选项D正确． 故选：D． 【变式5】下列说法正确的个数是（　　） ①0是最小的整数； ②一个有理数，不是正数就是负数； ③若a是正数，则﹣a是负数； ④自然数一定是正数； ⑤一个整数不是正的就是负的； ⑥一个有理数不是整数就是分数． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据整数包括正整数，0，负整数可以判断①⑤；根据有理数分为正有理数，0，负有理数可以判断②；根据相反数的意义可以判断③；根据自然数包括0和正整数可以判断④；根据整数和分数统称为有理数可以判断⑥． 【解答】解：因为整数有正整数也有负整数，所以0是最小的整数的说法是错误的，故①不正确； 因为0既不是正数也不是负数，但是有理数，所以一个有理数，不是正数就是负数的说法是错误的，故②不正确； 因为正数的相反数是负数，所以若a是正数，则﹣a是负数的说法是正确的，故③正确； 因为0是自然数，但0既不是正数也不是负数，所以自然数一定是正数的说法是错误的，故④错误； 因为0是整数，但0既不是正数也不是负数，所以一个整数不是正的就是负的说法是错误的，故⑤错误； 因为整数和分数统称为有理数，所以一个有理数不是整数就是分数的说法是正确的，故⑥正确． 所以说法正确的个数是2． 故选：B． 题型02 0的认识 【典例1】下列关于0的说法中错误的是（　　） A．0是绝对值最小的数 B．0的相反数是0 C．0是整数 D．0的倒数是0 【分析】根据有理数中整数的定义，有理数的分类，绝对值的性质和相反数的定义即可作出选择． 【解答】解：A．正数的绝对值是正数，负数的绝对值是正数，0的绝对值是0，所以0是绝对值最小的数，此选项说法正确； B.0的相反数是0，此选项说法正确； C．整数包括正整数，0和负整数，0是整数此说法正确； D.0没有倒数，故0的倒数是0，此说法错误． 故选：D． 【变式1】课堂上老师要求就数“0”发表自己的意见，四位同学共说了下列四句话：①0是整数，但不是自然数；②0既不是正数，也不是负数；③0不是整数，是自然数；④0没有实际意义．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】分别依据整数的定义、0的性质、和0的意义进行判断即可． 【解答】解： 自然数中包括0，当然0也是整数，所以①③都不正确； 0既不是正数也不是负数，所以②正确； 而在实际生活中0具有实际的意义，如0℃，所以④不正确； 故正确的只有②， 故选：D． 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0是整数 【分析】按照有理数的分类填写： 有理数． 【解答】解：0既不是正数，也不是负数，是整数、自然数． 故选：D． 【变式3】零是（　　） A．最小的整数 B．最小的正数 C．最小的有理数 D．最小的非负整数 【分析】根据0的特殊性，利用排除法进行选择． 【解答】解：没有最小的整数，A错误； 没有最小的正数，B错误； 有理数没有最大最小，C错误； 非负整数就是正整数或0，所以0最小，D正确．故选D． 【变式4】下列关于零的说法中，正确的个数是（　　） ①零是正数；②零是负数；③零既不是正数，也不是负数；④零仅表示没有． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据0的特殊含义，0既不是正数也不是负数，0的意义仅表示没有，得出结果． 【解答】解：∵0既不是正数也不是负数， 故①②错误， 在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还有表示占位的意义，0还表示正整数与负整数的分界等，故④错误； 故③正确，共1个， 故选：A． 题型03 对有理数进行分类 【典例1】把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ﹣11，，﹣9，0，+12，﹣6.4，﹣π，﹣4%． （1）整数集合：{　﹣11，﹣9，0，+12　…}； （2）分数集合：{　，﹣6.4，﹣4%　…}； （3）非负整数集合：{　0，+12　…}； （4）负有理数集合：{　﹣11，，﹣9，﹣6.4，﹣4%　…}． 【分析】根据有理数的分类解答即可． 【解答】解：（1）整数集合：{﹣11，﹣9，0，+12…}； （2）分数集合：{，﹣6.4，﹣4%…}； （3）非负整数集合：{0，+12…}； （4）负有理数集合：{﹣11，，﹣9，﹣6.4，﹣4%…}． 故答案为：（1）﹣11，﹣9，0，+12； （2），﹣6.4，﹣4%； （3）0，+12； （4）﹣11，，﹣9，﹣6.4，﹣4%． 【变式1】把下列各数分别填入相应的大括号内： ﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣，12% 整数集合{ 　﹣7，0，10，﹣　…}； 正分数集合{ 　3.5，，0.03，12%　…}； 非正整数集合{ 　﹣7，0，﹣　…}； 有理数集合{ 　﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣，12%　…}． 【分析】利用正整数、正分数、非正整数、有理数的定义填空． 【解答】解：整数集合{﹣7，0，10，﹣ …}； 正分数集合{3.5，，0.03，12% …}； 非正整数集合{﹣7， 0，﹣ …}； 有理数集合{﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣，12%...}． 【变式2】把下列各数填在相应的集合中： 15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，． 正数集合{　15，0.81，，171，3.14，π，　…}； 负分数集合{　﹣，﹣3.1　…}； 非负整数集合{　15，171，0　…}； 有理数集合{　15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，　…}． 【分析】根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可． 【解答】解：正数集合{15，0.81，，171，3.14，π，…}； 负分数集合{﹣，﹣3.1…}； 非负整数集合{15，171，0…}； 有理数集合{15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，…}． 故答案为：15，0.81，，171，3.14，π，；﹣，﹣3.1；15，171，0；15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，． 17． 【变式3】把下列各数分别填入相应的大括号内： 自然数集合{　0，10…　}； 整数集合{　﹣7，0，10，﹣…　}； 正分数集合{　3.5，，0.03…　}； 非正数集合{　﹣7，﹣3.1415，0，﹣3，﹣0.，﹣…　}； 有理数集合{　﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣0.，﹣…　}． 【分析】掌握各自的定义：自然数（大于零的整数）；整数（正整数、零和负整数）；有理数（整数和分数的统称） 【解答】解：自然数集合：{0，10…}； 整数集合：{﹣7，0，10，﹣…}； 正分数集合：{3.5，，0.03…}； 非正数集合：{﹣7，﹣3.1415，0，﹣3，﹣0.，﹣…}； 有理数集合：{﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣0.，﹣…}． 【变式4】把下列各数填入相应的大括号内：﹣13.5，0，+27，﹣，，﹣10，3.14 （1）正数集合：{ 　+27，，3.14　……} （2）负数集合：{ 　﹣13.5，﹣，﹣10　……} （3）整数集合：{ 　0，+27，﹣10　……} （4）分数集合：{ 　﹣13.5，﹣，，3.14　……} （5）非负整数集合：{ 　0，+27　……} 【分析】利用正数，负数，整数，分数，以及非负整数定义判断即可． 【解答】解：（1）正数集合：{+27，，3.14……}； （2）负数集合：{﹣13.5，﹣，﹣10……}； （3）整数集合：{0，+27，﹣10……}； （4）分数集合：{﹣13.5，﹣，，3.14……}； （5）非负整数集合：{0，+27……}， 故答案为：（1）+27，，3.14；（2）﹣13.5，﹣，﹣10；（3）0，+27，﹣10；（4）﹣13.5，﹣，，3.14；（5）0，+27 题型04 对“非”字的有理数的理解 【典例1】在数﹣5.2，0，，2011，﹣71，3.14中，非负整数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据有理数的分类方法，可得：非负整数包括正整数和0，据此判断出在数﹣5.2，0，，2011，﹣71，3.14中，非负整数的个数是多少即可． 【解答】解：在数﹣5.2，0，，2011，﹣71，3.14中，非负整数的个数是2个：0，2011． 故选：B． 【变式1】在+8，0，，，2023，﹣5，0.26，11.3中，非负整数有 　3　个． 【分析】非负整数包括正整数和0，据此即可求得答案． 【解答】解：+8，0，2023是非负整数，共3个， 故答案为：3． 【变式2】在有理数﹣3，0，，，3.7，﹣2.5中，非负数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据大于或等于零的数是非负数，可得答案． 【解答】解：0，，3.7，共3个， 故选：B． 【变式3】在﹣5，2.3，0，π，五个数中，非负有理数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】有理数即整数和分数，非负有理数即正有理数和0，据此即可求得答案． 【解答】解：2.3，0是非负有理数，共2个， 故选：B． 【变式4】有理数﹣3，0.618，中，非正数的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据非正数指的是负数与0解答即可． 【解答】解：有理数中，非正数为﹣3，﹣3.14，﹣1，0，，共5个． 故选：C． 1．下列各数中，负整数是（　　） A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣2.5 【分析】根据负整数的定义进行判断即可． 【解答】解：3是正整数，0既不是正数也不是负数，﹣2.5是分数； ﹣2是负整数； 故选：C． 2．下列四个有理数中，既是分数又是正数的是（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．2.4 【分析】根据大于零的分数是正分数，可得答案． 【解答】解：A、是整数，故A错误； B、是负分数，故B错误； C、既不是正数也不是负数，故C错误； D、是正分数，故D正确； 故选：D． 3．在3.14，，0，，0.1010010001中有理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据有理数的概念进行求解即可． 【解答】解：在3.14，，0，，0.1010010001中有理数的有3.14，，0，0.1010010001，共4个； 故选：D． 4．下列说法正确的是（　　） A．0是最小的整数 B．任何数的绝对值都是正数 C．﹣a是负数 D．绝对值等于它本身的数是正数和0 【分析】根据有理数、绝对值，即可解答． 【解答】解：A、0是最小的整数，错误，因为整数包括正整数、0和负整数； B、任何数的绝对值都是正数，错误，因为0的绝对值是0； C、﹣a是负数，错误，例如a＝﹣2时，﹣a＝2是正数； D、绝对值等于它本身的数是正数和0，正确； 故选：D． 5．对于下列各数：﹣5，0，，﹣0.2，10%，8，其中说法错误的是（　　） A．﹣5，0，8都是整数 B．分数有，﹣0.2，10% C．正数有，10%，8 D．﹣0.2是负有理数，但不是分数 【分析】根据有理数分类的相关知识逐项分析判断即可． 【解答】解：A．﹣5，0，8都是整数，该说法正确，不符合题意； B．分数有，﹣0.2，10%，该说法正确，不符合题意； C．正数有，10%，8，该说法正确，不符合题意； D．﹣0.2是负有理数，也是分数，本选项说法不正确，符合题意． 故选：D． 6．下列说法中，错误的是（　　） A．所有整数都是有理数 B．所有小数都是有理数 C．所有分数都是有理数 D．π不是有理数 【分析】整数和分数统称为有理数，据此逐项判断即可． 【解答】解：所有整数都是有理数，则A不符合题意； 无限不循环小数不属于有理数，则B符合题意； 所有分数都是有理数，则C不符合题意； π是无限不循环小数，它不是有理数，则D不符合题意； 故选：B． 7．从一批乒乓球中挑选4个球编号后进行称重检查，结果如下（超过标准质量的记为正数，不足的克数记为负数，单位：g），其中最接近标准质量的球是（　　） 编号 1 2 3 4 检查结果 +0.02 ﹣0.01 ﹣0.05 +0.04 A．1号球 B．2号球 C．3号球 D．4号球 【分析】本题先求解各数的绝对值后，再比较绝对值的大小即可求得答案． 【解答】解：各数的绝对值分别为：0.02，0.01，0.05，0.04， ∴绝对值最小的是0.01， ∴最接近标准质量的球是2号球． 故选：B． 8．下列说法不正确的是（　　） A．有理数包括正数与负数 B．所有的正整数都是整数 C．零既不是正整数，也不是负整数 D．整数和分数统称为有理数 【分析】根据有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数．即可作出判断． 【解答】解：A．有理数包括：正有理数、0、负有理数，此选项说法错误，符合题意； B、C、D选项说法都是正确的，不符合题意的． 故选：A． 9．下列说法正确的是（　　） A．正数和负数统称有理数 B．0是整数，但不是正数 C．0是最小的有理数 D．整数包括正整数和负整数 【分析】根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）． 【解答】解：A、正数、负数和0统称有理数．故本选项错误； B、0既不是正数，也不是负数，但0是整数，故本选项正确； C、0是最小的整数，不是最小的有理数，故本选项错误； D、整数包括正整数、负整数和零．故本选项错误； 故选：B． 10．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据有理数定义及其分类解答即可． 【解答】解：①没有最小的整数，故①错误，不符合题意； ②有理数包括正有理数、0、负有理数，故②错误，不符合题意； ③非负数就是正数和0，故③正确，符合题意； ④整数和分数统称有理数，故④正确，符合题意； 故选：C． 11．在3，﹣0.01，0，﹣2，+8，，﹣100中，负分数有 　1　个． 【分析】根据负分数的定义即可得出结论． 【解答】解：在数3，﹣0.01，0，﹣2，+8，，﹣100中，﹣0.01是负分数，共1个． 故答案为：1． 12．在﹣15，，﹣0.23，0.51，0，7.6，2，﹣，314%中，非负数有 　6　个． 【分析】利用有理数的定义判断． 【解答】解：在﹣15，，﹣0.23，0.51，0，7.6，2，﹣，314%中， 非负数有，0.51，0，7.6，2，314%共计6个． 故答案为：6． 13．，﹣0.010010001，π，﹣8，，15，300%，其中正整数有a个，有理数有b个，则a+b＝　8　． 【分析】根据有理数的分类及定义求得a，b的值，将其代入a+b中计算即可． 【解答】解：2.，﹣0.010010001，﹣8，，15，300%是有理数，共6个， 15，300%＝3，是正整数，共2个， 则a＝2，b＝6， 那么a+b＝2+6＝8， 故答案为：8． 14．据介绍，我国计划2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验．月球表面没有大气层保温，昼夜温差非常大．面对太阳的一面温度可以达到零上127℃，记作+127℃，背向太阳的一面温度可以达到零下183℃，记作 　﹣183　℃． 【分析】根据正负数的意义求解即可． 【解答】解：面对太阳的一面温度可以达到零上127℃，记作+127℃，背向太阳的一面温度可以达到零下183℃，记作﹣183℃． 故答案为：﹣183． 15．小明和小佳是同班同学．放学后，两人同时从学校大门处向相反方向回家，小明向北走了800m记作“+800m”，小佳走的路程记作“﹣600m”．这时两人相距 　1400　m． 【分析】根据题意，因为他们行驶的方向相反，所以把两人各自行驶的路程相加即是两人相距的距离． 【解答】解：800+600＝1400（m）， 答：这时两人相距1400m． 故答案为：1400． 16．把下列各数填到相应的集合中． 1，，0.5，+7，0，﹣π，﹣6.4，﹣9，，0.3，5%，﹣26，1.010010001…． 正数集合：{ 　1，，0.5，+7，，0.3，5%，1.010010001…　…}； 负数集合：{ 　﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26　…}； 整数集合：{ 　1，+7，0，﹣9，﹣26　…}； 分数集合：{ 　，0.5，﹣6.4，，0.3，5%　…}． 【分析】利用正数，负数，整数以及分数定义判断即可． 【解答】解：正数集合：{1，，0.5，+7，，0.3，5%，1.010010001…}； 负数集合：{﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26}； 整数集合：{1，+7，0，﹣9，﹣26}； 分数集合：{，0.5，﹣6.4，，0.3，5%}． 故答案为：1，，0.5，+7，，0.3，5%，1.010010001…； ﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26； 1，+7，0，﹣9，﹣26； ，0.5，﹣6.4，，0.3，5%． 17．将下列有理数填入图中相应的圈内： ，0，﹣1，2，0.5， 【分析】利用有理数的分类，以及各自的定义即可得到结果． 【解答】解：如图： 18．近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师家买了一辆新能源汽车．王老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以20km为基准，超出记为正，不足记为负），如表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程（km） ﹣3 ﹣4 +2 0 +7 +35 +23 （1）该汽车行驶路程最多的一天是 　星期六　，这一天的实际行驶路程是 　55　km． （2）若该新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费． 【分析】（1）根据题意及正数与负数的含义进行分析求解即可； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解． 【解答】解：（1）七天中，行驶路程最多的一天是星期六， 这一天的实际行驶路程是：20+35＝55km， 故答案为：星期六，55； （2）15×0.5×（20×7﹣3﹣4+2+0+7+35+23）÷100＝15元， 答：小明家这一星期的汽车的电费为15元． 19．黑土地是世界上最肥沃的土壤，有“一两土二两油”的比喻．东北黑土地地处世界“黄金玉米带”．每年产生的玉米秸秆达上亿吨．某农户现有20袋玉米秸秆，以每袋10kg为标准质量，超过的质量用正数表示，不足的质量用负数表示，称重后记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） ﹣0.8 ﹣0.5 ﹣0.3 0 0.4 0.5 袋数 1 4 2 3 2 8 （1）这20袋玉米秸秆中，质量最大是 　10.5　千克； （2）与标准质量相比，这20袋玉米秸秆总计多少千克？ 【分析】（1）根据题意，以每袋10kg为标准质量，超过的质量用正数表示，不足的质量用负数表示，因此质量最大是10+0.5＝10.5（kg）； （2）根据题意，与标准质量相比的总差值为：（﹣0.8）×1+（﹣0.5）×4+（﹣0.3）×2+0.4×2+0.5×8＝1.49（kg），则20袋玉米秸秆总计10×20+1.4＝201.4（kg）． 【解答】解：（1）10+0.5＝10.5（kg）， 故答案为：10.5． （2）（﹣0.8）×1+（﹣0.5）×4+（﹣0.3）×2+0.4×2+0.5×8＝1.49（kg）， 10×20+1.4＝201.4（kg）， 答：与标准质量相比，这20袋玉米秸秆总计201.4千克． 20．小王在网店上销售文旦，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，如表是小王第一周文旦的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文旦销售超过或不足计划量情况（单位：千克） +3 ﹣5 ﹣2 +11 ﹣7 +13 +5 （1）小王第一周销售文旦最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ （2）小王第一周实际销售文旦的总量是多少千克？ （3）若文旦售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文旦销售收入共多少元？ 【分析】（1）分别第一周销售文旦最多的一天比最少的一天的销售量，再相减即可； （2）利用表格中的数据先计算超出或不足的质量，再加上7天的标准质量即可求出总质量； （3）根据“总利润＝单件利润×总销售量”即可求解． 【解答】解：（1）根据表格可知，实际每天销售量最多超过+13千克，实际每天销售量最少低7千克， ∴13﹣（﹣7）＝13+7＝20（千克）， 答：小王第一周销售文旦最多的一天比最少的一天多销售20千克； （2）小王第一周实际销售文旦的总量是： 3﹣5﹣2+11﹣7+13+5+100×7＝18+700＝718（千克）， 答：小王第一周实际销售文旦的总量是718千克； （3）小王这一周文旦销售收入共： 718×（8﹣3）＝718×5＝3590（元）， 答：小王这一周文旦销售收入共3590元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 有理数 课程标准 学习目标 ①有理数的认识 ②有理数的分类 1. 掌握有理数及其有理数的分类，能够熟练的判断有理数的类型以及熟练的对其进行分类。 2. 能够对有理数熟练的应用。 知识点01 有理数的定义 1. 有理数的相关概念： 有理数： 与 统称为有理数。 整数包含 、 、 。 分数包含 与 。 自然数： 与 都是自然数。 非负数包含 与 。 非负整数包含 和 。 知识点02 有理数的分类 1. 有理数按定义分类： 2. 有理数按正负分类： 【即学即练1】 1．把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）：﹣18，3.14，0，2024，，80%，，﹣（﹣5），﹣（﹣7）． 负整数集合{ 　 　…} 整数集合{ 　 　…} 正分数集合{ 　 　…} 非负整数集合{ 　 　…} 有理数{ 　 　…} 【即学即练2】 2．下列说法正确的是（　　） A．一个有理数不是正数就是负数 B．分数包括正分数、负分数和零 C．有理数分为正有理数、负有理数和零 D．整数包括正整数和负整数 题型01 有理数的认识 【典例1】下列各数中，是有理数的是（　　） A． B．π C． D． 【变式1】在1.5，﹣2，，﹣0.7，6，15%中，负分数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．自然数就是非负整数 B．正数和负数统称为有理数 C．零是最小的有理数 D．有最小的正整数，没有最大的负整数 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．所有的整数都是正数 B．整数和分数统称有理数 C．0是最小的有理数 D．零既可以是正整数，也可以是负整数 【变式4】下列说法中正确的是（　　） A．一个有理数不是正数就是负数 B．正整数与负整数统称为整数 C．正分数、0、负分数统称为分数 D．正整数与正分数统称为正有理数 【变式5】下列说法正确的个数是（　　） ①0是最小的整数； ②一个有理数，不是正数就是负数； ③若a是正数，则﹣a是负数； ④自然数一定是正数； ⑤一个整数不是正的就是负的； ⑥一个有理数不是整数就是分数． A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 0的认识 【典例1】下列关于0的说法中错误的是（　　） A．0是绝对值最小的数 B．0的相反数是0 C．0是整数 D．0的倒数是0 【变式1】课堂上老师要求就数“0”发表自己的意见，四位同学共说了下列四句话：①0是整数，但不是自然数；②0既不是正数，也不是负数；③0不是整数，是自然数；④0没有实际意义．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0是整数 【变式3】零是（　　） A．最小的整数 B．最小的正数 C．最小的有理数 D．最小的非负整数 【变式4】下列关于零的说法中，正确的个数是（　　） ①零是正数；②零是负数；③零既不是正数，也不是负数；④零仅表示没有． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03 对有理数进行分类 【典例1】把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ﹣11，，﹣9，0，+12，﹣6.4，﹣π，﹣4%． （1）整数集合：{　 　…}； （2）分数集合：{　 　…}； （3）非负整数集合：{　 　…}； （4）负有理数集合：{　 　…}． 【变式1】把下列各数分别填入相应的大括号内： ﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣，12% 整数集合{ 　 　…}； 正分数集合{ 　 　…}； 非正整数集合{ 　 　…}； 有理数集合{ 　 　…}． 【变式2】把下列各数填在相应的集合中： 15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，． 正数集合{　 …}； 负分数集合{　 …}； 非负整数集合{　 　…}； 有理数集合{　 　…}． 【变式3】把下列各数分别填入相应的大括号内： 自然数集合{　 　}； 整数集合{　 　}； 正分数集合{　 　}； 非正数集合{　 　}； 有理数集合{　 　}． 【变式4】把下列各数填入相应的大括号内：﹣13.5，0，+27，﹣，，﹣10，3.14 （1）正数集合：{ 　 　……} （2）负数集合：{ 　 　……} （3）整数集合：{ 　 　……} （4）分数集合：{ 　 　……} （5）非负整数集合：{ 　 ……} 题型04 对“非”字的有理数的理解 【典例1】在数﹣5.2，0，，2011，﹣71，3.14中，非负整数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】在+8，0，，，2023，﹣5，0.26，11.3中，非负整数有 　 　个． 【变式2】在有理数﹣3，0，，，3.7，﹣2.5中，非负数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】在﹣5，2.3，0，π，五个数中，非负有理数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】有理数﹣3，0.618，中，非正数的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 1．下列各数中，负整数是（　　） A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣2.5 2．下列四个有理数中，既是分数又是正数的是（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．2.4 3．在3.14，，0，，0.1010010001中有理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列说法正确的是（　　） A．0是最小的整数 B．任何数的绝对值都是正数 C．﹣a是负数 D．绝对值等于它本身的数是正数和0 5．对于下列各数：﹣5，0，，﹣0.2，10%，8，其中说法错误的是（　　） A．﹣5，0，8都是整数 B．分数有，﹣0.2，10% C．正数有，10%，8 D．﹣0.2是负有理数，但不是分数 6．下列说法中，错误的是（　　） A．所有整数都是有理数 B．所有小数都是有理数 C．所有分数都是有理数 D．π不是有理数 7．从一批乒乓球中挑选4个球编号后进行称重检查，结果如下（超过标准质量的记为正数，不足的克数记为负数，单位：g），其中最接近标准质量的球是（　　） 编号 1 2 3 4 检查结果 +0.02 ﹣0.01 ﹣0.05 +0.04 A．1号球 B．2号球 C．3号球 D．4号球 8．下列说法不正确的是（　　） A．有理数包括正数与负数 B．所有的正整数都是整数 C．零既不是正整数，也不是负整数 D．整数和分数统称为有理数 9．下列说法正确的是（　　） A．正数和负数统称有理数 B．0是整数，但不是正数 C．0是最小的有理数 D．整数包括正整数和负整数 10．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 11．在3，﹣0.01，0，﹣2，+8，，﹣100中，负分数有 　 　个． 12．在﹣15，，﹣0.23，0.51，0，7.6，2，﹣，314%中，非负数有 　 　个． 13．，﹣0.010010001，π，﹣8，，15，300%，其中正整数有a个，有理数有b个，则a+b＝　 　． 14．据介绍，我国计划2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验．月球表面没有大气层保温，昼夜温差非常大．面对太阳的一面温度可以达到零上127℃，记作+127℃，背向太阳的一面温度可以达到零下183℃，记作 　 　℃． 15．小明和小佳是同班同学．放学后，两人同时从学校大门处向相反方向回家，小明向北走了800m记作“+800m”，小佳走的路程记作“﹣600m”．这时两人相距 　 　m． 16．把下列各数填到相应的集合中． 1，，0.5，+7，0，﹣π，﹣6.4，﹣9，，0.3，5%，﹣26，1.010010001…． 正数集合：{ 　 　…}； 负数集合：{ 　 　…}； 整数集合：{ 　 　…}； 分数集合：{ 　 　…}． 17．将下列有理数填入图中相应的圈内： ，0，﹣1，2，0.5， 18．近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师家买了一辆新能源汽车．王老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以20km为基准，超出记为正，不足记为负），如表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程（km） ﹣3 ﹣4 +2 0 +7 +35 +23 （1）该汽车行驶路程最多的一天是 　 　，这一天的实际行驶路程是 　 　km． （2）若该新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费． 19．黑土地是世界上最肥沃的土壤，有“一两土二两油”的比喻．东北黑土地地处世界“黄金玉米带”．每年产生的玉米秸秆达上亿吨．某农户现有20袋玉米秸秆，以每袋10kg为标准质量，超过的质量用正数表示，不足的质量用负数表示，称重后记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） ﹣0.8 ﹣0.5 ﹣0.3 0 0.4 0.5 袋数 1 4 2 3 2 8 （1）这20袋玉米秸秆中，质量最大是 　10.5　千克； （2）与标准质量相比，这20袋玉米秸秆总计多少千克？ 20．小王在网店上销售文旦，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，如表是小王第一周文旦的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文旦销售超过或不足计划量情况（单位：千克） +3 ﹣5 ﹣2 +11 ﹣7 +13 +5 （1）小王第一周销售文旦最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ （2）小王第一周实际销售文旦的总量是多少千克？ （3）若文旦售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文旦销售收入共多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $