第05讲 绝对值和有理数的大小比较（4个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第05讲 绝对值和有理数的大小比较 课程标准 学习目标 ①绝对值的定义与数的绝对值 ②绝对值的性质 ③求式子的绝对值 ④有理数的大小比较 1. 掌握绝对值的定义并能够熟练的求一个数的绝对值。 2. 掌握绝对值的性质并解决相关题目。 3. 掌握求式子的绝对值的方法并能够熟练的求式子的绝对值。 4. 掌握有理数比较大小的方法，能够熟练的比较有理数的大小。 知识点01 绝对值的定义与数的绝对值 1. 绝对值的定义： 一般地，数轴上表示数的点到 原点 的距离就是数的绝对值。数的绝对值记作 || ，读作 数的绝对值 。 2. 求一个数的绝对值： 由绝对值的定义可知，一个正数的绝对值是 本身 ，一个负数的绝对值是 它的相反数 ，0的绝对值是 0 。 【即学即练1】 1．的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据绝对值的性质进行解题即可． 【解答】解：|﹣|＝． 故选：C． 知识点02 绝对值的性质 1. 绝对值的非负性： 由定义可知，绝对值表示到原点的距离，所以不能为 负数 。所以绝对值是一个 非负数 ，所以绝对值具有 非负性 。即|| ≥ 0。 考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数一定分别等于0。 即：若||＋||＋...＋||＝0，则一定有 ＝＝...＝＝0 。 2. 绝对值与数轴： 在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就 越小 ，一个数离原点越远，绝对值 越大 。 3. 绝对值与相反数： ①数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的绝对值 相等 。即若与互为相反数，则|| ＝ ||。 ②绝对值等于某个正数的数一定有 两个 ，它们 互为相反数 。即若||=，则 ＝ ＋ 或﹣。 ③绝对值相等的两个数要么 相等 ，要么 互为相反数 。即若||＝||，则有 ＝ 或 ＝﹣ 。 【即学即练1】 2．若|x﹣2|+|2y﹣6|＝0，则x+y的值为（　　） A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣6 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，2y﹣6＝0， 解得x＝2，y＝3， 所以x+y＝3+2＝5． 故选：B． 【即学即练2】 如图，数轴上有四个点A，B，C，D分别对应四个有理数，若点B，D表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】先根据相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定表示绝对值最小的数的点即可． 【解答】解：因为点B，D表示的有理数互为相反数， 所以原点的位置在线段BD的中点处， ∵离原点越近的点表示的数绝对值越小， ∴表示绝对值最小的数的点是C点． 故选：C． 【即学即练3】 一个数的绝对值是5，则这个数是（　　） A．|5| B．5 C．﹣5 D．±5 【分析】根据绝对值的性质进行解题即可． 【解答】解：∵|a|＝5， ∴a＝±5． 故选：D． 【即学即练4】 已知a＝﹣5，|a|＝|b|，则b的值为（　　） A．±5 B．﹣5 C．+5 D．0 【分析】已知a＝﹣5，|a|＝|b|，即|b|＝5，而绝对值是5的数有两个，这两个互为相反数，是±5． 【解答】解：|b|＝|a|＝|﹣5|＝5， 则b＝±5． 故选：A． 知识点03 求式子的绝对值 1. 求一个式子的绝对值： 正数的绝对值等于它 本身 ，0的绝对值等于 0 ，负数的绝对值等于 它的相反数 。求一个式子的绝对值先判断式子与 0 的大小关系，再对式子进行求绝对值。若式子大于等于0，则去掉绝对值符号等于 它本身 ，若式子小于等于0，去掉绝对值符号等于 它的相反数 。即：。反之，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数 大于等于 0，解||=，则 ≥ 0，若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数 小于等于 0。||=﹣，则 ≤ 0。 【即学即练1】 若|a|＝a，则a的取值范围是 　a≥0　；若|a|＝﹣a，则a的取值范围是 　a≤0　． 【分析】直接利用绝对值的定义得出答案． 【解答】解：若|a|＝a，则a的取值范围是a≥0； 若|a|＝﹣a，则a的取值范围是a≤0． 故答案为：a≥0；a≤0． 知识点04 有理数的大小比较 1. 有理数的大小比较： ①定义法：正数 ＞ 0，0 ＞ 负数，所以正数 ＞ 负数。负数与负数进行比较时，绝对值大的负数反而 小 。 ②数轴比较法：数轴上右边所表示的数一定 ＞ 数轴上左边所表示的数。 ③两个负数进行比较时，绝对值大的数反而 小 。 【即学即练1】 画数轴，然后在数轴上表示下列各数，并用＜号将各数连接起来． 2.5、﹣2、﹣（﹣3）、0、|﹣1.5|、4 【分析】先化简，再在数轴上表示各个数，再比较大小即可． 【解答】解：﹣（﹣3）＝3、|﹣1.5|＝1.5， 如图所示： 用＜号将各数连接起来为：﹣2＜0＜|﹣1.5|＜2.5＜﹣（﹣3）＜4． 【即学即练2】 8．如图，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，下列关系正确的是（　　） A．c＞a＞0＞b B．a＞b＞0＞c C．b＞0＞a＞c D．b＞0＞c＞a 【分析】数轴上的数，右边的数总比左边的数大，利用这个特点可比较四个数的大小． 【解答】解：∵数轴上的数，右边的数总比左边的数大， ∴b＞0＞a＞c． 故选：C． 题型01 求数或式子的绝对值 【典例1】﹣2024的绝对值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【分析】根据绝对值的意义解答即可． 【解答】解：﹣2024的绝对值是2024． 故选：A． 【变式1】计算|﹣2|的值是（　　） A．﹣2 B．﹣ C． D．2 【分析】一个负数的绝对值是它的相反数． 【解答】解：|﹣2|的值是2． 故选：D． 【变式2】若a＜0，则a+|a|的值等于（　　） A．2a B．0 C．﹣2a D．a 【分析】利用绝对值的意义化简运算即可． 【解答】解：∵a＜0， ∴|a|＝﹣a， ∴a+|a| ＝a﹣a ＝0． 故选：B． 【变式3】若ab≠0，那么+的取值不可能是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【分析】由ab≠0，可得：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；分别计算即可． 【解答】解：∵ab≠0， ∴有四种情况：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0； ①当a＞0，b＞0时， +＝1+1＝2； ②当a＜0，b＜0时， +＝﹣1﹣1＝﹣2； ③当a＞0，b＜0时， +＝1﹣1＝0； ④当a＜0，b＞0时， +＝﹣1+1＝0； 综上所述，+的值为：±2或0． 故选：C． 【变式4】已知ab＞0，则++＝（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣1 D．3或﹣3 【分析】利用绝对值的性质解答即可，分类讨论①ab同为正数时；②ab同为负数时，再代入即可． 【解答】解：∵ab＞0， ∴ab同号， ①ab同为正数时， 原式＝1+1+1＝3； ②ab同为负数时， 原式＝﹣1+（﹣1）+1＝1， 故选：C． 【变式5】若|3x﹣5|＝x+2，则x的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】根据|3x﹣5|＝x+2，可得3x﹣5＝x+2或﹣（3x﹣5）＝x+2，据此求出x的值即可． 【解答】解：∵|3x﹣5|＝x+2， ∴3x﹣5＝x+2或﹣（3x﹣5）＝x+2， 解得x1＝或x2＝． 故选：B． 题型02 绝对值的非负性 【典例1】已知|m﹣2|+|n﹣6|＝0，则m+n＝（　　） A．2 B．6 C．8 D．4 【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：由题意得，m﹣2＝0，n﹣6＝0， 解得m＝2，n＝6， 所以m+n＝2+6＝8． 故选：C． 【变式1】若|x﹣3|+|y+2|＝0，则|x|+|y|的值是（　　） A．5 B．1 C．2 D．0 【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，然后代入所求代数式中求解即可． 【解答】解：∵|x﹣3|+|y+2|＝0，∴x＝3，y＝﹣2；则|x|+|y|＝3+2＝5．故选A． 【变式2】若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 【分析】根据非负数互为相反数，可得这两个数为零，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数， ∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0， 又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0， 解得a＝1，b＝2， a+b＝1+2＝3． 故选：A． 【变式3】已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 　4　． 【分析】根据绝对值都是非负数，可得答案． 【解答】解：∵|a﹣2|≥0， ∴当a＝2时，|a﹣2|+4的最小值是4． 故答案为：4． 【变式4】若式子3|x﹣2|﹣4有最小值，则该最小值为 　﹣4　． 【分析】根据绝对值的非负性解答即可． 【解答】解：∵3|x﹣2|≥0， ∴3|x﹣2|﹣4≥﹣4， ∴3|x﹣2|﹣4有最小值，最小值为﹣4． 故答案为：﹣4． 【变式5】当a＝　1　时，|1﹣a|+5会有最小值，且最小值是 　5　． 【分析】先根据非负数的性质求出a的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵|1﹣a|≥0， ∴当1﹣a＝0时，|1﹣a|+5会有最小值， ∴当a＝1时，|1﹣a|+5会有最小值，且最小值是5． 故答案为：1，5． 题型03 根据绝对值的意义求字母的取值范围 【典例1】当|x|＝﹣x时，则x一定是（　　） A．负数 B．正数 C．负数或0 D．0 【分析】根据绝对值的意义得到x≤0． 【解答】解：∵|x|＝﹣x， ∴x≤0． 故选：C． 【变式1】若|1﹣a|＝a﹣1，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1 【分析】根据|1﹣a|＝a﹣1得到1﹣a≤0，从而求得答案． 【解答】解：∵|1﹣a|＝a﹣1， ∴1﹣a≤0， ∴a≥1， 故选：B． 【变式2】若|a﹣5|＝a﹣5，则a的取值范围为（　　） A．a≤5 B．a＜5 C．a≥5 D．a＞5 【分析】利用绝对值的定义计算并判断． 【解答】解：∵|a﹣5|＝a﹣5， ∴a﹣5≥0， ∴a≥5， 故选：C． 【变式3】若|a|＞a，则a是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【分析】根据绝对值的意义由|a|＞a得到a＜0． 【解答】解：∵|a|＞a， ∴a＜0． 故选：B． 题型04 绝对值与相反数 【典例1】若|x|＝3，则x＝　±3　． 【分析】根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：∵|x|＝3， ∴x＝±3． 故答案为：±3． 【变式1】若|x|＝|﹣7|，则x＝　±7　；若|x﹣7|＝2，则x＝　9或5　． 【分析】根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：因为|+7|＝7，|﹣7|＝7，且|x|＝7，所以x＝±7； 因为|x﹣7|＝2，故x﹣7＝±2，解得x＝9或x＝5． 故答案为：±7、9或5； 【变式2】如果|a|＝3，|b|＝1，且a＞b，那么a的值为　3　，b的值为　±1　． 【分析】根据绝对值的性质求出a、b，再根据a＞b解答即可． 【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝1， ∴a＝±3，b＝±1， ∵a＞b， ∴a＝3，b＝±1． 故答案为：3，±1． 【变式3】如果|a|＝|b|，那么a、b的关系是（　　） A．a＝b B．a＝﹣b C．相等或互为相反数 D．a、b均为0 【分析】根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：根据绝对值性质可知，若|a|＝|b|，则a与b相等或互为相反数． 故选：C． 【变式4】已知2x﹣3的绝对值与x+6的绝对值相等，则x的相反数为（　　） A．9 B．1 C．1或﹣9 D．9或﹣1 【分析】两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，由此即可解决问题． 【解答】解：∵|2x﹣3|＝|x+6|， ∴2x﹣3＝x+6，或2x﹣3＝﹣（x+6）， ∴x＝9或x＝﹣1， ∴x的相反数是﹣9或1． 故选：C． 题型05 绝对值与数轴 【典例1】a、b是有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据绝对值的定义和数轴的定义解答此题即可． 【解答】解：|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|， ∴a≤0，b≥0，|a|＞|b|， 故选：A． 【变式1】已知a，b有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中正确的是（　　） A．a＞b B．|a|＜|b| C．ab＞0 D．﹣a＞b 【分析】根据数轴上的点表示的数以及大小关系、有理数的乘法法则、绝对值等知识逐一分析即可． 【解答】由数轴可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|， A．由a＜0，b＞0，得a＜b，所以A错误，不符合题意； B．由数轴可知|a|＞|b|，所以B错误，不符合题意； C．由a＜0，b＞0，得ab＜0，所以C错误，不符合题意； D．由a＜﹣1，得﹣a＞1，又因为b＜1，所以﹣a＞b，所以D正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（　　） A．a＞﹣1 B．b＜1 C．|a|＜|b| D．﹣a＜﹣b 【分析】由有理数a，b在数轴上的对应点的位置，即可判断． 【解答】解：A、a＜﹣1，故A不符合题意； B、b＜1，正确，故B符合题意； C、|a|＞|b|，故C不符合题意； D、﹣a＞﹣b，故D不符合题意， 故选：B． 题型06 绝对值的化简 【典例1】已知|m|＝﹣m，化简|m﹣1|﹣|m﹣2|所得的结果为（　　） A．2m﹣3 B．﹣1 C．1 D．2m﹣1 【分析】由|m|＝﹣m，得到m≤0，判断出m﹣1 与m﹣2的正负，然后利用绝对值的性质化简，去括号，合并，即可得到结果． 【解答】解：∵|m|＝﹣m， ∴m≤0， ∴m﹣1＜0，m﹣2＜0， ∴|m﹣1|﹣|m﹣2|＝﹣（m﹣1）+（m﹣2）＝1﹣m+m﹣2＝﹣1． 故选：B． 【变式1】若2＜a＜4，则|2﹣a|+|4﹣a|等于（　　） A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．6﹣2a 【分析】由2＜a＜4可得出2﹣a＜0、4﹣a＞0，再根据绝对值的定义即可得出|2﹣a|+|4﹣a|的值． 【解答】解：∵2＜a＜4， ∴2﹣a＜0，4﹣a＞0， ∴|2﹣a|+|4﹣a|＝a﹣2+4﹣a＝2． 故选：A． 【变式2】已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣1|+|a|的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1 【分析】先根据点a在数轴上位置确定a的取值范围，再根据绝对值的性质把原式化简即可． 【解答】解：∵由数轴上a点的位置可知，0＜a＜1， ∴a﹣1＜0， ∴原式＝1﹣a+a＝1． 故选：A． 【变式3】数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简a﹣|b﹣a|＝　b　． 【分析】由图先判断a，b的正负值和大小关系，再去绝对值求解． 【解答】解：由图可得，a＞0，b＜0，且|a|＞|b|， 则b﹣a＜0， a﹣|b﹣a|＝a+b﹣a＝b． 故本题的答案是b． 题型07 有理数的大小比较 【典例1】在数轴上标出表示下列各数的点，并用“＜”把下列各数连接起来．，3，﹣4，1，2.5． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵＝﹣＝﹣3.5， |﹣3.5|＝3.5，|﹣4|＝4， 3.5＜4， 在数轴上表示为： ∴． 故答案为：． 【变式1】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，b，﹣a，﹣b从大到小的顺序为 　b＞﹣a＞a＞﹣b．　． 【分析】根据相反数的意义，可得﹣a，﹣b，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大可得答案． 【解答】解：在数轴上表示﹣a，﹣b如图所示： 所以b＞﹣a＞a＞﹣b． 故答案为：b＞﹣a＞a＞﹣b． 1．在0，﹣2，﹣5，3这四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．﹣2 C．﹣5 D．3 【分析】根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可得出答案． 【解答】解：∵5＞2， ∴﹣5＜﹣2， ∴﹣5＜﹣2＜0＜3， ∴最小的数是﹣5． 故选：C． 2．﹣2024的绝对值的相反数是（　　） A． B． C．2024 D．﹣2024 【分析】由﹣2024的绝对值是2024．即可得﹣2024的绝对值的相反数是﹣2024． 【解答】解：由﹣2024的绝对值是2024． 得﹣2024的绝对值的相反数是﹣2024． 故选：D． 3．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和﹣2 B．+（﹣3）和﹣（+3） C．﹣（﹣7）和﹣|﹣7| D．﹣（﹣2）和2 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，解答即可． 【解答】解：A、和﹣2不互为相反数，故该选项错误； B、+（﹣3）＝﹣3，﹣（+3）＝﹣3，+（﹣3）和﹣（+3）不互为相反数，故该选项错误； C、﹣（﹣7）＝7，﹣|﹣7|＝﹣7，﹣（﹣7）和﹣|﹣7|互为相反数，故该选项正确； D、﹣（﹣2）＝2，﹣（﹣2）和2不互为相反数，故该选项错误； 故选：C． 4．下列各组数中，大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】有理数大小比较的法则：（1）正数＞0＞负数；（2）两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答】解：∵， ∴． 故选：C． 5．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A．a＜﹣a＜b B．﹣a＜b＜a C．﹣a＜a＜b D．b＜﹣a＜a 【分析】根据图示，可得a＜0＜b，且|a|＜|b|，据此把a，﹣a，b按照从小到大的顺序排列即可． 【解答】解：根据图示，可得a＜0＜b，且|a|＜|b|， ∴﹣a＜b； ∵a＜0， ∴﹣a＞0， ∴a＜﹣a； ∴把a，﹣a，b按照从小到大的顺序排列为a＜﹣a＜b． 故选：A． 6．绝对值小于3的非负整数有（　　）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据绝对值的性质即可得． 【解答】解：绝对值小于3的非负整数有0，1，2，共有3个， 故选：B． 7．若a、b为有理数，a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（　　） A．﹣b＜a＜b＜﹣a B．b＜﹣b＜a＜﹣a C．a＜﹣b＜b＜﹣a D．a＜b＜﹣b＜﹣a 【分析】根据a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，可得﹣a＞0，﹣b＜0，﹣a＞b，据此判断出b，﹣a，﹣b的大小关系即可． 【解答】解：∵a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， ∴﹣a＞0，﹣b＜0，﹣a＞b， ∴a＜﹣b， ∴a＜﹣b＜b＜﹣a． 故选：C． 8．如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2023 B．4046 C．20 D．0 【分析】根据绝对值的非负性，可知|x﹣2023|≥0，得出式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，即可选出答案． 【解答】解：∵绝对值具有非负性， ∴|x﹣2023|≥0， ∵2023﹣|x﹣2023|有最大值， ∴当|x﹣2023|＝0时，式子有最大值，此时的值是2023，故A正确． 故选：A． 9．若|a﹣4|与|3+b|的值互为相反数，则a、b的值分别为（　　） A．a＝﹣4，b＝﹣3 B．a＝﹣4，b＝3 C．a＝4，b＝3 D．a＝4，b＝﹣3 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值即可得解． 【解答】解：由题意得，a﹣4＝0，3+b＝0， 解得a＝4，b＝﹣3． 故选：D． 10．如图所示，则|﹣3﹣a|﹣|b+1|等于（　　） A．4+a﹣b B．2+a﹣b C．﹣4﹣a﹣b D．﹣2﹣a+b 【分析】先根据数轴判断﹣3﹣a和b+1的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可． 【解答】解：由数轴可知，﹣1＜a＜0，b＞1， ∴﹣3＜﹣3﹣a＜﹣2，b+1＞0， ∴|﹣3﹣a|﹣|b+1| ＝（3+a）﹣（b+1） ＝3+a﹣b﹣1 ＝2+a﹣b． 故选：B． 11．比较大小：﹣|﹣5|　＜　﹣（﹣5.4）（填“＞”，“＜”，或“＝”）． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】∵＝﹣，﹣（﹣5.4）＝5.4， ∴＜﹣（﹣5.4）． 故答案为：＜． 12．|3﹣π|﹣|4﹣π|＝　2π﹣7　． 【分析】根据绝对值的定义即可得． 【解答】解：|3﹣π|﹣|4﹣π|＝π﹣3﹣4+π＝2π﹣7； 故答案为：2π﹣7． 13．|x﹣2|+|x+4|＝6，则x的取值范围是　﹣4≤x≤2　． 【分析】|x﹣2|+|x+4|＝6可看作数轴到表示2与﹣4的点的距离等于6的点的集合． 【解答】解：由绝对值的意义可知：|x﹣2|+|x+4|＝6表示数轴上某点到表示2与﹣4的点的距离等于6的点的集合． 故此x的取值范围是：﹣4≤x≤2． 故答案为：﹣4≤x≤2． 14．非零整数m，n满足|m|+|n|＝5，所有这样的整数组（m，n）共有 　16　组． 【分析】等式变形，利用绝对值的代数意义判断即可得到结果． 【解答】解：已知等式变形得：|m|+|n|＝5， 当|m|＝1时，|n|＝4；当|m|＝2时，|n|＝3；当|m|＝3时，|n|＝2；当|m|＝4时，|n|＝1， 此时整数组为（1，4），（1，﹣4），（﹣1，4），（﹣1，﹣4），（2，3），（2，﹣3），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（3，2），（3，﹣2），（﹣3，2），（﹣3，﹣2），（4，1），（4，﹣1），（﹣4，1），（﹣4，﹣1），共16组， 故答案为：16． 15．已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为 　3或1或﹣1或﹣3　． 【分析】根据题意进行分类，再根据绝对值的定义解决此题． 【解答】解：当a、b与c均为正数时，即a＞0，b＞0，c＞0，则＝． 当a、b与c中有两个正数时，假设a＞0，b＞0，c＜0，则＝＝1． 当a、b与c中有一个正数时，假设a＞0，b＜0，c＜0，则＝＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1． 当a、b与c中没有正数时，假设a＜0，b＜0，c＜0，则＝＝﹣1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣3． 综上：的值为3或1或﹣1或﹣3． 故答案为：3或1或﹣1或﹣3． 16．如图是一个不完整的数轴， （1）请将数轴补充完整，并将下列各数表示在数轴上； （2）将下列各数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来：﹣3；3.5；；﹣|﹣1|． 【分析】（1）先规定向右为正方向，以及单位长度，再化简绝对值和多重符号，最后表示出各数即可； （2）根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【解答】解：（1），﹣|﹣1|＝﹣1， （2）由数轴可得，． 17．（1）如果|a|＝5，|b|＝2，且a，b异号，求a、b的值． （2）若|a|＝5，|b|＝1，且a＜b，求a，b的值． 【分析】（1）根据绝对值的性质得出a、b 的值，再根据a，b异号即可得出答案； （2）根据绝对值的性质得出a、b 的值，再根据a＜b即可得出答案． 【解答】解：（1）∵|a|＝5，|b|＝2， ∴a＝±5，b＝±2， ∵a，b异号， ∴a＝5，b＝﹣2，或a＝﹣5，b＝2； （2）∵|a|＝5，|b|＝1， ∴a＝±5，b＝±1， ∵a＜b， ∴a＝﹣5，b＝﹣1，或a＝﹣5，b＝1． 18．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示： （1）比较a、﹣a、c、﹣c的大小，并按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接起来； （2）化简：|c﹣a|﹣|a﹣b|+|b﹣c|． 【分析】（1）根据a、b、c在数轴上的位置和相反数的意义解答即可； （2）先判断绝对值里面式子的正负，再化简绝对值，然后合并同类项． 【解答】解：（1）∵a＜b＜0＜c，|a|＞|c|， ∴a＜﹣c＜c＜﹣a； （2）∵a＜b＜0＜c， ∴c﹣a＞0，a﹣b＜0，b﹣c＜0 ∴|c﹣a|﹣|a﹣b|+|b﹣c| ＝c﹣a+（a﹣b）﹣（b﹣c） ＝c﹣a+a﹣b﹣b+c ＝2c﹣2b． 19．对于任意两个数a，b的大小比较，有下面的方法： 当a﹣b＞0时，一定有a＞b； 当a﹣b＝0时，一定有a＝b； 当a﹣b＜0时，一定有a＜b． 我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． （1）分别求出图1中长方形的周长M和图2中长方形的周长N． （2）在（1）的条件下，若b＞c，用“作差法”比较M、N的大小． 【分析】（1）根据长方形的周长公式进行计算即可； （2）求出M﹣N的差，再判断其正负即可． 【解答】解：（1）M＝2（a+b+b+c）＝2a+4b+2c， N＝2（b+3c+a﹣c）＝2a+2b+4c； （2）M﹣N＝2b﹣2c＝2（b﹣c）， 因为b＞c， 所以b﹣c＞0， 所以M﹣N＞0， ∴M＞N． 20．对于有理数x，y，a，t，若|x﹣a|+|y﹣a|＝t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）﹣3和5关于2的“美好关联数”为 　8　； （2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； （3）若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于3的“美好关联数”为1，…，x40和x41关于41的“美好关联数”为1，…． ①x0+x1的最小值为 　1　； ②x1+x2+x3+……+x40的最小值为 　820　． 【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可； （2）利用新定义计算求未知数x； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、……、40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 【解答】解：（1）|﹣3﹣2|+|5﹣2|＝8， 故答案为：8； （2）∵x和2关于3的“美好关联数”为4， ∴|x﹣3|+|2﹣3|＝4， ∴|x﹣3|＝3， 解得x＝6或x＝0； （3）①∵x0和x1关于1的“美好关联数”为1， ∴|x0﹣1|+|x1﹣1|＝1， ∴在数轴上可以看作数x0到1的距离与数x1到1的距离和为1， ∴x0+x1有最小值1， 故答案为：1； ②由题意可知： |x1﹣2|+|x2﹣2|＝1， ∵1≤x1≤2，2≤x2≤3， ∴x1+x2的最小值1+2＝3； |x3﹣4|+|x4﹣4|＝1， ∵3≤x3≤4，4≤x4≤5， ∴x3+x4的最小值3+4＝7； 同理，|x5﹣6|+|x6﹣6|＝1，x5+x6的最小值5+6＝11； |x7﹣8|+|x8﹣8|＝1，x7+x8的最小值7+8＝15； ……； |x39﹣40|+|x40﹣40|＝1，x39+x40的最小值39+40＝79； ∴x1+x2+x3+……+x40的最小值： 3+7+11+15+……+79 ＝ ＝820． 故答案为：820． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 绝对值和有理数的大小比较 课程标准 学习目标 ①绝对值的定义与数的绝对值 ②绝对值的性质 ③求式子的绝对值 ④有理数的大小比较 1. 掌握绝对值的定义并能够熟练的求一个数的绝对值。 2. 掌握绝对值的性质并解决相关题目。 3. 掌握求式子的绝对值的方法并能够熟练的求式子的绝对值。 4. 掌握有理数比较大小的方法，能够熟练的比较有理数的大小。 知识点01 绝对值的定义与数的绝对值 1. 绝对值的定义： 一般地，数轴上表示数的点到 的距离就是数的绝对值。数的绝对值记作 ，读作 。 2. 求一个数的绝对值： 由绝对值的定义可知，一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值是 ，0的绝对值是 。 【即学即练1】 1．的值为（　　） A． B． C． D． 知识点02 绝对值的性质 1. 绝对值的非负性： 由定义可知，绝对值表示到原点的距离，所以不能为 。所以绝对值是一个 ，所以绝对值具有 。即|| 0。 考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数一定分别等于0。 即：若||＋||＋...＋||＝0，则一定有 。 2. 绝对值与数轴： 在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就 ，一个数离原点越远，绝对值 。 3. 绝对值与相反数： ①数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的绝对值 。即若与互为相反数，则|| ||。 ②绝对值等于某个正数的数一定有 ，它们 。即若||=，则 ＝ 。 ③绝对值相等的两个数要么 ，要么 。即若||＝||，则有 或 。 【即学即练1】 2．若|x﹣2|+|2y﹣6|＝0，则x+y的值为（　　） A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣6 【即学即练2】 如图，数轴上有四个点A，B，C，D分别对应四个有理数，若点B，D表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【即学即练3】 一个数的绝对值是5，则这个数是（　　） A．|5| B．5 C．﹣5 D．±5 【即学即练4】 已知a＝﹣5，|a|＝|b|，则b的值为（　　） A．±5 B．﹣5 C．+5 D．0 知识点03 求式子的绝对值 1. 求一个式子的绝对值： 正数的绝对值等于它 ，0的绝对值等于 ，负数的绝对值等于 。求一个式子的绝对值先判断式子与 的大小关系，再对式子进行求绝对值。若式子大于等于0，则去掉绝对值符号等于 ，若式子小于等于0，去掉绝对值符号等于 。 即：。反之，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数 0，解||=，则 0，若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数 0。||=﹣，则 0。 【即学即练1】 若|a|＝a，则a的取值范围是 　 　；若|a|＝﹣a，则a的取值范围是 　 　． 知识点04 有理数的大小比较 1. 有理数的大小比较： ①定义法：正数 0，0 负数，所以正数 负数。负数与负数进行比较时，绝对值大的负数反而 。 ②数轴比较法：数轴上右边所表示的数一定 数轴上左边所表示的数。 ③两个负数进行比较时，绝对值大的数反而 。 【即学即练1】 画数轴，然后在数轴上表示下列各数，并用＜号将各数连接起来． 2.5、﹣2、﹣（﹣3）、0、|﹣1.5|、4 【即学即练2】 8．如图，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，下列关系正确的是（　　） A．c＞a＞0＞b B．a＞b＞0＞c C．b＞0＞a＞c D．b＞0＞c＞a 题型01 求数或式子的绝对值 【典例1】﹣2024的绝对值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【变式1】计算|﹣2|的值是（　　） A．﹣2 B．﹣ C． D．2 【变式2】若a＜0，则a+|a|的值等于（　　） A．2a B．0 C．﹣2a D．a 【变式3】若ab≠0，那么+的取值不可能是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【变式4】已知ab＞0，则++＝（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣1 D．3或﹣3 【变式5】若|3x﹣5|＝x+2，则x的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 题型02 绝对值的非负性 【典例1】已知|m﹣2|+|n﹣6|＝0，则m+n＝（　　） A．2 B．6 C．8 D．4 【变式1】若|x﹣3|+|y+2|＝0，则|x|+|y|的值是（　　） A．5 B．1 C．2 D．0 【变式2】若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 【变式3】已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 　 　． 【变式4】若式子3|x﹣2|﹣4有最小值，则该最小值为 　 　． 【变式5】当a＝　 　时，|1﹣a|+5会有最小值，且最小值是 　 　． 题型03 根据绝对值的意义求字母的取值范围 【典例1】当|x|＝﹣x时，则x一定是（　　） A．负数 B．正数 C．负数或0 D．0 【变式1】若|1﹣a|＝a﹣1，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1 【变式2】若|a﹣5|＝a﹣5，则a的取值范围为（　　） A．a≤5 B．a＜5 C．a≥5 D．a＞5 【变式3】若|a|＞a，则a是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 题型04 绝对值与相反数 【典例1】若|x|＝3，则x＝　 　． 【变式1】若|x|＝|﹣7|，则x＝　 　；若|x﹣7|＝2，则x＝　 　． 【变式2】如果|a|＝3，|b|＝1，且a＞b，那么a的值为　 　，b的值为　 　． 【变式3】如果|a|＝|b|，那么a、b的关系是（　　） A．a＝b B．a＝﹣b C．相等或互为相反数 D．a、b均为0 【变式4】已知2x﹣3的绝对值与x+6的绝对值相等，则x的相反数为（　　） A．9 B．1 C．1或﹣9 D．9或﹣1 题型05 绝对值与数轴 【典例1】a、b是有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知a，b有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中正确的是（　　） A．a＞b B．|a|＜|b| C．ab＞0 D．﹣a＞b 【变式2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（　　） A．a＞﹣1 B．b＜1 C．|a|＜|b| D．﹣a＜﹣b 题型06 绝对值的化简 【典例1】已知|m|＝﹣m，化简|m﹣1|﹣|m﹣2|所得的结果为（　　） A．2m﹣3 B．﹣1 C．1 D．2m﹣1 【变式1】若2＜a＜4，则|2﹣a|+|4﹣a|等于（　　） A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．6﹣2a 【变式2】已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣1|+|a|的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1 【变式3】数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简a﹣|b﹣a|＝　 　． 题型07 有理数的大小比较 【典例1】在数轴上标出表示下列各数的点，并用“＜”把下列各数连接起来．，3，﹣4，1，2.5． 【变式1】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，b，﹣a，﹣b从大到小的顺序为 　 　． 1．在0，﹣2，﹣5，3这四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．﹣2 C．﹣5 D．3 2．﹣2024的绝对值的相反数是（　　） A． B． C．2024 D．﹣2024 3．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和﹣2 B．+（﹣3）和﹣（+3） C．﹣（﹣7）和﹣|﹣7| D．﹣（﹣2）和2 4．下列各组数中，大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 5．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A．a＜﹣a＜b B．﹣a＜b＜a C．﹣a＜a＜b D．b＜﹣a＜a 6．绝对值小于3的非负整数有（　　）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．若a、b为有理数，a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（　　） A．﹣b＜a＜b＜﹣a B．b＜﹣b＜a＜﹣a C．a＜﹣b＜b＜﹣a D．a＜b＜﹣b＜﹣a 8．如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2023 B．4046 C．20 D．0 9．若|a﹣4|与|3+b|的值互为相反数，则a、b的值分别为（　　） A．a＝﹣4，b＝﹣3 B．a＝﹣4，b＝3 C．a＝4，b＝3 D．a＝4，b＝﹣3 10．如图所示，则|﹣3﹣a|﹣|b+1|等于（　　） A．4+a﹣b B．2+a﹣b C．﹣4﹣a﹣b D．﹣2﹣a+b 11．比较大小：﹣|﹣5|　 　﹣（﹣5.4）（填“＞”，“＜”，或“＝”）． 12．|3﹣π|﹣|4﹣π|＝　 　． 13．|x﹣2|+|x+4|＝6，则x的取值范围是　 　． 14．非零整数m，n满足|m|+|n|＝5，所有这样的整数组（m，n）共有 　 　组． 15．已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为 　 　． 16．如图是一个不完整的数轴， （1）请将数轴补充完整，并将下列各数表示在数轴上； （2）将下列各数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来：﹣3；3.5；；﹣|﹣1|． 17．（1）如果|a|＝5，|b|＝2，且a，b异号，求a、b的值． （2）若|a|＝5，|b|＝1，且a＜b，求a，b的值． 18．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示： （1）比较a、﹣a、c、﹣c的大小，并按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接起来； （2）化简：|c﹣a|﹣|a﹣b|+|b﹣c|． 19．对于任意两个数a，b的大小比较，有下面的方法： 当a﹣b＞0时，一定有a＞b； 当a﹣b＝0时，一定有a＝b； 当a﹣b＜0时，一定有a＜b． 我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． （1）分别求出图1中长方形的周长M和图2中长方形的周长N． （2）在（1）的条件下，若b＞c，用“作差法”比较M、N的大小． 20．对于有理数x，y，a，t，若|x﹣a|+|y﹣a|＝t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）﹣3和5关于2的“美好关联数”为 　 　； （2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； （3）若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于3的“美好关联数”为1，…，x40和x41关于41的“美好关联数”为1，…． ①x0+x1的最小值为 　 　； ②x1+x2+x3+……+x40的最小值为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $