1.2.3-1.2.5知识点讲解2024-2025学年人教版七年级数学上册

1.2.3-1.2.5知识点讲解 知识点 1 相反数 【举例讲解】 在数轴上表示下列各数，并找出每对数之间的相同点及不同点，你还能说出类似的数吗? 在这些有理数中有特殊的数吗? ①3与-3 与 ;③3.5与-3.5; ①3 与 3在数轴上表示如图2-3-2所示： 命题点 命题点 1 考查相反数的定义与表示方法，利用定义求具体一个数的相反数是常考点. 与在数轴上表示如图2-3-3所示： ③3.5 与-3.5 在数轴上表示如图2-3-4所示: ④₃与 在数轴上表示如图2-3-5所示： 相同点：每组数中的两个数到原点的距离相同； 不同点：这两个数的符号不同，分别在原点的左右两边. 从上面四个问题中可以看出，有理数中存在这样的两个数，它们的符号不同，但是它们到原点的距离是相同的，这样的数都成对出现. 【归纳总结】 知识归纳 相反数的代数意义：像-3和3、-3.5和3.5这样，只有正负号不同的两个数称它们互为相反数. 相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，分别位于原点的两旁，且到原点的距离相等. 特殊规定：零的相反数是零. 方法归纳 ①相反数是成对出现的，不能单独存在. ②注意区别“相反数”和“相反意义的量”，相反意义的量不只是符号不同，量的大小也可以不一样，而相反数只有正负号不同，“距离”应相同. 知识点2绝对值 【举例讲解】 小红在数轴上玩跳格子游戏，她从原点出发，规定向东为正，你知道小红离原点的距离吗? (1)小红第一次向东跳了3个单位长度到达点 A，则点 A 所表示的数及点 A到原点的距离是多少? (2)小红第二次从点 A 向西跳了5 个单位长度到达点 B，则点 B所表示的数及点 B 到原点的距离是多少? 答案：(1)小红向东跳3个单位长度，它到达点 A，由于向东为正，所以点A 所表示的数为+3，则点A到原点的距离是3； (2)小红第二次从点 A 出发向西跳了 5 个单位长度到达点 B，所以点 B 所表示的数为-2，则点 B 到原点的距离是2. 任意给定一个有理数都能在数轴上确定它的位置，同时也可以确定它到原点的距离. 【归纳总结】 知识归纳 绝对值的定义：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值. 绝对值的表示方法：表示一个数的绝对值就是在这个数的两旁各画一条等长的竖线，如数a的绝对值记为|a|，|-5|表示“-5的绝对值”. 例1 3 的相反数是 ，-5.8是 的相反数，a的相反数是 ,a- b的相反数 是 ，0的相反数是 . 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，所以只改变符号即可，其中a--b是个整体，所以要加括号. 【解】-3;5.8;-a;-(a-b);0. 【解题技巧】在任意一个数前面添上“--”，所得的数是原数的相反数，在一个数的前面添加一个“+”，所得的数与原数相同. 变式训练 1. -2 018 的相反数是( ) A.2 018 B. -2018 命题点2 考查绝对值的概念与求法，常结合绝对值的代数意义求一个有理数的绝对值. 例2如图2 -3-6，点A 所表示的数的绝对值是( ) A.3 B. -3 C 【分析】一个数的绝对值是指数轴上表示这个数的点到原点的距离，数轴上的点 A 到原点的距离是 3，所以|--3|=3. 【解】A. 【解题技巧】一个数的绝对值是指数轴上表示这个数的点到原点的距离，因此任何一个数的绝对值都是非负数，而且与绝对值的意义是一个点到原点的距离，由此可知：①一个正数的绝对值是它本身；②零的绝对值是零；③一个负数的绝对值是它的相反数. 拓展点：①如果一个数的绝对值是一个正数，那么这样的数有两个，它们互为相反数，如|x|=2，则x=±2；②绝对值等于它本身的数是零和正数(或非负数)，绝对值等于它相反数的数是零和负数(或非正数). 方法归纳 ①因为绝对值表示一个数到原点的距离，距离不可能为负数，所以任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0；②因为零的绝对值是零，所以零的绝对值既可以看成它本身，也可以看成它的相反数. 知识点 3 两个负数的大小比较 【举例讲解】 比较下列各组数的大小，并从中总结规律. ①-2与-1.5;②-3与-3.1;③与 ₈;④ ₂, ₃与 上面这些要比较大小的数都是负数，可以画出一条数轴，在数轴上找出表示上面数的点，根据右边的数大于左边的数进行比较. ①如图2-3-7所示,其中-1.5在-2的右侧,所以-1.5>-2; ②如图2-3-8所示,其中-3 在-3.1的右侧,所以-3> -3.1; ③如图2-3-9所示,其中 在 的右侧，所以 ④如图2-3-10所示,其中 在最右面， 在中间， 在最左边，所以 上面比较四组数的大小，我们利用数轴进行比较，但是在解答的过程中画图时比较麻烦，根据第(1)问，-3的绝对值是3，而-1.5的绝对值是1.5，1.5<3，而-1.5>-3，从中可以得到两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 【归纳总结】 知识归纳 在数轴上表示两个负数的两个点中，与原点距离较大的那个点总是在另一个点的左边，根据“数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”可得：两个负数，绝对值大的反而小. 拓展点：三个或三个以上负数比较大小时，绝对值最大的那个数最小，绝对值最小的那个数最大，其他数依次比较. 方法归纳 到现在为止，我们学了两种比较有理数大小的方法. 第一种：将各有理数在数轴上表示出来，再根据“在数轴上，右边的数总比左边的数大”进行比较. 第二种：根据法则，分类比较： (1)正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数； (2)两个正数中，绝对值大的数就大； (3)两个负数中，绝对值大的反而小. 原数之间的关系是：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0. 变式训练 2. |-5|的相反数是( ) A. -5 B.5 C 命题点3 考查两个负数的大小比较方法与步骤，常利用逻辑思维的方法比较两个负数的大小，体现转化思想. 例3比较 与 的大小. 【分析】两个负数比较大小，要先求出它们的绝对值，再根据绝对值的大小和两个负数大小比较的法则，确定出原数的大小. 两个负分数通分之后，分子越大，分数值越小. 【解】因为 而 所以 【解题技巧】通过用绝对值比较两个负数的大小，把负数大小的比较转化为正数大小的比较，体现了转化的数学思想. 变式训练 3.下列各式中，正确的是( ) A.-|16|>0 B.|0.2|>|-0.2| D.|-6|<0 中考题型 题型利用绝对值解决实际问题 例一天上午，出租车司机小王在东西走向的中山路上运营，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行车里程如下(单位:千米):+15,-3,+12,-11,-13,+3,-12,-18.请问:小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米? 分析 本题是绝对值意义在实际问题中的具体应用，有理数中的“+”和“-”在本题中表示的是方向，而它们的绝对值是小王在运营中所行驶的路程，因此共行驶的路程应是每次行车里程的绝对值之和. 解|+15|+|-3|+|+12|+|-11|+|-13|+ (千米). 答：小王将最后一位乘客送到目的地时共行驶了87千米. 点评 绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类，即①判断物体或产品的质量；②利用绝对值求距离. 1.下列说法中，正确的是( ) A. -10是相反数 B.符号不同的两个数互为相反数 的相反数是 D. -0.75的相反数 2.下列各对数中，互为相反数的是( ) A. +( -8)和( -8) B. -( -8)和+8 C. -( -8)和+( +8) D. +8和+( -8) 3.有理数a，b，c在数轴上的位置如图2-3-12所示，下列各式成立的是( ) A. c>b>a B.|a|>|b|>|c| C.|c1>|b|>|a| D.|c1>|a|>|b| 4.实数a在数轴上对应的点如图2-3-13所示，则a，-a，l的大小关系正确的是( ) A. -a<a<1 B. a< -a<1 C.1< -a<a D. a<1< -a 5.若a=-4,则-a= ;若-b=2.5,则b= ;若-c= -11,则c=_____ . 6.在数轴上点A表示7，点B，C所表示的数互为相反数，且C 与 A 间的距离为2，点B，C对应的数分别是 . 7.若|m| =6,m的相反数是小于0的数,则|m-4| = . 8. 比较下列各组有理数的大小： 与 与 与 (4)-|-2|与-( -0.5). 9.某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 +0.5 -0.3 +0.1 0 -0.1 0.2 (1)找出哪些零件的质量相对来讲好一些，怎样用学过的绝对值知识来说明这些零件的质量好? (2)若规定与标准直径相差不大于0.2毫米为合格产品，则6件产品中有几件不合格产品? 学科网（北京）股份有限公司 $$