第10讲 两平行直线间的距离（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第10讲 两平行直线间的距离 目录 题型归纳 1 题型01 两条平行直线间的距离 2 题型02 由平行直线间的距离求参数 4 题型03 平行直线间的距离的最值问题 6 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 14 创新拓展 20 两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝________________. 注意点： (1)两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． (2)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (3)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 题型01两条平行直线间的距离 【解题策略】 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 【典例分析】 课本例5　求两条平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0之间的距离． 【例1】(1)分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是__________． (2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A．1 B. C. D．2 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·上海·阶段练习）直线与直线之间的距离为 ． 【变式2】（23-24高二上·北京朝阳·期末）两条直线与之间的距离是 . 【变式3】（23-24高二上·新疆·阶段练习）（1）求点到直线的距离； （2）求两条平行直线与间的距离. 题型02 由平行直线间的距离求参数 【解题策略】 　对于已知两直线间的距离求参数的问题，一般可列出关于距离的等式，解方程即可． 【典例分析】 【例2】已知直线l1：2x＋y＋2＝0；l2：mx＋4y＋n＝0.若l1∥l2，且它们的距离为，求m，n的值． 【变式演练】 【变式1】（22-23高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 【变式2】（23-24高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 【变式3】（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知直线：，：，其中为实数. (1)当时，求直线，之间的距离； (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 题型03 平行直线间的距离的最值问题 【解题策略】 应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． 【典例分析】 【例3】两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·安徽·期末）已知直线，，则直线，之间距离的最大值为 ． 【变式2】（2023高二上·全国·专题练习）已知P，Q分别为直线与上任意一点，则的最小值为 . 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知两条平行直线与分别过点与点，、之间的距离为，求的最大值，并指出此时、的方程． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·江西新余·期末）若直线与直线平行，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北·期中）设，分别为直线与上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过点与直线平行的直线是 C．直线到直线的距离为 D．若直线：，则 6．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当，平行时，两直线的距离为 D．直线过定点，直线过定点 三、填空题 7．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线与互相平行，则 ，与之间的距离为 . 8．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 9．（23-24高二上·新疆·期末）直线与直线平行，则它们之间的距离是 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·吉林松原·期中）（1）求原点到直线的距离. （2）已知直线，求直线之间的距离. 11．（21-22高二上·新疆阿克苏·期末）已知直线l经过点，且斜率为. (1)求直线l的方程； (2)若直线m：与直线l平行，求直线m与直线l的距离. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·江西吉安·期末）两平行直线和间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知直线：，直线过点，且，则直线与直线间的距离是（   ） A． B．2 C．3 D． 3．（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 4．（23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知两条平行直线，直线，直线，直线之间的距离为，则的值可以是（    ） A．-8 B．-6 C．2 D．4 6．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线，直线，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点 三、填空题 7．（23-24高二上·湖北武汉·期末）若两条平行直线与之间的距离是，则 ． 8．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线：与：平行，则 ，与之间的距离为： 9．（22-23高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线，，则直线与之间的距离最大值为 . 四、解答题 10．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知直线. (1)当a=1时，求两直线的距离； (2)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值. 11．（22-23高二上·浙江杭州·期中）平行四边形的四边所在的直线分别是：，， (1)求直线交点的坐标； (2)求平行四边形的面积． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知点P是直线l：与x轴的交点，直线l绕点P逆时针方向旋转45°得到直线，则直线与直线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是 D．直线过定点 三、填空题 3．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 四、解答题 4．（23-24高二上·广西梧州·期中）已知直线经过两条直线和的交点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求直线的方程及此时直线与直线的距离. 【下节预览】 一、解答题 1.（23-24高二上·山西大同·阶段练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 两平行直线间的距离 目录 题型归纳 1 题型01 两条平行直线间的距离 2 题型02 由平行直线间的距离求参数 4 题型03 平行直线间的距离的最值问题 6 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 14 创新拓展 20 两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 注意点： (1)两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． (2)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (3)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 题型01两条平行直线间的距离 【解题策略】 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 【典例分析】 课本例5　求两条平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0之间的距离． 解　在直线x＋3y－4＝0上取点P(4,0)，点P(4,0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d就是两条平行直线之间的距离． 因此，两条平行直线之间的距离为 d＝＝＝. 【例1】(1)分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是__________． 答案　5 解析　两直线方程分别是x＝－2和x＝3，故两条直线间的距离d＝|－2－3|＝5. (2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A．1 B. C. D．2 答案　B 解析　由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行直线间的距离公式， 得AB＝＝. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·上海·阶段练习）直线与直线之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用平行直线之间的距离公式可得答案. 【详解】的方程可化为，由平行直线之间的距离公式可得 . 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·北京朝阳·期末）两条直线与之间的距离是 . 【答案】 【分析】由两条平行线的距离公式求解即可. 【详解】由两条平行线的距离公式可得：. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·新疆·阶段练习）（1）求点到直线的距离； （2）求两条平行直线与间的距离. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式可得； （2）根据平行直线间的距离公式可得. 【详解】（1）由点到直线的距离公式可得， 点到直线的距离. （2）由平行直线间的距离公式可得， 直线与的距离 题型02 由平行直线间的距离求参数 【解题策略】 　对于已知两直线间的距离求参数的问题，一般可列出关于距离的等式，解方程即可． 【典例分析】 【例2】已知直线l1：2x＋y＋2＝0；l2：mx＋4y＋n＝0.若l1∥l2，且它们的距离为，求m，n的值． 解　依题意l1∥l2，则2×4＝1×m⇒m＝8， 此时l2：8x＋4y＋n＝0，即2x＋y＋＝0，故≠2，n≠8. 由于两条直线的距离为，所以＝，即＝5， 解得n＝28或n＝－12. 【变式演练】 【变式1】（22-23高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：. 故答案为： 【变式2】（23-24高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 【答案】 【分析】根据两直线平行的条件，求出的值，再利用两条平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线的方程可化简， 而直线，即直线， 它们之间的距离为， 故答案为：；. 【变式3】（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知直线：，：，其中为实数. (1)当时，求直线，之间的距离； (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【详解】（1）由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； （2）当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 题型03 平行直线间的距离的最值问题 【解题策略】 应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． 【典例分析】 【例3】两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 解　(1)如图，显然有0<d≤AB. 而AB＝＝3. 故所求的d的变化范围为(0,3]． (2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．而kAB＝＝， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·安徽·期末）已知直线，，则直线，之间距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知：两直线平行，且均过定点，分析可得结果. 【详解】由题意可知：直线的斜率为，过定点； 直线的斜率为，过定点； 可知，所以两直线之间距离的最大值为． 故答案为：. 【变式2】（2023高二上·全国·专题练习）已知P，Q分别为直线与上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据两平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】可化为.两直线平行, 的最小值即为两平行线间距离，为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知两条平行直线与分别过点与点，、之间的距离为，求的最大值，并指出此时、的方程． 【答案】的最大值为，此时，. 【分析】由两直线平行且过定点，可知，根据取等时直线、与直线的位置关系可得直线方程. 【详解】因为两条平行直线与分别过点与点， 所以两平行线间的距离， 当且仅当直线、均与直线垂直时等号成立， 此时，所以， 所以，也即； ，也即. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·江西新余·期末）若直线与直线平行，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再利用两平行线之间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或， 当时，与重合，不符合题意； 当时，与平行，符合题意； 此时，可化为， 则与之间的距离. 故选：D. 2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行可求，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项. 【详解】因为，所以，故，故. 故之间的距离为， 故选：D. 3．（23-24高二上·湖北·期中）设，分别为直线与上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线方程判断出两直线平行，则的最小值即为两平行直线的距离. 【详解】因为 所以直线与平行， 所以的最小值就是两条平行直线之间的距离． 直线方程可化为， 则这两条平行直线之间的距离为， 所以的最小值为. 故选：A 4．（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意知：，：，即， 因为两直线平行，所以距离为，故A正确. 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过点与直线平行的直线是 C．直线到直线的距离为 D．若直线：，则 【答案】BC 【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系，点到直线的距离公式，两直线平行或垂直的充要条件求解即可． 【详解】对于A：直线的斜率为， 由于，所以，故A错误； 对于B：设过点且与直线平行的直线为， 由于点满足该直线，代入得：； 所以所求的直线方程为，故B正确； 对于C：由于直线：与直线平行， 故两直线的距离，故C正确； 对于D：直线的斜率为， 直线的斜率为：， 因为，所以直线和直线不垂直，故D错误． 故选：BC． 6．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当，平行时，两直线的距离为 D．直线过定点，直线过定点 【答案】BC 【分析】选项A，当时和重合；选项B：当时，，，故；选项C，当，平行时，，根据平行线间的距离公式可得；选项D，： 定点坐标为可判断错误. 【详解】选项A：当时，：即，：即， 故和重合，A错误； 选项B：当时，：即，：即， 直线的斜率为，直线的斜率为， 因，故，B正确； 选项C：当，平行时，可得，得或， 当时，由A选项知和重合， 当时，：，：， 故两平行的距离为，故C正确； 选项D：直线：即，故当时，， 故直线的定点坐标为， ：即，故当时，得， 故直线过定点，故D错误； 故选：BC 三、填空题 7．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线与互相平行，则 ，与之间的距离为 . 【答案】 【分析】根据直线平行的充要条件和平行直线的距离公式可得. 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 则， 所以与之间的距离. 故答案为：；. 8．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 【答案】5 【分析】求出直线恒过点，从而得到两平行线的最大距离为点与点的距离，得到答案. 【详解】由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点，则过点作直线， 且，则最大距离为点与点的距离， 即. 故答案为：5 9．（23-24高二上·新疆·期末）直线与直线平行，则它们之间的距离是 ． 【答案】1 【分析】先利用两直线平行求得m的值，再利用两平行直线间的距离公式即可求得它们之间的距离. 【详解】由直线与直线平行， 可得，解之得， 此时直线可化为， 直线与直线平行， 则它们之间的距离是 故答案为：1 四、解答题 10．（23-24高二上·吉林松原·期中）（1）求原点到直线的距离. （2）已知直线，求直线之间的距离. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接用点到直线的距离公式即可； （2）直接用两平行线间距离公式求解. 【详解】（1）根据点到直线的距离公式，得故答案为：． （2）由题可得，，所以这两条直线之间的距离 11．（21-22高二上·新疆阿克苏·期末）已知直线l经过点，且斜率为. (1)求直线l的方程； (2)若直线m：与直线l平行，求直线m与直线l的距离. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用点斜式写出直线方程； （2）由平行关系有求参数，再应用平行线的距离公式求距离. 【详解】（1）由题设，直线方程为，即. （2）由题意，，可得，故， 所以直线m与直线l的距离 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·江西吉安·期末）两平行直线和间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线间的距离公式计算即可. 【详解】直线，即， 则平行线间距离． 故选：B. 2．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知直线：，直线过点，且，则直线与直线间的距离是（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行以及直线过的点，求出的方程，根据平行线间的距离公式，即可求得答案. 【详解】由题意知直线：，直线过点，且， 设，代入可得， 故的方程为：， 故直线与直线间的距离是， 故选：B 3．（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】直线化为：， 所以平行直线与间的距离为. 故选：D 4．（23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】因为直线与直线平行，所以的最小值为直线与直线距离，求解即可. 【详解】由直线可得， 所以直线与直线平行， 所以的最小值为直线与直线距离， 所以. 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知两条平行直线，直线，直线，直线之间的距离为，则的值可以是（    ） A．-8 B．-6 C．2 D．4 【答案】BC 【分析】由两条平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】根据题意得直线可化为， 直线之间的距离， 所以，即或. 故选：BC. 6．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线，直线，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点 【答案】BC 【分析】通过的取值结合选项验证可得A,B,C的正误，利用求直线过定点的方法可得D的正误. 【详解】对于A，时，，显然与不垂直，A不正确； 对于B，时，，因为，所以，B正确； 对于C，当时，且，解得， 此时，与之间的距离为，C正确； 对于D，，令，解得， 所以直线过定点，D不正确. 故选：BC. 三、填空题 7．（23-24高二上·湖北武汉·期末）若两条平行直线与之间的距离是，则 ． 【答案】10 【分析】根据两直线平行求得参数，再结合两平行线之间的距离公式求得，即可求得结果. 【详解】由题可得：，解的， 此时方程为：；方程为：； 则，即，解的或， 又，所以； 故. 故答案为：. 8．（23-24高二上·新疆·期末）已知直线：与：平行，则 ，与之间的距离为： 【答案】 2； . 【分析】根据两直线平行，斜率相等即可求得参数；再根据平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】因为，显然，所以； 直线的方程可化为， 所以与之间的距离． 故答案为：；. 9．（22-23高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线，，则直线与之间的距离最大值为 . 【答案】5 【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解． 【详解】直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点，， 当与直线，垂直时，直线，的距离最大， 且最大值为， 故答案为：5． 四、解答题 10．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知直线. (1)当a=1时，求两直线的距离； (2)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）直接根据两直线的距离公式计算得到答案. （2）直接根据点到直线的距离公式得到答案. 【详解】（1）当a=1时，， 所以两直线的距离为. （2）原点到直线的距离为，当时， 11．（22-23高二上·浙江杭州·期中）平行四边形的四边所在的直线分别是：，， (1)求直线交点的坐标； (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1)； (2)9. 【分析】（1）联立直线方程求出交点的坐标; （2）由顶点坐标求出一条边的长度，再根据两平行直线之间的距离公式可求平行四边形的高，从而求得平行四边形的面积． 【详解】（1）设和的交点为A， 由，解得； （2）如图， 易知∥，∥，设和的交点为B， 由，解得， 由（1）知， ∴． 与的距离， ∴平行四边形的面积为． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知点P是直线l：与x轴的交点，直线l绕点P逆时针方向旋转45°得到直线，则直线与直线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的倾斜角为，可得和，根据两角和的正切公式，求得直线的斜率为，结合点斜式方程以及距离公式，即可求解. 【详解】由直线，令，解得，即直线与轴的交点为， 设直线的倾斜角为，可得， 则， 即把绕点按逆时针方向旋转得到直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 直线的斜率为，则直线与直线平行. 则直线与直线之间的距离为. 故选：D 二、多选题 2．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是 D．直线过定点 【答案】BD 【分析】分直线是否过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可判断A；求出直线斜率的范围即可判断B；根据两平行直线的距离公式即可判断C；根据直线过定点问题即可判断D. 【详解】对于A，当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或，故A错误； 对于B，直线的斜率， 所以倾斜角的范围是，故B正确； 对于C，直线，即为， 故直线与直线之间的距离为，故C错误； 对于D，直线，即为， 令，解得， 所以直线过定点，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 3．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求. 【详解】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，    则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形， 则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值，而， 所以的最小值为= 故答案为： 【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程. （2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径. （3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗. 四、解答题 4．（23-24高二上·广西梧州·期中）已知直线经过两条直线和的交点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求直线的方程及此时直线与直线的距离. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）求出两条直线的交点得，再利用直线垂直设的方程为，把代入方程即得. （2）由直线平行设直线的方程为，把代入方程即得，再求出平行线间距离. 【详解】（1）由，解得，即直线和的交点为， 由直线与直线垂直，设直线的方程为， 把点代入方程得，解得， 所以直线的方程为. （2）由直线平行于直线，设直线的方程为， 把点代入方程得，解得， 所以直线的方程为，直线与直线的距离. 【下节预览】 一、解答题 1.（23-24高二上·山西大同·阶段练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解得即可； （2）在直线上任取一点，利用（1）的做法求得对称点，再求出与的交点，由经过，两点，利用点斜式即可求得直线的方程； （3）任取上一点，求得其对称点，代入直线的方程即可求得直线的方程. 【详解】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$