8.5空间直线、平面的平行-2023-2024学年高一下学期数学暑假作业（知识回顾+基础训练+提升训练+培优训练）（人教2019A版专用）

8.5空间直线、平面的平行（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础训练】 3 【提升训练】 20 【培优训练】 47 知识回顾 1. 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性. 2. 等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 3. 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 4. 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 5. 平面与平面平行的判定定理 (1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. (2)符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α. 6. 平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 基础训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·全国·课后作业）在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高二上·上海黄浦·期末）在如图所示的正方体中，一条平行于的直线与该正方体的表面交于P、Q两点，其中点P在侧面上，有以下结论：①平面ABCD上不存在满足条件的点Q；②平面上存在满足条件的点Q，下列判断正确的是（    ） A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 3．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知平面，和直线m，n，若，，则“，”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·山东威海·二模）在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，若平面与平面的交线为l，则l与直线所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·湖南·期中）如图，已知正方体的棱长为3，点分别在棱上，满足，点在正方体的面内，且平面，则线段长度的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 6．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在空间中，直线平面的一个充要条件是（    ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 7．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥中，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 8．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，则下列命题中不正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．对于任意点，四边形均为平行四边形 C．四边形的面积随点位置的变化而变化 D．三棱锥的体积随点位置的变化而变化 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2023·山东·模拟预测）设为平面内的个点，平面内到点的距离之和最小的点，称为点的“优点”.例如，线段上的任意点都是端点的优点.则有下列命题为真命题的有：（    ） A．若三个点共线，在线段上，则是的优点 B．若四个点共线，则它们的优点存在且唯一 C．若四个点能构成四边形，则它们的优点存在且唯一 D．直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的优点 10．（2023·海南·模拟预测）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的为（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则或 D．若，，则或 11．（23-24高三下·云南大理·阶段练习）如图，有一个正四面体ABCD，其棱长为1．下列关于说法中正确的是（    ）    A．过棱AC的截面中，截面面积的最小值为 B．若为棱BD(不含端点)上的动点，则存在点P使得 C．若M，N分别为直线AC，BD上的动点，则M，N两点的距离最小值为 D．与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有10个 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则的值为 ． 13．（2024高一下·全国·专题练习）一条直线和两个相交平面的交线平行，则这条直线满足 (填序号).①与两个平面都平行；②与两个平面都相交；③在两个平面内；④至少和其中一个平面平行. 14．（22-23高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且∥平面，则线段MN的最大值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一·全国·课后作业）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 16. (15分) （23-24高一下·四川成都·期末）已知是棱长为2的正方体. (1)求三棱锥的体积； (2)若是的中点，是的中点，证明：平面. 17. (15分) （23-24高一下·海南海口·阶段练习）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面. 18. (17分) （23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 19. (17分) （23-24高一下·广东广州·期中）如图，已知四棱锥中，底面是正方形，为侧棱的中点. (1)求证：∥平面； (2)已知为棱上的点，若∥平面，求证：是的中点. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·上海松江·期末）在下列判断两个平面与平行的四个命题中，其中假命题的是（    ） A．，都垂直于直线，那么 B．，都平行于平面，那么 C．，都垂直于平面，那么 D．如果，是两条异面直线，且，，，，那么 2．（23-24高一下·四川成都·期末）某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（    ） A．线段与所在的直线异面 B．线段与所在的直线平行 C．线段与所在的直线所成的角为 D．线段与所在的直线相交 3．（23-24高一下·湖南永州·阶段练习）在空间四边形ABCD中，分别是AB，CD的中点，，则异面直线AD与BC所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（    ）    A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．棱始终与水面所在平面平行 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图所示时，是定值 5．（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 7．（22-23高三上·湖北孝感·阶段练习）在直四棱柱中，E，F分别是BC，的中点，则“”的一个充分必要条件是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 8．（2023·内蒙古赤峰·二模）如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面与棱交于点，给出下列命题:①四棱锥的体积恒为定值；②直线与直线交于点，直线与直线交于点，则、、三点共线；③当截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点至少有两个；④为底面对角线和的交点，在棱上存在点，使平面，其中真命题是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（20-21高三下·江苏·阶段练习）已知、是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的是（    ） A．“经过两条平行直线，有且仅有一个平面”是平面的基本事实之一 B．“若，，则”是平面与平面平行的性质定理 C．“若，，，则”是直线与平面平行的判定定理 D．若，，，，则 10．（19-20高三下·山东·阶段练习）已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（    ） A．若，则满足条件的点有且只有一个 B．若，则点的轨迹是一段圆弧 C．若∥平面，则长的最小值为2 D．若∥平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为 11．（23-24高二下·四川成都·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（   ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．动点的轨迹的线段为 C．三棱锥的体积为定值 D．若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高一·全国·课后作业）如图，空间四边形中，分别是△和△的重心，若，则 . 13．（23-24高一下·天津武清·阶段练习）如图，若正三棱柱的底面边长为，对角线的长为，点为的中点，则点到平面的距离为 ． 14．（23-24高三上·湖南·阶段练习）正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，，分别为，的中点，若是侧面上一点，且平面，则线段的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一·全国·随堂练习）如图，在长方体中，底面是边长为a的正方形，高为，点M，N分别是和的中点．    (1)判断四边形的形状； (2)求四边形的面积． 16. (15分) （23-24高一下·四川南充·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，是边的中点，. (1)求直三棱柱的体积； (2)求证：面； (3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬行到点，求小虫爬行的最短距离. 17. (15分) （23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 18. (17分) （22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）如图，在四面体中，为等边三角形，为以为直角顶点的直角三角形，.，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形.    (1)求证：平面； (2)设多面体的体积为，多面体的体积为，若，求的值. 19. (17分) （22-23高二上·四川·阶段练习）几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由. 培优训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）空间四边形中，已知，设E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形是（    ）． A．正方形 B．长方形 C．梯形 D．菱形 2．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法正确的是（    ） A．若上有两点到平面距离相等，则 B．若，则与是异面直线 C．若，则与没有公共点 D．若，则与一定相交 3．（2024·贵州黔东南·二模）平面过直三棱柱的顶点，平面平面，平面平面，且，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，分别为的中点，分别为上的点，且，则（    ） A．平面且为矩形 B．平面且为菱形 C．平面且为平行四边形 D．平面且为梯形 5．（23-24高一下·浙江湖州·阶段练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（20-21高三下·上海浦东新·开学考试）在棱长为2的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 7．（21-22高一下·重庆北碚·期末）已知正方体的棱长为1，E为中点，F为棱CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2021·湖北武汉·二模）在四棱锥中，，过直线的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱交于点E，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为 C．平面 D．直线与所成的角的取值范围是 10．（21-22高一下·广东广州·期中）已知正四面体的棱长为，其外接球的球心为．点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱、、相交于点、、，则（    ） A．四边形的周长为定值 B．当时，四边形为正方形 C．当时，截球所得截面的周长为 D．，使得四边形为等腰梯形 11．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．若，，，四点共面，则 C．若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D．若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体为和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，是的中点，是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为 ． 13．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）如图，在长方体中，，，M，N分别为，的中点，则三棱锥的体积为 .    14．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在直四棱柱中，，，，P为棱上一点，且（为常数），直线与平面相交于点Q．则线段的长为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一下·湖北·期末）如图，在边长为2的正方体中，，分别是棱，的中点,    (1)求证：点在平面内； (2)用平面截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为，，求的值. 16. (15分) （2022·山西吕梁·三模）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，侧面是矩形，为的中点，． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 17. (15分) （21-22高一下·安徽芜湖·期中）如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点．      (1)求证：平面平面； (2)若平面，求线段的最小值． 18. (17分) （23-24高一下·江苏南通·期末）如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面． (1)证明：； (2)已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3． ①求三棱锥B-ADE的体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值． 19. (17分) （22-23高一下·浙江·期中）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)已知点在上满足平面，求的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.5空间直线、平面的平行（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础训练】 3 【提升训练】 20 【培优训练】 47 知识回顾 1. 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性. 2. 等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 3. 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 4. 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 5. 平面与平面平行的判定定理 (1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. (2)符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α. 6. 平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 基础训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·全国·课后作业）在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高二上·上海黄浦·期末）在如图所示的正方体中，一条平行于的直线与该正方体的表面交于P、Q两点，其中点P在侧面上，有以下结论：①平面ABCD上不存在满足条件的点Q；②平面上存在满足条件的点Q，下列判断正确的是（    ） A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 3．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知平面，和直线m，n，若，，则“，”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·山东威海·二模）在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，若平面与平面的交线为l，则l与直线所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·湖南·期中）如图，已知正方体的棱长为3，点分别在棱上，满足，点在正方体的面内，且平面，则线段长度的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 6．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在空间中，直线平面的一个充要条件是（    ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 7．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥中，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 8．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，则下列命题中不正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．对于任意点，四边形均为平行四边形 C．四边形的面积随点位置的变化而变化 D．三棱锥的体积随点位置的变化而变化 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2023·山东·模拟预测）设为平面内的个点，平面内到点的距离之和最小的点，称为点的“优点”.例如，线段上的任意点都是端点的优点.则有下列命题为真命题的有：（    ） A．若三个点共线，在线段上，则是的优点 B．若四个点共线，则它们的优点存在且唯一 C．若四个点能构成四边形，则它们的优点存在且唯一 D．直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的优点 10．（2023·海南·模拟预测）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的为（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则或 D．若，，则或 11．（23-24高三下·云南大理·阶段练习）如图，有一个正四面体ABCD，其棱长为1．下列关于说法中正确的是（    ）    A．过棱AC的截面中，截面面积的最小值为 B．若为棱BD(不含端点)上的动点，则存在点P使得 C．若M，N分别为直线AC，BD上的动点，则M，N两点的距离最小值为 D．与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有10个 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则的值为 ． 13．（2024高一下·全国·专题练习）一条直线和两个相交平面的交线平行，则这条直线满足 (填序号).①与两个平面都平行；②与两个平面都相交；③在两个平面内；④至少和其中一个平面平行. 14．（22-23高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且∥平面，则线段MN的最大值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一·全国·课后作业）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 16. (15分) （23-24高一下·四川成都·期末）已知是棱长为2的正方体. (1)求三棱锥的体积； (2)若是的中点，是的中点，证明：平面. 17. (15分) （23-24高一下·海南海口·阶段练习）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面. 18. (17分) （23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 19. (17分) （23-24高一下·广东广州·期中）如图，已知四棱锥中，底面是正方形，为侧棱的中点. (1)求证：∥平面； (2)已知为棱上的点，若∥平面，求证：是的中点. 参考答案： 1．D 【分析】作出几何体的直观图观察即可. 【详解】解：连接CF，C1F1，与棱AB平行的有，共有5条， 故选：D.    2．C 【分析】根据三角形的中位线，即可得线线平行，进而结合选项即可求解. 【详解】连接相交于， 当为中点时，连接,则，此时在平面,故此时位于处，故①错误， 连接相交于， 当为中点时，连接,则，此时在平面,故此时位于处，故②正确， 故选：C 3．B 【分析】由线线、面面关系以及充分、必要条件的概念即可得出结论. 【详解】当，，，是两个不同平面，，时，或，相交， 反过来，时，，，则，. 故“，”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 4．C 【分析】利用线面平行判定定理和性质定理可证，再由直线平行的传递性可得，可知即为所求，可得答案. 【详解】因为E，F分别为棱BC，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又平面平面，，所以， 又，所以，所以l与直线所成角的大小等于. 故选：C    5．D 【分析】在上取点，使得，证得平面平面，得到点的轨迹为线段，在等腰三角形中，求得底边上的高，即可求解. 【详解】在上取点，使得， 分别连结， 因为，可得，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 由且，可得， 又由且，所以， 在正方体中，可得，所以 因为平面，且平面，所以平面， 同理可证平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因此点的轨迹为线段， 在等腰三角形中，， 可得底边上的高为，此即为长度的最小值. 故选：D. 6．D 【分析】根据线面平行的性质即可结合选项求解. 【详解】对于A，B，C，直线都可能在内， 故选:D． 7．D 【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【详解】 如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即. 故选：D. 8．D 【分析】根据线面平行的判定判断A；利用面面平行的性质判断B；设，求出四边形面积表达式判断C；根据棱锥的体积公式判断D. 【详解】对于B，显然四点共面，平面平面， 平面平面，平面平面， 则，同理可证，即四边形为平行四边形，B正确； 对于A，令正方体的棱长为2， 当F为的中点时，，即，解得，即E也为的中点， 连接，而，则四边形为平行四边形， 则，平面平面，因此平面，A正确； 对于C，令，设，则，而， ， 四边形面积 ，因此四边形的面积随点位置的变化而变化，C正确； 对于D，由，平面，平面， 得平面，即点F到平面的距离为定值，而的面积为定值， 因此三棱锥的体积为定值，即对于任意点F，三棱锥的体积均不变， D错误． 故选：D 9．AC 【分析】根据优点的定义以及空间中的点与线的位置关系等逐个证明或举反例即可. 【详解】 对于A，若三个点共线，C在线段上，根据两点之间线段最短，则C是的优点，故A正确； 对于B，若四个点共线，则它们的优点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的优点存在但不唯一，如B，C三等分AD，设，则，故B错误；    对于C，如图，设在梯形中，对角线的交点O，M是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得， ∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一优点．故C正确．    对于D，举一个反例，如边长为的直角三角形，点P是斜边AB的中点，此直角三角形的斜边的中点P到三个顶点的距离之和为，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的优点；故D错误；    故选：AC. 10．AB 【分析】根据线面平行的判定及性质，以及面面平行的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，，可得与可能平行或异面，所以A不正确； 对于B，若，，可得与可能平行、相交或异面，所以B不正确； 对于C中，若，，当时，可得，或者，所以C正确； 对于D中，若，，根据线面平行的判定定理，可得或，所以D正确. 故选：AB. 11．AC 【分析】选项A三角形的底边一定，高最小时面积最小确定；选项B用余弦定理可得；选项C，易得M，N分别为线段AC，BD的中点时，M，N的距离最小，即可判断；选项D分类讨论可得. 【详解】对于，设截面与棱BD的交点为， 如图，    过棱AC的截面为，则为棱BD的中点时，的面积取得最小值， 在等腰中，，可求得，故正确； 对于B，因为，所以， 所以，设，则， 在中，， 所以，故B错误；    对于C，取线段AC，BD的中点分别为M，N，因为， 所以在等腰中，MN为底边上的中线， 则，同理可证， 故MN为线段AC，BD的公垂线， 所以M，N分别为线段AC，BD的中点时，M，N的距离最小， 此时，所以， 即M，N两点的距离最小值为，故C正确；    对于D，与正四面体各个顶点的距离都相等的截面分为以下两类： （1）平行于正四面体的一个面，且到顶点和到底面距离相等，这样的截面有4个； （2）平行于正四面体的两条对棱，且到两条对棱距离相等，这样的截面有3个， 故与正四面体各个顶点的距离都相等的截面共有7个，故D错误． 故选：AC． 12． 【详解】连接MB交AC于点D，连接ND，NA，NC， 则平面NAC即为平面α.因为SB∥α，平面SMB∩α＝DN，SB⊂平面SMB，所以SB∥DN.因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以∠ABM＝∠BMC＝∠MBC＝∠BAC＝30°，MC＝BC＝AB，所以MC∥AB且MC＝AB，所以＝＝.又SB∥DN，所以＝＝，所以＝. 13．④ 【分析】根据线面平行的判定和性质，对该直线是否在其中一个平面内进行讨论. 【详解】一条直线和两个相交平面的交线平行，则这条直线可能在其中一个平面内且与另一个平面平行，也可能与两个平面都平行. 因此只有④正确. 故答案为：④ 14． 【分析】利用面面平行的性质，通过平面平面，得出点在线段上，从而求出线段的最大值． 【详解】如图，    取的中点，取的中点，连接，，，所以， 又面，面，所以平面， 又为的中点，所以， 又面，面，所以平面， 又，面，面，所以平面平面， 又因为是侧面上一点，且平面， 所以在线段上， 因为正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是 所以平面，因为平面，所以 又M为的中点，所以 所以 则，又 所以线段的最大值为． 故答案为：． 15．证明见详解 【分析】根据三角形中位线、平行线等分性质结合平行线的传递性分析证明, 【详解】∵E、H分别是AB、AD的中点，则， 又∵F、G分别是BC、CD上的点，且，则， ∴， 故直线EH与直线FG平行． 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）三棱锥由正方体截去四个全等的三棱锥而得，从而得解； （2）由于，利用线面平行的判定定理证明. 【详解】（1）三棱锥由正方体截去四个全等的三棱锥而得， 故； （2）因为为和的中点， 在中，， 平面，平面， 所以平面. 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接AC，，再证明即可； （2）根据线面平行与面面平行的判定证明平面平面即可； 【详解】（1）连接，设，因为是平行四边形， 所以是的中点，连接，又为侧棱的中点， 所以在中有：，又平面平面， 所以平面. （2）若为侧棱的中点，且由（1）知是的中点， 所以在中有：则，又平面平面， 所以平面， 由（1）知平面平面， 所以平面. 又平面， 所以平面平面，又平面，所以平面. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证； （2）求出和时的长度，即可得到的取值范围. 【详解】（1）连接， 因为为的中点，当时， 所以为的中点，所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以， 则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又，此时， 当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为. 19．(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设，再证明∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可证平面∥平面，结合面面平行的性质定理分析证明. 【详解】（1）设，连接， 因为是平行四边形，可知为的中点， 又因为为侧棱的中点，则∥， 且平面，平面，故∥平面. （2）由（1）可知：∥，且平面，平面， 所以∥平面， 又因为∥平面，且，平面， 所以平面∥平面， 且平面平面，平面平面，可得∥， 又因为为的中点，所以为的中点. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·上海松江·期末）在下列判断两个平面与平行的四个命题中，其中假命题的是（    ） A．，都垂直于直线，那么 B．，都平行于平面，那么 C．，都垂直于平面，那么 D．如果，是两条异面直线，且，，，，那么 2．（23-24高一下·四川成都·期末）某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（    ） A．线段与所在的直线异面 B．线段与所在的直线平行 C．线段与所在的直线所成的角为 D．线段与所在的直线相交 3．（23-24高一下·湖南永州·阶段练习）在空间四边形ABCD中，分别是AB，CD的中点，，则异面直线AD与BC所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（    ）    A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．棱始终与水面所在平面平行 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图所示时，是定值 5．（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 7．（22-23高三上·湖北孝感·阶段练习）在直四棱柱中，E，F分别是BC，的中点，则“”的一个充分必要条件是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 8．（2023·内蒙古赤峰·二模）如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面与棱交于点，给出下列命题:①四棱锥的体积恒为定值；②直线与直线交于点，直线与直线交于点，则、、三点共线；③当截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点至少有两个；④为底面对角线和的交点，在棱上存在点，使平面，其中真命题是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（20-21高三下·江苏·阶段练习）已知、是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的是（    ） A．“经过两条平行直线，有且仅有一个平面”是平面的基本事实之一 B．“若，，则”是平面与平面平行的性质定理 C．“若，，，则”是直线与平面平行的判定定理 D．若，，，，则 10．（19-20高三下·山东·阶段练习）已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（    ） A．若，则满足条件的点有且只有一个 B．若，则点的轨迹是一段圆弧 C．若∥平面，则长的最小值为2 D．若∥平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为 11．（23-24高二下·四川成都·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（   ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．动点的轨迹的线段为 C．三棱锥的体积为定值 D．若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高一·全国·课后作业）如图，空间四边形中，分别是△和△的重心，若，则 . 13．（23-24高一下·天津武清·阶段练习）如图，若正三棱柱的底面边长为，对角线的长为，点为的中点，则点到平面的距离为 ． 14．（23-24高三上·湖南·阶段练习）正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，，分别为，的中点，若是侧面上一点，且平面，则线段的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一·全国·随堂练习）如图，在长方体中，底面是边长为a的正方形，高为，点M，N分别是和的中点．    (1)判断四边形的形状； (2)求四边形的面积． 16. (15分) （23-24高一下·四川南充·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，是边的中点，. (1)求直三棱柱的体积； (2)求证：面； (3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬行到点，求小虫爬行的最短距离. 17. (15分) （23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 18. (17分) （22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）如图，在四面体中，为等边三角形，为以为直角顶点的直角三角形，.，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形.    (1)求证：平面； (2)设多面体的体积为，多面体的体积为，若，求的值. 19. (17分) （22-23高二上·四川·阶段练习）几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由. 参考答案： 1．C 【分析】根据线面垂直的性质判断A；根据面面平行的概念判断B；根据特例判断C；根据线面平行，判断面面平行判断D. 【详解】根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可知A正确； 根据平行于同一个平面的两个平面互相平行，可知B正确； 根据墙角模型可知，垂直于同一个平面的两个平面未必平行，故C错误； 作，且相交，则可确定平面， 因为，，所以， 同理，故，故D正确. 故选：C 2．C 【分析】首先还原正方体，再根据线线的位置关系，判断选项. 【详解】由正方体展开图还原正方体如下图所示： 线段与所在的直线相交，故A错误； 线段与所在的直线异面，故B错误； 如图连接，，由正方体的性质可知，为等边三角形， 所以为与所在的直线所成的角，故C正确； 如图连接，则，平面，平面，所以平面， 又平面，所以与不相交，故D错误. 故选：C 3．B 【分析】根据异面直线所成角的概念，做出两条异面直线所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角. 【详解】如图：    取中点，连接，，易知：，，所以异面直线AD与BC所成的角就是或它的补角. 在中，，，. 所以. 所以. 所以异面直线AD与BC所成的角为：. 故选：B 4．C 【分析】对于A：根据棱柱的特点进行判断；对于B：根据线面平行的判定定理来判断；对于C：观察不同倾斜度下的面积变化来判断；对于D：根据水的体积和高均不变来判断. 【详解】对于A：将容器绕边倾斜，随着倾斜度的不同，平面平面， 平面，平面，平面，平面都是平行四边形， 所以没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确； 对于B：面，面， 所以面，即棱始终与水面所在平面平行，故B正确； 对于C：如下图： 水面所在四边形的面积等于长方形的面积， 如下图： 水面所在四边形的面积大于长方形的面积，故C错误； 对于D：当容器倾斜如图所示时，有水的部分形成一个直三棱柱， 三棱柱的底面为三角形，高为，根据水的体积为定值， 可得底面三角形的面积为定值，故是定值，故D正确. 故选：C. 5．C 【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P点的轨迹. 【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接， 则∥，，且∥，， 可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 同理可得：∥平面， 且，平面，可知平面∥平面， 又因为P点是正方形内的动点，平面， 所以点在线段上， 由题意可知：，可得， 所以P点的轨迹长度为. 故选：C. 6．B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 7．C 【分析】简单作出满足ABD选项的图形，皆可知存在与不平行的情况，故可进一步推得与不平行，即这三个选项都不是“”的充分条件，故ABD错误； 而C选项可利用中位线定理与构成平行四边形推得充分条件，利用线面平行的判定定理与性质定理推得必要条件，进而得到C正确. 【详解】对于A，如图1，由于条件，，并不能推得，即可以相交， 当相交时，在直四棱柱中，易知，故与是异面直线，即与不平行， 而因为E，F分别是BC，的中点，所以， 所以与不平行，即选项A不是“”的充分条件，故A错误； . 对于B，如图2，由且，可得， 即，由同旁内角互补可知，， 又，所以， 当时，四边形是梯形，即与会交于一点，即与不平行， 而，故与不平行，即选项B不是“”的充分条件，故B错误； . 对于C，如图3，由得，，又， 在直四棱柱中，易知，， 所以，，所以四边形是平行四边形，故， 又因为E，F分别是BC，的中点，所以， 所以，故选项C是的充分条件； 反之，当时，因为E，F分别是BC，的中点，所以， 则，则四点共面， 又，面，面，故面， 因为面面，又面，则， 所以， 又，，所以四边形是平行四边形，故， 而在直四棱柱中，易知，所以， 所以四边形是平行四边形； 所以，且，即选项C也是的必要条件； 综上：选项C是的充分必要条件，故C正确； . 对于D，如图4，由，且，与选项A一样，并不能保证，即可以相交， 后续推导与选项A一致，可知选项D不是“”的充分条件，故D错误； 故选：C. . 8．C 【分析】利用割补法判断四棱锥的体积是否为定值，即可判断①；利用两平面有且仅有1条通过其公共点的直线证明、、三点共线，即可判断②，利用面面平行性质定理证明四边形是平行四边形，再利用侧面展开图求得截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点个数，即可判断③；取的中点，连接，根据线面平行的判定定理即可证明④. 【详解】①四棱锥的体积等于三棱锥的体积 与三棱锥的体积之和， 又长方体中，，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 则点、到平面的距离为定值， 又为定值，则四棱锥的体积恒为定值，故①正确； ②直线与直线交于点，直线与直线交于点， 则、、三点均为平面与平面的公共点， 由平面与平面有且仅有一条交线，可得、、三点共线，故②正确. ③由平面与棱交于点， 可得平面平面，平面平面， 又平面平面，则； 又平面平面，平面平面， 又平面平面，则， 又，四边形是平行四边形， 当的值最小时，四边形的周长取得最小值. 将侧面与侧面展开在同一平面， 当且仅当为直线与交点时的值最小， 则当截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点仅有1个，故③错误； ④如图的中点，连接，因为为底面对角线和的交点， 所以为的中点，所以，平面，平面， 所以平面， 即在棱上存在点，使平面，故④正确； 故选：C 9．CD 【分析】根据立体几何中的公理可判断A选项；利用平面与平面平行的性质定理可判断B选项；利用线面平行的判定定理可判断C选项；分和两种情况进行讨论，由线面平行的性质和判定定理可判断D选项 【详解】解：“经过两条平行直线，有且仅有一个平面”是平面的基本事实的一个推论，故A错误； “若，，则”是平面与平面平行的一个性质，故B错误； “若，，，则”是直线与平面平行的判定定理，故C正确； 若，设过直线m的平面分别交，于直线a，b，如图所示： ∵，，，∴， ∵，，， ∴，∴， ∵，∴，∵，，∴； 若，，，则，故D正确， 故选：CD． 10．ABD 【解析】若，由于与重合时，此时点唯一；，则，即点的轨迹是一段圆弧；当为中点时，DP有最小值为，可判断C；平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，可得D. 【详解】如图： ∵正四棱柱的底面边长为2， ∴，又侧棱， ∴，则与重合时，此时点唯一，故A正确； ∵，，则，即点的轨迹是一段圆弧，故B正确； 连接，，可得平面平面，则当为中点时，DP有最小值为，故C错误； 由C知，平面即为平面，平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 11．ACD 【分析】选项A：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B：分别取，的中点H，G，连接，，，；证明平面平面，从而得到点F的轨迹；选项C：根据选项B可得出平面，从而得到点F到平面的距离为定值，即可判断；选项D：设为的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面即为面，从而线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥以为顶点的高. 【详解】对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 可知正方体的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确； 对于B：如图分别取，的中点，，连接，，，， 由正方体的性质可得， 且平面，平面，所以平面， 同理可得：平面， 且，，平面，所以平面平面， 而平面，所以平面， 所以点的轨迹为线段，长度为，故B不正确； 对于C：由选项B可知，点的轨迹为线段，因为平面， 则点到平面的距离为定值， 同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：如图，设平面与平面交于，在上， 因为截面平面，平面平面，所以， 同理可证，所以截面为平行四边形，所以点为的中点， 在四棱锥中，侧棱最长，且， 设棱锥的高为， 因为，所以四边形为菱形， 所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又， 则，， 所以，解得， 综上，可知长度的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C，D选项关键是找到临界点，求出临界值. 12．/ 【分析】连接并延长交于，连接并延长交于，再连接，，可知，，从而可求出答案. 【详解】连接并延长交于，连接并延长交于，再连接，， ∴， ∴， 又∵，∴. 故答案为：. 13．/ 【分析】设与交于点O，连接，可证得平面，求点到平面的距离可以转化为求点到平面的距离，然后利用进行计算求解； 【详解】设与交于点，连接， 在正三棱柱中，显然点为的中点，又点为的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 所以求点到平面的距离可以转化为求点到平面的距离， 因为，， ， 所以有，所以， 所以， 易得，所以， 设点到平面的距离为， 由，即， 所以有，解得， 即点到平面的距离为. 故答案为： 14． 【分析】证明平面平面，可得点在线段上，当时，线段最短，解三角形可得的最小值. 【详解】取的中点为，连接， 因为，，平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 由面面平行的判定可知，平面平面， 因为是侧面上一点，且平面， 所以点在线段上， 当时，线段最短，， 即，， ，， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用平面平面确定点的位置，从而得解. 15．(1)梯形 (2) 【分析】（1）根据棱柱的几何特征和三角形中位线定理，可得，且 ，进而可判断四边形的形状； （2）利用勾股定理，求出梯形的高，代入梯形面积公式，可得答案. 【详解】（1）   点M，N分别是和的中点， ， ，四边形是平行四边形， ，， 故四边形为梯形； （2）由题意可得，， 则， 故梯形的高为， 故四边形的面积. 16．(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用柱体体积公式计算即可； （2）连接，借助三角形中位线，利用线面平行的判定推理可得； （3）分情况把点及点所在的几何体表面展开置于同一平面，求出两点间的距离并比较得解. 【详解】（1）因为在直三棱柱中，，， ， 所以四边形为正方形，且，， 故直三棱柱的体积 （2）连接，连接， 因为在正方形中，是的的中点，而是边的中点， 则，又面，面， 所以面 （3）(i)小虫从点沿爬到点，把矩形与置于同一平面内，如图，连接，交于点， 因为，是边的中点，所以是的中点，， 则， (ii)小虫从点沿爬到点，把正方形与置于同一平面内，或把正方形与矩形置于同一平面内，如图， ①在左图中，取中点，连接，显然、、、共线， 且，，，， 所以， ②在右图图中，，所以， (iii) 小虫从点沿爬到点，同(ii)， 因为，故小虫爬行的最短距离为. 17．(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为构造中位线，证明线线平行； （2）通过比例关系，构造线线平行，并证明面面平行，从而证明存在平面. 【详解】（1）证明：连交于O，因为底面为平行四边形， 所以O为的中点，而E为的中点， 所以， 又平面，平面； 所以平面； （2）在棱上存在点G，且，使得平面， 证明：上取点，且，因为F为上的点，且， 所以在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面， 所以平面平面. 因为平面， 所以平面. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理以及性质定理，即可证明结论； （2）利用线段之间的关系，采用割补法求得以及，即可求得与之间的关系，从而可得答案. 【详解】（1）证明：因为四边形为平行四边形， 所以，而平面，平面， 故平面，由平面平面， 所以，而平面，平面， 故平面； （2）由（1）知，而，故， 同理可证，由可得， 故， 设A点到平面的距离为d， 则； 又，，故， 设C点到平面的距离为h，则F点到平面的距离为， 故 , 故, 则， 故. 【点睛】难点点睛：解答第二问求解的值，比较困难，解答时要利用割补的方法，求得几何体各部分的体积之间的关系，进而求得答案. 19．(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）先由线面平行的判定理证得平面，再证得平面，由此利用面面平行的判定定理证得面面，从而得到平面； （2）先由线面平行的性质定理求得点位置，再由平面几何知识求得，从而利用平行线分线段成比例得到的值. 【详解】（1）记为的中点，连接，如图1， 因为分别为的中点，故， 因为平面平面 所以平面， 又因为为正三角形，所以 ，， 又为等腰三角形，，所以, 所以，即， 所以，又平面平面 所以平面，又，平面， 故平面平面， 又因为平面，故平面. （2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2， 因为平面，平面，平面平面， 所以，此时四点共面， 由（1）可知，，得， 故，又因为，所以， 则有，故. 培优训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）空间四边形中，已知，设E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形是（    ）． A．正方形 B．长方形 C．梯形 D．菱形 2．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法正确的是（    ） A．若上有两点到平面距离相等，则 B．若，则与是异面直线 C．若，则与没有公共点 D．若，则与一定相交 3．（2024·贵州黔东南·二模）平面过直三棱柱的顶点，平面平面，平面平面，且，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，分别为的中点，分别为上的点，且，则（    ） A．平面且为矩形 B．平面且为菱形 C．平面且为平行四边形 D．平面且为梯形 5．（23-24高一下·浙江湖州·阶段练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（20-21高三下·上海浦东新·开学考试）在棱长为2的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 7．（21-22高一下·重庆北碚·期末）已知正方体的棱长为1，E为中点，F为棱CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2021·湖北武汉·二模）在四棱锥中，，过直线的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱交于点E，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为 C．平面 D．直线与所成的角的取值范围是 10．（21-22高一下·广东广州·期中）已知正四面体的棱长为，其外接球的球心为．点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱、、相交于点、、，则（    ） A．四边形的周长为定值 B．当时，四边形为正方形 C．当时，截球所得截面的周长为 D．，使得四边形为等腰梯形 11．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．若，，，四点共面，则 C．若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D．若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体为和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，是的中点，是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为 ． 13．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）如图，在长方体中，，，M，N分别为，的中点，则三棱锥的体积为 .    14．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在直四棱柱中，，，，P为棱上一点，且（为常数），直线与平面相交于点Q．则线段的长为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一下·湖北·期末）如图，在边长为2的正方体中，，分别是棱，的中点,    (1)求证：点在平面内； (2)用平面截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为，，求的值. 16. (15分) （2022·山西吕梁·三模）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，侧面是矩形，为的中点，． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 17. (15分) （21-22高一下·安徽芜湖·期中）如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点．      (1)求证：平面平面； (2)若平面，求线段的最小值． 18. (17分) （23-24高一下·江苏南通·期末）如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面． (1)证明：； (2)已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3． ①求三棱锥B-ADE的体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值． 19. (17分) （22-23高一下·浙江·期中）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)已知点在上满足平面，求的值. 参考答案： 1．D 【分析】根据给定条件，利用平行公理推理判断即得. 【详解】由分别为中点，得，同理， 则，四边形是平行四边形， 由分别为中点，得，而，则， 所以是菱形. 故选：D 2．C 【分析】利用线面平行意义判断A；利用面面平行的意义判断CD；由的位置关系判断D. 【详解】对于A，上有两点到平面距离相等，平面可以过这两点的中点，此时与相交，A错误； 对于BC，，则没有公共点，由，得与没有公共点， 与是平行直线或者是异面直线，C正确，B错误； 对于D，，则或与是相交直线，当时，，D错误. 故选：C 3．A 【分析】将直三棱柱向上补一个直三棱柱，证得平面平面，得到平面即为平面，得出交线即为直线，结合为等边三角形，即可求解. 【详解】如图所示，将直三棱柱向上补一个全等的直三棱柱， 则，， 因为平面，平面，且平面，平面， 所以平面，且平面， 又因为，且平面， 所以平面平面，且平面，故平面即为平面， 所以交线即为直线， 因为，则与所成角为， 设，则，，可得， 所以为等边三角形，所以，所以 即与所成角的正弦值为. 故选：A.    4．D 【分析】根据平行线等分线段定理、线面平行的判定定理、三角形中位线定理，结合矩形、梯形、菱形、平行四边形的定义进行判断即可. 【详解】因为分别为的中点， 所以且， 因为分别为上的点，且， 所以且， 所以且， 所以四边形为梯形， 又平面，平面， 所以平面. 故选：D. 5．B 【分析】根据线面平行的条件构造面面平行从而得到点的轨迹，在根据平面几何知识求出的范围. 【详解】如图，取的中点，的中点，连接，显然，且， 所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面,所以平面，因为，平面， 平面,所以平面，又因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面，点在侧面上，所以点位于线段上， 因为， ，所以当点位于点时，最大， 当点位于的中点时，最小， 此时， 所以，所以线段长度的取值范围是. 故选：B 6．C 【分析】由线面平行的性质定理知，∽ ，设出，则 ，设到平面的距离为，表示出四面体 的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值． 【详解】因为线段平行于平面，平面，平面平面 ， ∽ ， ， 设，则 ， 设到平面的距离为 ，则，所以， 所以四面体的体积为， 当时，四面体的体积取得最大值： ． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查正方体中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题 7．D 【分析】根据给定的几何体，利用面面平行的性质结合平面的基本事实，探讨截面形状确定F点的位置，推理计算作答. 【详解】在正方体中，平面平面，而平面，平面， 平面平面，则平面与平面的交线过点B，且与直线EF平行，与直线相交，令交点为G，如图， 而平面，平面，即分别为与平面所成的角， 而，则，且有， 当F与C重合时，平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，，即G为棱中点M， 当点F由点C向点D移动过程中，逐渐增大，点G由M向点方向移动， 当点G为线段上任意一点时，平面只与该正方体的4个表面正方形有交线，即可围成四边形， 当点G在线段延长线上时，直线必与棱交于除点外的点， 而点F与D不重合，此时，平面与该正方体的5个表面正方形有交线，截面为五边形，如图， 因此，F为棱CD上异于端点的动点，截面为四边形，点G只能在线段（除点M外）上，即, 显然，，则， 所以线段的CF的取值范围是. 故选：D 【点睛】关键点睛：作过正方体三条中点的截面，找到过三点的平面与正方体表面的交线是解决问题的关键. 8．D 【分析】设平面与交于，由题设易证，若，则，根据与、与的比例关系，结合，即可求值. 【详解】 设平面与交于，而， ∴， ∵面，面， ∴面，又面，面面， ∴，即， 若，则，设四棱锥的体积为，又， ∴，即，，而，有， 而，有， ∴，解得. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：设平面与交于，由已知向量共线及截面的性质，易证，若，将四棱锥分为三棱锥、，利用体积间的比例关系及求. 9．ACD 【分析】利用等积转化和体积公式计算三棱锥的体积后可判断A的正误，利用反例可判断B的正误，可证平面平面，结合面面平行的性质可判断C的正误，可证（或其补角）为直线与所成的角，求出的范围后可求判断D的正误. 【详解】对于A，由正方体可得平面平面，且，平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，当与重合时，， 所以的最小值不为，故B错误； 对于C，连接，， 由正方体可得，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面 因为，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故C正确： 对于D，因为，所以（或其补角）为直线与所成的角， 由图可得当与重合时，此时最大为， 当与重合时，此时最小为0， 所以直线与所成的角的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 10．ABC 【分析】利用面面平行的性质推导出四边形为平行四边形，可判断D选项；计算出，可判断A选项；证明出，可判断B选项；计算出球心到平面的距离，计算出截面圆的半径，结合圆的周长公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，平面平面， ，同理可得，所以，，同理， 所以，四边形为平行四边形，则，， 因为，则，同理， 所以，，因此，四边形的周长为定值，A对； 对于B选项，取线段的中点，连接、， 因为，为的中点，所以，，同理， 因为，所以，平面，平面，， 当时，则， 因为，，，， 所以，四边形为正方形，B对； 对于C选项，将正四面体补成正方体， 则正方体的棱长为， 该正方体的体对角线为， 所以，线段的中点为正四面体的外接球球心，则球的半径为， 因为且，则四边形为平行四边形，所以，， 因为，平面，平面，平面， 因为，则，因为平面，平面，平面， 因为，所以，平面平面， 设平面分别交棱、、、于点、、、，连接、、、， 因为平面平面，平面平面，平面平面，， 同理，因为，，同理， 所以四边形为平行四边形， ，，则，则，， 因为点到平面的距离为， 易知平面与平面之间的距离为， 所以，球心到平面的距离为， 所以，球被平面所截的圆的半径为， 因此，当时，截球所得截面的周长为，C对； 对于D选项，由A选项可知，四边形必为平行四边形，D错. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法： ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可； ④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径. 11．AC 【分析】对于A，由面面平行的性质可得；对于B，延展平面可得平面过的中点，可得；对于C，先找到的轨迹，再由几何关系算出长度；对于D，若，由平面分割该正方体所成的两个全等的空间几何体为和，且为正六棱锥，由等体积法算出球的半径，则可得球的表面积最大值. 【详解】      对于A，在正方体中平面平面，平面，故平面，故A选项正确； 对于B，如图，延展平面，易知平面过的中点，所以，故B选项错误； 对于C，如图，若，取的三等分点靠近，的中点， 则， 平面，平面， 故平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面，当点在线段上时，平面， 则满足平面，所以即为的轨迹， 由，得，故C选项正确； 对于D，如图所示， 易知，该球是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥相切的球， ，则该六棱锥的高为：， 正六边形的面积为：， 的面积为：， 设内切球的半径为，由等体积法可得：， 则该球的半径为， 所以该球的表面积最大为，故D选项错误． 故选AC． 【点睛】关键点点睛：本题AC选项的关键是利用面面平行的性质定理判断，D选项关键是利用等体积法求出内切球的半径，从而得到表面积最值. 12． 【分析】通过作图得到截面，再利用直四棱柱的结构特征，求出截面各条边长的长度，最后求得截面面积. 【详解】取的中点记， 在上取一点，使得，连接， 作图得： 是直线的中点， ∴，又平面，平面,∴平面， 又， 则，又平面，平面,∴平面， 又且平面， ∴平面平面， 又三点都在直四棱柱表面， 平面就是所得截面， ，由勾股定理得：，， 为等腰三角形， 过点作底边的高，记为，由勾股定理得， . 故答案为： 13．/ 【分析】利用等体积法，结合长方体的结构特征即可得解. 【详解】因为在长方体中，， 又平面，平面，所以平面， 所以到平面的距离等价于到平面的距离， 又平面，所以到平面的距离为， 因为，，N为的中点，则， 又在长方体中，四边形是矩形， 所以， 则三棱锥的体积为. 故答案为：. 14． 【分析】根据题意作辅助线，根据平行关系可得，取，根据平行关系可得//，进而可知点即为直线与平面的交点，即可得结果. 【详解】∵，所以， 分别过作，垂足分别为，分别过作，垂足分别为， 可得均为平行四边形，则， 过点作//，交直线于点，则， 可得，即， 在上取点，使得， ∵//，//，则//， 可知：//，，即为平行四边形， ∴//，， 又∵为平行四边形，则//，， 可得//，， 故为平行四边形，则//， 又∵//，则//， 即四点共面，故点即为直线与平面的交点， ∴. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：在处理截面问题时，常常转化为平行关系问题，根据线、面平行关系的判定定理以及性质定理分析判断. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据两条平行线确定一个平面得出、、、四点共面； （2）连接，由于平面截正方体的截面是四边形，得出是几何体三棱台的体积，进一步求体积得出比值. 【详解】（1）如图，连接，在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别是棱，的中点,则，所以， 所以、、、四点共面，即点在平面内； （2）连接，所以平面截正方体的截面是四边形， 所以是几何体三棱台的体积， 则，， 所以， 且. 因此：.    16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）构造三角形的中位线，利用线面平行的判定定理即可证明（2）在矩形中易证，又已知，从而可以证明平面，进而可以证明，结合已知就可以证明平面，则变换三棱锥顶点即可求出三棱锥的体积 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接． 因为底面是平行四边形，所以是的中点． 又是的中点，所以． 因为平面平面，所以平面 （2）因为矩形中为的中点， 所以，所以． 因为， 所以 所以． 因为，平面，平面 所以平面． 因为平面，所以． 又，平面，平面 所以平面． 因为， 所以， 所以 17．(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）因为，，分别是，，的中点，所以，可证平面，同理平面，进而即得； （2）由题意可知点Q在线段上移动，因为是等腰三角形，故是高时最小. 【详解】（1）证明：因为，，分别是，，的中点， 所以，平面，平面， 所以平面． 同理，平面，又因为， 所以平面平面．    （2）解：由（1）可得平面平面，若平面，则点Q在线段上移动， 在中，，，，的最小值为R到线段的距离， 因为是等腰三角形，故的最小值为．    18．(1)证明见解析 (2)①；②． 【分析】（1）由面面平行的性质定理即可证明； （2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，可推得，从而得，求得结论； ②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，可证为母线与下底面所成角，由可知，要使最小，只要最小即可，进而求得的最小值，即可求得结论． 【详解】（1）证明：在圆台中，平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以； （2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，， 在圆台中，平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 又由（1）可知，所以， 又，，，，，平面， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 在圆台中，，， 所以，所以， 所以，所以， 连接，交于点，所以， 所以，到平面的距离之比， 所以； ②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为， 在平面内过点作的平行线交于点，连接， 易得，因为平面，所以平面， 所以为母线与下底面所成角， 因为，，所以，所以， 要使最小，只要最小即可， 因为，所以，所以， 设，因为为圆的直径，所以， 所以，，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以，因此为二面角的平面角， 在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 在中，由勾股定理得，所以， 所以二面角的正弦值为． 【点睛】关键点点睛：第（2）小题第②问的关键是，根据二面角的平面角的定义，做辅助线找到为母线与下底面所成角，并且发现，等价于使最小，只要最小即可，从而得解. 19．(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN. 由平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案. 【详解】（1）证明：连结交于，连结， 因在中，为中点，为中点，则FO . 又平面，平面，故平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于， 连结，，，EN. 因，则四点共面. 又平面，平面平面， 则，四边形为平行四边形，可得 为中点. 则为BG中点. 即EN为中位线，则ENPG，. 又DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD. 从而FDPG，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$