精品解析：2024年河南省信阳市浉河区中考三模数学试题

2024年信阳市浉河区中招第三次模拟考试 数 学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间120分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 与互为相反数，那么m等于（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义计算判断即可．本题考查了相反数的定义即只有符号不同的两个数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵与互为相反数， ∴， 解得， 故选：B． 2. 下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义逐一判断即可得答案． 【详解】A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意， D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意， 故选：C. 【点睛】本题考查轴对称图形及中心对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后能完全重合；中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180°后，两部分能够完全重合；熟练掌握定义是解题关键． 3. 据2020年6月24日《天津日报》报道，6月23日下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现，40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为58600000人．将58600000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把小数点向左移动7位，然后根据科学记数法的书写格式写出即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算．根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C正确，符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选C． 5. 定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“美妙方程”．已知是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，理解“美妙方程”的定义是解答本题的关键．由“美妙方程”的定义得，根据方程有两个相等的实数根得，把代入即可求解． 【详解】∵是“美妙方程”， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选C． 6. 如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求的值． 【详解】解：∵， ， ． 故选：B． 7. 如图，菱形的对角线交于原点O，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点在第三象限，过点作轴于点，延长到点，使，过点作轴于点，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】解：将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，， 旋转4次后回到原来的位置， ， 第2023次旋转结束时，点在第三象限， 如图：过点作轴于点，延长到点，使，过点作轴于点， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， 故第2023次旋转结束时，点的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键． 8. 如图，直线，直线分别交，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用作法得到，利用等腰三角形的性质得到，于是可以计算出，再根据平行线的性质得到，然后根据邻补角的定义得到的度数． 【详解】解：如图所示， ， 由作法得：， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了平行线的性质，等腰三角形的性质． 9. 小明收集了二十四节气的卡片，卡片背面完全相同，小明将“立春、雨水、春分、谷雨”四张卡片单独拿出，邀请小亮和小华同时在其中各抽取一张，则两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数和找出两人抽到的卡片上写有相同的节气的情况数，然后根据概率公式即可解答． 【详解】解：将 “立春、雨水、春分、谷雨”分别用A，B，C，D表示， 根据题意画出树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的结果有4种，则两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的概率为：． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，， 由折叠的性质，可知，， ． 设，则．在中，由勾股定理， 得， 解得． 点的坐标为， 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据每一个不等式的解集，求出公共解集即可． 【详解】解：不等式组的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 13. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，，，交于E，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，，，，求出和，求出，根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， 则：由勾股定理得：， ∴， ∴，即：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的对角线和牢记菱形的面积公式是解此题的关键． 14. 如图，内接于，是的直径，，则___________°． 【答案】50 【解析】 【详解】本题考查了圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 根据是的直径，则，从而有，从而求得的度数，再根据圆周角定理即可求解． 【解答】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：50． 15. 如图所示，在中，，，为斜边中线，点P为线段上一动点，将线段绕点P逆时针旋转得线段，连接，，当垂直于的一边时，线段的值为 _________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据和两种情况进行讨论，当时，根据得到，在中根据直角三角函数计算出和，从而计算出，当时，证明，得到，得到，再根据勾股定理计算出． 【详解】解：①当时，如图1所示， ，， ， ． 为斜边中线， ， ． 在中，，， ，， ，， ； ②当时；如图2所示，过点Q作于点D． ，， ． ． ，． ． 在中，． 综上，线段的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查直角三角形的性质和解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握解直角三角形的相关知识． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子，进行计算即可解答． 【详解】解：（1） （2） ， 当时，原式． 17. 某市正在创建全国文明城市，某校为了解学生对创建全国文明城市的熟悉情况，组织了一次在线知识竞赛．现从七、八年级各随机抽取了名同学的成绩（百分制），并对成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． Ⅰ．七、八年级学生成绩的频数分布表如下： 成绩（分） 七年级频数 八年级频数 7 3 5 4 9 20 19 10 15 Ⅱ．七年级学生成绩在这一组的数据是： Ⅲ．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、优秀率（分及以上为优秀）如下： 平均数 中位数 优秀率 七年级 八年级 86 根据信息，回答下列问题： （1）表中____，______，____． （2）小明看到上述信息时，说自己的成绩在本年级可以排在前，小亮看到小明的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前，由此判断小明是_______（填“七”或“八”）年级的学生，并说明你的理由． （3）若该校七、八年级各有学生名，请估计两个年级参加知识竞赛的学生中，成绩优秀的学生共有多少名？ 【答案】（1），，； （2）七， 理由：由表可知，七年级的中位数为，八年级的中位数， 若小明是八年级学生，其成绩必定低于中位数，放到七年级，成绩会更靠前． 所以小明同学是七年级的学生． 故答案为：七； （3）成绩优秀的学生共有名． 【解析】 【分析】（1）用减去七年级另外组的频数即可得到的值，再根据中位数的定义求出，然后用分及以上的人数除以总人数，求出； （2）根据小明，小亮说的成绩的排位，结合中位数的意义可作出判断； （3）用总人数乘以各自所占的百分比，即可得出答案. 【小问1详解】 ； 共有名同学，中位数是第个数的平均数， 中位数是，即； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意得： （名）， 答：估计两个年级参加知识竞赛的学生中，成绩优秀的学生共有名． 【点睛】本题考查了频率（数）分布表、平均数以及中位数，能够从频率（数）分布表中获取数据，理解中位数的意义是解题的关键 18. 如图，在中，．． （1）若以点为圆心的圆与边相切于点，请在图中作出点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若该圆与边相交于点，连接，点为该圆上任意一点（不与点、点重合），连接、．当时，求证：． 【答案】（1） 如图点即为所求， （2） 如图， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂线即可． （2）证明是等边三角形即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-复杂作图，掌握等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，切线的判定和性质等知识是解题的关键． 19. 在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为  ； ②面积的最大值为  ； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明． （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且． 若，则线段长为  ． 【答案】（1）① 2；② （2） 证明：如图，延长，交圆于点，连接， 点在圆上， ， ， ， ，即； （3） 【解析】 【分析】（1）①设为圆心，连接，，根据圆周角定理得到，证明是等边三角形，可得半径； ②过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，以为底，则当与重合时，的面积最大，求出，根据三角形面积公式计算即可； （2）延长，交圆于点，连接，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可； （3）根据，和推出点在的平分线上，从而找到点的位置，过点作，垂足为，解直角三角形即可求出． 【小问1详解】 ①设为圆心，连接，， ， ，又， 是等边三角形， ，即半径为； ②以为底边，， 当点到的距离最大时，的面积最大， 如图，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于， ，， ， ， 的最大面积为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， ∴， ∵， 中边上的高等于中边上的高， 即点到的距离和点到的距离相等，即点在的平分线上，如图， 过点作，垂足为， 平分， ， 为等腰直角三角形，又， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点的轨迹． 20. 在郑州之林公园内有一座如意雕塑(图1)，它挺拔矗立在前端，展现出了郑东新区的美好蓝图与如意和谐的愿望．综合实践小组想按如图2 所示的方案测量如意雕塑的高度 EF：①在如意雕塑前的空地上确定测量点A，当测量器高度为时，测得如意雕塑最高点E的仰角 ；②保持测量器位置不变，调整测量器高度为 时，测得点E的仰角， 已知点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度．(结果精确到1m ．参考数据： 【答案】如意雕塑的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 延长交于，延长交于， 根据矩形的性质得到米，米，，米， 解直角三角形即可得到结论. 【详解】延长交于，延长交于， 则米，米，， ∴米， 设米， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴(米)， ∴(米)， 答：如意雕塑的高度约为米. 21. 至2024年底、南阳市中心城区将建成“诸葛书屋”50个以上，某“诸葛书屋”新进科普和文字两类图书（同一类的图书每本价格相同），已知每本科普类图书的进价是文学类图书进价的1.2倍，购进的文学类图书比科普类图书多100本，每类图书的总花费为12000元． （1）求每本文学类图书与科普类图书的进价分别为多少元？ （2）若第二批计划购进同种文学类和科普类图书共350本，且科普类图书的数量不低于文学类图书数量的2倍，恰逢4月23日世界读书日来临，供货商决定对文学类图书打八折销售，科普类图书降价销售，则书屋如何购买才能使购进第二批图书时总花费最少？ 【答案】（1）每本文学类图书进价20元，每本科普类图书的进价为24元； （2）当购进文学类图书116本，科普类图书234本时，能使购进第二批图时总花费最少． 【解析】 【分析】（1）设每本文学类图书进价是x元，则每本科普类图书的进价为元，根据题意即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设第二批购进文学类图书m本，则购进科普类图书本，总花费为w元，求出，根据题意，然后根据范围即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，解题的关键读懂题意列出方程和函数关系式． 【小问1详解】 设每本文学类图书进价x元，则每本科普类图书的进价为元； 解得： 经检验：是原分式方程的解，且符合题意； 答：每本文学类图书进价20元，每本科普类图书的进价为24元； 【小问2详解】 设第二批购进文学类图书m本，则购进科普类图书本，总花费为w元； ． 由题意：， ， w随m的增大而减小； ∵m取整数， 当时，总花费最少； 此时， 当购进文学类图书116本，科普类图书234本时，能使购进第二批图时总花费最少． 22. 在某场足球比赛中，球员甲将在地面上点处的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的高度与球和点的水平距离的函数的部分图象（不考虑空气的阻力），当足球运行到最高点时，此时球恰好在球员乙的正上方，球员乙在距点的点处，球距地面的高度为，即，对方球门与点的水平距离为． （1）当时， ①求与的关系式； ②当球的高度为时，求足球与对方球门的水平距离； （2）防守队员丙站在距点正前方的点处，球员甲罚出的任意球高过球员丙的头顶并直接射进对方球门，已知丙的身高为，即，球门的高度为，即，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②当球的高度为时，求足球与对方球门的水平距离为或 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意，设抛物线解析式为，将点代入，待定系数法求解析式，进而，根据对方球门与点的水平距离为，即可求解． （2）设抛物线解析式为，依题意，当时，，当时，，解不等式组即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，设抛物线解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为， 令，即， 解得：， ∵对方球门与点的水平距离为， ∴当球的高度为时，求足球与对方球门的水平距离为或； 【小问2详解】 解：设抛物线解析式为， 依题意，当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 在中，，．点D在边上，且，交边于点F，连接． （1）特例发现：如图1，当时，①求证：；②推断：_________．； （2）探究证明：如图2，当时，请探究的度数是否为定值，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作的垂线，交于点P，交于点K，若，求的长． 【答案】 （1）① ② ； （2）为定值， 理由如下： 由（1）得： （3） 【解析】 【分析】（1）①利用已知条件证明即可得到结论，②先证明利用相似三角形的性质再证明结合相似三角形的性质可得答案； （2）由（1）中②的解题思路可得结论； （3）设 则 利用等腰直角三角形的性质分别表示： 由表示 再证明利用相似三角形的性质建立方程求解，即可得到答案． 【详解】证明：（1）①略 ②推断： 理由如下： （2）略 （3） ， 设 则 ， 解得： 【点睛】本题考查的是三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，更重要的是考查学生的学习探究的能力，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年信阳市浉河区中招第三次模拟考试 数 学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间120分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 与互为相反数，那么m等于（　　） A. B. 1 C. D. 2. 下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据2020年6月24日《天津日报》报道，6月23日下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现，40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为58600000人．将58600000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“美妙方程”．已知是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线交于原点O，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，直线，直线分别交，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 小明收集了二十四节气的卡片，卡片背面完全相同，小明将“立春、雨水、春分、谷雨”四张卡片单独拿出，邀请小亮和小华同时在其中各抽取一张，则两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解为______． 12. 因式分解：__________． 13. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，，，交于E，则______． 14. 如图，内接于，是的直径，，则___________°． 15. 如图所示，在中，，，为斜边中线，点P为线段上一动点，将线段绕点P逆时针旋转得线段，连接，，当垂直于的一边时，线段的值为 _________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 某市正在创建全国文明城市，某校为了解学生对创建全国文明城市的熟悉情况，组织了一次在线知识竞赛．现从七、八年级各随机抽取了名同学的成绩（百分制），并对成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． Ⅰ．七、八年级学生成绩的频数分布表如下： 成绩（分） 七年级频数 八年级频数 7 3 5 4 9 20 19 10 15 Ⅱ．七年级学生成绩在这一组的数据是： Ⅲ．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、优秀率（分及以上为优秀）如下： 平均数 中位数 优秀率 七年级 八年级 86 根据信息，回答下列问题： （1）表中____，______，____． （2）小明看到上述信息时，说自己的成绩在本年级可以排在前，小亮看到小明的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前，由此判断小明是_______（填“七”或“八”）年级的学生，并说明你的理由． （3）若该校七、八年级各有学生名，请估计两个年级参加知识竞赛的学生中，成绩优秀的学生共有多少名？ 18. 如图，在中，．． （1）若以点为圆心的圆与边相切于点，请在图中作出点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若该圆与边相交于点，连接，点为该圆上任意一点（不与点、点重合），连接、．当时，求证：． 19. 在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为  ； ②面积的最大值为  ； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明． （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且． 若，则线段长为  ． 20. 在郑州之林公园内有一座如意雕塑(图1)，它挺拔矗立在前端，展现出了郑东新区的美好蓝图与如意和谐的愿望．综合实践小组想按如图2 所示的方案测量如意雕塑的高度 EF：①在如意雕塑前的空地上确定测量点A，当测量器高度为时，测得如意雕塑最高点E的仰角 ；②保持测量器位置不变，调整测量器高度为 时，测得点E的仰角， 已知点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度．(结果精确到1m ．参考数据： 21. 至2024年底、南阳市中心城区将建成“诸葛书屋”50个以上，某“诸葛书屋”新进科普和文字两类图书（同一类的图书每本价格相同），已知每本科普类图书的进价是文学类图书进价的1.2倍，购进的文学类图书比科普类图书多100本，每类图书的总花费为12000元． （1）求每本文学类图书与科普类图书的进价分别为多少元？ （2）若第二批计划购进同种文学类和科普类图书共350本，且科普类图书的数量不低于文学类图书数量的2倍，恰逢4月23日世界读书日来临，供货商决定对文学类图书打八折销售，科普类图书降价销售，则书屋如何购买才能使购进第二批图书时总花费最少？ 22. 在某场足球比赛中，球员甲将在地面上点处的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的高度与球和点的水平距离的函数的部分图象（不考虑空气的阻力），当足球运行到最高点时，此时球恰好在球员乙的正上方，球员乙在距点的点处，球距地面的高度为，即，对方球门与点的水平距离为． （1）当时， ①求与的关系式； ②当球的高度为时，求足球与对方球门的水平距离； （2）防守队员丙站在距点正前方的点处，球员甲罚出的任意球高过球员丙的头顶并直接射进对方球门，已知丙的身高为，即，球门的高度为，即，直接写出的取值范围． 23. 在中，，．点D在边上，且，交边于点F，连接． （1）特例发现：如图1，当时，①求证：；②推断：_________．； （2）探究证明：如图2，当时，请探究的度数是否为定值，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作的垂线，交于点P，交于点K，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $