精品解析：山东省济南市高新区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

绝密★启用前 济南高新区2023-2024学年第二学期七年级学业质量抽测 数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷共2页，满分为48分；第Ⅱ卷共5页，满分为102分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题共48分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 要画一个面积为长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别为（ ） A. 常量为30，变量为x、y B. 常量为30、y，变量为x C. 常量30、x，变量为y D. 常量为x、y，变量为30 4. 下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 手可摘星辰 C. 锄禾日当午 D. 大漠孤烟直 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 在学校科技宣传活动中，某科技活动小组从“北斗”“天眼”“高铁”“人工智能”4个内容中，随机选择一个进行介绍．科技活动小组恰好选中“高铁”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 碳酸钠溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当温度为时，碳酸钠的溶解度为 B. 碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当温度为时，碳酸钠的溶解度最大 D. 要使碳酸钠的溶解度大于，温度只能控制在 9. 如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙，．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（　　）米． A. 0.9 B. 1.3 C. 1.5 D. 1.6 11. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A B. C. D. 12. 有两个正方形A、B，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为12与30，则正方形B的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13. 计算：_________． 14. 如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动停在黑砖的概率为______． 15. 有一个英语单词,其四个字母都关于直线l对称,如图是该单词各字母的一部分,请写出补全后的单词所指的物品:__. 16. 如图， 顶点均在正方形网格的格点上，则的度数等于___________． 17. 我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率 ，则温度为___________． 温度 导热率 18. 如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，恰有，则的度数为______． 三、解答题：（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算； 20. 计算：． 21. 根据条件画图，并回答问题： （1）画一个锐角； （2）画出边上的中线和边上的高． 22. 请完善下列题目的解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 已知：如图，，且，求证：． 证明：，， （ ）， ，（ ）， 又（已知）， __________（ ）， （ ）． 23. 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解： __________（已知）， ． 同理可得__________． __________， （等式的性质） __________°． 24. 先化简，再求值：，其中，． 25. 如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 26. 甲袋中有红球8个、白球5个和黑球12个；乙袋中有红球18个、白球9个和黑球23个．（每个球除颜色外都相同）“从乙袋中取出10个红球后，乙袋中的红球个数和甲袋中红球个数一样多，所以此时若从中任意摸出一个球是红球，选甲、乙两袋成功的机会相同”．你认为这种说法正确吗？为什么？ 27. 为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s（km） 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q（L） 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为______L，行驶150km时，油箱剩余油量为______L． （2）根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q（L）与轿车行驶的路程s（km）之间的关系式． （3）某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L，求A，B两地之间的距离． 28. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图1），进行了如下操作： ①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离为1.5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③测得小明手抓线地方与风筝的水平距离的长为8米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如图2，小明想让风筝沿方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？ 29. （1）如图①，已知：中，，直线经过点，于，于，猜想之间的数量关系； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问（1）中结论是否仍然成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和． 30. 读材料，解答下列问题：若，求的值． 小亮的解题方法如下：设，，则，， ∴． （1）运用材料中的方法解答：若，求的值； （2）如图1，长方形空地，米，米，在中间长方形上安放雕塑，四周剩余的宽度相同，设该宽度为米，长方形中______米， ______米．（用含代数式表示） （3）在(2)的条件下，如图2，以长方形四边为直径在形外做半圆，在四个半圆里种花，若长方形的面积为平方米，求种花的面积．（结果保留） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 济南高新区2023-2024学年第二学期七年级学业质量抽测 数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷共2页，满分为48分；第Ⅱ卷共5页，满分为102分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题共48分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 如图，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3. 要画一个面积为长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别为（ ） A. 常量为30，变量为x、y B. 常量为30、y，变量为x C. 常量为30、x，变量为y D. 常量为x、y，变量为30 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量． 【详解】解：由题意，得， 常量为30，变量为. 故选：A． 【点睛】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 4. 下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 手可摘星辰 C. 锄禾日当午 D. 大漠孤烟直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查必然事件，随机事件，不可能事件的概念．根据各诗句的意义，分析其发生的可能性，一定发生的是必然事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 【详解】A.黄河入海流，这是必然事件； B.手可摘星辰，这是不可能事件； C.锄禾日当午，这是随机事件； D.大漠孤烟直 ，这是随机事件． 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不可以合并，故原运算错误，不符合题意； B．，原计算正确，符合题意； C．，故原运算错误，不符合题意； D．，故原运算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”是解决本题的关键． 利用三角形的内角和定理和已知条件，计算出最大的角再判断的形状． 【详解】解：A．因为，， 所以，即是直角三角形，故此选项不符合题意； B．因为，， 所以，即是直角三角形，故此选项不符合题意； C．因为，， 所以，即是直角三角形，故此选项不符合题意； D．因为，， 所以，即是锐角三角形不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 7. 在学校科技宣传活动中，某科技活动小组从“北斗”“天眼”“高铁”“人工智能”4个内容中，随机选择一个进行介绍．科技活动小组恰好选中“高铁”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断事件发生可能性的大小，掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式计算科技活动小组恰好选中“高铁”的概率，即可得出答案． 【详解】解：∵共有4个内容， ∴科技活动小组恰好选中“高铁”的概率为， 故选：B． 8. 碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当温度为时，碳酸钠的溶解度为 B. 碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当温度为时，碳酸钠的溶解度最大 D. 要使碳酸钠的溶解度大于，温度只能控制在 【答案】C 【解析】 【分析】直接观察图象，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、观察图象得：当温度为时，碳酸钠的溶解度为，故本选项错误，不符合题意； B、观察图象得：当温度在时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，故本选项错误，不符合题意； C、观察图象得：当温度为时，碳酸钠的溶解度最大，故本选项正确，符合题意； D、观察图象得：当温度接近并低于时，碳酸钠的溶解度达到，则要使碳酸钠的溶解度大于，温度控制的范围应该大于在，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数图象，明确题意，准确从图象获取信息是解题的关键． 9. 如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙，．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判断和性质，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 利用角角边定理证明，然后结合全等三角形的性质分析求解． 【详解】解：由题意可得 在与中 故选：D． 10. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（　　）米． A. 0.9 B. 1.3 C. 1.5 D. 1.6 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出AE，进而得到米，即可得出答案． 详解】解：过点D作于E，如图所示： 则，米， 在中， AD=1.5米， 由勾股定理得 （米）， ∴（米）， ∴米． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 11. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 12. 有两个正方形A、B，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为12与30，则正方形B的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，用代数式表示图甲、图乙中阴影部分的面积，整体代入即可得出，即正方形B的面积． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由题意得，，， 即，， ∴， 即正方形B的面积为3， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的法则：用单项式分别乘以多项式中的每一项，再把它们的积相加，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 14. 如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动停在黑砖的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，把黑色方砖的面积除以总面积，即可作答． 【详解】解：∵总面积为15块方砖的面积，且每个其中方砖的面积是相等的，黑色方砖有5块， ∴小球停在黑色方砖的概率为， 故答案为： 15. 有一个英语单词,其四个字母都关于直线l对称,如图是该单词各字母的一部分,请写出补全后的单词所指的物品:__. 【答案】如图: 书 【解析】 【分析】根据轴对称图形的性质得出这个单词，进而得出答案． 【详解】如图所示： 这个单词是BOOK，所指物品是书． 故答案为书． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质，正确得出单词的名称是解题关键． 16. 如图， 的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数等于___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】如图所示，延长，过点作延长线于点，作的平行线，过点作的平行线，交于点，设小正方形网格的边长为，可得，，由此即可求证． 【详解】解：如图所示，延长，过点作延长线于点，作的平行线，过点作的平行线，交于点，设小正方形网格的边长为， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查网格中三角形角的关系，掌握等腰直角三角形的性质，平行线的性质是解题的关键． 17. 我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率 ，则温度为___________． 温度 导热率 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加， 所以， 所以，当导热率为时，温度为， 故答案：． 18. 如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，恰有，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，根据三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，，则由平行线的性质得到，进而得到，则，再由三角形内角和定理可得． 【详解】解：∵， ∴ 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算； 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，先算乘方，再算同底数幂的乘法，然后合并同类项即可． 【详解】解：． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：原式 21. 根据条件画图，并回答问题： （1）画一个锐角； （2）画出边上的中线和边上的高． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线和高．三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （1）根据条件作出锐角； （2）作的中点E，连接；作于D即可． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求的三角形； 【小问2详解】 解：如图所示，中线和高即为所求； 22. 请完善下列题目的解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 已知：如图，，且，求证：． 证明：，， （ ）， ，（ ）， 又（已知）， __________（ ）， （ ）． 【答案】垂直的定义；；，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义、等角的余角相等、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据垂线的定义可得，得出，，结合已知，根据“等角的余角相等”，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明． 【详解】证明：，， （垂直的定义）， ，， 又（已知）， （等角的余角相等）， （内错角相等，两直线平行）． 23. 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解： __________（已知）， ． 同理可得__________． __________， （等式的性质） __________°． 【答案】平分，，三角形内角和定理，． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线，以及三角形的内角和，掌握角平分线的定义是解题的关键．先根据角平分线的定义求出和的值，然后根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：平分（已知）， ， 同理可得， （三角形内角和定理）， （等式的性质）， ． 故答案为：平分，，三角形内角和定理，． 24. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式和平方差公式， 首先计算完全平方公式和平方差公式，然后计算加减，然后代数求解即可． 【详解】 当，时，原式． 25. 如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；首先得出，再利用证明，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴， ∴． 26. 甲袋中有红球8个、白球5个和黑球12个；乙袋中有红球18个、白球9个和黑球23个．（每个球除颜色外都相同）“从乙袋中取出10个红球后，乙袋中红球个数和甲袋中红球个数一样多，所以此时若从中任意摸出一个球是红球，选甲、乙两袋成功的机会相同”．你认为这种说法正确吗？为什么？ 【答案】不正确；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率．根据概率公式求出从甲袋中任意摸出一个球是红球的概率，再求出从乙袋中取出10个红球后，从乙袋中任意摸出一个球是红球的概率，再比较大小即可得． 【详解】解：说法不正确， 从甲袋中摸到红球的可能性为， 从乙袋中取出10个红球后，从乙袋中摸到红球的可能性为， 因为， 所以选甲、乙两袋成功的机会不相同，故说法不正确． 27. 为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s（km） 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q（L） 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为______L，行驶150km时，油箱剩余油量为______L． （2）根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q（L）与轿车行驶的路程s（km）之间的关系式． （3）某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L，求A，B两地之间的距离． 【答案】（1）50，38 （2） （3）500km 【解析】 【分析】（1）由表格可知，开始油箱中的油为50，每行驶100km，油量减少8，由此填空即可； （2）由表格可知，开始油箱中的油为50，每行驶100km，油量减少8，据此可得与的关系式； （3）把代入函数关系式求得相应的值即可． 【小问1详解】 由表格中的数据可知，该轿车油箱的容量为50，行驶150km，油箱剩余油量为：（）， 故答案为：50，38； 【小问2详解】 由表格可知，开始油箱中的油为50，每行驶100km，油量减少8，据此可得与的关系式为：， 与的关系式为：； 【小问3详解】 令，即， 解得：， 两地之间的距离为500km． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出函数解析式，读懂表格数据所代表的含义，行驶路程为0时，即为油箱最大容积． 28. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图1），进行了如下操作： ①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离为1.5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离的长为8米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如图2，小明想让风筝沿方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用（1）利用勾股定理求得的值，再利用求解即可； （2）根据勾股定理求得的值，再利用求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：风筝的垂直高度为； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， 在中，， ∴， 答：他应该往回收线． 29. （1）如图①，已知：中，，直线经过点，于，于，猜想之间的数量关系； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问（1）中结论是否仍然成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和． 【答案】（1）；（2）成立；证明见解析；（3）6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）证明，则，； （3）同理（2）可知，，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：； ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论仍然成立； ∵， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， 同理（2）可知，，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 与的面积之和为6． 30. 读材料，解答下列问题：若，求的值． 小亮的解题方法如下：设，，则，， ∴． （1）运用材料中的方法解答：若，求的值； （2）如图1，长方形空地，米，米，在中间长方形上安放雕塑，四周剩余的宽度相同，设该宽度为米，长方形中______米， ______米．（用含代数式表示） （3）在(2)的条件下，如图2，以长方形四边为直径在形外做半圆，在四个半圆里种花，若长方形的面积为平方米，求种花的面积．（结果保留） 【答案】（1） （2）， （3）平方米 【解析】 【分析】本题综合考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题的关键． （1）设，，则，；根据即可求解； （2）根据、即可求解； （3）由题意得、，可得，根据种花的面积即可求解． 【小问1详解】 解：设，， 则，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由图可知：（米）， （米）， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由题意得：， 由（2）可得：， ∵， ∴种花的面积（平方米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$