精品解析：山东省日照市2023-2024学年高二下学期期中校际联合考试数学试题

参照秘密级管理★启用前 2022级高二下学期期中校际联合考试 数学试题 2024.05 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知实数是2和8的等差中项，则（ ） A. B. -4 C. 4 D. 5 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. 7 B. 8 C. 或8 D. 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 已知数列满足：，，则（ ） A. 34 B. 42 C. 46 D. 64 6. 若等差数列{}满足，则当{}的前n项和最大时，n＝（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. 或 D. 8. 已知函数有三个不同的零点，其中，则的值为（ ） A. 1 B. C. -1 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 为函数的零点 B. 函数在上单调递减 C. 为函数的极小值点 D. 是函数的最小值 10. 等差数列满足，记，，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是递增数列 C. D. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数列中，，且，则__________. 13. 已知函数是函数的极值点，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________. 14. 已知各项均不为0的数列，其前项和为，且，对任意的，恒成立，则的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，曲线在处的切线方程为. （1）求的值； （2）求在区间上的最值. 16. 已知公差为正数的等差数列的前项和为，数列为等比数列，且，. （1）求数列的前项和； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知函数，，. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，对，，求正整数的最大值. 18. 已知数列满足，且对任意正整数都有. （1）写出，并求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的值； （3）设是数列的前项和，求证：. 19. 已知函数. （1）判断函数在区间上零点的个数并证明； （2）函数在区间上的极值点从小到大分别为， ①证明：； ②是否存在，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参照秘密级管理★启用前 2022级高二下学期期中校际联合考试 数学试题 2024.05 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知实数是2和8的等差中项，则（ ） A. B. -4 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差中项的概念求值. 【详解】由题意：. 故选：D 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数求导公式即可求解. 【详解】对A，，A错； 对B，，B正确； 对C，，C错； 对D，，D错. 故选：B 3. 在等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. 7 B. 8 C. 或8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由韦达定理得到，再根据等比数列性质可以求出. 【详解】等比数列中，是方程的两个根，则， 再根据等比数列性质可以求出. 故选：D. 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，再令可得结论. 【详解】因为，令得. 故选：A 5. 已知数列满足：，，则（ ） A. 34 B. 42 C. 46 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】由，，利用递推思想，逐项求出，再相加即可. 【详解】，， 则，，，； 则. 故选：B. 6. 若等差数列{}满足，则当{}的前n项和最大时，n＝（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由题意和等差数列的性质可得的前8项为正数，从第9项开始为负数，由此易得结论． 【详解】解：等差数列满足， ， ，，则， 等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数， 当的前项和最大时的值为8. 故选：B. 7. 若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可． 【详解】由题意，， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递减，在，上单调递减， 若函数在区间上单调， 则或或，解得或或， 即或. 故选：C. 8. 已知函数有三个不同的零点，其中，则的值为（ ） A. 1 B. C. -1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，求得导数和单调性，画出图象，从而考虑有两个不同的根，从而可得或，结合图象可得，结合韦达定理即可得到所求值. 【详解】令，则，故当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，且在处取得极小值， 当，，，，所以函数的图象如图所示， 由可化为，结合图象可知方程有两个不同的实数根， 故或，不妨设方程的两根为，， 若，，，所以， 由图象易知共有两个根，故不成立； 若，则方程的两根为一正一负，不妨设， 结合的性质可得，， 故， 又因为，，所以. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 为函数的零点 B. 函数在上单调递减 C. 为函数的极小值点 D. 是函数的最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导函数的图象，判断出导数的正负，从而可得函数的单调区间，可判断函数的极值，进而可得答案. 【详解】由的图象可知，当或时，， 当或时，， 所以在和上单调递增，在和上单调递减， 所以在和处取得极小值，在处取得极大值， 正确， 不一定是最小值，D错误， 由条件不能确定为函数的零点，A错误， 故选：. 10. 等差数列满足，记，，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是递增数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出等差数列的公差即可得通项公式进而判断A；由单调性定义计算即可判断B；直接倒序计算即可得解判断C；求出，再根据高斯函数定义分段计算即可判断D. 【详解】对于A，设等差数列的公差为， 则由得，解得， 所以，故A正确； 对于B，由A以及等差中项公式得 ， 故，当且仅当时等号成立， 由知，故， 故由题意得， 所以B为递减数列，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，因为， 则当时，；当时，； 当时，；当时，， 故，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知条件，利用对数式的运算判断范围，通过构造函数，利用基本不等式和导数求最值判断不等式是否成立. 【详解】对于A， 则，即， 解得故A正确； 对于B， 函数，则， 时， ，单调递减， 时， ，单调递增， ，即，时，等号成立， 已知，所以，故B正确； 对于C， 已知则，当且仅当，即时， 等号成立， 所以，所以，得，故C错误； 对于D， 设因为则， 设，则， 设，则，在上单调递增， 当时，所以，即， 所以在上恒成立，得在单调递增， 所以，即，故D错误. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较式子大小，解题的关键是根据题干式子形式构造函数，利用函数的单调性比较大小即可. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数列中，，且，则__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据条件判断等差数列再根据通项公式计算. 【详解】由已知得，所以为等差数列公差为2， 所以. 故答案为：7. 13. 已知函数是函数的极值点，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用导数分别求出在的值域，根据极值点性质得到，从而得到函数的单调性和，根据题意得到，再解不等式即可. 【详解】，，令，解得. 所以，，在上为增函数. 所以时，. ，， 因为是函数的极值点， 所以，解得，所以. 所以，，在上为增函数，且， 则时，． 因为对任意的，总存在唯一的，使得成立， 所以，即，解得. 故答案为：. 14. 已知各项均不为0的数列，其前项和为，且，对任意的，恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由，得出等差数列，再根据恒成立得出为最小值，计算可得首项范围即可. 【详解】因为，当时，， 当时，， 所以 所以，， 可得数列的奇数项是首项为 ，公差为2的等差数列，偶数项是首项和公差均为2的等差数列， 由任意的 ，恒成立，可得， 即有 ，解得 ，① 又，即，解得 ② 由①②，可得 因为各项均不为0，所以， 则， 由于，且，可得， 所以，都有, 综上，可得的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，曲线在处的切线方程为. （1）求的值； （2）求在区间上的最值. 【答案】（1）， （2）最大值为13，最小值为5 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果； （2）利用导数判断单调性，根据单调性可求出最值. 【小问1详解】 ， ， 又∵曲线在处的切线方程为. ，，即得：， 解得：， 【小问2详解】 由（1）得：，， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，，所以. 在区间上的最大值为13，最小值为5. 16. 已知公差为正数的等差数列的前项和为，数列为等比数列，且，. （1）求数列的前项和； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组求出公差与公比，得到，再由错位相减法求和即可； （2）由分组求和结合等比数列求和公式与裂项相消法计算即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列公比为， ， 解得：， ， ， ， ， 两式作差得： . 【小问2详解】 由（1）得：. 则 . 17. 已知函数，，. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，对，，求正整数的最大值. 【答案】（1） 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）3. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再按与分类讨论求出函数的单调性. （2）把代入，再等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出最小值的范围得解. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， ①当时，有，此时函数在区间上单调递减； ②当时，当时，，此时函数在区间上单调递增； 当时，，此时函数在区间上单调递减. 所以当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 【小问2详解】 当，时，恒成立，等价于恒成立， 设，，则， 当时，有， 函数在上单调递增，且，， 则存在唯一的，使得，即， 当时，，；当时，，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 设，则当时，，函数在上单调递减， 又因为，所以. 所以正整数的最大值是3. 18. 已知数列满足，且对任意正整数都有. （1）写出，并求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的值； （3）设是数列的前项和，求证：. 【答案】（1），， （2）2 （3）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 因为对任意正整数都有， 故，， 令，可得， 所以. 当时，， 当时，，符合上式，所以； 【小问2详解】 由（1）得，当为偶数时， 当为奇数时，为偶数， . 综上所述，； 若为偶数，则为奇数，由，得， 解得（舍去）或； 若为奇数，则为偶数，由，得，方程无解， 不合题意，舍去. 综上，所求的值为2. 【小问3详解】 由 现在我们来证明时，， 令，求导得， 所以在上单调递增，所以， 结合当时，，有， 所以. 故 【点睛】关键点点睛：问题的第三问，先化简，得，再证明时，，利用结论，对数列进行放缩，得到，可证结论. 19. 已知函数. （1）判断函数在区间上零点的个数并证明； （2）函数在区间上的极值点从小到大分别为， ①证明：； ②是否存在，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）有两个零点，证明见解析 （2）①证明见解析，②不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出，分时，时，时，的单调性及极值点情况，判断零点的个数； （2）①利用导数分析的极值点分布情况，且不同区间极值点表示，并得到，得，进而有结合对应区间单调性，即可证. ②同①分析得，且，讨论的奇偶性判断目标式的符号，即可得. 【小问1详解】 零点有两个，证明如下：，则， 当时，单调递增，，故在上无零点； 当时，单调递减，，故在上有唯一零点； 当时，单调递增，，故在上有唯一零点； 综上，函数在区间上恰有两个零点. 【小问2详解】 ①， 由（1）知在上无极值点,在上有极小值点，即为，在有极大值点，即为， 同理可得，在有极小值点，,在有极值点， 由得， ， ， ， ，则， 由函数在单调递增得， ， 由在单调递增得， . ②不存在，理由如下， 同①有，则， 由在上单调递增，得， ，且， 当为偶数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值， 即； 当为奇数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值， 即， 综上，对一切成立， 故不存在使得. 【点睛】关键点点睛：①利用极值点证明不等式时，关键的地方在于要根据导函数的零点与极值点的关系得到，结合得到；②由正弦函数的单调性，得，确定为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $