第17章 微专题4 利用勾股定理解决翻折问题-【宝典训练】2023-2024学年八年级下册数学高效课堂课件（人教版）

第十七章　勾股定理 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 类型1　三角形中的翻折问题 1．如图，在Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长． 解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18－x， ∵D是BC的中点，BC＝12， ∴BD＝6， 在Rt△NBD中，x2＋62＝(18－x)2， 解得x＝8. 故线段BN的长为8. 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 2．有一块直角三角形纸片，两直角边分别为AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长． 解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称， ∴AC＝AE＝6 cm，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°， 在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝10， ∴BE＝AB－AE＝10－6＝4(cm)， 设CD＝DE＝x cm，则DB＝BC－CD＝8－x， 在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2＋42＝(8－x)2， 解得x＝3，即CD＝3 cm． 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 3．如图，折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在AB边上的F处，折痕为DE.已知AB＝AC，FD⊥BC. 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 (1)求证：∠AFE＝90°． 证明：由折叠性质得∠C＝∠EFD，EF＝CE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝∠EFD， ∵FD⊥BC， ∴∠B＋∠BFD＝90°， ∴∠EFD＋∠BFD＝90°， ∴∠AFE＝180°－∠EFD－∠BFD＝90°； 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 (2)AF＝4，BF＝6，求AE的长． 解：∵AF＝4，BF＝6，AB＝AC， ∴AC＝AB＝4＋6＝10， ∴EF＝CE＝AC－AE＝10－AE， 在Rt△AFE中，AF2＋EF2＝AE2， ∴42＋(10－AE)2＝AE2， 解得AE＝ . 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处， 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 (1)求∠ECF的度数； ∠BCB′， 又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCB′＝90°， 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 (2)若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积． 解：由折叠可得，∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B′F＝1， ∴∠EFC＝45°＝∠ECF，∴CE＝EF＝4，∴BE＝4＋1＝5， 设AE＝x，则AB＝x＋5， ∵Rt△ACE中，AC2＝AE2＋CE2，Rt△ABC中，AC2＝AB2－BC2， 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 类型2　四边形中的翻折问题 5．如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG.若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是(　　) A．3 B．2.5 C．2 D．1 C 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 6．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝10，E为CD边上一点．将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使BC的对应边B′C′恰好经过点D，则DE的长为___. 5 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 7．如图，点E和点F分别在正方形纸片ABCD的边CD和AD上，连接AE，BF，沿BF所在直线折叠该纸片，点A恰好落在线段AE上点G处．若正方形纸片的边长12，DE＝5，求GE的长度． 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 解：如答图，设BF与AE的交点为H， ∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°， 由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG， ∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH＋∠ABH＝90°， 又∵∠FAH＋∠BAH＝90°， ∴∠ABH＝∠FAH， 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 8．如图所示，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边CO，OA分别在x轴，y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的三等分点F处．AB＝6，求点E的坐标． 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 解：由题意知点F是OC的三等分点，分两种情况： ①若CF＝2，OF＝4，如答图1， ∵将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在F处， ∴AB＝AF＝6， 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 第 ‹#› 页 微专题4　利用勾股定理解决翻折问题 返回首页 本节内容到此结束！ logo 解：由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD，∠BCF＝∠B′CF＝ ∴∠ECD＋∠FCD＝×90°＝45°，即∠ECF＝45°； 在Rt△BCE中，由勾股定理得BC＝＝＝， ∴AE2＋CE2＝AB2－BC2，即x2＋42＝(x＋5)2－41，解得x＝， ∴AE＝，AB＝AE＋BE＝＋5＝， ∴S△ABC＝AB×CE＝××4＝. 在△ABF和△DAE中， ∴△ABF≌△DAE(ASA)，∴AF＝DE＝5， ∵在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，S△ABF＝ AB·AF＝BF·AH，∴12×5＝13AH，∴AH＝， ∴AG＝2AH＝，∵AE＝BF＝13， ∴GE＝AE－AG＝13－＝. ∴OA＝＝＝2， 设CE＝a，则BE＝2－a， 由题意可得，EF＝BE＝2－a， ∵∠ECF＝90°，CF＝2， ∴a2＋22＝(2－a)2，解得a＝， ∴E； ②若CF＝4，OF＝2，如答图2， 同理可得AO＝4， ∴a2＋42＝(4－a)2，解得a＝， ∴E(－6，)； 综上所述，点E的坐标为或(－6，)． $$