第08讲 平面上两点间的距离（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第08讲 平面上两点间的距离 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 两点之间的距离公式 2 题型02 两点间距离公式的应用 4 题型03 坐标法的应用 7 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 17 创新拓展 24 一、两点之间的距离公式 1．平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式________________________． 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得P1P2＝＝|x2－x1|，或P1P2＝|y2－y1| 二、坐标法的应用 对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则 题型01两点之间的距离公式 【解题策略】 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解． 【典例分析】 课本例1　(1)求A(－1,3)，B(2,5)两点间的距离； (2)设a为实数，已知A(0,10)，B(a，－5)两点间的距离是17，求a的值． 【例1】已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则两点间的距离为 . 【变式2】（2023高二上·全国·专题练习）已知点A(a,3)和B(3,3a＋3)间的距离为5，则a的值为 【变式3】（22-23高二·全国·随堂练习）已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，求线段AB的长． 题型02 两点间距离公式的应用 【解题策略】 将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解． 【典例分析】 【例2】（20-21高二·全国·课后作业）直线上与点的距离等于的点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为 ． 【变式2】（22-23高二上·江苏南京·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，点，，若直线上存在点P使得，则实数m的取值范围是 . 【变式3】（2023高二上·全国·专题练习）已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 题型03 坐标法的应用 【解题策略】 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”． (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量． ②进行有关代数运算． ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 【典例分析】 课本例3　在直角三角形ABC中，点M为斜边BC的中点，试建立适当的直角坐标系，求证：AM＝BC. 【例3】求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 【变式演练】 【变式1】（2023高二上·江苏·专题练习）已知，为直角，，，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等． 【变式2】（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）（1）已知点和点，在轴上求一点的坐标，使为直角； （2）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形 【变式3】（22-23高二·全国·课堂例题）在直角三角形中，点为斜边的中点，试建立适当的直角坐标系，求证：． 【夯实基础】 一、单选题 1．（2023高二上·全国·专题练习）已知点，，，若，，是的三个顶点，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．（23-24高二上·新疆和田·期末）已知点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 4．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 5．（23-24高二上·山东济南·期末）一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（    ） A．直线AB的斜率是 B． C． D． 6．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）若，下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2023高二上·全国·专题练习）已知点，，那么两点之间的距离等于 . 8．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知点，直线l：（），则点P到直线l的距离的最大值为 . 9．（23-24高二上·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则 四、解答题 10．（2023高二上·全国·专题练习）已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 11．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）（1）求的交点坐标. （2）用坐标法证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）三角形的三个顶点为，则的中线的长为（    ） A．3 B．5 C．9 D．25 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 二、多选题 5．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）对于，下列说法正确的是（    ） A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离 C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离 6．（23-24高二上·江苏常州·期末）点、，过、的直线为，下列说法正确的有（    ） A．若，则直线的方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C．任意实数，都有 D．存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数 三、填空题 7．（2023高二上·全国·专题练习）已知点与点间的距离是，则实数 . 8．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知点为中点，则 ． 9．（23-24高二上·安徽合肥·期中）在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为 . 四、解答题 10．（21-22高二·全国·课后作业）用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直．已知：四边形，.求证： 11．（23-24高二上·山东临沂·阶段练习）已知直线l过点(1，0)，且与直线：和：所分别交于A、B两点，且．求直线l的方程． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 二、多选题 2．（22-23高二上·吉林长春·期中）已知点，点在直线上，且直线与直线垂直，则（    ） A．直线的斜率是2 B．直线的方程是 C．点的坐标是 D． 三、填空题 3．（23-24高二上·四川成都·期中）设点，在轴上，在直线上，则的周长的最小值为 ． 四、解答题 4．（2023高三·全国·专题练习）设，是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为．对于平面xOy上给定的不同的两点，． (1)若点是平面xOy上的点，试证明：． (2)在平面xOy上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明． 【下节预览】 一、选择题 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 二、解答题 2．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 平面上两点间的距离 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 两点之间的距离公式 2 题型02 两点间距离公式的应用 4 题型03 坐标法的应用 7 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 17 创新拓展 24 一、两点之间的距离公式 1．平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝. 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得P1P2＝＝|x2－x1|，或P1P2＝|y2－y1| 二、坐标法的应用 对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则 题型01两点之间的距离公式 【解题策略】 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解． 【典例分析】 课本例1　(1)求A(－1,3)，B(2,5)两点间的距离； (2)设a为实数，已知A(0,10)，B(a，－5)两点间的距离是17，求a的值． 解　(1)由两点间距离公式，得 AB＝＝. (2)由两点间距离公式，得 ＝17， 解得a＝±8. 故所求实数a的值为8或－8. 【例1】已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状． 解　方法一　∵AB＝＝＝2， AC＝＝＝2， 又BC＝＝＝2， ∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形． 方法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又AC＝＝＝2， AB＝＝＝2， ∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则两点间的距离为 . 【答案】10 【分析】根据题意，由两点间距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】，， 则两点间的距离为：. 故答案为：10. 【变式2】（2023高二上·全国·专题练习）已知点A(a,3)和B(3,3a＋3)间的距离为5，则a的值为 【答案】-1或 【分析】利用两点之间的距离公式求解即可. 【详解】∵点和间的距离为5， ∴， 即，解得或， 故答案为：或. 【变式3】（22-23高二·全国·随堂练习）已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，求线段AB的长． 【答案】 【分析】根据条件可求出的坐标，然后根据两点间的距离公式可得答案. 【详解】因为点A在x轴上，点B在y轴上，所以设， 因为线段AB的中点M的坐标是，所以，即， 所以，. 题型02 两点间距离公式的应用 【解题策略】 将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解． 【典例分析】 【例2】（20-21高二·全国·课后作业）直线上与点的距离等于的点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设所求点坐标为，根据已知条件列方程，由此求得正确答案. 【详解】设所求点的坐标为，有，且， 两式联立解得或. 故选：C 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据条件设出直线的方程为，求出点，坐标，用表示出，再借助几何意义即可计算得解． 【详解】由直线垂直于，，则设的方程为， 由，得，由，得， 由，，得， 表示动点到定点与的距离的和， 动点在直线上，点与在直线两侧， 则有， 当且仅当是直线与线段的交点，即原点时取“”，此时， 所以取最小值， 则的最小值为． 故答案为：． 【变式2】（22-23高二上·江苏南京·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，点，，若直线上存在点P使得，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用两点距离公式由得到，再代入整理得，进而由求得m的取值范围. 【详解】根据题意，设，则， ， ，整理得， 将代入，整理得， 由于方程有解，故，即，即 解得：，即. 故答案为：. 【变式3】（2023高二上·全国·专题练习）已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)26 【分析】（1）由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是等腰直角三角形； （2）由三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】（1）因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 题型03 坐标法的应用 【解题策略】 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”． (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量． ②进行有关代数运算． ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 【典例分析】 课本例3　在直角三角形ABC中，点M为斜边BC的中点，试建立适当的直角坐标系，求证：AM＝BC. 证明　如图，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)． 因为点M是BC的中点，所以点M的坐标为，即. 由两点间距离公式，得 BC＝＝， AM＝＝. 所以AM＝BC. 【例3】求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 证明　如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点． 设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)， 则AB＝|c|. 又由中点坐标公式，得D，E， ∴DE＝＝， ∴DE＝AB， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 【变式演练】 【变式1】（2023高二上·江苏·专题练习）已知，为直角，，，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等． 【答案】答案见解析，证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，利用两点间距离公式证明结论. 【详解】以B为坐标原点，以边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则三个顶点的坐标分别为，，． 由中点坐标公式得斜边AC的中点M的坐标为. 所以， ， . 所以. 【变式2】（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）（1）已知点和点，在轴上求一点的坐标，使为直角； （2）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形 【答案】（1）或；（2）证明见解析 【分析】（1）设，由列方程，由此求得点的坐标. （2）利用斜率判断直线是否平行，利用两点间距离公式判断线段是否相等. 【详解】（1）因为点在轴上，所以可设点， 由题意知，且，由已知点和点， 则直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以，所以， 解得或，所以点的坐标为或. （2）由， 则，， 由题意是四边形，知不共线，则， 又，， 故， 所以四边形是梯形. 【变式3】（22-23高二·全国·课堂例题）在直角三角形中，点为斜边的中点，试建立适当的直角坐标系，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】以直角的直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系，设两点的坐标分别为和，结合两点间的距离公式，即可求解. 【详解】如图所示，以直角的直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系， 设两点的坐标分别为，， 因为点是的中点，所以点的坐标为，即， 由两点间距离公式得， ． 所以，即．    【夯实基础】 一、单选题 1．（2023高二上·全国·专题练习）已知点，，，若，，是的三个顶点，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】计算，，，且，得到答案. 【详解】， ，故，且， 故为等腰三角形. 故选：B. 2．（23-24高二上·新疆和田·期末）已知点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点间的距离公式得出三边长度，结合勾股定理逆定理证明，由此即可得解. 【详解】由题意， 所以，即， 所以的面积为. 故选：A. 3．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 4．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意，作出点(或点)关于直线的对称点（），作直线（）与直线相交，则交点则就是使取最大值的点,求出点（点）坐标，即得最大距离即（）. 【详解】 如图，作出点关于直线的对称点，连接延长交直线于点,此时点使取得最大值. (原因如下：根据点关于直线的对称图形特征，知,此时, 在直线上另取点,连接,则,) 不妨设点，则有：解得：即, 故 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高二上·山东济南·期末）一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（    ） A．直线AB的斜率是 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】选项A应用斜率公式计算即可；选项B，先求得点关于轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C，求得反射光线所在直线的方程，进而求得点的坐标；选项D应用两点间距离公式求解即可. 【详解】对于A，由于、，由斜率公式得：，选项A正确； 对于B，点关于轴的对称点的坐标为，经x轴反射后直线的斜率为： ，且，所以，选项B正确； 对于C，直线即直线的方程为：，即， 将代入得：，所以点，，选项C不正确； 对于D，由两点间距离公式得：，选项D正确； 故选：ABD. 6．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）若，下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】应用两点式求各项对应两点所在直线的斜率，结合斜率关系判断A、B、D；应用两点距离公式求线段长判断C. 【详解】由，，而， 所以且四点不共线，故，A对； 由，显然，故不成立，B错； ，， 所以，C错； 由，则，即，D对. 故选：AD 三、填空题 7．（2023高二上·全国·专题练习）已知点，，那么两点之间的距离等于 . 【答案】3 【分析】利用平面内两点间的距离公式直接计算作答. 【详解】因为点，，则，所以两点之间的距离等于3. 故答案为：3. 8．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知点，直线l：（），则点P到直线l的距离的最大值为 . 【答案】； 【分析】根据直线过定点的求法可求得直线所过定点，当直线与PQ垂直时，点P到直线的距离最大. 【详解】直线方程可化为：， 由得：， ∴直线恒过定点， 所以点P到直线l的距离的最大值为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则 【答案】10 【分析】先确定和，由于两直线垂直，所以. 【详解】由题意可得：，则， 由，则， 当时，两直线垂直， 当时，两直线斜率之积等于， ∴直线和直线垂直， 则. 故答案为：10 四、解答题 10．（2023高二上·全国·专题练习）已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 【答案】 【分析】通过两点距离公式联立求解即可. 【详解】设所求点为， 则， ， 由得 解得， 所以，所求点， . 11．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）（1）求的交点坐标. （2）用坐标法证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和． 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】（1）直接联立两直线方程，解方程组即可求得交点坐标. （2）画出图形，建立适当的平面直角坐标系，设出点的坐标结合两点间的距离公式证明即可. 【详解】（1）解方程组得， 所以，与的交点坐标是. （2）如图， 建立平面直角坐标系， 在平行四边形中，点A的坐标是，设点B的坐标为，点D的坐标为，由平行四边形的性质，得点C的坐标为． 由两点间的距离公式，得 ，，，． 所以， ． 所以， 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式直接计算即可. 【详解】因为， 则, 故选： 2．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倾斜角求出，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，， 解得，故， 则两点间的距离为. 故选：C 3．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）三角形的三个顶点为，则的中线的长为（    ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【分析】求出边的中点坐标，根据两点间的距离公式即可求得答案. 【详解】设边的中点为D，则D点坐标为，即， 故的中线的长为， 故选：B 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 二、多选题 5．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）对于，下列说法正确的是（    ） A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离 C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离 【答案】BD 【分析】利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】由题意，可得， 可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离， 故选：BD 6．（23-24高二上·江苏常州·期末）点、，过、的直线为，下列说法正确的有（    ） A．若，则直线的方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C．任意实数，都有 D．存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数 【答案】ABD 【分析】利用点斜式可判断A选项；利用斜率公式以及倾斜角与斜率的关系可判断B选项；利用平面内两点间的距离公式可判断C选项；利用截距式方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，点，又因为点，则， 此时，直线的方程为，即，A对； 对于B选项，若，则，又因为点，， 设直线的倾斜角为，则，且，则， 即直线的倾斜角为，B对； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C错； 对于D选项，若直线过原点，则直线的斜率为， 此时，直线的方程为，即， 因为点在直线上，则，解得， 若直线不经过原点，设直线的方程为， 因为点在直线上，则，此时，直线的方程为， 因为点在直线上，则，解得. 综上所述，存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数，D对. 故选：ABD. 三、填空题 7．（2023高二上·全国·专题练习）已知点与点间的距离是，则实数 . 【答案】或 【分析】通过两点之间的距离公式求解即可. 【详解】∵， ∴，解得或； 故答案为：或 8．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知点为中点，则 ． 【答案】 【分析】先求得点的坐标，然后求得， 【详解】由于是中点，所以， 所以. 故答案为： 9．（23-24高二上·安徽合肥·期中）在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则 解得即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 10．（21-22高二·全国·课后作业）用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直．已知：四边形，.求证： 【答案】证明见解析 【分析】建立直角坐标系，设各点坐标，根据得到，得到证明. 【详解】如图，以所在的直线为轴，过点垂直于的直线为轴建立直角坐标系， 设顶点坐标分别为， ，故， 整理得到，即，，故在轴上，，得证. 11．（23-24高二上·山东临沂·阶段练习）已知直线l过点(1，0)，且与直线：和：所分别交于A、B两点，且．求直线l的方程． 【答案】或． 【分析】先验证斜率不存在时符合题意，斜率存在时再设直线方程，联立直线求交点，根据交点距离列关系求得斜率，即得方程． 【详解】当直线l斜率不存在时，方程为，与两直线交点分别是，，距离为9，符合题意； 当直线l斜率存在时，方程可设为， 直线l与直线联立，得交点， 直线l与直线联立，得交点， 故两点间的距离为，化简得， 即直线方程为，即， 综上，直线l方程为或． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【分析】求出直线过定点.然后可知当时，点到直线l：的距离最大，进而根据两点间的距离公式得出最值.根据斜率公式，以及两条直线的位置关系得出直线的斜率，代入整理即可得出答案. 【详解】将直线l：变形可得， 解可得，所以直线过定点. 当时，点到直线l：的距离最大，最大值为. 又，直线的斜率为， 所以，，解得， 所以，直线的方程为， 整理可得. 故选：A. 二、多选题 2．（22-23高二上·吉林长春·期中）已知点，点在直线上，且直线与直线垂直，则（    ） A．直线的斜率是2 B．直线的方程是 C．点的坐标是 D． 【答案】ABC 【分析】根据直线垂直求得直线斜率判断A，根据点斜式方程求解直线方程判断B，联立直线方程得点坐标判断C，根据两点距离公式计算判断D. 【详解】与直线垂直的直线的斜率，故选项A正确； 又直线过点，所以直线方程为，即，故选项B正确； 联立，解得，所以点的坐标是，故选项C正确； 根据两点距离公式得，故选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题 3．（23-24高二上·四川成都·期中）设点，在轴上，在直线上，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出关于轴和直线的对称点，数形结合求出最小值. 【详解】设关于的对称点为，关于轴的对称点为， 则，解得，故， 连接交轴于点，交直线于点，连接， 则， 此时的周长最小，最小值为.    故答案为： 四、解答题 4．（2023高三·全国·专题练习）设，是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为．对于平面xOy上给定的不同的两点，． (1)若点是平面xOy上的点，试证明：． (2)在平面xOy上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【详解】本题的关键是理解折线距离的定义． （1）证明 ． 所以． （2）先考虑相异两点A，B的特殊情况，当A，B两点横坐标或者纵坐标相同时，AB即是平行于y轴或者x轴的直线段，符合条件的C点即为AB的中点（这属于折线的特殊情况——直线）．当A，B两点的横、纵坐标各异，即，时，不妨设，下面讨论，两种情况． 假设，则由条件①可得， 故，，即，． 又由条件②，即， 去掉绝对值符号可得， 即，也即． 同理，假设，当，时， 可得． 【反思】取点使，，验知此时点同时满足条件（ⅰ）、（ⅱ），则存在点C满足题意，且所有符合条件的点C是线段AB的中点． 【下节预览】 一、选择题 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式直接求值即可. 【详解】原点到直线间的距离是：. 故选：A 二、解答题 2．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程． 【答案】或 【分析】当直线斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l的方程为；当直线与x轴垂直时，方程为也符合题意．由此即可得到此直线l的方程． 【详解】当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，即 ∵点到的距离为1， ∴，解之得， 得的方程为． 当直线与x轴垂直时，方程为，点到的距离为1， ∴直线的方程为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$