第07讲 两条直线的交点（两大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第07讲 两条直线的交点 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 判断直线的交点及由交点求参数 2 题型02 过两直线交点的直线系方程 5 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 14 创新拓展 21 一、判断直线的交点及由交点求参数 设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 方程组的解 一组 无数组 直线l1，l2的公共点 一个 零个 直线l1，l2的位置关系 重合 注意点： (1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． (2)两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. 二、过两直线交点的直线系方程 1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． 2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 题型01判断直线的交点及由交点求参数 【解题策略】 (1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系． (2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足其他直线． 【典例分析】 课本例1　分别判断下列直线l1与l2是否相交．若相交，求出它们交点的坐标： (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0, l2：y＝－2x＋3. 【例1】　(1)(多选)下列选项中，正确的有(　　) A．直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为(1,3) B．直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为(2,1) C．直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3的交点坐标为(－2,2) D．直线l1：x－2y＋1＝0，l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0两两相交 (2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　　) A．－24 B．24 C．6 D．±6 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为 . 【变式2】（2023高二上·全国·专题练习）已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与的交点在y轴上，求m的值． 题型02 过两直线交点的直线系方程 【解题策略】 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 【典例分析】 【例2】求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 【变式演练】 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）求过两直线和的交点且过点的直线方程为 ． 【变式2】（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）直线与直线平行，且过直线与的交点，则直线的方程为 . 【变式3】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围 （    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 ) A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）若三条直线不能围成三角形，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D． 6．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知两条直线，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与相交于点 D．当时，直线与坐标轴围成的三角形面积等于 三、填空题 7．（23-24高二下·上海·阶段练习）两直线和的交点为 ． 8．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）若直线过直线和的交点，且在轴的截距是轴截距的2倍，则直线的方程是 . 9．（23-24高二上·广东·期末）在原点处发射一束激光，经过直线反射后撞击处的一个中子.已知的坐标为，光束射到的位置为点，则的坐标为 . 四、解答题 10．（23-24高二上·广西桂林·期末）已知直线与直线相交于点. (1)求点的坐标； (2)求过点，且倾斜角为的直线的方程. 11．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线，设直线的交点为. (1)求点的坐标； (2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二·全国·假期作业）已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）求经过两直线：和：的交点P，且与直线：垂直的直线l的方程．（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若三条不同的直线能围成一个三角形，则m的取值不可能为（    ） A． B． C． D．1 6．（22-23高二上·全国·期中）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 三、填空题 7．（2023高二上·全国·专题练习）已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝ . 8．（2023高二上·全国·专题练习）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为 . 9．（23-24高二上·北京房山·期末）已知直线，则与的交点坐标为 ；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 四、解答题 10．（2023高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 11．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线的方程为，若在x轴上的截距为，且． (1)求直线与的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求的方程． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 2．（23-24高二上·四川成都·期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有（    ） A．过点且平行于的直线的方程为 B．直线的方程为 C．点的坐标为 D．边的垂直平分线的方程为 三、填空题 3．（23-24高二上·湖南永州·阶段练习）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为 . 四、解答题 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线和． (1)求经过原点与垂直的直线方程； (2)若直线和与x轴分别交于A，B两点，求|AB|． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 两条直线的交点 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 判断直线的交点及由交点求参数 2 题型02 过两直线交点的直线系方程 5 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 14 创新拓展 21 一、判断直线的交点及由交点求参数 设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 注意点： (1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． (2)两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. 二、过两直线交点的直线系方程 1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． 2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 题型01判断直线的交点及由交点求参数 【解题策略】 (1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系． (2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足其他直线． 【典例分析】 课本例1　分别判断下列直线l1与l2是否相交．若相交，求出它们交点的坐标： (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0, l2：y＝－2x＋3. 解　(1)因为方程组的解为 所以直线l1和l2相交，且交点坐标为(3，－1)． (2)因为方程组有无数组解，所以直线l1和l2重合． (3)因为方程组无解，所以l1∥l2. 【例1】　(1)(多选)下列选项中，正确的有(　　) A．直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为(1,3) B．直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为(2,1) C．直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3的交点坐标为(－2,2) D．直线l1：x－2y＋1＝0，l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0两两相交 答案　AD 解析　方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(1,3)，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合，B错误； 方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2，C错误； 方程组的解为方程组的解为方程组的解也为所以三条直线两两相交且交于同一点(1,1)，D正确． (2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　　) A．－24 B．24 C．6 D．±6 答案　A 解析　联立解得因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，所以y＝＝0，解得k＝－24. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为 . 【答案】 【分析】通过联立方程组的方法来求得两直线的交点坐标. 【详解】联立，解得. 直线和的交点为. 故答案为： 【变式2】（2023高二上·全国·专题练习）已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出两直线交点的坐标，根据交点位置可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】联立可得， 所以，两直线的交点坐标为，且交点在第四象限， 则，解得，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与的交点在y轴上，求m的值． 【答案】 【分析】首先由两线平行得，联立直线方程求交点坐标，根据交点位置求参数即可. 【详解】当时，，平行，无交点； 所以，此时联立方程有，可得， 由交点在y轴上，则，即. 题型02 过两直线交点的直线系方程 【解题策略】 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 【典例分析】 【例2】求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 解　方法一　解方程组 得所以两直线的交点坐标为. 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y＋＝－3， 即15x＋5y＋16＝0. 方法二　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以有 得λ＝. 代入(*)式，得x＋y＋＝0， 即15x＋5y＋16＝0. 【变式演练】 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）求过两直线和的交点且过点的直线方程为 ． 【答案】 【详解】求出两直线和的交点，再用两点式方程求出直线方程. 【分析】由得 所以直线过点(2,5)和(1,1)， ∴所求的直线方程为，即：． 故答案为：． 【变式2】（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）直线与直线平行，且过直线与的交点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】先求出直线和的交点，再由题意设直线方程为，将交点代入解出，即可得出答案. 【详解】联立直线和得，则得其交点为. 因为直线与直线平行， 所以设直线方程为，将点坐标代入得， ∴直线方程为，即， 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两条直线与的交点，利用两点式方程整理计算即可; （2）求出平行于的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可. 【详解】（1）由解得, 即两直线的交点坐标为. 直线经过点和，由两点式方程得，， 化简得所求直线方程为. （2）由可得直线的斜率为， 故平行于直线的直线的斜率为， 结合（1）问可得：两条直线与的交点为， 由点斜式方程得，， 化简得所求直线方程为. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到两直线的交点坐标，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】联立，解得，故两直线的交点为. 因为交点在第一象限，所以，解得. 故选：A 2．（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可. 【详解】由题知：，解得：，交点. 直线的斜率为，所求直线斜率为. 所求直线为：，即. 故选：B. 3．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据垂直关系求解出的值，然后联立直线方程可求交点坐标. 【详解】因为与互相垂直， 所以，所以， 所以，解得， 所以交点坐标为， 故选：B. 4．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两直线求出交点坐标，根据的方向向量求出直线的斜率即可求出的方程. 【详解】联立，解得， 即直线：，：的交点为， 又直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为，故直线的方程为， 即， 故选：B． 二、多选题 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）若三条直线不能围成三角形，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据三条直线不能围成三角形可分为：有两条直线互相平行或三条直线相交于同一个点求解. 【详解】三条直线不能围成三角形，分为以下三种情况： ，则有，解得； ，则有，解得； 相交于同一个点， 由， 解得代入，可得，解得； 故选:ABC. 6．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知两条直线，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与相交于点 D．当时，直线与坐标轴围成的三角形面积等于 【答案】ABD 【分析】对取值后运用直线方程逐项分析即可. 【详解】时，，所以，故A正确； 此时与坐标轴交于 所以D项所求面积，故D正确； 时，， 所以，，故B正确； 时，，解得，故C错误； 故选：ABD. 三、填空题 7．（23-24高二下·上海·阶段练习）两直线和的交点为 ． 【答案】 【分析】联立两条直线的方程可得交点. 【详解】由题意可得，解得， 交点坐标为. 故答案为： 8．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）若直线过直线和的交点，且在轴的截距是轴截距的2倍，则直线的方程是 . 【答案】或 【分析】先求出交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况，求出直线方程. 【详解】联立，解得，故交点坐标为， 当在轴的截距与在轴的截距为0时，设直线方程为， 将代入得，解得，故直线的方程为； 当在轴的截距与在轴的截距不为0时，设直线方程为， 将代入得，解得， 故直线方程为，即， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 9．（23-24高二上·广东·期末）在原点处发射一束激光，经过直线反射后撞击处的一个中子.已知的坐标为，光束射到的位置为点，则的坐标为 . 【答案】 【分析】求出点关于直线对称点的坐标，进而得到直线的方程，联立求出点的坐标. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则，解得， 所以，则直线的方程为， 联立直线与，可得，即. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高二上·广西桂林·期末）已知直线与直线相交于点. (1)求点的坐标； (2)求过点，且倾斜角为的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线、的方程，可得出点的坐标； （2）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】（1）解：联立，解得，即点. （2）解：因为直线的倾斜角为，则该直线的斜率为， 又因为直线过点，故直线的方程为，即. 因此，直线的方程为. 11．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线，设直线的交点为. (1)求点的坐标； (2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）将两直线方程联立求解，即得交点坐标； （2）结合图形理解，直线在两坐标轴上的截距相等包括直线斜率为或经过原点，分别求直线方程即得. 【详解】（1）联立方程解得. （2）直线在两坐标轴上的截距相等， 直线的斜率为或经过原点. ①当直线过原点时，直线过点， 的方程为； ②当直线斜率为时，直线过点， 的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程组可解得答案. 【详解】联立方程组，解得， 所以两直线的交点坐标为. 故选：B. 2．（23-24高二·全国·假期作业）已知点，点在直线上，若直线垂直于直线，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，直线过点且与直线垂直，其方程为．直线与直线的交点为，联立方程组解得即点坐标为． 3．（21-22高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直可得，从而可得，联立两条直线的方程即可求交点坐标. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，解得. 故直线即为， 直线即为. 由，解得， 则这两条直线的交点坐标为. 故选:A. 4．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）求经过两直线：和：的交点P，且与直线：垂直的直线l的方程．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先联立直线的方程，求出点坐标.设的方程为，代入点坐标，求出，即可得出答案. 【详解】联立直线的方程可得，， 所以点坐标为. 由已知可设直线的方程为， 代入点坐标，可得， 所以，， 直线的方程为. 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若三条不同的直线能围成一个三角形，则m的取值不可能为（    ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合若或或重合时，结合两直线的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由直线， 若或重合时，则满足，解得； 若或重合时，则满足，解得； 若经过直线与的交点时，此时三条直线不能围成一个三角形， 联立方程组，解得，即交点， 将点代入直线，可得，解得. 故选：ABC. 6．（22-23高二上·全国·期中）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线方程，求出交点坐标，根据交点所在象限列出不等式组即可求解. 【详解】联立方程， 解得 ， 因为交点在第四象限， 可得，解得 故选：AC. 三、填空题 7．（2023高二上·全国·专题练习）已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝ . 【答案】 【分析】根据两直线垂直得到的值，根据点在直线得到的值. 【详解】由两直线垂直得，解得. 又点在直线上，所以， 所以. 故答案为： 8．（2023高二上·全国·专题练习）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为 . 【答案】 【分析】由两直线垂直可得，联立解方程组可得交点坐标. 【详解】易知直线的斜率为， 由两直线垂直条件得直线的斜率，解得； 联立，解得； 即交点为 故答案为： 9．（23-24高二上·北京房山·期末）已知直线，则与的交点坐标为 ；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 答案不唯一（只需写出中的一个即可） 【分析】联立方程组解得交点坐标；列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【详解】解方程组，得，所以与的交点坐标为； 由得，直线恒过定点；若直线不能围成三角形， 只需经过，或与平行，或与平行. 当经过时，图1所示，，； 当与平行时，图2所示，，； 当与平行时，图3所示，，. 故答案为：；或或（只需写出中的一个即可）.    图 1    图 2    图 3 四、解答题 10．（2023高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)相交，交点为； (2)重合； (3)平行. 【分析】（1）联立方程求解，即可判断与关系； （2）（3）根据各项系数比值关系，即可判断与关系. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交. （2）由，显然，即方程无解，故与重合. （3）由，显然，即方程无解，故与平行. 11．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线的方程为，若在x轴上的截距为，且． (1)求直线与的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据条件求出的方程，与联立解方程组； （2）讨论过原点与不过原点，设直线方程将点代入求解. 【详解】（1）因为，直线的方程为， 设的方程为，因为在x轴上的截距为， 所以，，即：． 联立得 所以直线与的交点坐标为． （2）因为在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍， 故当过原点时，的方程为． 当不过原点时，设的方程为， 又直线经过与的交点，所以，得， 所以的方程为． 综上，的方程为或． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分、、及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的的值，即可得解. 【详解】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D 二、多选题 2．（23-24高二上·四川成都·期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有（    ） A．过点且平行于的直线的方程为 B．直线的方程为 C．点的坐标为 D．边的垂直平分线的方程为 【答案】ABC 【分析】设过点且平行于的直线的方程为，再将点代入即可判断A；先求出的斜率，再根据点斜式即可判断B；联立直线的方程即可判断C；求出边的中点坐标及所求直线的斜率，再根据点斜式即可判断D. 【详解】对于A，设过点且平行于的直线的方程为， 则，解得， 所以过点且平行于的直线的方程为，故A正确； 对于B，由题意知，， ∵，∴， 所以直线的方程为，即，故B正确； 对于C，联立，解得， 所以点的坐标为，故C正确； 对于D，边的中点坐标为，， 所以边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线的方程为，即，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 3．（23-24高二上·湖南永州·阶段练习）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为 . 【答案】 【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程. 【详解】由题可知，的重心为， 可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 联立方程，解得，即的垂心为， 则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为， 故的欧拉线方程为. 故答案为：. 四、解答题 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由中点在上，点在直线上，联立方程求出的坐标； （2）求出关于的对称点的坐标，即可求出直线的方程. 【详解】（1）设，顶点的坐标为， 由中点在上， 可得：，即， 又由于点在直线上，得， 联立解得，即； （2）顶点的坐标为， 设A点关于的对称点为， 则有，解得，即， 显然点在BC边所在的直线上，且， 得直线的方程为：， 所以直线的方程为：. 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线和． (1)求经过原点与垂直的直线方程； (2)若直线和与x轴分别交于A，B两点，求|AB|． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）联立两直线方程可得点，根据垂直求出斜率，即可得出直线方程； （2）令，求出两点坐标，再利用距离公式求出. 【详解】（1）因为直线，所以的斜率为， 设所求直线的斜率为，因为与垂直，所以，解的， 所以所求直线方程为，即； （2）对于直线，令，则，所以， 对于直线，令，则，所以， 所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$