第06讲 两条直线垂直（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第06讲 两条直线垂直 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 两条直线垂直关系的判定 2 题型02 求与已知直线垂直的直线方程 5 题型03 两直线垂直的综合问题 7 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 16 创新拓展 21 两条直线垂直关系的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率__________，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． 题型01两条直线垂直关系的判定 【解题策略】 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况 【典例分析】 【例1】课本例4　(1)已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3，－4)，D(－6,11)，求证：AB⊥CD； (2)已知直线l1：3x＋5y－10＝0，l2：15x－9y＋8＝0，求证l1⊥l2. 【变式演练】 【变式1】（2023高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 【变式2】　(1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值． 【变式3】（22-23高二上·安徽滁州·阶段练习）已知直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在线段上，满足，直线为原点的斜率为． (1)求的值； (2)设点与点关于轴对称，为线段的中点，求证：． 题型02 求与已知直线垂直的直线方程 【解题策略】 求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在，利用斜率乘积等于－1求斜率，若不存在，则所求斜率为0，然后用点斜式求直线方程． 【典例分析】 【例2】求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·上海·开学考试）过点且与直线垂直的直线方程为 ． 【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）已知三角形三顶点，则边上的高所在的直线方程为 . 【变式3】（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 题型03 两直线垂直的综合问题 【解题策略】 解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点 (1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系． (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【典例分析】 【例3】(1)已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为________． (2)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则实数m的值为________． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）已知直线与直线垂直，则 ． 【变式2】（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且的中点为，则 ，直线的一般式方程为 ． 【变式3】（23-24高二上·江西九江·期末）（1）直线与直线平行，求的值； （2）直线与直线垂直，求的值. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知直线，直线.若，则实数（    ） A． B． C． D．3 2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）若直线与直线互相垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）直线：，直线：，则直线是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）直线的方向向量是，则下列选项中的直线与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知两直线，，则下列说法正确的是（    ） A．对任意实数m，直线，的方向向量都不可能平行 B．存在实数m，使直线垂直于x轴 C．存在实数m，使直线，互相垂直 D．当时，直线的方向向量不存在 6．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为 C．直线恒过定点 D．直线，，若，则 三、填空题 7．（22-23高二·全国·课后作业）如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们互相 ，即. 8．（23-24高二上·四川乐山·期末）直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的一般方程是 ． 9．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线，，若，则实数a的值为 . 四、解答题 10．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知两条直线，. (1)若直线过点，证明：直线与垂直； (2)若直线，关于轴对称，求，. 11．（23-24高二上·陕西西安·期中）（1）已知向量，．若，求实数，的值． （2）直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程． （3）求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南邵阳·期中）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．直线在轴上的截距为1 C．若直线，则 D．过与直线平行的直线方程是 2．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知直线与垂直，则（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知两条直线和相互垂直，则（    ） A．2 B．3 C． D． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 二、多选题 5．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知直线的方程为，直线的方程为，（    ） A．则直线的斜率为 B．若，则 C．若，则或 D．直线过定点 6．（23-24高二下·浙江·期中）已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 三、填空题 7．（23-24高二上·福建福州·期中）已知直线，，若，则实数的值为 . 8．（21-22高二·全国·课后作业）设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为 ． 9．（23-24高二上·广东清远·期中）过点且垂直于直线的直线方程为 . 四、解答题 10．（2024高二·全国·专题练习）的顶点，若是以点为直角顶点的直角三角形，求的值． 11．（2024高二·全国·专题练习）已知定点，以A，B为直径的端点，作圆与x轴交于点C，求交点C的坐标． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）直线和直线垂直，则的值为（    ） A．1 B．0或1 C．0或-1 D．-1 二、多选题 2．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知直线，直线，则（   ） A．直线可以与轴平行 B．直线可以与轴平行 C．当时， D．当时， 三、填空题 3．（22-23高二上·北京丰台·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线经过两点，经过两点，若，则 ；若，则 ． 四、解答题 4．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知两点和． (1)记点关于轴的对称点为，求直线的方程； (2)求线段的垂直平分线的方程． 【下节预览】 一、解答题 1.（21-22高二·全国·课后作业）已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 两条直线垂直 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 两条直线垂直关系的判定 2 题型02 求与已知直线垂直的直线方程 5 题型03 两直线垂直的综合问题 7 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 16 创新拓展 21 两条直线垂直关系的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． 题型01两条直线垂直关系的判定 【解题策略】 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况 【典例分析】 【例1】课本例4　(1)已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3，－4)，D(－6,11)，求证：AB⊥CD； (2)已知直线l1：3x＋5y－10＝0，l2：15x－9y＋8＝0，求证l1⊥l2. 证明　(1)由斜率公式，得 kAB＝＝，kCD＝＝－， 则kABkCD＝×＝－1， 所以AB⊥CD. (2)由l1，l2的方程可知，它们的斜率k1＝－，k2＝＝， 从而k1k2＝×＝－1， 所以l1⊥l2. 【变式演练】 【变式1】（2023高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 【答案】(1)平行；(2)重合；(3)垂直；(4)垂直 【分析】（1）由直线平行的充要条件证明即可. （2）由直线重合的充要条件证明即可. （3）由直线垂直的充要条件证明即可. （4）由直线垂直的充要条件证明即可. 【详解】（1）因为，而，所以. （2）因为，而，所以重合. （3）直线的斜率，直线的斜率，，故. （4）的倾斜角为90°，则轴.直线的斜率，则轴，故. 【变式2】　(1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值． 解　(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在． 当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0， 则l1⊥l2，满足题意． 当l1的斜率存在时，a≠5， 由斜率公式，得k1＝＝， k2＝＝. 由l1⊥l2，得k1k2＝－1， 即×＝－1，解得a＝0. 综上所述，a的值为0或5. 【变式3】（22-23高二上·安徽滁州·阶段练习）已知直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在线段上，满足，直线为原点的斜率为． (1)求的值； (2)设点与点关于轴对称，为线段的中点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据及，坐标即可得点的坐标为，从而可得，即可得的值； （2）根据对称可得点的坐标为，从而可得的坐标，计算，验证，即可证明结论. 【详解】（1）解：点在线段上且满足，所以， 则，即点的坐标为． 又因为直线的斜率为，于是， 所以； （2）证明：点与点关于轴对称， 点的坐标为， 线段的中点的坐标为， 则， 于是， 所以． 题型02 求与已知直线垂直的直线方程 【解题策略】 求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在，利用斜率乘积等于－1求斜率，若不存在，则所求斜率为0，然后用点斜式求直线方程． 【典例分析】 【例2】求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． 解　方法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直， ∴k·(－2)＝－1， ∴k＝， 又∵直线l经过点A(2,1)， ∴直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0. 方法二　设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2,1)， ∴2－2×1＋m＝0， ∴m＝0. ∴直线l的方程为x－2y＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·上海·开学考试）过点且与直线垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解． 【详解】直线的斜率为2，则所求直线的斜率为，而所求直线过点， 所以所求直线的方程为，即. 故答案为： 【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）已知三角形三顶点，则边上的高所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】利用垂直求出高所在直线的斜率，再由点斜式得直线方程并化简． 【详解】边所在直线的斜率为， 边上的高所在的直线的斜率为2. 边上的高所在的直线方程为，即. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可. （2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可. 【详解】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 题型03 两直线垂直的综合问题 【解题策略】 解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点 (1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系． (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【典例分析】 【例3】(1)已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为________． 答案　9 解析　∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直， ∴n－(n－2)m＝0， ∴2m＋n＝mn， ∴＋＝1， ∴m＋2n＝(m＋2n) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当m＝n＝3时取等号． (2)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则实数m的值为________． 答案　－或－1 解析　由题意，可知两直线平行或垂直， 则 或(m＋1)·4m2＋1·(m＋1)＝0， 解得m＝－或m＝－1. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）已知直线与直线垂直，则 ． 【答案】2 【分析】根据两直线垂直，分类讨论，直接列出方程求解，即可得出结果. 【详解】当时，， 由知，斜率为2， 所以直线与不垂直，不符合题意； 当时，， 因为直线与直线垂直， 所以，解得． 故答案为：2． 【变式2】（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且的中点为，则 ，直线的一般式方程为 ． 【答案】 1 【分析】根据两条直线互相垂直求得，设，根据中点坐标公式求出，然后求得直线的一般式方程. 【详解】由题意得，得． 设，由得 即，则直线的方程为，即． 故答案为：1；. 【变式3】（23-24高二上·江西九江·期末）（1）直线与直线平行，求的值； （2）直线与直线垂直，求的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据两直线平行的充要条件计算即可； （2）根据两直线垂直的充要条件计算即可. 【详解】（1）因为直线与直线平行， 所以，解得， 经检验，当时，两直线重合， 所以； （2）因为直线与直线垂直， 所以，解得或. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知直线，直线.若，则实数（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】代入两直线垂直的公式，即可求解. 【详解】因为，所以，得. 故选：D 2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）若直线与直线互相垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两直线的位置关系得到方程，求解参数即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，解得. 故选：D 3．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）直线：，直线：，则直线是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】假设成立，去推导是否成立，假设去推导是否成立即可得. 【详解】若，由，可得，若，即， 则需，即，即可得时，，故不是的充分条件； 若，则，，此时，故， 综上，直线是的必要不充分条件. 故选：B. 4．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）直线的方向向量是，则下列选项中的直线与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的方向向量可得其斜率为，进而得到与直线垂直的直线的斜率为，分别计算各选项的斜率即可判断. 【详解】因为直线的方向向量是，所以直线斜率， 所以与直线垂直的直线的斜率为. 对于选项A:由，可得斜率为，故选项A正确； 对于选项B:由，可得斜率为，故选项B错误； 对于选项C:由，可得斜率为，故选项C错误； 对于选项D:由，可得斜率为，故选项D错误. 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知两直线，，则下列说法正确的是（    ） A．对任意实数m，直线，的方向向量都不可能平行 B．存在实数m，使直线垂直于x轴 C．存在实数m，使直线，互相垂直 D．当时，直线的方向向量不存在 【答案】AC 【分析】根据直线平行以及垂直满足的系数关系，即可结合方向向量的定义逐一求解. 【详解】若两直线的方向向量平行，则，则无实数解，故两直线的方向向量不可能平行，故A正确， 由于的斜率为，所以直线不可能垂直于x轴，B错误， 当时，此时，，此时两直线垂直，C正确， 当时，直线，则其方向向量可以为，故D错误， 故选：AC 6．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为 C．直线恒过定点 D．直线，，若，则 【答案】ACD 【分析】对于A，根据直线方程，求得其斜率，利用斜率的定义，结合正切函数的定义，可得答案；对于B，由题意，设出直线的点斜式方程，求出截距，建立方程，可得答案；对于C，整理函数的一般方程，建立方程组，可得答案；对于D，利用分类讨论思想，结合垂直直线的关系，建立方程，可得答案. 【详解】对于A，由直线方程，可得其斜率，设其倾斜角为， 则，由，则解得，故A正确； 对于B，由题意，直线斜率一定存在，可设为，由过，则， 令，则，令，则，由题意可得， 整理可得，解得或，所以直线方程为或，故B错误； 对于C，由直线方程，整理可得， 令，解得，所以直线过定点，故C正确； 对于D，当时，直线，则，直线，则， 由，则此时不符合题意； 当时，直线，则，直线，则， 由，则，解得，则此时符合题意，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．（22-23高二·全国·课后作业）如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们互相 ，即. 【答案】 垂直 【分析】根据直线垂直的性质进行填空即可. 【详解】如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于； 反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 故答案为：；垂直. 8．（23-24高二上·四川乐山·期末）直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的一般方程是 ． 【答案】 【分析】由两直线的垂直关系得到直线的斜率，进而得到直线的一般方程. 【详解】直线的斜率为，设直线的斜率， 则，即. 由直线的点斜式方程可得：，即. 故答案为：. 9．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线，，若，则实数a的值为 . 【答案】2 【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得a的值． 【详解】因为直线，，且， 所以，解得， 故答案为：． 四、解答题 10．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知两条直线，. (1)若直线过点，证明：直线与垂直； (2)若直线，关于轴对称，求，. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）首先求出直线的方程，即可求出、，从而得证； （2）首先将直线方程化为斜截式，由直线，关于轴对称，得到，解得即可. 【详解】（1）因为直线过点， 所以，解得，所以直线，即， 又直线，即， 所以，所以直线与垂直. （2）直线，， 因为直线，关于轴对称， 所以，解得. 11．（23-24高二上·陕西西安·期中）（1）已知向量，．若，求实数，的值． （2）直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程． （3）求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据向量平行列方程，从而求得. （2）根据直线垂直求得直线的斜率，进而求得直线的方程. （3）先求得直线和的交点，然后利用待定系数法求得正确答案. 【详解】（1）由于，所以，解得. （2）直线的斜率为， 所以直线的方程为. （3）由解得， 设所求直线方程为，代入得， 故所求直线方程为. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南邵阳·期中）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．直线在轴上的截距为1 C．若直线，则 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可判断A，根据截距的定义即可判断B，根据垂直和平行满足的关系即可判断CD. 【详解】直线变为， 对于A，直线的斜率为，所以倾斜角为，A错误， 对于B，令，则，所以x轴上的截距为，B错误， 对于C，的斜截式方程为，斜率为，由于，所以不垂直，故C错误， 对于D，直线的斜率为，所以过与直线平行的直线方程是，即为，故D正确， 故选：D 2．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知直线与垂直，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】借助直线垂直的性质计算即可得. 【详解】因为，所以，解得． 故选：B. 3．（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知两条直线和相互垂直，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的斜率表示可得，解得. 【详解】易知的斜率为， 的斜率为，所以； 解得. 故选：C 4．（23-24高二上·全国·课后作业）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 【答案】A 【分析】利用根与系数的关系得，得到答案. 【详解】设两直线的斜率分别为，是方程的两根， ，利用根与系数的关系得：，故两直线的位置关系是垂直． 故选：. 二、多选题 5．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知直线的方程为，直线的方程为，（    ） A．则直线的斜率为 B．若，则 C．若，则或 D．直线过定点 【答案】CD 【分析】根据时，直线的斜率不存在，即可判断A；根据两直线平行的充要条件计算即可判断B；根据两直线垂直的充要条件计算即可判断C；令的系数等于零求出定点即可判断D. 【详解】对于A，当时，直线的斜率不存在，故A错误； 对于B，若，则，解得或， 经检验，两个都符合题意，所以或，故B错误； 对于C，若，则，解得或，故C正确； 对于D，直线的方程化为， 令，解得， 所以直线过定点，故D正确. 故选：CD. 6．（23-24高二下·浙江·期中）已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用线线平行、线线垂直的性质可直接判断. 【详解】对于A，当时，斜率为0，与轴平行或重合，故A正确； 对于B，当时，斜率不存在，当时，斜率存在，能表示任意直线，故B正确； 对于C，若，且或，则，故C错误； 对于D，若，则由可得斜率之积为-1，故，若，可得，此时满足，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．（23-24高二上·福建福州·期中）已知直线，，若，则实数的值为 . 【答案】1或-2 【分析】根据两直线垂直的条件列方程，求出实数的值. 【详解】因为直线，，， 所以，即， 解得或， 所以实数的值为或. 故答案为：1或-2. 8．（21-22高二·全国·课后作业）设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】由已知得直线恒过的定点，由两直线垂直其方程间的关系设过点A的直线方程为，代入可求得答案. 【详解】解：因为，所以， 所以直线恒过定点，即， 因为过点A且与直线垂直， 所以设过点A的直线方程为， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故答案为：. 9．（23-24高二上·广东清远·期中）过点且垂直于直线的直线方程为 . 【答案】 【分析】先利用两直线垂直求得所求直线斜率，进而利用点斜式直线方程求得所求直线方程. 【详解】直线的斜率为， 则过点且垂直于直线的直线斜率为， 则所求直线方程为， 化为一般式为. 故答案为： 四、解答题 10．（2024高二·全国·专题练习）的顶点，若是以点为直角顶点的直角三角形，求的值． 【答案】 【分析】用两直线垂直的定义计算即可. 【详解】由为直角顶点可得为直角，则， 所以， 即，解得. 故值为. 11．（2024高二·全国·专题练习）已知定点，以A，B为直径的端点，作圆与x轴交于点C，求交点C的坐标． 【答案】或 【分析】本题中有三个点A，B，C，由于AB为直径，C为圆上的点，所以，因此，必有，列出方程，求解即可. 【详解】以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则， 当AC或BC的斜率不存在时，不满足， 设，则，，∴， 去分母解得或2， ∴C的坐标为或. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）直线和直线垂直，则的值为（    ） A．1 B．0或1 C．0或-1 D．-1 【答案】B 【分析】由两直线垂直直接计算. 【详解】由两直线垂直可知， 解得或， 故选：B. 二、多选题 2．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知直线，直线，则（   ） A．直线可以与轴平行 B．直线可以与轴平行 C．当时， D．当时， 【答案】ABC 【分析】根据直线平行和垂直对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，直线，此时直线与轴平行，B项正确； 若，则直线，此时直线与轴平行，A项正确； 若，则，解得， 经验证可知此时两直线不重合，C项正确； 若，则，解得，D项错误. 故选：ABC 三、填空题 3．（22-23高二上·北京丰台·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线经过两点，经过两点，若，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】根据垂直时，斜率乘积为，平行时，斜率相等来列式计算即可. 【详解】由已知， 当时， 所以，解得， 当时， ，解得， 经验证：当时，不重合. 故答案为：；. 四、解答题 4．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知两点和． (1)记点关于轴的对称点为，求直线的方程； (2)求线段的垂直平分线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，结合得斜率，进而由点斜式即可得解. （2）由题意得线段中点为，以及线段的斜率，由直线垂直的代数性质得线段的垂直平分线的斜率，由点斜式即可得解. 【详解】（1）由题意点关于轴的对称点为，又， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）因为两点和， 所以其中点为，直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即. 【下节预览】 一、解答题 1.（21-22高二·全国·课后作业）已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出过直线和交点的直线方程，把点代入方程求出参数，再化简即可求出所求直线. （2）由两直线平行的性质，列方程求出对应的参数，再化简即可求出所求直线. 【详解】（1）设过直线和交点的直线方程为，即．① 把点代入方程①，化简得，解得， 所以过点P与Q的直线方程为，即． （2）由两直线平行，得，得， 所以所求直线的方程为，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$