第04讲 直线的一般式方程（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第04讲 直线的一般式方程 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线的一般式方程 2 题型02 直线的一般式方程化为其他形式的方程 5 题型03 直线一般式方程的应用 7 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 16 创新拓展 22 直线的一般式方程 方程________________(A，B不全为0)叫作直线的________________． 注意点： (1)直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列，x的系数一般不为分数和负数． (2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合． (3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合． 题型01直线的一般式方程 【解题策略】 求直线的一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 【典例分析】 【例1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 【变式演练】 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）直线l经过点且一个法向量为，则直线l的一般式方程为 ． 【变式3】（22-23高二上·山东青岛·阶段练习）已知的顶点，，直线的斜率为． (1)求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程； (2)求角的角平分线所在直线的一般式方程． 题型02 直线的一般式方程化为其他形式的方程 【解题策略】 　含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不全为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根 【典例分析】 【例2】课本例6　设m为实数，若直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0， 根据下列条件分别确定m的值： (1)直线l在x轴上的截距是－3； (2)直线l的斜率是1. 【变式演练】 【变式1】已知直线Ax＋By＋C＝0(AB>0，BC>0)，则直线不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（23-24高二上·新疆·期中）把直线的一般式方程化为斜截式，求直线的斜率以及它在轴与轴上的截距. 【变式3】设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值： ①直线l在x轴上的截距是－3； ②直线l的斜率是－1. 题型03 直线一般式方程的应用 【解题策略】 已知含参直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤 【典例分析】 【例3】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知实数，满足方程，当时，的取值范围是 ． 【变式2】直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【变式3】已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程． 【夯实基础】 一、单选题 1．（20-21高二·全国·课后作业）过两点，的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）直线过点，且方向向量为，则（    ） A．直线的点斜式方程为 B．直线的斜截式方程为 C．直线的截距式方程为 D．直线的一般式方程为 3．（21-22高二上·北京通州·期中）已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知直线：的倾斜角的取值范围为，则直线：的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·山东枣庄·期末）已知直线，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．点在直线的右上方 C．为直线的一个方向向量 D．直线在轴上的截距为 6．（22-23高二上·甘肃兰州·期末）下列说法的正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．经过定点的直线的方程都可以表示为 C．经过点和的直线可用截距式方程表示 D．经过任意两个不同的点、直线的方程都可以表示为 三、填空题 7．（21-22高二上·全国·课后作业）过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为 ． 8．（22-23高二上·四川南充·阶段练习）把直线绕着与轴的交点逆时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为 9．（23-24高二下·上海·期中）直线过点，法向量为，则的一般式方程为 . 四、解答题 10．（23-24高二上·上海·课后作业）设直线在轴与轴上的截距分别为与，且、均不为零，证明的方程可写成（这个形式的方程称为直线的截距式方程）. 11．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·云南·开学考试）已知直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）若直线与轴，轴分别交于，两点，则线段的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东湛江·期中）若直线的斜率大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023高二·江苏·专题练习）已知点，，直线与线段AB相交，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线：，则（    ） A．不过原点 B．的横截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 6．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知直线l：，则（    ） A．直线l过点 B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1 三、填空题 7．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为 . 8．（23-24高二上·广东深圳·期中）直线的倾斜角为 . 9．（22-23高二上·四川绵阳·期末）如果，，那么直线不通过第 象限. 四、解答题 10．（23-24高二上·青海西宁·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. (1)斜率是，且经过点； (2)过，且在两坐标轴上的截距相等. 11．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知直线经过点和. (1)求的一般式方程； (2)若直线过的中点，且，求的斜截式方程. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 二、多选题 2．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）若，，则在下列函数图象中，不可能是直线的图象的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（2024高二上·全国·专题练习）直线l过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为 ，当的面积取最小值时直线l的一般式方程是 . 四、解答题 4．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点. (1)当斜率为2时，求的一般式方程； (2)求面积的最小值时直线的方程. 【下节预览】 一、解答题 5．（23-24高二上·湖南邵阳·期中）回答下面两题 (1)求过，两点的一般式方程； (2)求过点且与直线：平行的直线. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 直线的一般式方程 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线的一般式方程 2 题型02 直线的一般式方程化为其他形式的方程 5 题型03 直线一般式方程的应用 7 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 16 创新拓展 22 直线的一般式方程 方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程． 注意点： (1)直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列，x的系数一般不为分数和负数． (2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合． (3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合． 题型01直线的一般式方程 【解题策略】 求直线的一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 【典例分析】 【例1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 解　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 【变式演练】 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解. 【详解】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为， 整理得，即直线的一般式方程为. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）直线l经过点且一个法向量为，则直线l的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】先根据法向量求出直线的斜率，再应用点斜式求出直线方程最后化简为一般式即可. 【详解】由直线方程一个法向量为，所以直线的斜率为，点斜式得l的方程，即 故答案为： 【变式3】（22-23高二上·山东青岛·阶段练习）已知的顶点，，直线的斜率为． (1)求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程； (2)求角的角平分线所在直线的一般式方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解即可； （2）根据题意，分点位于直线上方和点位于直线下方两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当所求直线过原点时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，故方程为， 当所求直线不过原点时，因为所求直线在两坐标轴上截距相等， 所以，设所求直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以所求直线方程为 综上，满足条件的直线方程为或. （2）解：因为的顶点，，直线的斜率为， 所以，直线方程为，直线的倾斜角为， 根据题意，作出其图形，如图， 当点位于直线下方时，，此时其角平分线为， 角平分线的倾斜角为， 所以，角平分线方程为，即； 当点位于直线上方时，，此时其角平分线为， 角平分线的倾斜角为， 所以，角平分线方程为，即. 所以，角的角平分线所在直线的一般式方程为或 题型02 直线的一般式方程化为其他形式的方程 【解题策略】 　含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不全为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根 【典例分析】 【例2】课本例6　设m为实数，若直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0， 根据下列条件分别确定m的值： (1)直线l在x轴上的截距是－3； (2)直线l的斜率是1. 解　(1)令y＝0，得x＝2m－6. 由题意知2m－6＝－3，解得m＝. (2)因为直线l的斜率存在，所以m≠0，于是直线l的方程化为 y＝－x＋. 由题意知－＝1，解得m＝－1. 【变式演练】 【变式1】已知直线Ax＋By＋C＝0(AB>0，BC>0)，则直线不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　直线Ax＋By＋C＝0化为y＝－x－， 又AB>0，BC>0，所以－<0，－<0，则直线不经过第一象限． 【变式2】（23-24高二上·新疆·期中）把直线的一般式方程化为斜截式，求直线的斜率以及它在轴与轴上的截距. 【答案】答案见解析. 【分析】由斜截式，直线斜率，截距概念可得答案. 【详解】。 则直线斜截式为，斜率为，在轴与轴上的截距分别为，. 【变式3】设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值： ①直线l在x轴上的截距是－3； ②直线l的斜率是－1. 解　①当直线在x轴上的截距为－3时，有＝－3，且m2－2m－3≠0， 解得m＝－. ②当斜率为－1时，有－＝－1，且2m2＋m－1≠0，解得m＝－2. 题型03 直线一般式方程的应用 【解题策略】 已知含参直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤 【典例分析】 【例3】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． (1)证明　将直线l的方程整理为 y－＝a， ∴直线l的斜率为a，且过定点A，又点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限． (2)解　直线OA的斜率为k＝＝3. 如图所示，要使直线l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3， ∴a≥3. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知实数，满足方程，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析表示的几何意义为点与点之间的斜率，作出图示，根据图示求解出的范围. 【详解】表示点与点连线的斜率，且在直线上，且满足， 如下图所示： 因为直线与轴分别交于， 所以，， 当点在线段上运动时，可知， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【变式2】直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解　(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意； ②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2， 令y＝0，则x＝. ∵直线l在两坐标轴上的截距相等， ∴a－2＝， 解得a＝2或a＝0. 综上，a的值为2或0. (2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2， 故要使直线l不经过第二象限，只需 解得a≤－1. ∴实数a的取值范围为(－∞，－1]． 【变式3】已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程． 解　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线BE：y－1＝0上， ∴设点B坐标为(x,1)． 又点A坐标为(1,3)，D为AB的中点， 由中点坐标公式得点D坐标为. 又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上， ∴－2×2＋1＝0，解得x＝5， ∴点B坐标为(5,1)． 同理可求出点C坐标是(－3，－1)． 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0. 【夯实基础】 一、单选题 1．（20-21高二·全国·课后作业）过两点，的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件直接可得答案. 【详解】由于直线过，两点， 所以直线在x轴，y轴上的截距分别为－2，3，由截距式可知，方程为． 故选：D 2．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）直线过点，且方向向量为，则（    ） A．直线的点斜式方程为 B．直线的斜截式方程为 C．直线的截距式方程为 D．直线的一般式方程为 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量为，求得直线的斜率，得出直线的方程的形式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 又由直线过点，所以直线的点斜式方程为，所以A错误； 对于B中，由，可得直线的斜截式方程为，所以B错误； 对于C中，由，可得直线的截距式方程为，所以C正确； 对于D中，由，可得直线的一般式方程为，所以D错误. 故选：C. 3．（21-22高二上·北京通州·期中）已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的点斜式方程写出方程，再化成一般式即可. 【详解】因直线经过点，且斜率为2，则直线方程为：，化简得：， 所以直线的一般式方程为. 故选：C 4．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知直线：的倾斜角的取值范围为，则直线：的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线的斜率互为相反数即可得到答案. 【详解】显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意， 则，则直线的斜率为，直线的斜率为， 所以与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补, 得的倾斜角的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高二上·山东枣庄·期末）已知直线，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．点在直线的右上方 C．为直线的一个方向向量 D．直线在轴上的截距为 【答案】BC 【分析】求出直线的斜率，进而求出该直线的倾斜角，可判断A选项；数形结合可判断B选项；利用直线方向向量的定义可判断C选项；利用直线截距的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则，则，故，A错； 对于B选项，因为，所以，点在直线的右上方，B对； 对于C选项，因为直线的斜率为， 所以，为直线的一个方向向量，C对； 对于D选项，在直线的方程中，令可得， 所以，直线在轴上的截距为，D错. 故选：BC. 6．（22-23高二上·甘肃兰州·期末）下列说法的正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．经过定点的直线的方程都可以表示为 C．经过点和的直线可用截距式方程表示 D．经过任意两个不同的点、直线的方程都可以表示为 【答案】AD 【分析】对于A，求出直线l过的定点即可判断；对于B，当斜率不存在的时候可判断；对于C，由直线过原点即可判断；对于D，结合两点式的概念及辨析进行分析即可 【详解】对于A，由，得， 由解得，因此无论m为何值，直线l恒过定点，故正确； 对于B，当直线的斜率不存在时，经过定点的直线的方程不可以表示为，故不正确； 对于C，经过原点的直线不可用截距式方程表示，故不正确； 对于D，为两点式的变形，包含与轴平行或重合的直线，故正确； 故选：AD 三、填空题 7．（21-22高二上·全国·课后作业）过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为 ． 【答案】 【分析】根据已知两点可直接得出. 【详解】解析：由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－2，3.由截距式可知，方程为. 故答案为：. 8．（22-23高二上·四川南充·阶段练习）把直线绕着与轴的交点逆时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为 【答案】 【分析】先求出直线的倾斜角与直线和轴的交点坐标，再根据逆时针旋转可得直线的倾斜角，进而根据点斜式求解即可. 【详解】直线的斜率为，故直线的倾斜角为，且与轴的交点坐标为，故直线的倾斜角为，且经过，其方程为，即. 故答案为： 9．（23-24高二下·上海·期中）直线过点，法向量为，则的一般式方程为 . 【答案】 【分析】首先得到直线的方向向量，从而得到直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程，最后化为一般式即可. 【详解】因为直线过点，法向量为， 所以直线的方向向量可取， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高二上·上海·课后作业）设直线在轴与轴上的截距分别为与，且、均不为零，证明的方程可写成（这个形式的方程称为直线的截距式方程）. 【答案】证明见详解 【分析】先由直线过两点，求出直线的斜率，然后由点斜式方程求出直线方程，整理可得答案. 【详解】证明：因为直线在轴上的截距是，即直线过点， 在轴上的截距是，即直线过点，且，， 所以直线的斜率为， 由点斜式方程可得：，又， 上式两边同除以可得，整理得，， 即证得直线的方程为. 11．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先确定直线过定点，再根据条件，求斜率的取值范围； （2）首先分别求直线与坐标轴的交点，并表示的面积，即可求直线的斜率和方程. 【详解】（1）由题意可知直线， 易知直线过定点， 当直线过原点时，可得， 当时，直线不经过第二象限． （2）由题意可知 ∵直线与轴、轴正半轴的交点分别是， ， 当时，由得： ， 即：， 或， 即：直线的方程为或. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·云南·开学考试）已知直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程求出直线的斜率，进而求出倾斜角，最后得出答案. 【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为， 因为直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，所以. 故选：B. 2．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）若直线与轴，轴分别交于，两点，则线段的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出，两点坐标，从而求出、的中点坐标，再由点斜式计算可得. 【详解】对于直线，令可得，即， 令可得，即， 则、的中点坐标为，又， 所以线段的垂直平分线方程为，即. 故选：D 3．（23-24高二上·广东湛江·期中）若直线的斜率大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化一般式为斜截式得到直线的斜率，进而列出不等式求解即可. 【详解】直线，即， 则直线的斜率为， 即，解得. 所以的取值范围为. 故选：A. 4．（2023高二·江苏·专题练习）已知点，，直线与线段AB相交，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线经过定点，画出图形，得到特殊位置的直线斜率，进而得到不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】易知直线经过定点，直线的斜率为，如图所示，    其中， 若直线与线段AB相交，由图可知，或， 解得或. 故选：D 二、多选题 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线：，则（    ） A．不过原点 B．的横截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 【答案】AC 【分析】根据直线方程的确定点是否再直线上可判断A，由横截距、斜率的概念可判断B，C，由横纵截距求解与坐标轴围成的三角形的面积可判断D. 【详解】已知直线：， 对于A，原点不满足直线方程，故不过原点，故A正确； 对于B，当时，，故的横截距为，故B不正确； 对于C，直线的方程可化为，则的斜率为，故C正确； 对于D，当时，，则与坐标轴围成的三角形的面积为，故D不正确. 故选：AC. 6．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知直线l：，则（    ） A．直线l过点 B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1 【答案】ACD 【分析】根据直线方程逐项分析判断即可. 【详解】直线l：，即直线l：， 令，可得，即直线l过点，故A正确； 可知直线l的斜率为，故B错误； 设直线l的倾斜角为，可知， 所以，即直线l的倾斜角为，故C正确； 直线l在轴上的截距为1，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 7．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】确定，计算，得到直线斜率，再计算直线方程得到答案. 【详解】直线：的倾斜角为，则， 故，故直线的斜率为，截距为， 故直线方程为，即. 故答案为： 8．（23-24高二上·广东深圳·期中）直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据直线方程求出斜率，由斜率求出倾斜角. 【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：， 所以直线的斜率为， 所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为. 故答案为： 9．（22-23高二上·四川绵阳·期末）如果，，那么直线不通过第 象限. 【答案】二 【分析】根据直线的斜率与直线在轴上的截距判断即可. 【详解】因为，，所以都不为0，且同号，与都异号， 所以由可得， 即直线的斜率，在y轴上的截距， 故直线不经过第二象限. 故答案为：二 四、解答题 10．（23-24高二上·青海西宁·阶段练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. (1)斜率是，且经过点； (2)过，且在两坐标轴上的截距相等. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）利用直线的点斜式方程进行求解即可； （2）利用直线的截距式方程进行求解即可； 【详解】（1）由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为， 化为一般式为. （2）当直线截距不为0时，由直线的截距式方程，设求直线方程为， 代入得，所以直线方程为， 当直线截距为0，即直线过原点时，直线方程为， 化为一般式为， 综上直线的方程为和. 11．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知直线经过点和. (1)求的一般式方程； (2)若直线过的中点，且，求的斜截式方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据两点式方程可得； （2）先求中点的坐标，再根据得的斜率，进而可得的斜截式方程. 【详解】（1）由题意得的两点式方程为， 化为一般式方程为. （2）设，的斜率分别为，. 由题意得中点的坐标为， 由，得，则. 因为，所以，得. 故的斜截式方程为. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴围成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，即， 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为，即， 综上直线方程为或， 故选：D 二、多选题 2．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）若，，则在下列函数图象中，不可能是直线的图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据直线的斜率及截距分析满足条件的图象即可得解. 【详解】由可知直线斜率， 直线在轴上的截距，满足条件的只有B， 所以不可能是ACD. 故选：ACD 三、填空题 3．（2024高二上·全国·专题练习）直线l过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为 ，当的面积取最小值时直线l的一般式方程是 . 【答案】 8 【分析】设直线截距式方程，由题意得，利用基本不等式求出面积的最小值，得解. 【详解】设直线l的方程为， 因为直线l过点，所以. 又， 所以， 即，当且仅当，即时取等号， 所以， 此时直线l的方程为，即. 故答案为：8；. 四、解答题 4．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点. (1)当斜率为2时，求的一般式方程； (2)求面积的最小值时直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由点斜式写出的方程，再化成一般式即； （2）则设直线的方程为，，求得在两坐标轴的截距分别为，，再由，可得，结合基本不等式可得当时，面积的最小值，即可得答案. 【详解】（1）解：由题意可知，直线的方程：， 即； （2）解：∵点在第一象限，且直线分别与轴正半轴 、轴正半轴相交， ∴直线的斜率， 则设直线的方程为，， 令，得；令，得. ∴. ∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立. ∴面积的最小值为6. 此时直线的方程为，即. 【下节预览】 一、解答题 5．（23-24高二上·湖南邵阳·期中）回答下面两题 (1)求过，两点的一般式方程； (2)求过点且与直线：平行的直线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点求直线的斜率，再将点斜式直线方程化简为一般方程； （2）设与直线平行的直线方程，再代入点的坐标，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，, 则直线的方程为， 化简为一般式直线方程为； （2）设与直线平行的直线方程为， 代入点，得，得， 所以直线方程为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$