精品解析：重庆市两江新区2023-2024学年高一下学期期末抽测数学试题

2023-2024学年下期期末抽测 高一年级数学试卷 （全卷共4个大题，满分150分；考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】解不等式，得，即，则， 解不等式，得，即， 所以. 故选：A 2. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直观图的平面图，再求出相关线段长，即可求出平面图的面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 则，，， 所以. 故选：D 3. 在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，作出几何图形，再利用向量线性运算求解即得. 【详解】在中，M为BC的中点，，， 所以. 故选：C 4. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与直线CN所成角为的直线是（ ）． A. DE B. AB C. BF D. BN 【答案】A 【解析】 【分析】把给定正方体的平面展开图还原成几何体，再观察正方体即可作答. 【详解】正方体的平面展开图所对应的几何体，如图所示，其中点E，F重合， 与所成角为，而，即，D不是； ，则与所成角为，B不是； ，，四边形为平行四边形，，C不是； 与所成角为，而，即， 因此与所成角为的直线是，A正确. 故选：A 5. 已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 若，，则或，故A错误， 对于B, ，，则,故B正确， 对于C，，，则或，相交，故C错误， 对于D，，，则或，故D错误， 故选：B 6. 四棱锥中，平面ABCD，四边形为矩形，，，若四棱锥的外接球的表面积为，则（ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意将四棱锥中补全成长方体，根据表面积可得球半径，再求长方体外接球半径即可． 【详解】将四棱锥中补全成长方体，如图所示： 所以四棱锥的外接球即为长方体的外接球． 由于四棱锥的外接球的表面积为，故球半径满足，故， 则外接球的半径为， ． 故选：A． 7. 已知D是某人工湖上的一个小岛，A、B、C是湖边的三栋建筑（A，B，C，D在同一平面内）.若CD之间有直线型栈道，长为30m.在C点测得，；在D点测得，，则AB之间直线距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先在中求得，在中利用正弦定理求出，然后在中利用余弦定理可求出. 【详解】在中，，，则， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 在中，由正弦定理得， 所以，得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：A. 8. 已知平面向量，满足，，则为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算可得，，相减，结合模长公式即可求解. 【详解】由和得，， 故两式相减可得， 故， 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 设复数的共辄复数为，为虚数单位，若，则（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 在复平面内对应的点位于第三象限 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，根据复数的定义判断A，根据复数的模判断B，根据复数的几何意义判断C，根据共轭复数及复数的乘法判断D. 【详解】因为，即，则， 所以复数的虚部为，故A正确； 因为，所以，故B正确； ，则在复平面内对应的点为，位于第四象限，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 10. 已知向量，，则（ ） A. 向量方向上的单位向量为 B. 当时，向量在向量上的投影向量为 C. 当与的夹角为锐角时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】向量方向上的单位向量为即可判断A；向量在向量上的投影向量为判断B；根据且与不同向判断C，根据求出，再由向量模的坐标表示判断D. 【详解】对于A：因为，则， 所以向量方向上的单位向量为，故A错误； 对于B：当时，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C：当与的夹角为锐角，则且与不同向， 故，解得，故C正确； 对于D：当，则，解得，所以， 所以，所以，故D错误. 故选：BC 11. 已知正方体，，点满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当取最小值时， B. 存在，，使得平面截正方体的截面为菱形 C. 当时，平面 D. 当时，面 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先确定点在四边形区域内（包括边界），即可判断A，当，确定点位置，从而确定截面的形状，即可判断B，取的中点，的中点，连接，从而确定点的位置，再证明平面平面，即可判断C，证明平面，即可判断D. 【详解】因为点满足，，， 所以点在四边形区域内（包括边界）， 对于A：因为平面， 所以当点在点时取最小值，此时，所以，故A正确； 对于B：当，时，此时在的中点， 取的中点，的中点，连接，，，，， 又且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 同理可知，所以，显然， 所以菱形为平面截正方体的截面，故B正确； 对于C：取的中点，的中点，连接，则，， 所以，因为，所以， 则点在线段上， 连接，，，，，则，，平面， 平面，所以平面，同理可得平面， 又，平面， 所以平面平面，显然平面与平面不平行， 且点平面，所以与平面相交，则与平面相交，故C错误； 对于D：若，则点与点重合，此时平面无法确定，所以， 当时点在线段上（点除外），连接，则， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以面，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是结合平面向量的知识确定点所在的位置. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，是纯虚数，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义即可求解. 【详解】为纯虚数，则且，故， 故答案为：0 13. 一个圆台的上、下底面的半径分别为1和2，体积为，则它的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆台的高为，根据圆台的体积公式计算可得. 【详解】设圆台的高为，则圆台的体积， 解得. 故答案为： 14. 若，是关于的方程（，m，）两根，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用韦达定理得到，再代入结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为，是关于的方程（，m，）两根， 所以，，， 所以， 所以当时取得最小值，此时. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在等腰三角形ABC中，，，点O是BC的中点，，点G满足． （1）求的值； （2）若，点P是线段AG上的动点，求取值范围． 【答案】（1）6； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出点的坐标，再利用数量积的坐标表示计算即得. （2）设点，再利用数量积的坐标表示求出，然后求出最值即得. 【小问1详解】 在中，，，点O是BC的中点，，得， 以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，由，得是的重心，， 于是， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，设，由，得， 则，， 当时，，当时，， 所以的取值范围是. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，的面积为且． （1）求角的大小： （2）若点为上一点，，，，求． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用面积公式及余弦定理求出，即可得解； （2）由余弦定理求出，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 因为，即， 由余弦定理，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，即， 解得或， 因为，所以或. 17. 如图，在四棱锥，底面ABCD是平行四边形．，，，，点E、F、H分别为AB、PC、DC的中点． （1）求证：平面平面PDE； （2）求证：平面平面PDE； （3）若，求点C到平面PAD的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行、面面平行的判定推理即得. （2）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （3）证明平面，利用体积法求出点到平面的距离即得答案. 【小问1详解】 连接，由F、H分别为PC、DC的中点，得，平面PDE，平面PDE， 则平面PDE，在中，是的中点，则， 于是四边形是平行四边形，，平面PDE，平面PDE， 则平面PDE，而平面， 所以平面平面PDE. 【小问2详解】 由，，是的中点，得， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面PDE 【小问3详解】 在中，平面，平面，则平面， 于是点C到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离， 而，由（2）知，，又，则， 三棱锥的体积， ，等腰底边上的高， 则的面积，因此，解得， 所以点C到平面PAD距离是. 18. 平面四边形中，，，，． （1）求； （2）求四边形周长的取值范围； （3）若为边上一点，且满足，，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出，再由余弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可求出的范围，即可求出四边形周长的取值范围； （3）依题意可得，即可求出、、，再由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为，，所以， 在中由余弦定理 ； 【小问2详解】 在中， 即， 所以，所以，当且仅当时取等号， 又， 则，即，所以， 所以， 即四边形周长的取值范围为； 【小问3详解】 因，所以，又， 所以，，又，所以， 在中由余弦定理， 即 在中由余弦定理， 即， 又，所以， 所以， 又，所以， 即，所以， 所以，所以， 所以. . 【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是利用余弦定理得到，从而结合第2小问中的结论即可得解. 19. 正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． （1）求证：： （2）当时，求二面角的正弦值； （3）设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不存在，使得能取得最大值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，即可求证. （2）根据二面角的几何法可得即为二面角的平面角，即可由三角形的边角关系求解， （3）理由等体积法求解点到平面的距离为，即可由线面角的定义求解，由换元法，结合基本不等式取等条件得矛盾，即可求解. 【小问1详解】 由于平面， 故平面， 又平面， 所以 【小问2详解】 过作于，连接, 由（1）知,平面， 所以平面，平面， 故， 因此即为二面角的平面角， ，则为中点， ， 由等面积法可得,解得， 在中，， 故二面角的正弦值为. 【小问3详解】 设点到平面的距离为， 由于，所以，， 则， 因此， 所以， ， 由等体积法可得,所以， 由于直线PM与平面AMN所成角为，则， ，令，则， 故，当且仅当时取等号，此时，这与矛盾，故不存在，使得能取得最大值， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年下期期末抽测 高一年级数学试卷 （全卷共4个大题，满分150分；考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C D. 2. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与直线CN所成角为的直线是（ ）． A. DE B. AB C. BF D. BN 5. 已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 四棱锥中，平面ABCD，四边形为矩形，，，若四棱锥的外接球的表面积为，则（ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 2.5 7. 已知D是某人工湖上的一个小岛，A、B、C是湖边的三栋建筑（A，B，C，D在同一平面内）.若CD之间有直线型栈道，长为30m.在C点测得，；在D点测得，，则AB之间直线距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，满足，，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 设复数的共辄复数为，为虚数单位，若，则（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 在复平面内对应的点位于第三象限 D. 10. 已知向量，，则（ ） A. 向量方向上的单位向量为 B. 当时，向量在向量上的投影向量为 C. 当与的夹角为锐角时， D. 当时， 11. 已知正方体，，点满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当取最小值时， B. 存在，，使得平面截正方体的截面为菱形 C. 当时，平面 D. 当时，面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，是纯虚数，则______． 13. 一个圆台的上、下底面的半径分别为1和2，体积为，则它的高为______． 14. 若，是关于的方程（，m，）两根，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在等腰三角形ABC中，，，点O是BC的中点，，点G满足． （1）求的值； （2）若，点P是线段AG上动点，求取值范围． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，的面积为且． （1）求角的大小： （2）若点为上一点，，，，求． 17. 如图，在四棱锥，底面ABCD是平行四边形．，，，，点E、F、H分别为AB、PC、DC中点． （1）求证：平面平面PDE； （2）求证：平面平面PDE； （3）若，求点C到平面PAD的距离． 18. 平面四边形中，，，，． （1）求； （2）求四边形周长的取值范围； （3）若为边上一点，且满足，，求的面积． 19. 正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． （1）求证：： （2）当时，求二面角的正弦值； （3）设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$