精品解析：重庆市第一中学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

重庆一中初2026届23—24学年度下期期末考试 数学试题2024.6 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卷上的注意事项： 3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卷一并收回． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义“无限不循环小数叫做无理数”依次进行判断即可得，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是无理数，选项说法正确，符合题意； B、是有理数，选项说法正确，符合题意； C、是有理数，选项说法正确，符合题意； D、5是有理数，选项说法正确，符合题意； 故选：A． 2. 下列轨道交通中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义“如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形”依次进行判断即可得，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意； B、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意； C、是轴对称图形，选项说法正确，符合题意； D、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 3. 下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的两个条件是解题的关键．根据最简二次根式的两个条件：被开方数是整数或整式；被开方数不能含开得尽方的因数或因式．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案． 【详解】解：A选项：可以化简，不是最简二次根式； B选项：，不能再开方，被开方数是整式，是最简二根式； C选项：，可以化简，不是最简二次根式； D选项：，可以化简，不是最简二次根式． 故选：B． 4. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 经过某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯； B. 某彩票中奖率是，买100张彩票一定中奖； C. 随机翻到一本书的某页，这页的页码是偶数； D. 太阳从东方升起． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，可能发生也有可能不发生的事件叫做随机事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可． 【详解】解：A、经过某一有交通信号灯的路口，可能遇到红灯，也可能不遇到红灯，原事件是随机事件，不符合题意； B、某彩票中奖率是，买100张彩票不一定中奖，原事件是随机事件，不符合题意； C、随机翻到一本书的某页，这页的页码可能是偶数，也可能是奇数，原事件是随机事件，不符合题意； D、太阳从东方升起，原事件是必然事件，符合题意； 故选：D． 5. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 6. 周末的上午，小名从家步行前往重庆一中图书馆看书自习，在图书馆学习了一段时间后，妈妈打电话催促小名回家吃饭，随后小名立即打车回家，下列最符合小名离家的距离y（单位：米）与离家的时间x（单位：时）之间关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，明确题意，掌握数形结合的方法是解答本题的关键．观察图象，即可作出判断． 【详解】解：由题意知：小名从家步行前往图书馆看书自习，这段时间，小名离家的距离y随时间x的增大而增大，所以选项C和D错误；小名在图书馆学习了一段时间，这段时间，小名离家的距离y不变；妈妈打电话催促小名回家吃饭，随后小名立即打车回家，小名回家的速度比离开家时的速度快，这段时间，小名离家的距离y随时间x的增大而减小，并且回家用的时间小于去图书馆用的时间，所以选项A符合情况． 故选：A． 7. 如图，在中，垂直平分，连接，，的周长为10．则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质，正确求出答案．由垂直平分线的性质，得到，结合，的周长为10，即可求出的长度． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵，的周长为10， ∴， ∴， ∴； 故选：C 8. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，先根据二次根式混合运算的法则计算出代数式的值，再估算其取值范围即可，掌握估算无理数的大小，二次根式的混合运算是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴ ∴， 故选：D． 9. 如图，在数值转换机中输入，第1次输出的结果为，将第1次输出的结果再重复输入数值转换机中，第2次输出的结果为2，以此类推，则第5次输出的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接按照程序规定的计算法则计算即可． 【详解】解：第次，； 第次，； 第次，； 第次，； 第次，； 故选B 10. 已知，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的化简求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先利用提公因式法和完全平方公式将的一部分进行因式分解，再将代入，即可得解． 【详解】解： ， 当时， 原式 ， 故选：C． 11. 如图，在长方形中，将四边形沿折叠，的对应边为，与交于点G，延长经过点A，延长交于点H，，则为（ ） A. 10 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解，，如图，过作于，证明，，，都为等腰直角三角形；再进一步结合轴对称的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， 如图，过作于， ∵长方形， ∴，，，， 由对折可得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，都为等腰直角三角形； ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 12. 如图，在中，，，，点E为平面内外一点，连接，和，，分别与交于点F，点G，若，下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．利用直角三角形斜边中线的性质可判断②；三角形内角和定理知，可判断①；延长和相交于点，证明，得到，得到，可判断⑤；推出是的垂直平分线，证明，推出，可判断③；利用三角形的外角性质求得，证明，推出，据此可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，且， ∴,说法②正确； 在和中，，， 由三角形内角和定理知，说法①正确； 延长和相交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，说法⑤正确； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，说法③正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，说法④正确， 综上，①②③④⑤都是正确的， 故选：D． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13. 25的算术平方根是 _______ . 【答案】5 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根． 【详解】解：∵52=25， ∴25的算术平方根是5， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键． 14. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根，再计算减法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 一个不透明的布袋中装有若干个红球和白球，其中白球的个数比红球的个数多3个，这些球除颜色外其余都相同．小明通过多次重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则布袋中的红球一共有______个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查根据频率估计概率，分式方程的解法，已知概率求数量，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意知，摸到红球的概率为， 设布袋中红球有个，则， 化为整式方程为， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 故答案为：6． 16. 如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了，平面展开最短路径，勾股定理，解题的关键是：通过展开图找到最短路径．展开成平面，连接，则长时蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出的长，根据勾股定理，即可求解， 【详解】解：展开成平面，连接， 则长为蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程， ∴，， 在中，， 故答案为：． 17. 已知的整数部分为a，小数部分为b，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的乘法，正确得出的取值范围是解题关键．先估算无理数的范围，求出a、b的值，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴整数部分，小数部分， ∴ ； 故答案为：47． 18. 如图，在中，点D，E在边上，连接，，满足，，若，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先求解，设，则，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为； 故答案为： 19. 如图，将一块含的直角三角板和一块含的直角三角板按如图方式摆放，其中点D在边上，与交于点N，与交于点M．若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求解，，，如图，过作于，证明，可得，，再进一步求出，最后利用求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， 如图，过作于， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 20. 对于任意一个四位数A，若A的千位数字和百位数字之和为5的倍数，十位数字和个位数字之和为6的倍数，我们称这样的四位数为“五颜六色数”．比如：数字1451，因为，，所以1451是“五颜六色数”，数字2372，因为，，所以2372不是“五颜六色数”．若数字是“五颜六色数”，其中，，，．记，，若是7的倍数，则______，满足条件的最小的M为______． 【答案】 ①. 18 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，先得到，当时，可得（l为正整数），进而得到或或，再由是7的倍数，得到一定是7的倍数，则此时不满足题意；当时，则（l为正整数），进而得到或或，则，即； 此时， 由是7的倍数，，得到或，进而得到或或或，则或，由此可得；由，且要满足M最小，则c要最小，即d要最大，则,，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时， ∵数字M是“五颜六色数”， ∴（l为正整数）， ∴， ∵，， ∴， ∴或或， ∴或或， ∵是7的倍数， ∴一定是7的倍数， ∴当时，不满足题意； 当时， ∵数字M是“五颜六色数”， ∴（为正整数）， ∴， ∵，， ∴， ∴或或， ∴或或， ∵是7的倍数， ∴一定是7的倍数， ∴， ∴； ∴只有当，且是，满足是7的倍数， ∴， ∵是7的倍数，， ∴或 ∴或 ∴或或或， ∴或或或， ∵a、b都是非负整数， ∴都是整数，且， ∴或 当时，则， ∴； 当时，则， 解得（舍去）； ∵，且要满足M最小， ∴c要最小， ∴d要最大， ∴, ∴， 综上所述，M的最小值为， 故答案为：18；． 三、解答题（本大题共8个小题，21题16分，22题6分，23题8分，24﹣27题各10分，28题12分，共82分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 21. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算， （1）分别计算出各项，再依次进行计算即可得； （2）先化简各项，再进行计算即可得； （3）先化简括号里的，再运用乘法分配律进行计算即可得； （4）先计算各项，再合并同类项即可得； 掌握零指数幂，绝对值，二次根式，完全平方公式，混合运算的运算法则和运算顺序是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 22. 如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】此题考查作图能力：作一角等于已知角，截取线段长度等于已知线段长，掌握简单的作图方法是解题的关键．先作，再在角的两边分别截取，，，则，从而可得答案． 【详解】解：如图，即为所求作的三角形； 23. 先化简，再求值：，其中a、b满足． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，算术平方根的非负性的应用，先根据非负数的性质求解，，再计算整式的混合运算，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：，； ； 24. 为了推动“五育”融合教育，促进学生的德智体美劳全面发展，某中学开展了“德育”、“智育”、“体育”、“美育”、“劳育”五类社团活动，每个同学选择一类社团活动参加．为了了解各类社团活动受欢迎的程度，学校抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图所示不完善的条形统计图和扇形统计图： 根据以上的信息，回答下列问题： （1）抽取的学生有______人， ______； （2）请补全条形统计图： （3）若学校共有2400人，请估计参加“智育类社团”和“美育类社团”的总人数． 【答案】（1）150；30 （2） 补全统计图如下： （3）1120人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体： （1）用劳育类人数除以其人数占比即可求出抽取的学生数，进而求出a的值即可； （2）先求出智育类的人数，再补全统计图即可； （3）用2400乘以样本中“智育类社团”和“美育类社团”的人数占比之和即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴抽取的学生有150人， ∴， ∴， 故答案为：150；30； 【小问2详解】 解：人， ∴智育类的人数为25人， 【小问3详解】 解：人， ∴估计参加“智育类社团”和“美育类社团”的总人数为1120人． 25. 如图，在中，，E为平面内一点，连接，，C为延长线上一点，连接交于点F，且，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理． （1）根据等边对等角得出，进而得出，通过证明，即可求证； （2）根据三角形的外角定理得出，在求出，则，最后根据三角形的外角定理，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 夏天到了，又到了吃西瓜的季节，某水果店花了元购进了千克西瓜，每千克西瓜的售价为元，水果店销售该西瓜一段时间后，由于天气炎热，西瓜开始腐坏，水果店计算了一下，平均每卖出千克西瓜就有千克西瓜腐坏（腐坏的西瓜无法销售），全部售出以后，水果店为了“周年庆”活动，立即用元以同样的进价第二次购进西瓜，活动期间每千克西瓜在原售价的基础上少元，活动结束后，剩余西瓜恢复原价出售，并且没有腐坏，直至全部售完．西瓜的销量（单位：千克）与水果店售出西瓜所获得的利润（单位：元）之间的关系图象如图所示： （1）______，______． （2）当第二次进购的西瓜全部售完后，水果店两次销售西瓜所获得的总利润为1309元，请问在“周年庆”期间水果店卖出了多少千克西瓜？ （3）在整个销售过程中，当所获得的利润为元时，请直接写出对应的西瓜销量． 【答案】（1）； （2） （3），568， 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意弄清楚题中的等量关系是解题的关键． （1）根据成本，售价之间关系，即可求出每千克利润，即可求出，剩余亏损每卖出千克，则亏损元，则可求出； （2）设“周年庆”期间水果店卖出了千克西瓜，设一元一次方程即可求解； （3）根据图像可以看出，有三段一次函数均有利润达到元的时候，根据每段一次函数求解即可； 【小问1详解】 根据题意可知，水果店花了元购进了千克西瓜， 即进价为每千克元， 每千克西瓜的售价为元 故每千克利润为元 故看图可得 根据题意可知每卖出千克，则亏损元， 剩余千克，即亏损元 故 【小问2详解】 解：设“周年庆”期间水果店卖出了千克西瓜 可得： 解得： 答：“周年庆”期间水果店卖出了千克西瓜 【小问3详解】 在第一段一次函数中，当利润为元时，销量为千克 在第二段一次函数中，每卖出千克，则亏损元，则利润为元时， 销量为：千克 在第三段中，设销售千克，利润为 解得： 故销量分别为，568，千克时，利润为元 27. 如图，为等边三角形，点D，E分别是边，上的点．连接，交于点H． （1）如图1，点M是延长线上一点，连接，，若，，，求的值； （2）如图2，点F是的角平分线上一点，连接，，，满足．若，求证：． 【答案】（1）5 （2）证明过程见详解 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，即可求解； （2）作于M，于N，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得结论． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ，， ，， ， ，，， 是等边三角形， ， ， . 【小问2详解】 证明：作于M，的延长线于N， 均为直角三角形， 平分， ， ， ， ， ，，， ∴， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质等知识，证明是解题的关键． 28. 如图，在中，，是边上的高，点D是线段延长线上一点，连接． （1）如图1，，若，，求线段的长度； （2）如图2，，将线段绕着点B旋转一定的角度得到线段，连接，，若，，求证：， （3）如图3，，点P是线段上的动点，点Q是线段上的动点，满足，，连接，，．若，当最小时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明：如图，延长至，使，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 延长，作， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 由旋转可得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理可得答案； （2）如图，延长至，使，连接，证明，可得，，再证明，延长，作，证明，结合，可得，再进一步解答即可； （3）如图，在上截取，延长至，使，连接，证明，可得，，，，；同理可得：，可得，，当在上时，则，此时最短；再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴； ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在上截取，延长至，使，连接， ∵，，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，，， ∴，； 同理可得：， ∴，， 当在上时， ，此时最短； ∵，， ∴， 而， ∴， 过作于，过作于， 则为等腰直角三角形，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，旋转的性质，含的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中初2026届23—24学年度下期期末考试 数学试题2024.6 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卷上的注意事项： 3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卷一并收回． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 5 2. 下列轨道交通中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 经过某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯； B. 某彩票中奖率是，买100张彩票一定中奖； C. 随机翻到一本书的某页，这页的页码是偶数； D. 太阳从东方升起． 5. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 周末的上午，小名从家步行前往重庆一中图书馆看书自习，在图书馆学习了一段时间后，妈妈打电话催促小名回家吃饭，随后小名立即打车回家，下列最符合小名离家的距离y（单位：米）与离家的时间x（单位：时）之间关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，垂直平分，连接，，的周长为10．则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 8. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 9. 如图，在数值转换机中输入，第1次输出的结果为，将第1次输出的结果再重复输入数值转换机中，第2次输出的结果为2，以此类推，则第5次输出的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 10. 已知，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 11. 如图，在长方形中，将四边形沿折叠，的对应边为，与交于点G，延长经过点A，延长交于点H，，则为（ ） A. 10 B. 16 C. D. 12. 如图，在中，，，，点E为平面内外一点，连接，和，，分别与交于点F，点G，若，下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13. 25的算术平方根是 _______ . 14. 计算：______． 15. 一个不透明的布袋中装有若干个红球和白球，其中白球的个数比红球的个数多3个，这些球除颜色外其余都相同．小明通过多次重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则布袋中的红球一共有______个． 16. 如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为______． 17. 已知的整数部分为a，小数部分为b，则______． 18. 如图，在中，点D，E在边上，连接，，满足，，若，，，则的面积为______． 19. 如图，将一块含的直角三角板和一块含的直角三角板按如图方式摆放，其中点D在边上，与交于点N，与交于点M．若，，，则______． 20. 对于任意一个四位数A，若A的千位数字和百位数字之和为5的倍数，十位数字和个位数字之和为6的倍数，我们称这样的四位数为“五颜六色数”．比如：数字1451，因为，，所以1451是“五颜六色数”，数字2372，因为，，所以2372不是“五颜六色数”．若数字是“五颜六色数”，其中，，，．记，，若是7的倍数，则______，满足条件的最小的M为______． 三、解答题（本大题共8个小题，21题16分，22题6分，23题8分，24﹣27题各10分，28题12分，共82分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 21. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 22. 如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 23. 先化简，再求值：，其中a、b满足． 24. 为了推动“五育”融合教育，促进学生的德智体美劳全面发展，某中学开展了“德育”、“智育”、“体育”、“美育”、“劳育”五类社团活动，每个同学选择一类社团活动参加．为了了解各类社团活动受欢迎的程度，学校抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图所示不完善的条形统计图和扇形统计图： 根据以上的信息，回答下列问题： （1）抽取的学生有______人， ______； （2）请补全条形统计图： （3）若学校共有2400人，请估计参加“智育类社团”和“美育类社团”的总人数． 25. 如图，在中，，E为平面内一点，连接，，C为延长线上一点，连接交于点F，且，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 26. 夏天到了，又到了吃西瓜的季节，某水果店花了元购进了千克西瓜，每千克西瓜的售价为元，水果店销售该西瓜一段时间后，由于天气炎热，西瓜开始腐坏，水果店计算了一下，平均每卖出千克西瓜就有千克西瓜腐坏（腐坏的西瓜无法销售），全部售出以后，水果店为了“周年庆”活动，立即用元以同样的进价第二次购进西瓜，活动期间每千克西瓜在原售价的基础上少元，活动结束后，剩余西瓜恢复原价出售，并且没有腐坏，直至全部售完．西瓜的销量（单位：千克）与水果店售出西瓜所获得的利润（单位：元）之间的关系图象如图所示： （1）______，______． （2）当第二次进购的西瓜全部售完后，水果店两次销售西瓜所获得的总利润为1309元，请问在“周年庆”期间水果店卖出了多少千克西瓜？ （3）在整个销售过程中，当所获得的利润为元时，请直接写出对应的西瓜销量． 27. 如图，为等边三角形，点D，E分别是边，上的点．连接，交于点H． （1）如图1，点M是延长线上一点，连接，，若，，，求的值； （2）如图2，点F是的角平分线上一点，连接，，，满足．若，求证：． 28. 如图，在中，，是边上的高，点D是线段延长线上一点，连接． （1）如图1，，若，，求线段的长度； （2）如图2，，将线段绕着点B旋转一定的角度得到线段，连接，，若，，求证：， （3）如图3，，点P是线段上的动点，点Q是线段上的动点，满足，，连接，，．若，当最小时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $