精品解析：天津市河北区2023-2024学年高三总复习质量检测（二）数学试题

河北区2023—2024学年度高三年级总复习质量检测（二） 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时分钟. 第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页. 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在相应位置粘贴考试用条形码. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： 如果事件，互斥，那么 球的表面积公式 球的体积公式 .如果事件相互独立，那么 .其中表示球的半径 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数，则的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，若对任意的都满足（其中为常数），则称数列为等差比数列. 已知等差比数列中，，则等于（ ） A. 5 B. 9 C. 15 D. 105 6. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长. 已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码 1 2 3 4 5 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2026年该科技公司云计算市场规模估计值为（ ） （参考公式：） A. B. C. D. 7. 陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，圆锥与圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C D. 9. 是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸上） 10. 是虚数单位，化简的结果为_____________. 11. 的展开式中的常数项是___________. 12. 已知抛物线上有一点，且点在第一象限，以为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为_____________. 13. 学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为_______，第三天不玩手机的概率为_____________. 14. 已知函数的最小正周期为，若，时函数取得最大值，则_____________，的最小值为_____________. 15. 已知函数，若函数有三个不同的零点，且，则的取值范围是_________． 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，求值和的面积； （2）在（1）的条件下，求的值； （3）若，求的值. 17. 如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，. （1）求证：平面； （2）求异面直线和所成角的余弦值； （3）点在线段上，平面和平面的夹角为，求的值. 18. 设椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍，上顶点为. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点，过点作与垂直的直线，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为，若，求的值. 19. 已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，求证：. 20. 已知，函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时. （ⅰ）求单调区间和极值； （ⅱ）设的极大值为，求的最小值； （3）设，且，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北区2023—2024学年度高三年级总复习质量检测（二） 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时分钟. 第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页. 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在相应位置粘贴考试用条形码. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： 如果事件，互斥，那么 球的表面积公式 球的体积公式 .如果事件相互独立，那么 .其中表示球的半径 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集、补集运算求解即可. 【详解】由题可得：或，所以， 故选：B 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由可得，解得， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 4. 函数，则的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性排除AB；根据特殊值的函数值排除D，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数，故排除AB； 又因为，故排除D. 故选：C. 5. 在数列中，若对任意的都满足（其中为常数），则称数列为等差比数列. 已知等差比数列中，，则等于（ ） A. 5 B. 9 C. 15 D. 105 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差比数列的定义求解即可. 【详解】因为为等差比数列，所以， 所以，解得，由，解得： 故选：D 6. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长. 已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码 1 2 3 4 5 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2026年该科技公司云计算市场规模的估计值为（ ） （参考公式：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得线性回归方程，再由回归方程求出2026年z的预测值，代入即可得解. 【详解】因为 所以 即经验回归方程 当时， 所以 即2026年该科技公司云计算市场规模y的估计值为. 故选：C. 7. 陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，圆锥与圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料体积的最小，设此时球形材料的半径为，由勾股定理求出外接球的半径，即可求出其体积. 【详解】依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料体积的最小， 设此时球形材料的半径为，由题意得，解得， 所以球形材料的体积最小值为. 故选：D. 8. 函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得双曲线夹角为，再结合二倍角的正切公式求出，即可得解. 【详解】因为直线和直线的夹角为， 由题意可得双曲线夹角为， 而双曲线的渐近线方程为， 所以， 则，解得（负值舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 9. 是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解． 【详解】设，（且）， 则（且）， 则在线段上，如图所示， 当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为； 当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最小值为； 则在上的投影向量的长度的取值范围是． 故选：B. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸上） 10. 是虚数单位，化简的结果为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求解. 详解】解： ， 故答案为： 11. 的展开式中的常数项是___________. 【答案】-84 【解析】 【详解】∵的展开式为，∴令=0得r=3，故常数项为 12. 已知抛物线上有一点，且点在第一象限，以为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】依题设点，，由求出的值，即可求得圆的方程. 【详解】设点，则，若抛物线的顶点为,焦点为， 依题意，,即，解得，， 则圆的圆心为，半径为, 故这个圆的方程为：. 故答案为：. 13. 学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为_______，第三天不玩手机的概率为_____________. 【答案】 ①. 0.3 ②. 0.55 【解析】 【分析】根据题意由对立事件概率公式得第二天玩手机的概率，再由全概率公式得第三天不玩手机概率即可. 【详解】由题意，学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7， 所以一个学生第一天没玩手机，那么他第二天玩手机的概率为， 由全概率公式知第三天不玩手机的概率为. 故答案为：； 14. 已知函数的最小正周期为，若，时函数取得最大值，则_____________，的最小值为_____________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】首先表示出，根据求出，再根据时函数取得最小值，建立等式计算即可求解. 【详解】函数的最小正周期为， 若，由，得， 所以， 因为时函数有最大值，所以， 故，所以， 因为，则的最小值为. 故答案为：；. 15. 已知函数，若函数有三个不同的零点，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】将表示为分段函数的形式，对进行分类讨论，求得，由此求得的取值范围. 【详解】， 当时，方程有个不相等的实数根，在上递增， 所以时，有个根， 且时，有个根， 所以，解得. 由于，则， 所以 ， ， ，， . 当时，当时，方程的判别式， 所以此时不符合题意. 当时，，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】研究含有绝对值的函数的零点，关键点在于去绝对值，将所研究的函数表示为分段函数的形式，由此再对参数进行分类讨论，结合零点个数来求得参数的取值范围.在分类讨论时，要注意做到不重不漏. 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，求的值和的面积； （2）在（1）的条件下，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求，再根据求，进而求得的面积； （2）由二倍角公式求得和，再由两角和与差的余弦公式得解； （3）由正弦定理得到与的关系，再结合余弦定理求解的值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得，即， 化简得，解得或(舍)，， ， 的面积. 【小问2详解】 ， ， . 【小问3详解】 中，由正弦定理得， ，化简得， 由余弦定理得， ，解得（负值舍去）， 所以 17. 如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，. （1）求证：平面； （2）求异面直线和所成角的余弦值； （3）点在线段上，平面和平面的夹角为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求证， （2）利用向量的夹角公式即可求解， （3）求两个平面的法向量，即可利用法向量的夹角求解. 【小问1详解】 证明：平面，以为原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，点是的中点， ,， 则 平面，平面的一个法向量为. ， 平面， 平面 ； 【小问2详解】 设异面直线和所成的角为， 异面直线和所成角的余弦值为. 【小问3详解】 ， 设，则， 设平面的法向量为，则有 不妨令，得，. 设平面的法向量为，则有 不妨令，得， ， 平面和平面的夹角为， ， ， ， . 18. 设椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍，上顶点为. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点，过点作与垂直的直线，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆经过点和长轴长是短轴长的2倍，得到和求解； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，求得点P的横坐标，再由，设直线的方程为与直线联立，求得Q的坐标，然后根据由 即求解. 【小问1详解】 解：椭圆经过点，即， 将点坐标代入方程，得， 解得 椭圆的方程为 . 【小问2详解】 如图所示： ，由题意可知，直线的斜率存在，且不为0. 直线的方程为 联立消去，得， 解得或， 点与点不同， ， 直线的方程为 直线 联立，解得 垂直于直线 在直角和直角中， 即 代入 化简得 解得 的值为. 【点睛】思路点睛：本题第二问的基本思路是根据点B坐标设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得点P的坐标，再由，设直线的方程，与直线联立，求得Q的坐标，通过由而得解. 19. 已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由求出，利用又是和的等比中项、求出； （2）利用错位相减法求出； （3）利用放缩法求和可得答案. 【小问1详解】 由题意， ， 又是和等比中项，得， 又，解得， ； 【小问2详解】 ， 设， 则， 将以上两式相减得 ， ； 【小问3详解】 ， ， . 结论得证. 20. 已知，函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时. （ⅰ）求的单调区间和极值； （ⅱ）设的极大值为，求的最小值； （3）设，且，求证：. 【答案】（1）. （2）（i）的单调递增区间是，单调递减区间是 ； 极大值，没有极小值； （ii）. （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导数得，可求得切线方程； （2）求导数得单调区间，可求得最值，再对求导数，可得最值； （3）利用分析法和放缩法，可求出结果. 【小问1详解】 时， ，整理得. 曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 （ⅰ） 令，解得 . ， 当变化时，的变化情况如下表： 0 ↗ 极大值 ↘ 函数单调递增区间是，单调递减区间是 有极大值，没有极小值； 的极大值 （ⅱ） 设， ， 令，解得. ， 当变化时，的变化情况如下表： 0 ↘ 极小值 ↗ 而 的最小值为. 【小问3详解】 当时，要证 两边同时取对数，即证， 即证，两边同时乘以， 即证， 而， 由（2）可知， 令，则，代入上式，得 ， ， . 【点睛】求解函数单调区间的步骤: (1)确定的定义域: (2)计算导数; (3)求出的根; 4)用的根将的定义域分成若干个区间， 考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间： ，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间； ，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间. 如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $