第08讲 一元二次方程的根与系数的关系 （2个知识点+2种经典题型+试题练习）2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第08讲 一元二次方程的根与系数的关系 （2个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【例1】（2024•盱眙县校级模拟）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【变式1】（2024•青山区校级三模）对于实数，定义运算“☆”为☆，例如：4☆，则关于的方程☆的根的情况，下列说法正确的是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式2】（2024•前郭县校级三模）若一元二次方程的根的判别式的值为8，则　　． 【变式3】（2024•淄川区二模）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根，是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求的值． 知识点2．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【例2】（2024•让胡路区校级模拟）已知菱形的两条对角线、的长分别是关于的方程的两根，则菱形的面积是 　　． 【变式1】（2024春•九龙坡区校级期末）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 　　． 【变式2】（2024•昆都仑区三模）平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根．若的长为2，那么平行四边形的周长是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】（2024•浙江模拟）设一元二次方程．在下面的四组条件中任意选择一组作为条件，解这个方程． ①，，． ②． ③ ④，，分别是该方程的两个根）． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 经典题型汇编 题型一．根的判别式 1．（2024•北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为　　 A． B． C．4 D．16 2．（2024•新疆）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 　　． 3．（2023秋•和县期末）已知关于的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求实数的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 题型二．根与系数的关系 4．（2024•商丘模拟）已知关于的方程的一根为0，另一根不为0，则的值为　　 A．1 B． C．1或 D．以上均不对 5．（2024•盐城模拟）已知关于的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为 　　． 6．（2024•泸县一模）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求的值． 试题练习 1． 选择题 1．（2024•河北三模）关于的方程为常数）无实数根，则点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024•梁园区校级模拟）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无法判断 D．无实数根 3．（2024•泸县模拟）已知关于的一元二次方程根的情况是　　 A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．必有实数根 D．没有实数根 4．（2024•湖北模拟）已知关于的一元二次方程有两个实数根和，且，的值为　　 A．或1 B．或0 C． D．1 5．（2024•安阳模拟）若，是方程的两个根，则的值为　　 A． B．16 C． D．20 6．（2024•旺苍县三模）已知、是关于的方程的两根，下列结论中不一定正确的是　　 A． B． C． D．方程必有一正根 7．（2024•九原区四模）已知，是一元二次方程的两根，则的值等于　　 A． B． C． D． 8．（2024•孝感模拟）一元二次方程的两根为，，则的值为　　 A．2 B． C．3 D． 9．（2024•惠阳区校级三模）如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D．且 10．（2024•睢阳区校级模拟）已知，，为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 二．填空题（共8小题） 11．（2024•商丘模拟）设，是方程的两个实数根，则　　． 12．（2024•从江县校级二模）关于的方程没有实数根，则的取值范围为　　． 13．（2024•越秀区校级三模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　　． 14．（2024•沭阳县校级一模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 　　． 15．（2024•乌鲁木齐模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 　　． 16．（2024•东营区校级一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　． 17．（2024•双峰县模拟）对于任意实数，，我们定义新运算“”： ，例如．若，是方程的两根，则的值为 　　． 18．（2024•东昌府区校级三模）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；③如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 　　（填序号） 三．解答题（共8小题） 19．（2024•鹰潭二模）已知关于的方程． 20．（2024春•乐陵市校级月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 21．（2024•越秀区校级模拟）已知． （1）化简； （2）若、是方程的两根，求的值． 22．（2024春•玄武区期末）已知关于的一元二次方程为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 23．（2024•汉川市模拟）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，试求的值． 24．（2024•菏泽三模）（1）解方程组： （2）关于的方程有两个相等的实数根，求代数式的值． 25．（2024•市南区二模）（1）化简：； （2）关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 26．（2024•从江县校级一模）（1）计算 ； （2）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请选择一个你喜欢的值代入，并求此时方程的解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 一元二次方程的根与系数的关系 （2个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【例1】（2024•盱眙县校级模拟）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【分析】根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于0，结合一元二次方程的二次项的系数不等于0，进行求解即可． 【解答】解：由题意，得：△且， 解得：且， 故选：． 【点评】本题考查根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于0是解题的关键． 【变式1】（2024•青山区校级三模）对于实数，定义运算“☆”为☆，例如：4☆，则关于的方程☆的根的情况，下列说法正确的是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【分析】准确理解题意，再利用根的判别式即可得答案． 【解答】解：☆， 方程为， 即， △， 有两个相等的实数根， 故选：． 【点评】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【变式2】（2024•前郭县校级三模）若一元二次方程的根的判别式的值为8，则　2　． 【分析】根据已知条件，列出关于的方程，解方程即可． 【解答】解：一元二次方程的根的判别式的值为8， △， ， ， ， ， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 【变式3】（2024•淄川区二模）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根，是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求的值． 【分析】（1）计算方程的根的判别式，若△，则证明方程计算方程的根的判别式，若△，则证明方程总有实数根； （2）根据根与系数的关系以及矩形的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合（1）的结论即可确定的值． 【解答】解：（1）， 整理得：， ，，， △ ； 该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2） ，， ①当为对角线时，， 解得：（不符合题意，舍去）， ②当为对角线时，， 解得：， 综上所述，的值为4． 【点评】本题考查了根的判别式，矩形的性质，也考查了解一元二次方程和一元二次方程的解． 知识点2．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【例2】（2024•让胡路区校级模拟）已知菱形的两条对角线、的长分别是关于的方程的两根，则菱形的面积是 　3　． 【分析】先利用方程得到，再利用菱形的面积等于对角线相等除以2，即可解答． 【解答】解：菱形的两条对角线、的长分别是关于的方程的两根， ， 菱形的面积为， 故答案为：3． 【点评】本题考查了根与系数的关系，菱形的面积，熟知菱形的面积等于对角线相等除以2是解题的关键． 【变式1】（2024春•九龙坡区校级期末）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 　2028　． 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：是一元二次方程的实数根， ， ， ， ，是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故答案为：2028． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 【变式2】（2024•昆都仑区三模）平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根．若的长为2，那么平行四边形的周长是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】将代入原方程，可求出的值，进而可得出原方程为，利用根与系数的关系，可求出的长，再利用平行四边形的周长计算公式，即可求出的周长． 【解答】解：把代入原方程得，， 解得：， 原方程为， ， 的周长是． 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系和平行四边形的性质，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 【变式3】（2024•浙江模拟）设一元二次方程．在下面的四组条件中任意选择一组作为条件，解这个方程． ①，，． ②． ③ ④，，分别是该方程的两个根）． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 【分析】得到一元一次方程，然后利用解一元二次方程的方程求解即可． 【解答】解：选择条件①解方程，则这个方程为， ， ，； 选择条件②解方程，则这个方程为， 即， △， 此方程无解； 选择条件③解方程，则这个方程为， 即， ， ． 选择条件④解方程，则这个方程为， ，． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法以及根与系数的关系是解题的关键． 经典题型汇编 题型一．根的判别式 1．（2024•北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为　　 A． B． C．4 D．16 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以△， 解得． 故选：． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 2．（2024•新疆）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 　　． 【分析】根据当△时，方程有两个不相等的两个实数根可得△，再解即可． 【解答】解：由题意得： △， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△时，方程无实数根． 3．（2023秋•和县期末）已知关于的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求实数的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【分析】（1）把方程的一个根代入，计算即可求的值； （2）根据关于的一元二次方程的根的判别式△的符号来判定该方程的根的情况． 【解答】（1）解：将代入原式，得； 解得； （2）证明：△， 原方程总有两个不相等的实数根； 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，根的判别式．一元二次方程，，，为常数）的根的判别式为△．当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根． 题型二．根与系数的关系 4．（2024•商丘模拟）已知关于的方程的一根为0，另一根不为0，则的值为　　 A．1 B． C．1或 D．以上均不对 【分析】首先将根为0代入方程解得的值，然后利用根的判别式进行判断的范围，再根据二次项系数不能为0，从而得到所求的的值． 【解答】解：关于的方程的一根为0， ， 即， 解得：或． 又关于的方程的另一根不为0， 所以△， 即， 解得：，当时，，此方程不可能有两根， 故选：． 【点评】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解和根的判别式的综合运用，关键是求到的取值范围． 5．（2024•盐城模拟）已知关于的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为 　4　． 【分析】设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后解关于的方程即可． 【解答】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 即方程的另一个根为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 6．（2024•泸县一模）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求的值． 【分析】（1）利用根的判别式求出关于的代数式，整理成非负数的形式即可判定； （2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把，转换为，然后利用前面的等式即可得到关于的方程，解方程即可求出结果． 【解答】（1）证明：△ ； 又， ， 无论取任何实数，方程总有实数根； （2）解：，，， ， ， 整理得， 解得或， 故的值为5或． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根． 试题练习 1． 选择题 1．（2024•河北三模）关于的方程为常数）无实数根，则点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】关于的方程无实数根，即判别式△．即可得到关于的不等式，从而求得的范围，进而得到结论． 【解答】解：关于的方程为常数）无实数根， △， 解得：， 点在第一象限， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根． 2．（2024•梁园区校级模拟）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无法判断 D．无实数根 【分析】利用根的判别式的值判断即可． 【解答】解：一元二次方程， ， △， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△时，方程无实数根． 3．（2024•泸县模拟）已知关于的一元二次方程根的情况是　　 A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．必有实数根 D．没有实数根 【分析】先求出△的值，进而可得出结论． 【解答】解：关于的一元二次方程中， △ ， 方程必有实数根． 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解及根的判别式，熟知一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根； 当△时，方程无实数根是解题的关键． 4．（2024•湖北模拟）已知关于的一元二次方程有两个实数根和，且，的值为　　 A．或1 B．或0 C． D．1 【分析】由知或，当时，，当时，，解方程可得答案． 【解答】解：， 或， 当时，△，即， 解得； 当时，， 解得， 综上所述，的值为1； 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是分类讨论思想的应用． 5．（2024•安阳模拟）若，是方程的两个根，则的值为　　 A． B．16 C． D．20 【分析】利用根与系数的关系求出和的值，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为，是方程的两个根， 所以，， 所以． 故选：． 【点评】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 6．（2024•旺苍县三模）已知、是关于的方程的两根，下列结论中不一定正确的是　　 A． B． C． D．方程必有一正根 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出，的值，分析后即可判断项，项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断项，项是否符合题意． 【解答】解：、根据根与系数的关系可得出，结论正确，不符合题意； 、根据根与系数的关系可得出，结论不一定正确，符合题意； 、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△，由此即可得出，结论正确，不符合题意； 、由，结合判别式可得出方程必有一正根，结论正确，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 7．（2024•九原区四模）已知，是一元二次方程的两根，则的值等于　　 A． B． C． D． 【分析】先利用根与系数的关系得，，再利用通分和完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 8．（2024•孝感模拟）一元二次方程的两根为，，则的值为　　 A．2 B． C．3 D． 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后直接代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：一元二次方程的两根为，， ，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握根与系数的关系，求出两根之和与两根之积． 9．（2024•惠阳区校级三模）如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D．且 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意知，△， 解得：， 方程是一元二次方程， ， 的取值范围是且， 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 10．（2024•睢阳区校级模拟）已知，，为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【分析】利用第二象限和轴上点的坐标特征得到，，，所以，从而可判断△，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：点在第二象限，点在轴的正半轴上， ，，， ， △， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．也考查了点的坐标． 二．填空题（共8小题） 11．（2024•商丘模拟）设，是方程的两个实数根，则　2023　． 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【解答】解：，是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：2023． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、是解题的关键． 12．（2024•从江县校级二模）关于的方程没有实数根，则的取值范围为　　． 【分析】利用一元二次方程根的判别式，△，解答出即可； 【解答】解：方程没有实数根， △， 解得，； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△时，方程有两个相等的两个实数根；③当△时，方程无实数根． 13．（2024•越秀区校级三模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　　． 【分析】根据题意得到，，然后将所求式子变形，再将，代入计算即可． 【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键是明确，． 14．（2024•沭阳县校级一模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 　2025　． 【分析】把代入方程求出的值，再利用，根与系数的关系求出的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根， 把代入方程得：，即， 由根与系数的关系得：， 则原式． 故答案为：2025． 【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 15．（2024•乌鲁木齐模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 　且　． 【分析】根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得且△， 解得且． 即实数的取值范围是且． 故答案为：且． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 16．（2024•东营区校级一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　且　． 【分析】本题是根的判别式的应用，因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以△，从而可以列出关于的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △， 即， 解这个不等式得，， 又二次项系数是， 故得取值范围是且． 故答案为：且． 【点评】1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△方程有两个不相等的实数根； （2）△方程有两个相等的实数根； （3）△方程没有实数根． 2、二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点． 17．（2024•双峰县模拟）对于任意实数，，我们定义新运算“”： ，例如．若，是方程的两根，则的值为 　　． 【分析】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得，，再结合分式的加减及完全平方公式代入计算可求解． 【解答】解：由题意得即为， 化简得， ，是该方程的两根， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，新定义，代数式求值，根据新定义将等式化为一元二次方程是解题的关键． 18．（2024•东昌府区校级三模）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；③如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 　①②　（填序号） 【分析】根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对②进行判断；利用反例对③进行判断． 【解答】解：的倒方程为，把代入方程得，解得，所以①正确； 一元二次方程无解，则△，即，一元二次方程的倒方程为的根的判别式△，则它的倒方程也无解，所以②正确； 一元二次方程有两个不相等的实数根，则△，当，时，为一元一次方程，它的倒方程只有一个实数解，所以③错误． 故答案为：①②． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，熟知一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 19．（2024•鹰潭二模）已知关于的方程． （1）当时，求原方程的解． （2）若原方程有两个相等的实数根，求的值． 【分析】（1）把代入方程，得，运用因式分解法解答即可； （2）根据判别式的意义列不等式求解即可． 【解答】解：（1）当时，得方程为： ， ， 解得，； （2）根据题意得且△， 解得， 即的值为． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法以及根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 20．（2024春•乐陵市校级月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：（1）由题意可知：△，且， 解得且； （2）由题意可知：，， ，即， ， ， ， 或， 解得或． 经检验，、都是方程的根， 的值为或． 【点评】此题主要考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 21．（2024•越秀区校级模拟）已知． （1）化简； （2）若、是方程的两根，求的值． 【分析】（1）先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）原式 ； （2）根据根与系数的关系得， 所以原式． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了分式的混合运算． 22．（2024春•玄武区期末）已知关于的一元二次方程为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【分析】（1）证明△，可得结论； （2）根据方程解的定义求出的值，再求出方程的根可得结论． 【解答】（1）证明：△ ， ， △， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：方程的一个根为3， ， ， 方程为， ，， 另一个根为1，． 【点评】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根与系数关系，属于中考常考题型． 23．（2024•汉川市模拟）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，试求的值． 【分析】（1）因为方程有两个实数根，得到△，由此可求的取值范围； （2）由一元二次方程的解的定义得出两根之和与两根之差的关系，解出两根，然后让代入即可求得． 【解答】解：（1）方程中， ，，， 由题意可知：△， 解得：； （2）是关于的一元二次方程的根， ，即， ， ，即：①． ②， 联立①②解得：， 即：， 解得：． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根的判别式是解题关键． 24．（2024•菏泽三模）（1）解方程组： （2）关于的方程有两个相等的实数根，求代数式的值． 【分析】（1）运用加减消元对所给方程组进行求解即可． （2）先根据所给方程有两个相等实数根可得出关于的等式，再对后面的分式进行化简并求值即可． 【解答】解：（1）， ①②得， ， 解得． 将代入①得， ， 解得． 所以原方程组的解为． （2）因为关于的方程有两个相等的实数根， 所以△， 即． 因为， 所以原式． 【点评】本题考查根的判别式及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及一元二次方程根的判别式是解题的关键． 25．（2024•市南区二模）（1）化简：； （2）关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【分析】（1）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可； （2）根据题意可知：且△，然后求解即可． 【解答】解：（1） ； （2）关于的一元二次方程有两个实数根， 且△， 解得且． 【点评】本题考查分式的混合运算、根的判别式、一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则和根的判别式的意义解答本题的关键． 26．（2024•从江县校级一模）（1）计算 ； （2）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请选择一个你喜欢的值代入，并求此时方程的解． 【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可． （2）先根据题意求出的取值范围，再按要求选择一个的值代入进行求解即可． 【解答】解：（1）原式． （2）因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以△， 解得． 将代入原方程得，， 则， 所以，（答案不唯一）． 【点评】本题考查实数的运算及根的判别式，熟知实数的运算法则、零指数幂及一元二次方程根的判别式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$