第10讲 根的判别式、根与系数的关系-【暑假精品课堂】2022年新九年级数学暑假同步课（北师大版）

第10讲 根的判别式、根与系数的关系 一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 一、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 例1．下列方程没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 例2．若关于的方程有两个不相等实数根，则的取值范围为（       ） A． B．且 C． D．且 例3．若关于x的一元二次方程有两个不同的实数根，则k的取值范围是______． 例4．若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是____________． 例5．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 __． 例6．关于x的一元二次方程（a，b是常数，且）（       ） A．若，则方程可能有两个相等的实数根 B．若，则方程可能没有实数根 C．若，则方程可能有两个相等的实数根 D．若，则方程没有实数根 例7．已知图象如图所示，则关于x的一元二次方程根的情况是（       ） A．无实数根 B．有两个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 例8．若 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣3x﹣6＝0 的两个根，则 x1+x2 的值是（        ） A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6 例9．若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（       ） A．－3 B．3 C．－5 D．5 例10．一元二次方程3x2-2x+4=0，它的根的情况为（     ） A．两根之和为- B．两根之积为 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 例11．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（       ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 例12．关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（       ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 例13．下列给出的四个命题，真命题的有（       ）个 ①若方程两根为-1和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例14．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（       ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 例15．已知两个关于x的一元二次方程，其中．下列结论错误的是（       ） A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根 B．若方程M有一个