第08讲 估算 （2个知识点+3种经典题型+试题练习）2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第08讲 估算 （2个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【例1】（2024•泰山区校级模拟）在3，0，，四个数中，最小的数是　　 A．3 B．0 C． D． 【变式1】（2024•潍坊一模）在实数1、、、中，最大的数是　　 A．1 B． C． D． 【变式2】（2024春•盱眙县期末）比较实数的大小：　　． 【变式3】（2024•无为市三模）请写出一个大于2且小于3的无理数 　　． 【变式4】（2023秋•卧龙区校级月考）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小． 小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法． 请利用上述方法比较实数与的大小． 知识点2．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 【例2】（2024•凉州区二模）面积为7平方米的正方形边长为米，估算的大小为　　 A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式1】（2024•海口模拟）估计的值在　　 A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式2】（2023秋•宿迁期末）若，且、是两个连续的整数，则的值为 　　． 【变式3】（2024•长清区二模）设为正整数，且，则的值为　　． 【变式4】（2023秋•乐平市期末）已知的平方根是，的算术平方根是1，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的立方根． 经典题型汇编 题型一.估计算术平方根的取值范围 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 2．（22-23八年级上·北京昌平·期末）若a和b为两个连续整数，且，那么 ， ． 3．（23-24八年级上·四川宜宾·阶段练习）根据表格解答下列问题： 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 (1)190.44的平方根是 _______． (2)_______，_______． (3)若，则_______，_______ 题型二.无理数的大小估算 4．（24-25八年级上·安徽·假期作业）已知，在两个相邻整数之间，则这两个整数是（   ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 5．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）如图，小正方形的边长为1，设，则下列关于的判断：①是无理数；②是实数；③是13的平方根，④．其中正确的是 （填序号）． 6．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）已知的平方根为，的算术平方根为4． (1)求，的值； (2)若和是连续的整数，且，求的值． 题型三.无理数整数部分的有关计算 7．（23-24八年级上·河北沧州·期中）设的小数部分是的整数部分是，则的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．一个无理数 8．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知的整数部分为，小数部分为，则的值是 ． 9．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若m，n分别是的整数部分和小数部分，求的值． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）实数在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）的小数部分是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）实数介于（    ） A．4和5之间 B．3和4之间 C．6和7之间 D．7和8之间 4．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 5．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）估计的值在（  ） A．0 到 1之间 B．1 到 2 之间 C．2 到 3 之间 D．3 到 4 之间 6．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）若，则x整数部分是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（22-23八年级上·福建宁德·期末）面积为20的正方形的边长为，则的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 8．（23-24八年级上·湖南郴州·阶段练习）若面积为5的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·重庆江津·期中）若的整数部分是a，小数部分是b，则的值为（      ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·福建宁德·期末）已知m，n为两个连续的整数，且，则的值是（    ） A．5 B．7 C．9 D．20 二、填空题 11．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）的整数部分是 ； 12．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）比大且比小的整数 ． 13．（23-24八年级上·四川成都·期末）实数的整数部分是 ． 14．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）若的整数部分为m，小数部分为n，则 15．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）设的小数部分是m，的整数部分是n，则的值是 ． 16．（22-23八年级上·河南周口·阶段练习）若的底AB为4，底边AB上的高为5，面积为S，则 4（填“<”、“=”或“>”）． 17．（2021·北京朝阳·一模）写出一个比大且比小的整数 ． 18．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，正方形的面积为28，则与该正方形的边长最接近的整数是 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·重庆黔江·期中）已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 20．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）观察：，即的整数部分为2，小数部分为．请你运用上述规律解决下面的问题： (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，按此规定的值为_______； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 21．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是______． (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 22．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理解答下列问题： (1)的整数部分是______；小数部分是______． (2)若是的小数部分，是的小数部分，且，求的值． 23．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）定义一种新运算，分别用和表示实数x的整数部分和小数部分．例如：；． (1)_____________，_____________． (2)如果，求的算术平方根． 24．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知实数a的两个平方根分别为和，b是的整数部分．求：的立方根． 25．（23-24八年级上·甘肃张掖·期中）已知：的算术平方根是5；的立方根为；c是的整数部分； (1)求的值； (2)求的平方根． 26．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 根据以上内容，解答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 估算 （2个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【例1】（2024•泰山区校级模拟）在3，0，，四个数中，最小的数是　　 A．3 B．0 C． D． 【分析】依据比较有理数大小的方法判断即可． 【解答】解：， 四个数中，最小的数是， 故选：． 【点评】本题主要考查的是比较有理数的大小，熟练掌握比较有理数大小的法则是解题的关键． 【变式1】（2024•潍坊一模）在实数1、、、中，最大的数是　　 A．1 B． C． D． 【分析】先求出的近似值，然后根据正负数的大小比较即可． 【解答】解：， ， 最大的数是， 故选：． 【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【变式2】（2024春•盱眙县期末）比较实数的大小：　　． 【分析】因为两数均为正无理数，所以把它们化为二次根式的形式，然后比较被开方数的大小即可解决问题． 【解答】解：，， 而， ． 故填空答案：． 【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题要熟知，两个正无理数，被开方数大的那个数就大． 【变式3】（2024•无为市三模）请写出一个大于2且小于3的无理数 　（答案不唯一）　． 【分析】根据完全平方数，即可解答． 【解答】解：， ， 写出一个大于2且小于3的无理数是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了实数大小比较，无理数，熟练掌握完全平方数是解题的关键． 【变式4】（2023秋•卧龙区校级月考）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小． 小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法． 请利用上述方法比较实数与的大小． 【分析】根据作差法即可比较大小． 【解答】解：， 因为，所以， 所以， 所以， 所以． 【点评】考查了实数大小比较，关键是熟练掌握比较大小的作差法． 知识点2．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 【例2】（2024•凉州区二模）面积为7平方米的正方形边长为米，估算的大小为　　 A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【分析】根据即可确定答案． 【解答】解：， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了无理数的估算，发现是解答本题的关键． 【变式1】（2024•海口模拟）估计的值在　　 A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【分析】估算得出所求范围即可． 【解答】解：， ， 则，即2和3之间， 故选：． 【点评】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键． 【变式2】（2023秋•宿迁期末）若，且、是两个连续的整数，则的值为 　　． 【分析】估算出的值，得到，的值，代入代数式计算即可． 【解答】解：， ， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 【变式3】（2024•长清区二模）设为正整数，且，则的值为　3　． 【分析】首先得出，进而求出的取值范围，即可得出的值． 【解答】解：， ， ． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了估算无理数，得到是解题关键． 【变式4】（2023秋•乐平市期末）已知的平方根是，的算术平方根是1，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的立方根． 【分析】（1）根据平方根的定义列式求出的值，再根据算术平方根的定义列式求出的值，根据可得的值； （2）把、、的值代入所求代数式的值，再根据立方根的定义计算即可． 【解答】解：（1）的平方根是． ， ， 的算术平方根是1， ， ； 是的整数部分，， ． （2）， ， ， 的立方根是． 【点评】本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键． 经典题型汇编 题型一.估计算术平方根的取值范围 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】此题主要考查了估算无理数．首先得出，进而求出的估计值． 【详解】 解：∵， ， ∴的值在2到3之间． 故选：A． 2．（22-23八年级上·北京昌平·期末）若a和b为两个连续整数，且，那么 ， ． 【答案】 3 4 【分析】根据，可得：的值，进而即可求解． 【详解】， 又为两个连续整数，， 故答案为：3；4． 【点睛】本题主要考查算术平方根的估算，掌握算术平方根的意义，是解题的关键． 3．（23-24八年级上·四川宜宾·阶段练习）根据表格解答下列问题： 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 (1)190.44的平方根是 _______． (2)_______，_______． (3)若，则_______，_______ 【答案】(1) (2)13.3，137 (3)； 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、估算立方根的大小，理解平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）从表格中的对应值，结合平方根的定义可得答案； （2）将转化为，再根据表格中的对应值得的值即可； （3）将转化为，将转化成，再根据所给的式子即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格中的数据对应值可知， ， 190.44的平方根是， 故答案为：； （2）解：， ， ， 故答案为：13.3，137； （3）解：∵， ∴， 故答案为：；． 题型二.无理数的大小估算 4．（24-25八年级上·安徽·假期作业）已知，在两个相邻整数之间，则这两个整数是（   ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】B 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，先求出的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ，在两个相邻整数之间， ， 这两个整数为3和4， 故选：B． 5．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）如图，小正方形的边长为1，设，则下列关于的判断：①是无理数；②是实数；③是13的平方根，④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，无理数的识别与估算．根据勾股定理求出的长，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知：，即：， ∴是无理数，实数，是13的平方根，故①②③正确； ∵， ∴，即：，故④错误； 故答案为：． 6．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）已知的平方根为，的算术平方根为4． (1)求，的值； (2)若和是连续的整数，且，求的值． 【答案】(1)， (2)7 【分析】本题考查的是估算无理数的大小及平方根的定义、算术平方根的定义，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． （1）根据平方根及算术平方根的定义解答即可； （2）先估算出的取值范围，进而可得出a，b的值，再求和即可． 【详解】（1）解：的平方根为，的算术平方根为4， ，， ，； （2）解：，， ， ， ， ， ，， ． 题型三.无理数整数部分的有关计算 7．（23-24八年级上·河北沧州·期中）设的小数部分是的整数部分是，则的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．一个无理数 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算；由题意确定出m与n的值即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴； 故选：A． 8．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知的整数部分为，小数部分为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若m，n分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)4， (2) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，解题关键是熟练掌握估算无理数大小． （1）先估算的大小，求出整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，然后根据不等式的性质求出的大小，求出整数部分和小数部分，然后代入所求代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：，即， ， ， ， 的整数部分是3，小数部分是， ，， ． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）实数在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】，结合即可求解． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ 故选：D 【点睛】本题考查算术平方根的估值．将写成是解题关键． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）的小数部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，利用“夹逼法”，估算出的范围，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的小数部分是； 故选C． 3．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）实数介于（    ） A．4和5之间 B．3和4之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查估算实数大小，方法就是用有理数来逼近，求该数的近似值，一般情况下要牢记1到20整数的平方，可以快速准确地进行估算．根据无理数估算的方法求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴实数介于3和4之间． 故选：B． 4．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，整理得，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴的值在3和4之间 故选：B 5．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）估计的值在（  ） A．0 到 1之间 B．1 到 2 之间 C．2 到 3 之间 D．3 到 4 之间 【答案】B 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．首先确定的取值范围，再确定的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 即， 故选：B． 6．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）若，则x整数部分是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查估算无理数的大小，判断出在那两个整数之间，再得出的取值范围，即可得出的整数部分．掌握估算的能力是解题的关键，经常用逼近法确定无理数的整数部分． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴的整数部分是2． 故选：B． 7．（22-23八年级上·福建宁德·期末）面积为20的正方形的边长为，则的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【分析】 利用算术平方根的含义先表示，再根据，从而可得答案． 【详解】解：∵面积为20的正方形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴的值在4和5之间， 故选D． 【点睛】本题考查的是算术平方根的应用，无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键． 8．（23-24八年级上·湖南郴州·阶段练习）若面积为5的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根，先根据正方形面积公式确定，再利用放缩法确定的取值范围． 【详解】解：面积为5的正方形的边长为x， ， ， ， ， 故选A． 9．（23-24八年级上·重庆江津·期中）若的整数部分是a，小数部分是b，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算以及整数部分，先由，得出a，b的值，再代入，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵的整数部分是a，小数部分是b， ∴ 则 故选：A 10．（23-24八年级上·福建宁德·期末）已知m，n为两个连续的整数，且，则的值是（    ） A．5 B．7 C．9 D．20 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数的方法是解题的关键．估算出即可求得，的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， 故选：B 二、填空题 11．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）的整数部分是 ； 【答案】4 【分析】 本题考查求无理数的整数部分，求出无理数的范围即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是4； 故答案为：4． 12．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）比大且比小的整数 ． 【答案】4 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可．理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 【详解】解：∵，， ∴比大且比小的整数4， 故答案为：4． 13．（23-24八年级上·四川成都·期末）实数的整数部分是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小． 因为，由此可以得到实数的整数部分． 【详解】解： 即， 实数的整数部分是． 故答案为：． 14．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）若的整数部分为m，小数部分为n，则 【答案】 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，估算出的取值范围是解题的关键． 估算出的大小，然后可确定出的值，然后依据小数部分=原式式整数部分得到的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）设的小数部分是m，的整数部分是n，则的值是 ． 【答案】2 【分析】 此题考查了实数的估算与计算能力，关键是能准确理解并运用相关知识．先确定出，的值，再通过计算求解此题． 【详解】 解：的整数部分是1， 的小数部分是， 即， 的整数部分是2， 即， ， 故答案为：2 16．（22-23八年级上·河南周口·阶段练习）若的底AB为4，底边AB上的高为5，面积为S，则 4（填“<”、“=”或“>”）． 【答案】< 【分析】根据已知求出，即可比较与4 的大小． 【详解】由题意得，， ∴， 故答案为<． 【点睛】本题考查了一个数的算术平方根，正确计算是解题关键． 17．（2021·北京朝阳·一模）写出一个比大且比小的整数 ． 【答案】答案不唯一，如：1 【分析】先对进行估值，在找出范围中的整数即可． 【详解】解：∵1<<2 ∴-2<x<2,(x为整数) 故答案为：-1,0,1（答案不唯一） 【点睛】本题考查算术平方根的估值．理解算术平方根的定义是关键． 18．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，正方形的面积为28，则与该正方形的边长最接近的整数是 ． 【答案】5 【分析】 本题主要考查了无理数的估算，结合无理数范围的估算方法，即可得到该正方形的边长最接近的整数值． 【详解】 解：∵正方形的面积为28， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴最接近的整数为5． 故答案为：5． 三、解答题 19．（23-24八年级上·重庆黔江·期中）已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】此题考查了无理数的估算，求一个数的平方根；首先可以估算的整数部分是3，小数部分是；将其代入求平方根计算可得答案． 【详解】解：由题意得：，， ． 的平方根为． 20．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）观察：，即的整数部分为2，小数部分为．请你运用上述规律解决下面的问题： (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，按此规定的值为_______； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】此题考查了无理数的估算． （1）先估算出，得到，根据定义即可得到答案； （2）先估算出的小数部分，的整数部分为，进一步计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴． 21．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是______． (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）估算无理数的近似数，减去整数部分，即为小数部分． （2）估算，得出的整数部分，即为的值；估算，与（1）过程类同，得出的值；再把代入代数式求值． 本题考查的是平方根及无理数大小的估算，根据平方根的意义正确确定无理数的整数部分与小数部分是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ∴ 则的小数部分是； （2）解：∵ ∴ ∵是的整数部分， 则 ∵ ∴ ∵是的小数部分， ∴ 则 ∵的平方根是 ∴的平方根是． 22．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理解答下列问题： (1)的整数部分是______；小数部分是______． (2)若是的小数部分，是的小数部分，且，求的值． 【答案】(1)3； (2)或 【分析】本题考查了无理数的估算，熟悉无理数的大小估算是解题关键． （1）根据的大概范围，得出的整数部分，整体减去整数部分，即为的小数部分； （2）根据是在3和4之间，所以，可得出 的小数部分m；同理得出可得出的小数部分n，将m、n代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为． 故答案为：3；． （2）解：∵， ∴，， ∴整数部分是7，整数部分是14， ∴， ， ∵， ∴．                                                解得：或． 23．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）定义一种新运算，分别用和表示实数x的整数部分和小数部分．例如：；． (1)_____________，_____________． (2)如果，求的算术平方根． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求算术平方根． （1）利用算术平方根估算，即可求解； （2）先利用算术平方根估算和，得出a和b的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ，， ， ， ∴的算术平方根是． 24．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知实数a的两个平方根分别为和，b是的整数部分．求：的立方根． 【答案】4 【分析】本题考查了平方根，无理数的估算，立方根．熟练掌握平方根，无理数的估算，立方根是解题的关键． 由题意知，，可得，进而可求，根据无理数的估算可求，然后根据的立方根为，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的立方根为， ∴的立方根为4． 25．（23-24八年级上·甘肃张掖·期中）已知：的算术平方根是5；的立方根为；c是的整数部分； (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是算术平方根的定义、估算无理数的大小，求得a、b、c的值是解题的关键． （1）先依据算术平方根、立方根的定义得到关于a，b的方程，从而可求得a，b的值，然后估算出的范围可得到c的值，然后代入计算即可； （2）根据（1）可求出的值，最后再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∵， ∴， 又c是的整数部分， ∴， ∴ （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根是． 26．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 根据以上内容，解答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】此题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，正确得出各无理数的整数部分和小数部分是解题的关键． （1）根据解答即可； （2）根据得出a，根据得出b，再把a，b的值代入计算即可； （3）根据得出，得出，求得y，即可得答案． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴的小数部分， ∵， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴的整数为， ∵， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$