2.2 不等式的基本性质 暑假典题巩固练习2023-2024学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册暑假综合题型典题巩固练习 2.2 不等式的基本性质 一、基础知识 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 二、典题练习 一、单选典题练习 1．若a＜b，则下列结论正确的是（　　） A．a﹣4＜b﹣4 B．﹣5a＜﹣5b C．5a＞5b D． 2．已知三个实数a、b、c，满足3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1，且a≥0、b≥0、c≥0，则3a+b﹣7c的最小值是（　　） A． B． C． D． 3．某商店分别购进单价为每斤a元的甲种糖果30斤，单价为每斤b元的乙种糖果20斤，商店以每斤元的价格全部卖完后，结果发现没有赚钱，其原因是（　　） A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．a≥b 4．下列变形正确的是（　　） A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 C．若﹣3a＞﹣3b，则a＞b D．若ac2＞bc2，则a＞b 5．若a+b＝﹣2，且a≥2b，则（　　） A．有最小值 B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值 6．若a，b是两个正实数，且满足1＝0，则a+b的范围是（　　） A．0＜a+b B．a+b≤1 C．1＜a+b D．a+b≤2 二、填空典题练习 7．若不等式（m﹣3）x＜3﹣m的两边同除以（m﹣3），得x＞﹣1，则m的取值范围为 　 　． 8．非负数x，y满足，记W＝3x+4y，W的最大值为m，最小值n，则m+n＝　 　． 9．对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联”的，例如不等式x＞1和不等式x＜3是“互联”的．若不等式x+1＞2b和x+2b≤3是“互联”的，请写出b的取值范围 　 　． 10．已知非负数x、y、z满足，记w＝3x+4y+5z． 则：①w用含x的代数式表示为 　 　；②w的最小值是 　 　． 11．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．反之也成立．这种方法就是求差法比较大小．请运用这种方法解决下面这个问题：制作某产品有两种用料方案，方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一总面积记为S1，方案二总面积记为S2，则S1　 　S2（填“＞，＜或＝”）． 12．已知实数a，b，满足1≤a+b≤4，0≤a﹣b≤1且a﹣2b取最大值时，8a+2021b的值是 　 　． 三、解答典题练习 13．对于两个不等式，若有n个相同的整数使这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“n级关联”． （1）不等式x﹣1＜1和x+1≥0是“　 　级关联”，请说明理由； （2）若不等式2x﹣a＞0和是“2级关联”，求a的取值范围． 14．若2a+b＝12，其中a≥0，b≥0，又P＝3a+2b．试确定P的最小值和最大值． 15．已知a+1＞0，2a﹣2＜0． （1）求a的取值范围； （2）若a﹣b＝3，求a+b的取值范围． 16．阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： （1）比较大小： 　 　；（填“＜”，“＝”或“＞”）； （2）已知x+2y﹣2＝0，且x是正数，若A＝5xy+y+1，B＝5xy+2y，试比较A和B的大小． 17．【阅读材料】： 材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：K（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：K（1，2）＝a+2b；K（﹣2，3）＝﹣2a+3b． 已知：K（1，2）＝7；K（﹣2，3）＝0． 材料二：“已知x，y均为非负数，且满足x+y＝8，求2x+3y的范围”，有如下解法： ∵x+y＝8， ∴x＝8﹣y， ∵x，y是非负数， ∴x≥0即8﹣y≥0，∴0≤y≤8， ∵2x+3y＝2（8﹣y）+3y＝16+y，∴16≤16+y≤24，∴16≤2x+3y≤24． 【回答问题】： （1）求出a，b的值； （2）已知x，y均为非负数，x+2y＝10，求4x﹣y的取值范围； （3）已知x，y，z都为非负数，，求W＝x﹣3y+4z的最大值和最小值． 18．阅读下列材料： 问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围 解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2， 又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1， 又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0① ∴﹣1+2＜y+2＜0+2 即1＜x＜2② ①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2， ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知x﹣y＝5，且x＞﹣2，y＜0， ①试确定y的取值范围； ②试确定x+y的取值范围； （2）已知x﹣y＝a+1，且x＜﹣b，y＞2b，若根据上述做法得到3x﹣5y的取值范围是﹣10＜3x﹣5y＜26，请直接写出a、b的值． 参考答案 一、单选典题练习 1-6．ABDDCC． 二、填空典题练习 7．m＜3． 8．21． 9．． 10．w＝7x+19；19． 11．＜． 12．8． 三、解答典题练习 13．解：（1）∵解不等式x﹣1＜1，得x＜2， 解不等式x+1≥0，得x≥﹣1， ∵整数﹣1，0，1使这两个不等式同时成立， ∴x﹣1＜1和x+1≥0是“3级关联”； 故答案为：3； （2）解不等式2x﹣a＞0和，分别得x，x＜4， ∵不等式2x﹣a＞0和是“2级关联”， ∴12， ∴2≤a＜4． 14．解：∵2a+b＝12，a≥0，b≥0， ∴2a≤12． ∴a≤6． ∴0≤a≤6． 由2a+b＝12得；b＝12﹣2a， 将b＝12﹣2a代入P＝3a+2b得： p＝3a+2（12﹣2a） ＝24﹣a． 当a＝0时，P有最大值，最大值为p＝24． 当a＝6时，P有最小值，最小值为P＝18． 15．解：（1）根据题意得， 解①得a＞﹣1， 解②得a＜1， 则a的范围是﹣1＜a＜1； （2）∵a﹣b＝3， ∴b＝a﹣3， ∴a+b＝2a﹣3， ∵﹣1＜a＜1， ∴﹣2＜2a＜2， ∴﹣5＜2a﹣3＜﹣1，即﹣5＜a+b＜﹣1． 16．解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：＜； （2）∵x+2y﹣2＝0， ∴x＝2﹣2y， ∵x是正数，即x＞0， ∴2﹣2y＞0， ∴﹣y+1＞0， ∴A﹣B＝（5xy+y+1）﹣（5xy+2y）＝﹣y+1＞0， ∴A＞B． 17．解：（1）∵K（1，2）＝7，K（﹣2，3）＝0，K（x，y）＝ax+by， ∴， ∴解方程组得：； （2）∵x+2y＝10， ∴x＝10﹣2y， ∵x，y是非负数， ∴x≥0即10﹣2y≥0， ∴0≤y≤5， ∵4x﹣y＝4（10﹣2y）﹣y＝40﹣9y， ∴﹣45≤﹣9y≤0， ∴﹣5≤40﹣9y≤40， ∴﹣5≤4x﹣y≤40． （3）∵，而， ∴， 解得：， ∵x，y，z都为非负数， ∴， 解得：， ∴W＝x﹣3y+4z ＝x﹣12+18x+38x﹣18 ＝57x﹣30； 当时，， 当时，． 18．解：（1）①∵x﹣y＝5， ∴x＝y+5， ∵x＞﹣2， ∴y+5＞﹣2， ∴y＞﹣7， ∵y＜0， ∴﹣7＜y＜0， ②由①得﹣7＜y＜0， ∴﹣2＜y+5＜5， 即﹣2＜x＜5②， ∴﹣7﹣2＜y+x＜0+5， ∴x+y的取值范围是﹣9＜x+y＜5； （2）∵x﹣y＝a+1， ∴x＝y+a+1， ∵x＜﹣b， ∴y+a+1＜﹣b， ∴y＜﹣a﹣b﹣1， ∴﹣y＞a+b+1， ∵y＞2b， ∴﹣y＜﹣2b， ∴a+b+1＜﹣y＜﹣2b①， ∴10b＜5y＜﹣5a﹣5b﹣5， ∵2b+a+1＜y+a+1＜﹣b， ∴2b+a+1＜x＜﹣b， ∴6b+3a+3＜3x＜﹣3b②， ∴11b+8a+8＜3x﹣5y＜﹣13b， ∴①+②得：5b+5a+5+6b+3a+3＜3x﹣y＜﹣10b﹣3b， ∵3x﹣y的取值范围是﹣10＜3x﹣5y＜26， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$