精品解析：河南省洛阳市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

洛阳市2023−2024学年第二学期期末质量监测 八年级数学试卷（人教版） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，15 C. 7，24，25 D. ，， 3. 如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为S，将从扭动到，则四边形面积为（ ） A S B. C. D. 4. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是边的中点，是对角线的中点，若，则的长为（ ） A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 15 6. 某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表： 金额/元 5 10 20 50 100 人数 4 16 15 9 6 则他们捐款金额的中位数和众数分别是（ ） A. 10，20.6 B. 20，16 C. 10，30.6 D. 20，10 7. 如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点P，则P的坐标为（　　） A. （﹣1，0） B. （﹣5，0） C. （1，0） D. （0，﹣1） 8. 如图，函数()和()的图象相交于点A，则不等式＞的解集为（ ） A. ＞ B. ＜ C. ＞ D. ＜ 9. 如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=45°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（　　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 10. 如图，菱形对角线交于点O，动点E以a米/秒的速度做匀速运动，从点B出发到C，然后沿图中某些线段继续匀速运动，最后回到点B．设运动时间是x秒，的长度是y米，右图反映了y随x变化而变化的图象．下列说法不正确的是（ ） A. 点H与点N、点Q的纵坐标相同 B. 的最小值为米 C. D. 的周长是16米 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个介于和之间的数为______． 12. 如图，已知中，以三边为直径向外作3个半圆，以为直径的半圆面积分别为9和5，则以为直径的半圆面积为______． 13. 某食堂午餐供应10元、16元、20元三种价格的盒饭，根据食堂某月销售午餐盒饭的统计图，可计算出该月食堂午餐盒饭的平均价格是_______元． 14. 如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为_______． 15. 如图，四边形是菱形，，点E是边上的一动点，过点E作于点F，于点G，连接，则的最小值为____ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫为格点，利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1，，请参考此方法按下列要求作图． （1）在图2中以格点为顶点画一个，使得，； （2）猜想是什么形状的三角形？并说明理由． 18. 为庆祝中国共产主义青年团成立周年，学校团委在八、九年级各抽取名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分分，竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级竞赛成绩 九年级竞赛成绩 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空______，______； （2）现要给成绩突出的年级颁奖，请你从某个角度分析，应该给哪个年级颁奖？ （3）若规定成绩分及以上同学获奖，则哪个年级获奖率高？ 19. 如图，平行四边形中，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）填空：若，，，则当______时，四边形菱形． 20. 某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务． （1）已知：如图，在中，，求线段的长． （2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 21. 近年来，洛阳文旅爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．洛邑古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示，设购进甲系列汉服x套，该汉服店出售完全部甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元． 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求y与x的函数关系式； （2）该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若出售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，若汉服店购进甲系列汉服的进价降低a元（其中），且最多购进240套甲系列汉服，若汉服店保持这两个系列汉服的售价不变，请直接写出使汉服店利润最大的进货方案． 22. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为坐标系中的一个动点． （1）请直接写出直线l的表达式； （2）求出面积； （3）当与面积相等时，求实数的值． 23. 综合与实践： 实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点 ），再将纸片还原． （1）初步思考：若点P落在矩形的边上（如图①）． ①当点P与点A重合时，______，当点E与点A重合时，______； ②当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形； （2）深入探究：点F与点C重合，点E在上，线段与线段交于点M（如图③）．是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 洛阳市2023−2024学年第二学期期末质量监测 八年级数学试卷（人教版） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：判断一个二次根式是最简二次根式的条件是：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.据此判断，A项中被开方数4，可以写成22，能被开方，不是最简二次根式，B项中的被开方数5，符合条件，所以是最简二次根式，C项中的被开方数是分数，不符合条件，D项中的根式作分母，不符合条件，故选B. 考点：最简二次根式的定义. 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，15 C. 7，24，25 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理：一个三角形中，若较短两条边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．依次检验各个选项当中较短的两条线段的平方和是否等于最长的线段的平方．若相等，则此三条线段能组成直角三角形，若不相等，则此三条线段不能组成直角三角形． 【详解】解：A．， ∴4，5，6不能组成直角三角形，故不符合题意； B．， ∴5，12，15不能组成直角三角形，故不符合题意； C．， ∴7，24，25能组成直角三角形，故符合题意； D．， ∴，，不能组成直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 3. 如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为S，将从扭动到，则四边形面积为（ ） A S B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，含有角的直角三角形的性质，根据题意可得，，作，交于点，则，从而即可得到．添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：当时，面积为， ， 将从扭动到， 作，交于点，如图所示， ， ， 故选：B． 4. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得到，解不等式即可得到答案. 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得，， 解得， 故选：B 5. 如图，在中，是边的中点，是对角线的中点，若，则的长为（ ） A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求线段长，涉及三角形中位线判定与性质、平行四边形性质等知识，由题意，根据三角形的中位线定理可得，再由平行四边形的性质可得答案，熟记三角形中位线判定与性质、平行四边形性质是解决问题的关键． 【详解】解：在中，是边的中点，是对角线的中点，则是的中位线， ，解得， 在中，， 故选：C． 6. 某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表： 金额/元 5 10 20 50 100 人数 4 16 15 9 6 则他们捐款金额的中位数和众数分别是（ ） A. 10，20.6 B. 20，16 C. 10，30.6 D. 20，10 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了中位数与众数，解题时注意：中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)．根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，进行判断即可． 【详解】解：共有50名学生的捐款， 中位数是第25、26个数的平均数，第25、26个数分别为20，20，, 中位数是； 金额10元出现的次数最多， 众数为10， 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点P，则P的坐标为（　　） A. （﹣1，0） B. （﹣5，0） C. （1，0） D. （0，﹣1） 【答案】A 【解析】 【分析】根据OA=4，OB=3，在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=5，从而求出OP的长即可． 【详解】解：∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA=4，OB=3， 在Rt△ABO中，由勾股定理得： AB=， ∴AP=AB=5， ∴OP=1， ∴P（-1，0）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AP是解题的关键． 8. 如图，函数()和()的图象相交于点A，则不等式＞的解集为（ ） A. ＞ B. ＜ C. ＞ D. ＜ 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图象可以看出当 时，的图象在 图象的上方， 所以 的解集为. 故选：A. 9. 如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=45°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（　　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据正方形的性质和已知条件可求出∠B的度数，再利用平行四边形的性质∠D=∠B即可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEF=90°． ∵∠CEF=15°，∴∠AEB=180°﹣90°﹣15°=75°，∴∠B=180°﹣∠BAE﹣∠AEB=180°﹣45°﹣75°=60°． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=60°． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 10. 如图，菱形对角线交于点O，动点E以a米/秒速度做匀速运动，从点B出发到C，然后沿图中某些线段继续匀速运动，最后回到点B．设运动时间是x秒，的长度是y米，右图反映了y随x变化而变化的图象．下列说法不正确的是（ ） A. 点H与点N、点Q的纵坐标相同 B. 的最小值为米 C. D. 的周长是16米 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查函数图象及菱形的性质，根据题意，结合函数图象得出运动路线为是解题关键． 根据题意得出，结合图形确定运动路线为，得出点H对应菱形点B位置，点N对应菱形点D位置，点Q对应菱形点B位置，然后利用菱形的性质及勾股定理依次判断即可． 【详解】解：根据题意，动点E以a米/秒的速度做匀速运动，从点B出发到C， ∴， 根据图象得最低点P对应点O位置，运动路线为， ∴点H对应菱形点B位置，点N对应菱形点D位置，点Q对应菱形点B位置， ∴点H与点N、点Q的纵坐标相同，正确，A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴的最小值为3米，B选项错误，符合题意； 根据图象得运动时间一共是9秒，总路程为9a， ∴， ∴， ∵菱形，， ∴， 解得：（负值舍去），正确，C选项不符合题意； ∴， 的周长为：米，正确，D选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个介于和之间的数为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． 直接根据无理数比较大小即可得出结果． 【详解】解：， 介于和之间的数为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，已知中，以的三边为直径向外作3个半圆，以为直径的半圆面积分别为9和5，则以为直径的半圆面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】题目主要考查勾股定理解三角形及圆的面积，根据题意得出，，然后求解即可． 【详解】解：∵中， ∴， ∵以为直径的半圆面积分别为9和5， ∴， 即， ∴以为直径的半圆面积为：， 故答案为：4． 13. 某食堂午餐供应10元、16元、20元三种价格的盒饭，根据食堂某月销售午餐盒饭的统计图，可计算出该月食堂午餐盒饭的平均价格是_______元． 【答案】13 【解析】 【详解】试题解析： 故答案为 点睛：题目主要考查加权平均数.分别用单价乘以相应的百分比然后相加，计算即可得解. 14. 如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一次函数解析式求出点的坐标，根据题意以及平行四边形的性质得出点的坐标，从而得出点的坐标，然后运用平行四边形面积计算公式计算即可． 【详解】解：当x＝0时，y＝2×0+4＝4， ∴点B的坐标为（0，4），OB＝4． ∵点D为OB的中点， ∴OD＝OB＝×4＝2． ∵四边形OCDE为平行四边形，点C在x轴上， ∴DE∥x轴． 当y＝2时，2x+4＝2， 解得：x＝﹣1， ∴点E的坐标为（﹣1，2）， ∴DE＝1， ∴OC＝1， ∴▱OCDE的面积＝OC•OD＝1×2＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一次函数以及平行四边形的性质，根据题意得出图中各点的坐标是解本题的关键． 15. 如图，四边形是菱形，，点E是边上的一动点，过点E作于点F，于点G，连接，则的最小值为____ 【答案】 【解析】 【分析】如图所示：连接，在菱形中，得，由，可得四边形是矩形，进而得出，当时，最小，即的最小值，即可得出． 【详解】解：如图所示：连接， ∵在菱形中，， ，，， ， ，， ∴四边形是矩形， ， 最小值，即最小值， ∴当时，最小， ， ， 最小为， 即的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形是矩形是解此题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简及加减运算，乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）将二次根式化简，然后计算加减法即可； （2）根据平方差公式及完全平方公式计算，然后计算加减法即可 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 17. 如图正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫为格点，利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1，，请参考此方法按下列要求作图． （1）在图2中以格点为顶点画一个，使得，； （2）猜想是什么形状的三角形？并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用网格结合勾股定理得出答案； （2）直接利用勾股定理逆定理进而得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求作三角形．(答案不唯一) 【小问2详解】 为等腰直角三角形 理由如下： 即为直角三角形． 又 ∴为等腰直角三角形． 18. 为庆祝中国共产主义青年团成立周年，学校团委在八、九年级各抽取名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分分，竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级竞赛成绩 九年级竞赛成绩 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空______，______； （2）现要给成绩突出的年级颁奖，请你从某个角度分析，应该给哪个年级颁奖？ （3）若规定成绩分及以上同学获奖，则哪个年级的获奖率高？ 【答案】（1） （2）九年级 （3）九年级的获奖率高 【解析】 【分析】（1）根据折线图的信息即可求解； （2）九年级的众数比八年级的多，九年级的方差比八年级的小，由此即可求解； （3）根据各班获奖人数比例即可求解． 【小问1详解】 解：八年级：分的有人，分的有人，分的有人，分的有人，分的有人， 八年级：分的有人，分的有人，分的有人，分的有人，分的有人， ∴根据中位数的计算方法可得，八年级的中位数是第个人的分数的一半，即， ∴， 根据众数的定义可得，九年级的众数是， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：九年级的众数比八年级的多，说明九年级大部分学生成绩优秀； 九年级的方差比八年级的小，说明九年级学生的成绩比较平稳， ∴应该给九年级颁奖． 【小问3详解】 解：八年级分及以上的学生有（人），九年级分及以上的学生有（人）， ∴八年级的优秀率为，九年级的优秀率为， ∵， ∴九年级的获奖率高． 【点睛】本题主要考查调查与统计中的相关概念和计算，掌握中位数，众数，方差的意义，通过计算概率作决策是解题的关键． 19. 如图，平行四边形中，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）填空：若，，，则当______时，四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质以及菱形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质及平行四边形的性质得出，推出，根据平行四边形的判定推出即可； （2）根据平行四边形及菱形的性质证明是等边三角形，推出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形 【小问2详解】 当时，四边形是菱形，理由如下： 如图：四边形是菱形时， ∵，平行四边形， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：2． 20. 某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务． （1）已知：如图，在中，，求线段的长． （2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【答案】（1）9.7米 （2）8米 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ， 又米，米， 米， 答：线段的长为9.7米； 【小问2详解】 ∵风筝沿方向再上升12米后，米， ∴此时风筝线的长为：（米）， ∴风筝应该放出线的长度为：米， 答：他应该再放出8米线． 21. 近年来，洛阳文旅爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．洛邑古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示，设购进甲系列汉服x套，该汉服店出售完全部甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元． 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求y与x的函数关系式； （2）该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若出售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，若汉服店购进甲系列汉服的进价降低a元（其中），且最多购进240套甲系列汉服，若汉服店保持这两个系列汉服的售价不变，请直接写出使汉服店利润最大的进货方案． 【答案】（1） （2）至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元 （3）汉服店应购进甲系列汉服套、乙系列汉服套，获利最大 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意找出正确的等量关系是解题关键． （1）若购进甲系列汉服套，则购进乙系列汉服套，然后根据题意可得出甲乙两款售出后每件的利润，据此进一步列出关系式化简即可； （2）根据题意首先表示出购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元，据此进一步列出不等式，求出的范围即可得出至少购进甲系列汉服的数量，然后利用一次函数的性质进一步求出最大利润即可； （3）根据题意首先列出此时与的函数关系式，其中，据此进一步化简，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵购进甲系列汉服套， ∴购进乙系列汉服套， 根据题意得，， 化简得：， 即与的函数关系式为：； 【小问2详解】 由题意得：购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元， ∴， 解得：， ∴至少要购进甲系列汉服套． 又，其中， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，此时最大值为：， ∴若售完全部的甲、乙系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元， 答：至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元； 【小问3详解】 由题意得，，其中， 化简得，， ∵，则： ∴，随的增大而增大， ∴当时，有最大值， 则汉服店应购进甲系列汉服套、乙系列汉服套，获利最大． 22. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为坐标系中的一个动点． （1）请直接写出直线l的表达式； （2）求出的面积； （3）当与面积相等时，求实数的值． 【答案】（1） （2）； （3）实数的值为或． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）将点、的坐标代入一次函数表达式：，即可求解； （2）证明为等腰直角三角形，则； （3）分点在第一象限、点在第四象限两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 设直线所在的表达式为：， 则，解得：， 故直线的表达式为：； 【小问2详解】 点、点， ， 在中，由勾股定理得： 为等腰直角三角形， ； 【小问3详解】 连接，，，则： ①若点在第一象限时，如图 ，，， ， 即，解得； ②若点在第四象限时，如图 ，，， ， 即，解得； 故：当与面积相等时，实数的值为或． 23. 综合与实践： 实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点 ），再将纸片还原． （1）初步思考：若点P落在矩形的边上（如图①）． ①当点P与点A重合时，______，当点E与点A重合时，______； ②当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形； （2）深入探究：点F与点C重合，点E在上，线段与线段交于点M（如图③）．是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；；②见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，添设辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①根据折叠的性质，得到等角，进而求解；②由折叠知，，由平行线的性质可知，于是，进而推出，得证四边形为菱形． （2）如图④中，连接 ．可证，于是，设 ，则 ，中，运用勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，当点P与点A重合时，； 当点E与点A重合时，； 故答案为：； ②证明：由折叠可知，，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 存在，理由如下： 如图④中，连接 ． ∵四边形矩形， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设 ，则 , 则 ∵， ∴ ∴， ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$