精品解析： 重庆市南开中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列音符中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（ ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 正方形四个内角都是直角 B. 菱形对角线互相平分且相等 C. 矩形对角线互相平分且垂直 D. 平行四边形的邻边相等 6. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 2024年3月24日，长安汽车重庆马拉松在美丽海棠烟雨公园鸣枪起跑．甲、乙两人参加了40千米的比赛，甲每小时比乙多跑了2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的速度为每小时x千米，则可列方程为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，顶点都在坐标轴上，．点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿路径循环运动，则第84秒时点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等边中，，D为边上一点，，连接，将绕点D顺时针旋转得到，交于点F，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 对于分式：，，，，，在每个式子前添“+”或“-”号，并求和的绝对值，称此操作为“绝对和差操作” 例如：，，…下列说法： ①对于“绝对和差操作，若，则化简后的结果为； ②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数； ③所有可能的“绝对和差操作”化简后有32种不同结果； 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）请将答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若，则______． 12. 若，且，则与的周长之比为______． 13. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 14. 重庆被誉为“美食之都”，这座城市以其丰富多样的美食而闻名，吸引了无数食客前来品尝．甲、乙两人分别从火锅、烤鱼和辣子鸡中随机选取一个美食，他们同时选中火锅的概率是______ 15. 若m，n是一元二次方程两个根，则的值为______ 16. 若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为______． 17. 如图，在中，，为边上中线，过D作于点E，将沿翻折得到，交于点G，若，则______，______． 18. 一个各数位上的数字均不为0的四位自然数，若百位数字与十位数字的乘积等于千位数字与个位数字组成的两位数，即，则称这个数为“功能数”例如：四位数1342，∵，∴1342是“功能数”．若是一个“功能数”，则这个数为_____；对于一个“功能数”P，将P的千位数字和十位数字交换位置，百位数字和个位数字交换位置得到的新数记为，若除以13的余数为P的十位数字的2倍，则满足条件的P的值为______． 三、解答题（本大题共9个小题，19题~24题每小题8分，25题~27题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 因式分解： （1）； （2） 20. 解方程： （1）； （2） 21 先化简，再求值：，其中． 22. 已知：如图，在矩形中，连接． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点O，连接，（只保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，为了证明四边形为菱形，小南同学的想法为：先证明，再利用菱形的判定，得到结论．请根据小南同学的想法完成下面填空． 证明：∵四边形是矩形， ∴_____． ∴． ∵垂直平分， ∴，． 在与中， ______ ∴（）． ∴______ 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形（______）． 23. 为实现教育公平，提升教育质量，某中学举行了学业质量测试．现从八年级学生中随机抽取了男、女各20名的测试成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．其中女生满分的有两人（成绩得分用x表示，共分成4组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 男生成绩在B组中的数据为：78，75，72，76． 女生成绩C组中的数据为：81，86，87，82，84，82，84，82，84，82． 所抽取男女生成绩对比统计表： 统计量 平均数 中位数 众数 男生 81 a 80 女生 81 83 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______补全条形统计图； （2）通过以上数据分析，你认为该校男生还是女生的测试成绩更好?说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有960名学生，若成绩不低于90分记为优秀，试估计八年级成绩为优秀的学生人数是多小？ 24. 端午节吃粽子是中国人民的传统习俗．五月初利民副食店购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子，其中鲜肉粽进价为15元/袋，售价为27元/袋，蜜枣粽进价为10元/袋，售价为19元/袋．利民副食店用660元购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子共50袋．（注：利润=售价-进价） （1）求购进鲜肉粽、蜜枣粽各多少袋？ （2）临近端午节，蜜枣粽售完，鲜肉粽还有剩余．副食店决定端午节当天对鲜肉粽降价销售，如果按原价销售，平均每天可售2袋．经调查发现，鲜肉粽每降价1元，平均每天可多售2袋．剩余的鲜肉粽在降价当天全部售完，50袋粽子共获利506元，每袋鲜肉粽应降价多少元？ 25. 如图，在菱形中，连接，相交于点O，，，点E为中点，点P，Q分别以每秒1个单位长度的速度同时从点E出发，点P沿折线方向匀速运动，点Q沿折线方向匀速运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x，点P，Q的距离为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于点A，点C，直线分别与x轴，y轴交于点B，点C，且． （1）求直线的表达式． （2）如图2，过点B的直线与线段交于点D，，求点D的坐标． （3）如图3，在（2）问条件下，设与y轴交于点Q，在平面内找点T，使，所在直线与x轴交于M，直接写出点M的坐标． 27. 在等腰中，，，D为边上一点（不与端点重合），E为外一点，连接，，，使． （1）如图1，点E在右侧，交于点G，若，，求的度数（用含α的代数式表示）： （2）如图2，点E在右侧，若，F为边上一点，连接交于点O，若O为中点，求证：； （3）如图3，点E在BD左侧，若，点G，P，K分别为，，的中点，连接，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，，使，当最小时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列音符中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心，根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】A、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握形如（其中，为整式，且分母中含有字母）的式子叫做分式是解题的关键．根据分式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是分式，故本选项符合题意； B、不是分式，故本选项不符合题意； C、不是分式，故本选项不符合题意； D、不是分式，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足解析式．据此判断逐项即可． 【详解】解：A、当时，，则反比例函数的图象一定不经过的点，故此选项不符合题意； B、当时，，则反比例函数的图象一定不经过的点，故此选项不符合题意； C、当时，，则反比例函数的图象一定不经过的点，故此选项不符合题意； D、当时，，则反比例函数的图象一定经过的点，故此选项符合题意， 故选：D． 4. 根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（ ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 5. 下列说法正确的是（ ） A. 正方形四个内角都是直角 B. 菱形对角线互相平分且相等 C. 矩形对角线互相平分且垂直 D. 平行四边形的邻边相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，熟知平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：A、正方形四个内角都是直角，原说法正确，符合题意； B、菱形对角线互相平分但不一定相等，原说法错误，不符合题意； C、矩形对角线互相平分但不一定垂直，原说法错误，不符合题意； D、平行四边形的邻边不一定相等，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 6. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴ 解得 故选：B． 7. 2024年3月24日，长安汽车重庆马拉松在美丽的海棠烟雨公园鸣枪起跑．甲、乙两人参加了40千米的比赛，甲每小时比乙多跑了2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的速度为每小时x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意列分式方程即可． 【详解】设乙的速度为每小时x千米， 根据题意，得， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，顶点都在坐标轴上，．点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿路径循环运动，则第84秒时点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理、坐标规律等知识，先根据正方形的性质可得，即有，，，求出正方形的边长，根据运动即可找到坐标变化的规律，据此作答即可． 【详解】∵， ∴结合正方形的性质可知：， ∴，，，， 点P从点A出发： 运动2秒，到达， 运动4秒，到达， 运动6秒，到达， 运动8秒，到达， …… 依次可知：8秒绕正方形转一圈， ，余数为4， 即此时点P从点A出发运动到， 故选：D． 9. 如图，在等边中，，D为边上一点，，连接，将绕点D顺时针旋转得到，交于点F，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，先求出，再证明是等边三角形，进而证明得到；如图所示，过点E作交于H，则可证明是等边三角形，得到，再证明，即可得到． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点E作交于H， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 对于分式：，，，，，在每个式子前添“+”或“-”号，并求和的绝对值，称此操作为“绝对和差操作” 例如：，，…下列说法： ①对于“绝对和差操作，若，则化简后的结果为； ②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数； ③所有可能的“绝对和差操作”化简后有32种不同结果； 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，按照分式运算法则即可判断①，举例计算，即可判断②，5个分式，每个分式有正负两种情况，则组合的可能有：（种），根据，可以判断③． 【详解】① ， ∵， ∴， ∴原式，故①正确； ②举例： ， 即至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数，故②正确； ③，，，，这5个分式，每个分式有正负两种情况， 则组合的可能有：（种）， 又∵， ∴至少有两种情况的结果相同， ∴所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果，故③错误， 故正确的有2个， 故选：C． 二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）请将答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，先对要求的分式变形，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 若，且，则与周长之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据且，可得的周长与的周长的比为，求解即可． 【详解】解：∵且， ∴的周长与的周长的比为， 故答案为：． 13. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 【答案】5 【解析】 【详解】∵多边形的每个外角都等于72°， ∵多边形的外角和为360°， ∴360°÷72°=5， ∴这个多边形的边数为5. 故答案为5. 14. 重庆被誉为“美食之都”，这座城市以其丰富多样的美食而闻名，吸引了无数食客前来品尝．甲、乙两人分别从火锅、烤鱼和辣子鸡中随机选取一个美食，他们同时选中火锅的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人同时选中火锅的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C表示火锅、烤鱼和辣子鸡，画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中他们同时选中火锅的结果数有1种， ∴他们同时选中火锅的概率为， 故答案为：． 15. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为正数，可得且，进而得到且，问题随之得解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解， 不等式组的解集为： 其整数解为：3、2、1， ∴，解得：， 解方程，得， 关于的分式方程的解为的解为正数， 且， 解得且， 且， 则所有满足条件的整数m的值之和是， 故答案为：． 17. 如图，在中，，为边上中线，过D作于点E，将沿翻折得到，交于点G，若，则______，______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】过A作于点H，证明是中位线，可得，，表示出， ， ，再在中，，可得，解方程求解；连接，，、交于点K，显得出，再证明是等腰直角三角形，可得，即有， ，证明，即有点F、点A到直线的距离相等，可得，证明，即可作答． 【详解】解：过A作于点H，如图， ∵，， ∴， ∵为边上中线， ∴， ∴是中位线， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 整理： 解得：(负数舍去)； 连接，，、交于点K，如图， ∵， ∴，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 根据翻折有：，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据翻折有：， ∵为边上中线， ∴， ∴， ∴点F、点A到直线的距离相等， ∴， ∵为边上中线， ∴为的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得：， 故答案：，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质判定与性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等知识，问题的难点在于证明． 18. 一个各数位上的数字均不为0的四位自然数，若百位数字与十位数字的乘积等于千位数字与个位数字组成的两位数，即，则称这个数为“功能数”例如：四位数1342，∵，∴1342是“功能数”．若是一个“功能数”，则这个数为_____；对于一个“功能数”P，将P的千位数字和十位数字交换位置，百位数字和个位数字交换位置得到的新数记为，若除以13的余数为P的十位数字的2倍，则满足条件的P的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，明白题中所给新定义的运算顺序和运算法则，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可； （）根据题意对于“功能数”， 得到，从而得到，能被整除，要使除以13的余数为P的十位数字的2倍，则能被整除，即可求解． 【详解】解：∵是一个“功能数”， ∴， ∴， ∴这个“功能数”为， 故答案为：； 对于“功能数”，将P的千位数字和十位数字交换位置，百位数字和个位数字交换位置得到的新数记为， ∴， ∴ ， ∵能被整除， ∴要使除以13的余数为P的十位数字的2倍，则能被整除， ∵一个各数位上的数字均不为0的四位自然数，若百位数字与十位数字的乘积等于于位数字与个位数字组成的两位数，即， ∴，，， ∴当，时，，则，，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，不合题意； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，不合题意； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，不合题意； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，不合题意； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，不合题意； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，能被13整除； ∴符合题意， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，19题~24题每小题8分，25题~27题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】此题考查了提公因式法与公式法进行因式分解， （1）采用提取公因式法即可； （2）先利用平方差公式分解因式． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程和用平方根的意义解方程，熟练掌握分式方程的解法和平方根的意义是解题的关键. （1）去分母化为整式方程，解方程并检验即可； （2）变形后利用平方根的意义得到，解一元一次方程即可. 【小问1详解】 解： 两边都乘以得，， 解得， 当时，， ∴分式方程的解为 【小问2详解】 则 开平方得， 即或 解得或 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 详解】解： ， 当时，原式 22. 已知：如图，在矩形中，连接． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点O，连接，（只保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，为了证明四边形为菱形，小南同学的想法为：先证明，再利用菱形的判定，得到结论．请根据小南同学的想法完成下面填空． 证明：∵四边形是矩形， ∴_____． ∴． ∵垂直平分， ∴，． 在与中， ______ ∴（）． ∴______ 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形（______）． 【答案】（1）见详解 （2），，，对角线垂直的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）分别以A、C为圆心，以大于一半的长度画圆弧，两弧分别交于两点，再作过这两个交点的直线，直线交于点E，交于点F，交于点O，问题随之得解； （2）按照题干思路，利用菱形的判定定理判断作答即可． 小问1详解】 解：作图如下： 为的垂直平分线； 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴，． 在与中， ∴（）． ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：，，，对角线垂直的平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出图形，是解答本题的关键． 23. 为实现教育公平，提升教育质量，某中学举行了学业质量测试．现从八年级学生中随机抽取了男、女各20名的测试成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．其中女生满分的有两人（成绩得分用x表示，共分成4组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 男生成绩在B组中的数据为：78，75，72，76． 女生成绩C组中的数据为：81，86，87，82，84，82，84，82，84，82． 所抽取男女生成绩对比统计表： 统计量 平均数 中位数 众数 男生 81 a 80 女生 81 83 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______补全条形统计图； （2）通过以上数据分析，你认为该校男生还是女生的测试成绩更好?说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有960名学生，若成绩不低于90分记为优秀，试估计八年级成绩为优秀的学生人数是多小？ 【答案】（1）74；82；见解析 （2）女生的测试成绩更好，理由见解析 （3）264人 【解析】 【分析】本题主要考查了众数，中位数以及用样本估计总体等统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键． （1）先求出男生A组的人数，再根据中位数的定义求出a，求出女生D组的人数，根据众数的概念求出b，再补眠 全条形统计图即可； （2）根据平均数和中位数的性质解答； （3）用样本估计总体，得到答案． 【小问1详解】 解：男生A组的人数为：（人），B组人数为4人， 男生成绩按从小到大排列最中间的两个数为第10，11个，即72，76， ∴； 女生D组人数为：（人）， 而数据82出现次数最多，有4次， ∴； 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：女生的测试成绩更好，理由如下： 从表格来看，男生和女生成绩的平均数一样，通过分析数据的众数和中位数，女生的数据均大于男生的数据，女生的测试成绩更好； 【小问3详解】 解：样本中男生D组人数为：（人）； 女生D组人数为3人，满分2人， 所以，（人） 答：估计八年级成绩为优秀的学生人数是264人 24. 端午节吃粽子是中国人民的传统习俗．五月初利民副食店购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子，其中鲜肉粽进价为15元/袋，售价为27元/袋，蜜枣粽进价为10元/袋，售价为19元/袋．利民副食店用660元购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子共50袋．（注：利润=售价-进价） （1）求购进鲜肉粽、蜜枣粽各多少袋？ （2）临近端午节，蜜枣粽售完，鲜肉粽还有剩余．副食店决定端午节当天对鲜肉粽降价销售，如果按原价销售，平均每天可售2袋．经调查发现，鲜肉粽每降价1元，平均每天可多售2袋．剩余的鲜肉粽在降价当天全部售完，50袋粽子共获利506元，每袋鲜肉粽应降价多少元？ 【答案】（1）购进购进袋鲜肉粽，袋蜜枣粽 （2）每袋鲜肉粽应降价4元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设购进x袋鲜肉粽，y袋蜜枣粽，根据题意列出可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设每袋鲜肉粽应降价元，此时每一袋的利润为：元，则降价当天的销售量为：件，降价之前鲜肉粽的销量为：根据题意得，解方程即可作答． 【小问1详解】 解：设购进x袋鲜肉粽，y袋蜜枣粽， 根据题意得：， 解得：． 答：购进购进袋鲜肉粽，袋蜜枣粽； 【小问2详解】 解：设每袋鲜肉粽应降价元，此时每一袋的利润为：元， 则降价当天的销售量为：件， ∴降价之前鲜肉粽的销量为： 根据题意得， 整理得：， 解得：（负值舍去）． 答：每袋鲜肉粽应降价4元． 25. 如图，在菱形中，连接，相交于点O，，，点E为中点，点P，Q分别以每秒1个单位长度的速度同时从点E出发，点P沿折线方向匀速运动，点Q沿折线方向匀速运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x，点P，Q的距离为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】（1） （2）图象见详解，函数的最大值为6，最小值为0（性质合理即可） （3） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数等知识， （1）根据菱形的性质先求出，的周长为：，再分当P、Q均不在时，，和当P、Q均在时，，两种情况讨论，即可作答； （2）根据（1）的结果作函数图象，再结合图象特点作答即可； （3）在图象中再作出的图象，结合图象即可作答． 【小问1详解】 如图， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∵点E为中点，， ∴， ∴的周长为：， 当P、Q均不在时，， 根据运动的特点有：， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 此时：，； 当P、Q均在时，， 此时点P、Q行走的距离和为： ∴P、Q之间的距离为的周长减去点P、Q行走的距离和， ∴， 此时：，； 综上：； 【小问2详解】 函数图象如下： 由图可知，函数的最大值为6，最小值为0； 【小问3详解】 如图， 由图可知：时x的取值范围：． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于点A，点C，直线分别与x轴，y轴交于点B，点C，且． （1）求直线的表达式． （2）如图2，过点B的直线与线段交于点D，，求点D的坐标． （3）如图3，在（2）问条件下，设与y轴交于点Q，在平面内找点T，使，所在直线与x轴交于M，直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）先求出，，即有，，进而可得，设直线的解析式为：，利用待定系数法即可求解； （2）过点O作，交于点D，连接，即有，根据直线的解析式为：，可得直线的解析式为：，联立，即可得； （3）先求出得直线的解析式为：，即可得，即可得，分情况讨论，当点T在直线上方时，作，且，，过T点作轴于点M，作轴于点N，先证明四边形是矩形，即有，，，再证明∴，可得，即可得，进而有，利用待定系数法可得直线的解析式为：，则坐标可求；当点T在直线下方时，先得出，即点T在y轴的左侧，同理作，且，，过T点作轴于点M，作轴于点N，同理可求． 【小问1详解】 当时，， 当时，，解得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴结合图象，有， 设直线的解析式为：， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 过点O作，交于点D，连接， ∵， ∴， ∵直线的解析式为：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：， ∴； 【小问3详解】 ∵，， ∴根据求解直线解析式的方法，同理可得直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， ∴， 当点T在直线上方时， 如图，作，且，，过T点作轴于点M，作轴于点N， ∴， ∴，， ∵轴，轴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，， ∴， ∵， ∴根据求解直线解析式的方法，同理可得直线的解析式为：， 当时，，解得：， ∴； 当点T在直线下方时， ∵，， ∴， ∴， 即点T在y轴的左侧， 如图，作，且，，过T点作轴于点M，作轴于点N， 同理可得， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，， ∴， 即同理可得， 综上：符合要求的点M的坐标为：和． 【点睛】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数，相似三角形的判定与性质，待定系数法，解直角三角形等知识，问题的难点在第三问，作出合理的辅助线，是解答本题的关键． 27. 在等腰中，，，D为边上一点（不与端点重合），E为外一点，连接，，，使． （1）如图1，点E在右侧，交于点G，若，，求的度数（用含α的代数式表示）： （2）如图2，点E在右侧，若，F为边上一点，连接交于点O，若O为中点，求证：； （3）如图3，点E在BD左侧，若，点G，P，K分别为，，的中点，连接，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，，使，当最小时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明过程见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由得，利用三角形内角和定理得，即可得结论；（2）延长至M，使，连接，作，交于N，证明 ，得，，，进而证明即可得结论． （3）作，在左侧截取，连接，，证明， 作点B关于直线的对称点，连接，，则，当三点共线时，取值最小，连接、、，作于点Q，作于点N，证明四边形为正方形，，，， ，利用三角形中位线及勾股定理分别求出再求出比值即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， ， ， ， ， ; 【小问2详解】 证明：延长至M，使，连接，作，交于N， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：作，在左侧截取，连接，， ， ，， ， ，即， ， ， ，，，， ， ， 点A、E、F三点在同一直线上， ，即点E在直线上，且恒为直角三角形， 作点B关于直线的对称点，连接，， 则，当三点共线时，取值最小， 连接、、，作于点Q，作于点N， ，， 四边形为正方形， ， ， ，即，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ，即点P为的中点， 点K为的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，P为中点， ， 将绕点B顺时针旋转得到， ， ，，， ，， ， ，，， ， ， 作于M，设 ，，， ， 作于S ， ，，， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$