江苏省宿迁市宿城区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试卷

江苏省宿迁市宿城区2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷(解析版) 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a6÷a2＝a4 D．（a3）2＝a9 2．（3分）2023年4月26日，“第四代北斗芯片”正式发布，这是一款采用全新工艺的22纳米芯片．已知22纳米＝0.000000022米，数据0.000000022用科学记数法可表示为（　　） A．2.2×10﹣7 B．2.2×10﹣8 C．22×10﹣8 D．22×10﹣9 3．（3分）不等式2x+1＜8的最大整数解为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（3分）多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（　　） A．4a2 B．4abc C．2a2 D．4ab 5．（3分）一副三角板ABC和DEF如图所示放置，∠C＝∠F＝90°，点D在边AC上．若DE∥CB，则∠1的度数为（　　） A．75° B．80° C．82° D．85° 6．（3分）下列命题中，真命题的个数为（　　） （1）如果ab＝0，那么a＝0； （2）同旁内角互补，两直线平行； （3）两个锐角的和是钝角； （4）若ac2＞bc2，则a＞b． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（3分）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（　　） A．28 B．29 C．30 D．31 二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分） 9．（3分）若是关于x、y的二元一次方程ax+by﹣5＝0的一组解，则4a﹣2b﹣9的值为 　 　． 10．（3分）若（x﹣1）（x+3）＝x2+mx+n，则m+n＝　 　． 11．（3分）若是关于x的完全平方式，则常数m的值为 　 　． 12．（3分）如图表示某个关于x的不等式的解集，若x＝m﹣2是该不等式的一个解，则m的取值范围是 　 　． 13．（3分）已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝2，则k的值为 　 　． 14．（3分）已知2x＝3，8y＝5，则8x+y＝　 　． 15．（3分）已知关于x的不等式（a+2）x＜1的解集为x＞，则a的取值范围为　 　． 16．（3分）用简便方法计算：的结果为 　 　． 17．（3分）关于x的不等式组 恰有三个整数解，则m的取值范围是 　 　． 18．（3分）已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝　 　°． 三、解答题（本题共10小题，共96分） 19．（8分）计算： （1）； （2）（2x+5）（x﹣3）． 20．（8分）先化简，再求值：（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）﹣2a（a﹣3），其中． 21．（8分）分解因式 （1）x3﹣9x； （2）（x2+4）2﹣16x2． 22．（8分）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 23．（10分）如图，已知∠ADB＝∠BCE，∠CAD+∠E＝180°． （1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （2）若CA平分∠BCE，EF⊥AF于点F，∠ADB＝78°，求∠BAD的度数． 24．（10分）观察下列算式： 算式①：32﹣12＝8＝8×1； 算式②：52﹣32＝16＝8×2； 算式③：72﹣52＝24＝8×3； … （1）按照以上三个算式的规律，请写出算式④：　 　； （2）上述算式用文字可表述为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”．若设两个连续奇数分别为2n﹣1，2n+1（n为整数），请证明这个命题成立； （3）命题：“两个连续偶数的平方差能被8整除”是 　 　命题（填“真”或“假”）． 25．（10分）我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝5，＜﹣1.5＞＝﹣1．解决下列问题： （1）[﹣4.2]＝　 　，＜3.14＞＝　 　． （2）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围． 26．（10分）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套． （1）求书籍和实验器材各有多少套？ （2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来． 27．（12分）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式x2+6x+10的最小值． 解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1， ∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1， ∴x2+6x+10的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）代数式x2﹣4x+3的最小值为 　 　； （2）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由． （3）已知有理数x，y满足﹣x2+3x+y﹣5＝0，求x+y的最小值． 28．（12分）已知：△ABC中，记∠BAC＝α，∠ACB＝β． （1）如图1，若AP平分∠BAC，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D． ①用α的代数式表示∠BPC的度数； ②用β的代数式表示∠PBD的度数； （2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，且BD⊥AP于点D． ①请补全图形； ②猜想（1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，直接写出正确的结论． 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a6÷a2＝a4 D．（a3）2＝a9 【分析】根据合并同类项法则计算并判定A；根据同底数幂相乘的运算法则计算并判定B；根据同底数幂相除的运算法则计算并判定C，根据幂的乘方运算法则计算并判定D． 【解答】解：A、a2+a3没有同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； B、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意； C、a6÷a2＝a4，计算正确，故此选项符合题意； D、（a3）2＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方运算法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2．（3分）2023年4月26日，“第四代北斗芯片”正式发布，这是一款采用全新工艺的22纳米芯片．已知22纳米＝0.000000022米，数据0.000000022用科学记数法可表示为（　　） A．2.2×10﹣7 B．2.2×10﹣8 C．22×10﹣8 D．22×10﹣9 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案． 【解答】解：0.000000022＝2.2×10﹣8． 故选：B． 【点评】本题考查科学记数法—表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法． 3．（3分）不等式2x+1＜8的最大整数解为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】先解不等式，再求出不等式的整数解，进而求出最大整数解． 【解答】解：移项得，2x＜8﹣1， 合并同类项得，2x＜7， 系数化为1得，x＜． 可见其最大整数解为3． 故选：B． 【点评】正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质． 4．（3分）多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（　　） A．4a2 B．4abc C．2a2 D．4ab 【分析】确定公因式的系数，取各项系数的最大公因数；确定字母及字母的指数，取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其指数最低的，由此确定公因式即可． 【解答】解：多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是4ab， 故选：D． 【点评】本题考查了公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 5．（3分）一副三角板ABC和DEF如图所示放置，∠C＝∠F＝90°，点D在边AC上．若DE∥CB，则∠1的度数为（　　） A．75° B．80° C．82° D．85° 【分析】先利用平行线的性质可得∠B＝∠DGA＝60°，然后利用三角形内角和定理可得∠2＝75°，从而利用对顶角相等可得∠1＝∠2＝75°，即可解答． 【解答】解：如图： ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠DGA＝60°， ∵∠FDE＝45°， ∴∠2＝180°﹣∠FDE﹣∠DGA＝75°， ∴∠1＝∠2＝75°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 6．（3分）下列命题中，真命题的个数为（　　） （1）如果ab＝0，那么a＝0； （2）同旁内角互补，两直线平行； （3）两个锐角的和是钝角； （4）若ac2＞bc2，则a＞b． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由等式、不等式性质，平行线判定，锐角与钝角的概念，逐项判断． 【解答】解：如果ab＝0，那么a＝0或b＝0，故（1）是假命题； 同旁内角互补，两直线平行，故（2）是真命题； 两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，故（3）是假命题； 若ac2＞bc2，则a＞b，故（4）是真命题； ∴真命题有（2），（4），共2个， 故选：B． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理． 7．（3分）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：依题意，得：． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（　　） A．28 B．29 C．30 D．31 【分析】利用正方形和长方形的性质，将ID与DJ的关系表示出来，再利用阴影部分面积和为60即可求出ID与DJ，从而得到长方形FJDI的长和宽，即可求解． 【解答】解：设ID＝y，DJ＝z， ∵两个阴影部分都是正方形， ∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD， ∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ， ∴AI+ID＝CJ+DJ， ∵AI＝5，CJ＝3， ∴5+y＝3+z， ∴y＝z﹣2， ：∵阴影部分面积和为60， ∴y2+z2＝60， 方法1：将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得： （z﹣2）2+z2＝60， 解得：z＝1+或z＝1﹣（舍）， ∴y＝z﹣2＝﹣1， ∴ID＝﹣1，DJ＝1+， ∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝（﹣1）×（1+）＝28； 方法2：∵z﹣y＝2， 所以（z﹣y）2＝4， ∴y2+z2﹣2yz＝4， ∴60﹣2yz＝4， yz＝28， ∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝28． 故选：A． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是利用图形面积之间的关系求解，熟练进行公式之间的转化变形． 二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分） 9．（3分）若是关于x、y的二元一次方程ax+by﹣5＝0的一组解，则4a﹣2b﹣9的值为 　1　． 【分析】先把代入方程ax+by﹣5＝0得出2a﹣b﹣5＝0，求出2a﹣b＝5，再变形得出4a﹣2b﹣9＝2（2a﹣b）﹣9，最后代入求出答案即可． 【解答】解：把代入方程ax+by﹣5＝0得：2a﹣b﹣5＝0， 移项得：2a﹣b＝5， 所以4a﹣2b﹣9＝2（2a﹣b）﹣9＝2×5﹣9＝10﹣9＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，能求出2a﹣b＝5是解此题的关键． 10．（3分）若（x﹣1）（x+3）＝x2+mx+n，则m+n＝　﹣1　． 【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m+n的值． 【解答】解：已知等式整理得：（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3＝x2+mx+n， ∴m＝2，n＝﹣3， 则m+n＝2﹣3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．（3分）若是关于x的完全平方式，则常数m的值为 　　． 【分析】根据（a±b）2＝a2±2ab+b2，进行作答即可 【解答】解：∵是关于x的完全平方式， ∴ 解得 故答案为： 【点评】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是灵活运用完全平方公式解决问题． 12．（3分）如图表示某个关于x的不等式的解集，若x＝m﹣2是该不等式的一个解，则m的取值范围是 　m＜﹣5　． 【分析】由图形得：x＞3m+8，根据x＝m﹣2是该不等式的一个解得出m﹣2＞3m+8，据此进一步求解即可． 【解答】解：由图形得：x＞3m+8， 因为x＝m﹣2是x＞3m+8的一个解， 所以m﹣2＞3m+8， 所以m＜﹣5， 故答案为：m＜﹣5． 【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是解题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 13．（3分）已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝2，则k的值为 　1　． 【分析】先把方程组中的两个方程相减，消去x，k，求出y，再把y的值代入x﹣y＝2求出x，最后把x，y的值代入x+y＝k，求出k即可． 【解答】解：， ①﹣②得：， 把代入x﹣y＝2得：x＝， 把，x＝代入①得：k＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握方程组的解是使每个方程两边相等的未知数的值． 14．（3分）已知2x＝3，8y＝5，则8x+y＝　135　． 【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方与积的乘方的法则和整体代入的方法解答即可． 【解答】解：∵2x＝3，8y＝5， ∴8x+y ＝8x•8y ＝（23）x×5 ＝5×（2x）3 ＝5×33 ＝5×27 ＝135． 故答案为：135． 【点评】本题主要考查了实数的运算，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，正确利用整体代入的方法解答是解题的关键． 15．（3分）已知关于x的不等式（a+2）x＜1的解集为x＞，则a的取值范围为　a＜﹣2　． 【分析】根据不等式的基本性质，由不等式x（a+2）＜1的解集为x＞，可得：a+2＜0，据此求出a的取值范围即可． 【解答】解：∵不等式（a+2）x＜1的解集为x＞， ∴a+2＜0， ∴a的取值范围为：a＜﹣2． 故答案为：a＜﹣2． 【点评】此题主要考查了不等式的解集，要熟练掌握，注意不等式的基本性质的应用． 16．（3分）用简便方法计算：的结果为 　5.16　． 【分析】根据题目中式子的特点，可以将原式转化为（3.08）2﹣（2.08）2，然后再利用平方差公式计算即可． 【解答】解： ＝（3.08）2﹣（2.08）2 ＝（3.08+2.08）×（3.08﹣2.08） ＝5.16×1 ＝5.16． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 17．（3分）关于x的不等式组 恰有三个整数解，则m的取值范围是 　0≤m＜1　． 【分析】可先用m表示出不等式组的解集，再根据恰有三个整数解可得到关于m的不等式组，可求得m的取值范围． 【解答】解： 解不等式①可得x≤3， 解不等式②可得x＞m， 由题意可知原不等式组有解， ∴原不等式组的解集为m＜x≤3， ∵该不等式组恰好有三个整数解， ∴整数解为1，2，3， ∴0≤m＜1． 故答案为：0≤m＜1． 【点评】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有三个整数解的应用． 18．（3分）已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝　265　°． 【分析】利用三角形的内角和定理的推论，先用∠B表示出∠3，再利用邻补角和四边形的内角和定理用∠C表示出∠1+∠2，最后再利用三角形的内角和定理求出∠1+∠2+∠3． 【解答】解：由折叠知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′． ∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′， ∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′ ＝2∠B+35°． ∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC ＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）， ∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′ ＝360°﹣2∠C， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC） ＝360°﹣（360°﹣2∠C） ＝2∠C． ∴∠1+∠2+∠3 ＝2∠C+2∠B+35° ＝2（∠C+∠B）+35° ＝2（180°﹣∠A）+35° ＝2（180°﹣65°）+35° ＝265°． 故答案为：265°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”、“四边形的内角和是360°”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键． 三、解答题（本题共10小题，共96分） 19．（8分）计算： （1）； （2）（2x+5）（x﹣3）． 【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，乘方的意义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值； （2）原式利用多项式乘多项式法则计算，合并同类项即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝9+（﹣1）﹣1﹣5 ＝9﹣1﹣1﹣5 ＝2； （2）原式＝2x2﹣6x+5x﹣15 ＝2x2﹣x﹣15． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，绝对值，有理数的乘方，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（8分）先化简，再求值：（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）﹣2a（a﹣3），其中． 【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝a2﹣4a+4+a2﹣1﹣2a2+6a ＝2a+3， 当a＝﹣时， 原式＝2×（﹣）+3 ＝﹣+3 ＝． 【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．（8分）分解因式 （1）x3﹣9x； （2）（x2+4）2﹣16x2． 【分析】（1）利用提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）先利用平方差公式，利用完全平方公式继续分解即可解答． 【解答】解：（1）x3﹣9x ＝x（x2﹣9） ＝x（x+3）（x﹣3）； （2）（x2+4）2﹣16x2 ＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x） ＝（x+2）2（x﹣2）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 22．（8分）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【分析】求出一元一次不等式组的解集，再取符合条件的正整数即可． 【解答】解：， 由①得，x≥﹣2， 由②得，x＜3， ∴不等式组的解集为﹣2≤x＜3， 所有正整数解有：1、2． 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 23．（10分）如图，已知∠ADB＝∠BCE，∠CAD+∠E＝180°． （1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （2）若CA平分∠BCE，EF⊥AF于点F，∠ADB＝78°，求∠BAD的度数． 【分析】（1）根据平行线的判定得出AD∥CE，根据平行线的性质得出∠CAD＝∠ACE，求出∠E+∠ACE＝180°，根据平行线的判定得出即可； （2）根据∠ADB＝∠BCE求出∠BCE＝78°，根据角平分线的定义求出∠ACE＝∠BCE＝39°，根据平行线的性质得出∠CAD＝∠ACE＝39°，∠BAC＝∠EFA＝90°，即可得出答案． 【解答】解：（1）AC∥EF， 理由是：∵∠ADB＝∠BCE， ∴AD∥CE， ∴∠CAD＝∠ACE， ∵∠CAD+∠E＝180°， ∴∠E+∠ACE＝180°， ∴AC∥EF； （2）∵∠ADB＝∠BCE，∠ADB＝78°， ∴∠BCE＝78°， ∵AC平分∠BCE， ∴∠ACE＝∠BCE＝39°， ∵AD∥CE， ∴∠CAD＝∠ACE＝39°， ∵FE⊥AB， ∴∠EFA＝90°， ∵AC∥EF， ∴∠BAC＝∠EFA＝90°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝90°﹣39°＝51°． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定和角平分线的定义，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键． 24．（10分）观察下列算式： 算式①：32﹣12＝8＝8×1； 算式②：52﹣32＝16＝8×2； 算式③：72﹣52＝24＝8×3； … （1）按照以上三个算式的规律，请写出算式④：　92﹣72＝8×4　； （2）上述算式用文字可表述为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”．若设两个连续奇数分别为2n﹣1，2n+1（n为整数），请证明这个命题成立； （3）命题：“两个连续偶数的平方差能被8整除”是 　假　命题（填“真”或“假”）． 【分析】（1）根据展示的算式，可得出规律，按照规律可得第四个算式即可； （2）利用平方差公式进行化简合并，可得到系数是8的单项式即可； （3）用平方差公式进行验证推导即可． 【解答】解：（1）算式①：32﹣12＝8＝8×1； 算式②：52﹣32＝16＝8×2； 算式③：72﹣52＝24＝8×3； 算式④：92﹣72＝8×4． 故答案为：92﹣72＝8×4． （2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1） ＝4n×2 ＝8n． ∴两个连续奇数的平方差能被8整除． （3）设两个连续的偶数为：2n，（2n+2）， ∵（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝（4n+2）×2＝4（2n+1）． ∴两个连续偶数的平方差不能被8整除是假命题． 故答案为：假． 【点评】本题考查了因式分解的应用，公式法分解因式是常用的方法，灵活公式的变形应用是关键． 25．（10分）我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝5，＜﹣1.5＞＝﹣1．解决下列问题： （1）[﹣4.2]＝　﹣5　，＜3.14＞＝　4　． （2）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围． 【分析】（1）根据题目所给信息求解． （2）先求出[x]和＜y＞的值，然后求出x和y的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意得，[﹣4.2]＝﹣5，＜3.14＞＝4． 故答案为：﹣5，4． （2）解方程组，得； 则x、y的取值范围为﹣1≤x＜0，2≤y＜3． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题目所给的信息进行解答． 26．（10分）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套． （1）求书籍和实验器材各有多少套？ （2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来． 【分析】（1）设书籍有x套，实验器材有y套，根据书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套建立方程组，解方程组即可得； （2）设运输部门安排甲种型号的货车m辆，乙种型号的货车（8﹣m）辆，根据两种型号的货车运输量建立不等式组，解不等式组即可得． 【解答】解：（1）设书籍和实验器材各有x套，y套， 由题意得，， 解得， 答：书籍和实验器材各有240套，120套； （2）设运输部门安排甲种型号货车m辆，则运输部门安排乙种型号货车（8﹣m）辆， 由题意得，， 解得0≤m≤4， ∴有4种方案：①运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；②运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；④运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键． 27．（12分）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式x2+6x+10的最小值． 解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1， ∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1， ∴x2+6x+10的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）代数式x2﹣4x+3的最小值为 　﹣1　； （2）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由． （3）已知有理数x，y满足﹣x2+3x+y﹣5＝0，求x+y的最小值． 【分析】（1）利用配方法，非负数的性质求解； （2）利用求差法比较大小； （3）利用配方法解决最值问题． 【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）+3﹣4 ＝（x﹣2）2﹣1， ∵（x﹣2）2≥0， ∴x2﹣4x+3的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1； （2）4a2+b2+11＞12a﹣2b．理由如下： 4a2+b2+11﹣（12a﹣2b） ＝4a2+b2+11﹣12a+2b ＝（4a2﹣12a+9）+（b2+2b+1）+1 ＝（2a﹣3）2+（b+1）2+1， ∵（2a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0， ∴（2a﹣3）2+（b+1）2+1≥1＞0， ∴4a2+b2+11＞12a﹣2b； （3）∵﹣x2+3x+y﹣5＝0， ∴x+y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4≥4， ∴当x＝1时，x+y最小，最小值为4． 【点评】本题考查配方法的应用，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用配方法解决问题． 28．（12分）已知：△ABC中，记∠BAC＝α，∠ACB＝β． （1）如图1，若AP平分∠BAC，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D． ①用α的代数式表示∠BPC的度数； ②用β的代数式表示∠PBD的度数； （2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，且BD⊥AP于点D． ①请补全图形； ②猜想（1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，直接写出正确的结论． 【分析】（1）①如图1根据角平分线的定义得到∠PBC＝∠PBM＝∠CBM＝（α+β）根据三角形的内角和即可得到结论； ②根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论； （2）①根据题意画出图形即可； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）①如图1∵BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN ∴∠PBC＝∠PBM＝∠CBM＝（α+β） ∠1＝∠BCN＝（180°﹣β） ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠1 ＝180°﹣（α+β）﹣（180°﹣β） ＝90°﹣α； ②在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣∠BPD， ∵∠BPD＝∠PBM﹣∠2 ＝（α+β）﹣α ＝β ∴∠PBD＝90°﹣β； （2）①如图2所示， ②中的两个结论发生了变化， ∵∠BAC＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α， ∵点P为△ABC的三条内角平分线的交点， ∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB， ∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°+α； ∵∠BPD＝∠BAP+∠ABP＝（∠ABC+∠BAC）＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣β， ∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝90°， ∴∠PBD＝90°﹣（90°﹣β）＝． 【点评】本题考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$