精品解析：广东省湛江市某校2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试题

高一数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 4. 已知是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则的值为(　　) A. －3 B. 2 C. －3或2 D. 3 5. 设，集合，．若，则（ ） A. 0 B. C. l D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. αβ，mα，则mβ B. m⊂α，n⊂α，mβ，nβ，则αβ C. m⊥n，m⊥α，nβ，则α⊥β D. m⊥α，mn，αβ，则n⊥β 8. 已知函数．则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数，递增区间是 B. 是偶函数，递增区间是， C. 是奇函数，递减区间是 D. 是奇函数，递减区间是， 10. 定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（       ） A. B. C. D. 11. 若不等式对一切成立，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 12. 已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______． 14. 若函数的定义域是，则函数的定义域是______． 15. 函数的值域为______． 16. 已知是上的单调递增函数，则实数的取值范围为______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知函数的定义域为A，的值域为 （1）求A、B； （2）求 18. 已知二次函数满足，． （1）求的解析式及单调区间. （2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. 19. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD. 求证： （1）CD⊥PD； （2）EF⊥平面PCD. 20. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）在给出的直角坐标系中画出函数的图象并写出的单调区间． 21. 在矩形中，，，为的中点，沿将折起到的位置，使平面平面． （1）若为线段的中点，求证：平面； （2）求证：． 22. 定义在上的函数满足，，且时，． （1）求； （2）判断在上的单调性； （3）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查了集合的并集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， ． 选B. 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 3. 已知函数则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入即可求解. 【详解】因为， 所以, 故选：C 4. 已知是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则的值为(　　) A. －3 B. 2 C. －3或2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义判断即可． 【详解】由是幂函数， 知，解得或. ∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴. 故. 故选：A. 【点睛】本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性问题，属于基础题． 5. 设，集合，．若，则（ ） A. 0 B. C. l D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合相等的定义求出后可得． 【详解】首先，否则与元素的互异性矛盾． 因为，所以，，， 因此，，所以， 所以． 故选：D． 【点睛】本题考查集合相等的概念，两个集合中元素完全相等，则两个集合相等，解题时要注意元素的互异性． 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比型函数的单调性，得到参数的取值范围，求得结果. 【详解】根据反比型函数的单调性可知， 要使函数在区间上单调递增， 只有，即，所以实数的取值范围是， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有根据函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，在解题的过程中，熟记反比型函数的单调性与系数符号的关系即可，属于基础题目. 7. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. αβ，mα，则mβ B. m⊂α，n⊂α，mβ，nβ，则αβ C. m⊥n，m⊥α，nβ，则α⊥β D. m⊥α，mn，αβ，则n⊥β 【答案】D 【解析】 【分析】结合空间线面的位置关系及平行与垂直的判定与性质定理对各个选项分别进行判断即可. 【详解】解：对于A选项，αβ，mα，则mβ或m⊂β，所以A选项错误. 对于B选项，m⊂α，n⊂α，mβ，nβ，则αβ或α和β相交，只有加上条件m与n相交时，才有结论αβ，所以B选项错误. 对于C选项，m⊥n，m⊥α，nβ，则αβ或α与β相交，所以C选项错误. 对于D选项，m⊥α，mn，则n⊥α，又αβ，则n⊥β，所以D选项正确. 故选：D. 8. 已知函数．则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】用换元法，设，解得代入后可得函数式，再计算函数值． 【详解】设，，则，所以， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查求函数的解析式，解题方法是换元法．属于基础题． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数，递增区间是 B. 是偶函数，递增区间是， C. 是奇函数，递减区间是 D. 是奇函数，递减区间是， 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，再由单调区间的形式可得结论（可不求单调区间进行选择） 【详解】由题意，是偶函数，排除C，D 单调区间不可以是两个不相邻区间的并集，排除A． 故选：B． 【点睛】本题考查函数的单调性是奇偶性，本题确定奇偶性后根据单调区间的定义可得正确选项． 10. 定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论． 【详解】因为对任意的，有， 所以当时，，所以在上是减函数， 又是偶函数，所以，， 因为，所以，即． 故选：D． 11. 若不等式对一切成立，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为，从而求出的最小值即可． 【详解】若不等式对一切成立，则， 当时，取最大值，故，故的最小值是. 故选：D． 12. 已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是偶函数得的图象关于直线对称，从而得在上的单调性，利用单调性化简函数不等式后再由恒成立可得的范围． 【详解】因为是偶函数，所以的图象关于直线对称， 又函数在上单调递增，所以在上的单调递减， 时，，，， 由得或即或恒成立，所以或． 故选：C． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性与单调性，考查不等式恒成立问题，解题关键是确定函数的单调性，利用单调性分类讨论化简不等式，转化为求函数的最值． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据子集的定义求解． 【详解】因为，，，所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查集合的包含关系，掌握子集定义是解题基础． 14. 若函数的定义域是，则函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】由及分母不为0可得． 【详解】，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查求复合函数的定义域，一般求得使函数式有意义的自变量的取值范围即可． 15. 函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域. 【详解】设，则， 所以原函数可化为：， 由二次函数性质，当时，函数取最大值2，由性质可知函数无最小值， 所以值域为：. 故答案为：. 【点睛】本题考查换元法求函数值域，当函数解析式中含有根式时，一般考虑换元法，用换元法时要注意一定写出新变量数的取值范围. 16. 已知是上的单调递增函数，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，及可得． 【详解】因为是增函数， 所以，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查函数的单调性，分段函数在定义域上单调，需满足所有段同单调，相邻端点处的函数值满足相应的不等关系． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知函数的定义域为A，的值域为 （1）求A、B； （2）求 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由函数表达式有意义求得定义域A，根据二次函数性质可求得值域B； （2）根据集合运算的定义计算． 【小问1详解】 由得， 解得， ， 所以，， 【小问2详解】 因为， 所以， 18. 已知二次函数满足，． （1）求的解析式及单调区间. （2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为 （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式． （2）利用判别式大于0求解即可． 【小问1详解】 设， 由可得 ， 所以，故，又得 即， ，故单调递增区间为，单调递减区间为 【小问2详解】 由得， 得， 有两个不相等的实数根，则有两个不相等的实数根 则满足，得或． 19. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD. 求证： （1）CD⊥PD； （2）EF⊥平面PCD. 【答案】（1）∵PA⊥底面ABCD，平面ABCD ∴CD⊥PA. 又矩形ABCD中，CD⊥AD， ∵AD∩PA＝A，平面PAD，平面PAD ∴CD⊥平面PAD， 平面PAD∴CD⊥PD. （2）取PD的中点G，连结AG，FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点， ∴ ∴ ∴四边形AEFG是平行四边形， ∴AG∥EF. ∵PA＝AD，G是PD的中点， ∴AG⊥PD，∴EF⊥PD， ∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD. ∵PD∩CD＝D， 平面PCD，CD平面PCD ∴EF⊥平面PCD. 【解析】 【分析】(1)证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等； (2)证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）在给出的直角坐标系中画出函数的图象并写出的单调区间． 【答案】（1） （2）的递增区间为，单调递减区间为， 【解析】 【分析】（1）设，得到，代入时的解析式化简可得时的解析式，又定义在实数集上的奇函数有，所以分段函数的解析式可求； （2）利用二次函数的顶点及与轴的交点作出简图，然后由图象得单调区间； 【小问1详解】 当时，， ； 又函数是上的奇函数， 的解析式为：； 【小问2详解】 函数的图象如图所示， 根据的图象可知，的递增区间为，单调递减区间为， 21. 在矩形中，，，为的中点，沿将折起到的位置，使平面平面． （1）若为线段的中点，求证：平面； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：取的中点，连接、，则,故四边形为平行四边形， 故，又平面，平面, 故平面, 同理，平面，平面, 故平面, ，、平面． 平面平面，注意到平面， 平面． （2） 证明：由题意可得：，， ，， 平面平面，平面平面，平面, 平面，且平面， ． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，利用线线平行可得线面平行，进而可得平面平面，进而根据面面平行的性质可证平面． （2）由题意根据勾股定理可证，利用面面垂直的性质可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 定义在上的函数满足，，且时，． （1）求； （2）判断在上的单调性； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）0 （2）在上单调递增 （3）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，令，代入即可求解； （2）利用函数单调性的定义证明，设，把用表示，再根据函数满足进行计算即可判断，从而得在上单调递增； （3）由，将化为，再结合函数单调性求解即可. 【小问1详解】 满足， 令，，. 【小问2详解】 设， ， ，，又时，，, 故即， 在上单调递增. 【小问3详解】 由，且，得， 则可化为， 由知在上单调递增， 解得， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $