第1章 二次函数复习二 课件2024-2025学年浙教版数学九年级上册

二次函数复习二 第1章 二次函数 浙教版 九年级上册 【1】二次函数 y = ax2 +bx +c(a≠0) 图象的性质 (1)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象是一条抛物线. (4)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点. 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点. (2)对称轴是直线 (3)顶点坐标是 新知学习 【探究】方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的坐标有什么关系? y=ax2+bx+c y x O 新知学习 (1)一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的解就是二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的横坐标. y=ax2+bx+c y x O 【2】一元二次方程与二次函数的关系 (2)若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解为x1和x2,则二次函数 y=ax2+bx+c的表达式可以表示为 y=a(x -x1) (x -x2) (a≠0). 新知学习 新知学习 【3】二次函数 y = ax2 +bx +c(a≠0) 的性质 条件 图象 增减性 最大(小)值 a>0 b2 -4ac_0 b2 -4ac_0 b2 -4ac_0 a<0 当x≤时,y随x的增大而减小; 当x≥时,y随x的增大而增大. 当x时, y达到最小值: ; 无最大值. 当x≤时,y随x的增大而增大; 当x≥时,y随x的增大而减小. 当x时, y达到最大值: ; 无最小值. ⑵记当x1=3.5,x2= , x3= 时对应的函数值分别为y1,y2,y3,试比较y1,y2,y3,的大小? 例题探究 【1】已知函数y=x2-3x-4. ⑴求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴,并画出函数的大致图象; y x 解:(1)∵ y=x2-3x-4 =(x-1.5)2-6.25, ∴图象顶点坐标为(1.5, -6.25); 又当y=0时, 得x2-3x-4=0的解为: x1=-1,x2=4. 则与x轴的交点为(-1,0)和(4,0) 与y轴的交点为(0, -4) ⑵ y2> y1 > y3 【2】在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点,设抛物线的对称轴为直线x=t. (1)若对于x1=1,x2=2都有y1=y2,求t的值; (2)若对于0 < x1 <1,1 < x2 < 2都有 y1 < y2,求 t 的取值范围. 例题探究 例题探究 【3】已知点(-m,0)和(3m,0)在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数,a≠0)的图象上. (1)当m=-1时,求a和b的值; (2)若二次函数的图象经过点A(n,3)且点A不在坐标轴上,当-2<m<-1时,求n的取值范围; (3)求证:b2+4a=0. 例题探究 (2)∵函数图象过点(-m,0)和(3m,0), ∴函数图象的对称轴为直线x=m. 易知图象过点(0,3). 又∵图象过点(n,3),∴根据图象的对称性得n=2m. ∵-2<m<-1,∴-4<n<-2. 例题探究 例题探究 例题探究 【4】已知二次函数y=x2+(m-1)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是_. m≥-1 例题探究 【5】已知二次函数y=(k-2)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是_. k≤3且k≠2 解:∵二次函数y=(k-2)x2+2x+1的图象与x轴有交点, ∴b2-4ac=22-4(k-2)=12-4k≥0.∴k≤3. 又∵k-2≠0,∴k≠2.综上,k≤3且k≠2. 例题探究 【6】已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说法正确的是( ) A.点(1,2)在该函数的图象上 B.当a=1且-1≤x≤3时,0≤y≤8 C.该函数的图象与x轴一定有交点 例题探究 解:当x=1时,y=a-(3a+1)+3=2-2a. ∵a≠0,∴2-2a≠2. ∴点(1,2)不在该函数的图象上,故A错误; 当a=1时,y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 抛物线的顶点坐标为(2,-1).即当x=2时,y=-1<0,故B错误; 令y=0,则ax2-(3a+1)x+3=0. 例题探究 【答案】C 例题探究 【7】设二次函数y=a(x-m)(x-m-k)(a>0,m,k是实数),则( ) A.当k=2时,函数y的最小值为-a B.当k=2时,函数y的最小值为-2a C.当k=4时,函数y的最小值为-a D.当k=4时,函数y的最小值为-2a 例题探究 例题探究 【答案】A ∵a>0,∴当k=2时,y有最小值,最小值为-a, 故A正确,B错误; 当k=4时, 抛物线的对称轴为直线x=m+2. 把x=m+2代入y=a(x-m)(x-m-4),得y=-4a. ∵a>0,∴当k=4时,y有最小值,最小值为-4a, 故C,D错误. 例题探究 【8】已知二次函数y=-x2+bx+C. (1)当b=4,c=3时, ①求该函数图象的顶点坐标; ②当-1≤ x ≤3时,求y的取值范围. (2)当x≤0时,y的最大值为2;当x>0时,y的最大值为3,求二次函数的表达式. 例题探究 解:(1)①当b=4,c=3时,y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7, ∴顶点坐标为(2,7). ②∵顶点坐标为(2,7),抛物线开口向下, ∴当-1≤x≤2时,y随x的增大而增大, 当2≤x≤3时,y随x的增大而减小,当x=2时,y有最大值7. 又∵当x=-1时,y=-2;当x=3时,y=6, ∴当x=-1时,y取得最小值-2. ∴当-1≤x≤3时,-2≤y≤7. 例题探究 例题探究 探究活动 - eq \r(2) eq \r(2) (2)∵0<x1<1,1<x2<2,∴<<,x1<x2. ∵y1<y2,a>0,∴点M(x1,y1)离对称轴更近,则M(x1,y1)与N(x2,y2)的中点在对称轴的右侧.∴>t,即t≤. 解:(1)∵对于x1=1,x2=2都有y1=y2, ∴抛物线的对称轴为直线x==.∴t=. 解:(1)当m=-1时,图象过点(1,0)和(-3,0), ∴解得 (3)证明:∵图象过点(-m,0)和(3m,0), ∴根据图象的对称性得-=m. ∴b=-2am,顶点坐标为(m,am2+bm+3). 将点(-m,0)和(3m,0)的坐标分别代入表达式,得 ① 3+②,得12am2+12=0,∴am2=-1. ∴am2+bm+3=am2-2am2+3=-am2+3=4. ∴=4. ∴12a-b2=16a.∴b2+4a=0. D.当a>0时,该函数图象的对称轴一定在直线x=的左侧 ∵[-(3a+1)]2-4 3a=9a2-6a+1=(3a-1)2≥0, ∴该函数的图象与x轴一定有交点,故C正确; 当a>0时,抛物线的对称轴为直线x==+>,∴该函数图象的对称轴一定在直线x=的右侧, 故D错误. 解:令y=0,则0=a(x-m)(x-m-k), 解得x1=m,x2=m+k, ∴抛物线的对称轴为直线x==. 当k=2时, 抛物线的对称轴为直线x=m+1. 把x=m+1代入y=a(x-m)(x-m-2), 得y=-a. (2)∵当x≤0时,y的最大值为2,当x>0时,y的最大值为3,∴抛物线的对称轴x=在y轴的右侧.∴b>0. ∵抛物线开口向下,当x≤0时,y的最大值为2,∴c=2. 又∵=3,∴b= 2. ∵b>0,∴b=2.∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+2. $$