第1章　二次函数复习一　课件　　2024—2025学年浙教版数学九年级上册

二次函数复习 第1章 二次函数 浙教版 九年级上册 新知学习 我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数. y = ax2 +bx + c 二次函数的一般式 二次项系数 一次项系数 常数项 【1】二次函数 (1)右边都是关于x的整式. (2)自变量x的最高次数是2. (3)二次项系数不能为0. 【2】二次函数 y = ax2 (a ≠ 0) 的图象具有以下特征： 当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点. 二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线. 它关于y轴对称，顶点是坐标原点. 新知学习 |a|越大，抛物线的张口就越小. 一般地，函数y=a(x－m)2 (a≠0)的图象与 y=ax²的图象只有位置不同，它可由y=ax²的图象向右(当m＞0)或向左(当m＜0)平移|m|个单位得到.函数y=a(x－m)2的图象的顶点坐标是________，对称轴是直线_______. 【3】二次函数y=a(x－m)2 (a≠0)的图象 (m，0) x=m 函数y=a(x－m)2 +k (a≠0)的图象，可以由函数y=ax²的图象先向右(当m＞0)或向左(当m＜0)平移|m|个单位，再向上(当k＞0)或向下(当k＜0)平移|k|个单位得到.函数y=a(x－m)2 +k的图象的顶点坐标是________，对称轴是直线_______. (m，k) x=m 【4】二次函数y=a(x－m)2 +k(a≠0)的图象 新知学习 【5】二次函数 y = ax2 +bx +c(a≠0) 图象的性质 （1）二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象是一条抛物线. （4）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点. 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点. （2）对称轴是直线 （3）顶点坐标是 新知学习 例题探究 解： 因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2） 【1】求抛物线 的对称轴和顶点坐标. 例题探究 【2】如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(1，－2)和B(0，－5)． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当y ≤－2时，请根据图象直接写出x的取值范围． 例题探究 （2）当y ≤－2时，－3 ≤ x ≤ 1. 例题探究 【3】将函数y＝ax2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的表达式为y＝2x2－x＋3，求a＋b＋c的值． 【4】在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t. (1)若对于x1＝1，x2＝2都有y1＝y2，求t的值； (2)若对于0 < x1 <1，1 < x2 < 2都有 y1 < y2，求 t 的取值范围． 例题探究 例题探究 【5】已知点(－m，0)和(3m，0)在二次函数y＝ax2＋bx＋3(a，b是常数，a≠0)的图象上． (1)当m＝－1时，求a和b的值； (2)若二次函数的图象经过点A(n，3)且点A不在坐标轴上，当－2<m<－1时，求n的取值范围； (3)求证：b2＋4a＝0. 例题探究 （2）∵函数图象过点(－m，0)和(3m，0)， ∴函数图象的对称轴为直线x＝m. 易知图象过点(0，3)． 又∵图象过点(n，3)，∴根据图象的对称性得n＝2m. ∵－2<m<－1，∴－4<n<－2. 例题探究 例题探究 例题探究 探究活动 解：（1）∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(1，－2)和B(0，－5)． ∴解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6. ∴图象的顶点坐标为(－1，－6)． 解：∵二次函数y＝2x2－x＋3可化为y＝2＋， ∴由题意可得原二次函数的表达式为y＝2＋－3，整理得y＝2x2＋7x＋6， ∴a＝2，b＝7，c＝6. ∴a＋b＋c＝2＋7＋6＝15. （2）∵0<x1<1，1<x2<2，∴<<，x1<x2. ∵y1<y2，a>0，∴点M(x1，y1)离对称轴更近，则M(x1，y1)与N(x2，y2)的中点在对称轴的右侧．∴>t，即t≤. 解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2都有y1＝y2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝.∴t＝. 解：（1）当m＝－1时，图象过点(1，0)和(－3，0)， ∴解得 （3）证明：∵图象过点(－m，0)和(3m，0)， ∴根据图象的对称性得－＝m. ∴b＝－2am，顶点坐标为(m，am2＋bm＋3)． 将点(－m，0)和(3m，0)的坐标分别代入表达式，得 ①×3＋②，得12am2＋12＝0，∴am2＝－1. ∴am2＋bm＋3＝am2－2am2＋3＝－am2＋3＝4. ∴＝4. ∴12a－b2＝16a.∴b2＋4a＝0. $$