河南省濮阳市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试题

濮阳市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测 数 学 考生注意: 1. 答题前, 考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上, 并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ,则 （ ） A. B. C. D. 2. 数据 的第 60 百分位数为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8. 5 3. “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 4. 已知一个圆台的上底面半径为 1 , 下底面半径为 4 , 高为 4 , 则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球, 其中有两个红球和两个黄球, 现从盒子中一次性随机摸取两个球, 则这两球不同色的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若 是偶函数,则 （ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 已知函数 ,若 ,且 ,则 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知 所在平面内一点 满足 ( 为非零实数),且 的面积为 12,则 的面积为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 4 二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知复数 ,则下列结论正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. 若 是实数,则 D. 若 ,则 在复平面内对应的点的轨迹为一条线段 10. 已知向量 ,则下列结论正确的是（ ） A. 若 ,则 B. 存在 ,使得 C. 若 ,则 D. 当 时, 在 上的投影向量的模为 11. 如图,在四棱锥 中,底面 为菱形, , 为棱 的中点, 是棱 上一动点 (包含端点), 则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 平面 C. 若四棱锥 的体积为 ,则四边形 的面积为 D. 在点 从点 向点 运动的过程中,点 到平面 的距离的最大值为 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知幂函数 的图象经过点 ,则 . 13. 已知在 中,内角 所对的边分别为 ,若 ,且 , 则 14. 如图,在三棱锥 中, ,且 两两相互垂直,若以 为球心,作一个半径为 4 的球,所作球面被三棱锥的四个面——面 、面 、面 、面 截得的弧分别为 ,则 的长度之和为 . 四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 某社区组织了 300 人参加读书有奖测试活动, 参与者经过一段时间的读书学习之后, 参加社区组织的测试. 把他们的测试成绩 (满分 100 分) 整理后绘制成如图所示的频率分布直方图,所有成绩共分为 , 五组. ( I ) 求 的值; ( II ) 估计这 300 人测试成绩的平均数; (每组数据以该组所在区间的中点值为代表) (III) 在测试成绩为 的四组人中,按人数比例用分层随机抽样的方法抽取 57 人,求在测试成绩为 的这一组中抽取的人数. 16. (15 分) 已知函数 . ( I ) 求 的最小正周期及单调递减区间; (II) 若 在区间 上的取值范围是 ,求实数 的最大值. 17. (15 分) 如图,在四棱锥 中,底面 为正方形, ,且 底面 分别为棱 的中点. ( I ) 求证:平面 平面 ; ( II ) 求二面角 的大小. 18. (17 分) 如图,在平面四边形 中, . ( I ) 若 ,求 的面积; (II) 若 ,求 的最大值. 19. (17 分) 张三参加某闯关比赛, 比赛分为三关, 每关都需要闯, 且在同一天内完成三关的闯关, 不能弃权. 比赛规则如下: 第一天三关都闯关失败者被淘汰; 第一天只有一关闯关成功者获得纪念奖并结束闯关;第一天三关都闯关成功者获得蓝牙耳机一副并结束闯关;第一天只有两关闯关成功者第二天可以重新参与闯关, 若该闯关者第二天三关都闯关成功, 则获得蓝牙耳机一副,否则获得纪念奖,并结束闯关. 已知张三每关闯关成功的概率均为 ,且前面各关闯关成功与否对后面的闯关没有影响. (I) 求张三被淘汰的概率; ( II ) 求张三第一天获得纪念奖的概率; (III) 求张三第二天获得蓝牙耳机的概率. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$高一下学期期末学业质量监测 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案A 命题意图本题考查集合的表示与运算 解析 集合A={g≤3<9}-1-2≤x<2,放AnB=1-1,01 2.答案B 命题意图本题考查百分位数 解析这组数据从小到大排列为4,456,77.89,99，又10×06=6，故这组数据的第60百分位数为=1.5， 3.答案C 命题意图本题考查充分条件与必要条件的判断. 解析由a+B=受可推出sima+sinB=l,反过来，当B-a=牙时也满足sin'a+simB=l,故“a+B=牙”是 “sina+sin2B=1"的充分不必要条件. 4.答案C 命题意图本题考查圆台的体积计算。 解析该圆台的体积V=了π×4×(12+1x4+4)=28m 5.答案D 命题意图本题考查古典概型的概率 解析将两个红球编号为1,2，两个黄球编号为3,4.一次性随机摸取两个球的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,3),(2,4),(34),共6种，其中两球不同色的情况有(1,3)，(1,4).(2,3)，(2.4)，共4种，故两球不同色的 概率为P=合号 6.答案B 命题意图本题考查偶函数的概念 解析因为f代x)为偶函数，所以f(-x)=f八x),即1og(9+1)+x=log(9+1)-x,所以2kx=1og(9+1) g,(9+1)=lgg=ls9=2hg3,由x的任意性可得=3 7.答案D 命题意图本题考查函数的奇偶性、基本不等式的应用. 解析易知f八x)为奇函数且在R上单调递增，由f八2m)+f八n-1)=0,可得2m+(n-1)=0,即2m+n=1,则 一1 -4m 「m= a+只=（信+2}水2m+)=日+0+42√只把+4=8，当且仅当 m=n’ 4 即 时取等 2m+n=1,m=2 号.所以人+2的最小值为8. m n 8.答案C 命题意图本题考查平面向量基本定理， 解析如图所示，设BC的中点为V,连接MN,由条件知M店+M心=2M=入A店，MN∥AB,而N为BC的中 点，.点C到直线AB的距离等于点M到直线AB的距离的2倍，，SAc=2S64w=12,故S△M=6. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案AC 命题意图本题考查复数的概念及运算 12-i1421=-2+ 解析x=1-2i1 5 号+ 对于A,11=√(-)+（兮=，故A正确： 对于B,=- 宁：在复平面内对应的点位于第三象限，故B错误： 对于Ca-)=(-号+写。-)1之0+名，要使(a-i)是实数，则兮0，解得a-2,放C 正确； 对于D-1=-2在复平面内对应的点的轨迹是以(-号， 为圆心，以2为半径的圆，故D错误 10.答案ACD 命题意图本题考查平面向量的运算与性质， 解折对于Aa/B尽血a-ow=-0ma-停又若≤a≤号a=名放A正确： 6 对于B,若a⊥b,则a·b=ima+尽caa=0,解得ama=-5,不满足石≤a≤受故B错误： 对Fc,a=骨合b血a+=m(e+又君≤a≤号是a+号≤ 2 6” 则a+号-即a=受，故C正确： 2 5,5 对于D,当a=号时a=(停a在b上的投影狗量的模为6-22-号放D正确 2一 11.答案ABD 命题意图本题考查简单几何体中的点线面的位置关系。 解析对于A,连接AC,:底面ABCD为菱形，∠BAD=120°，∴.△ABC为等边三角形，又E为棱AB的中点， ∴，CE⊥AB.而AB∥CD,∴.CD⊥CE,故A正确： 对于B,PA=PB,E为棱AB的中点，∴，PE⊥AB,又CE⊥AB,CE∩PE=E,∴.AB⊥平面PEC,又ABC平面 ABCD,∴.平面PEC⊥平面ABCD,故B正确： 对于C,易知△PB为等边三角形，且PA:45.可得PE=:号x号=2.同理可得CB=2,又PC=2反心= 3 2+PE,则PELEG,又PELAB,AB∩CE=E,PEL底面ABCD,心四棱锥P-BCFE的体积为3 PE×SE=方×2xSwE2 3，S边形=5，故C错误： 对于D,由PE⊥底面ABCD知，点B到平面PEF的距离即点B到直线EF的距离，易知当点F与点C重合时. B⊥平面Pc,此时点B到直线你的距离取得最大值，在点F从点G向点D运动的过程中，点B到直线 F的距高小于等于己号，且湿渐变小，故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案4 命题意图本题考查幂函数的性质。 解析由已知可得)=+，所以6)(6)=16=4 13.答案2 命题意图本题考查解三角形 解析由已知和正弦定理得，sin Bsin A=sin Asin2C,又A∈(0，π)，∴.sinB=sin2C,又B≠2C,∴.B+2C=T, ∴.A=C,∴.c=a=2. 14.答案3π 命题意图本题考查球的几何性质及弧长公式， 解析由勾股定理得AB=AC=C=2,6∠4CB=号的长为4×号=智：CE=CF=4,PE= 3 PF=V军-(2B=2,F的长度为2x号=：in∠PGE=m∠PCF=子∠PCE=LPGF=石， 6 ∠MCE=∠CF=-石=号m的长均为4×晋=号，故7，示，，的长度之和为号+m+ 2×7=3m. 3 —3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题意图本题考查统计. 解析(I)由题意得10×(0.005+0.01+x+0.03+0.035)=1,解得x=0.02. (4分) (Ⅱ)估计这300人测试成绩的平均数为10×0.005×55+10×0.02×65+10×0.035×75+10×0.03×85+ 10X0.0X95=77.…(8分) (Ⅲ)测试成绩在[80,90)内的人数为300×10×0.03=90，…(9分) 测试成绩在[50,60)内的人数为300×10×0.005=15， 所以测试成绩为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的这四组的总人数为300-15=285. 故抽样化为绍-行 (11分)》 所以在测试成绩为[80,90)的这一组中抽取的人数为90× =18 (13分) 16.命题意图本题考查三角函数的图象与性质. 解析（)代x)的最小正周期为2π三4元。…… 1 (2分) 2 由7+2km≤)x-开≤7+2hm(heZ, (4分) 得35+4hm≤x≤+4km(keZ), 2 2 所以)的单调递减区间是[受+46m,+4mkeZ)。 (7分) ()由)e[-1,1,得m(分-)[-号小 (9分) 当xe[o,m时，-牙e[-妥，m-引 (11分) 因为sm(-)-血要=-受且y=血在[吾]上的值城为[-号小 所以(2m母）5平 4 (13分) 得mm=3m,即实数m的最大值为3m。…(15分) 17.命题意图本题考查面面垂直的证明及求二面角的大小. 解析(I):PB⊥底面ABCD,MNC平面ABCD,,PB⊥MN …(2分）》 如图，连接AC. :底面ABCD为正方形，∴.BD⊥AC, :M,N分别为棱AB,BC的中点， .MN∥AC,,BD⊥MW,… (5分) 又PB∩BD=B,.MN⊥平面PBD,… (6分) ,MNC平面MNE, 4 平面MWE⊥平面PBD.……(7分) 6 (Ⅱ)如图，设MN∩BD=F,AC∩BD=O,连接FE,则F为线段OB的中点. 易知平面EMN∩平面BMN=MN, 由(I)知BD⊥MN,MN⊥平面PBD,∴.MN⊥FE, ,∠EFB为二面角E-MN-B的平面角，…(10分) 又PB1底面ABCD,BE=号PB=5,FB=8D=4×V22)+(22=1,…(2分) Aan∠EFB=s=5,∠EFB= FB 3 即二面角E-MN-B的大小为号 …(15分) 18.命题意图本题考查解三角形. 解析(I)在△ACD中，AC=4.CD=2,DA=3. 由余弦定理可得cs∠CAD=4C+AD-DC-42+32-2.7 2AC·AD 2×4×3=8, …(3分） :∠DiB=受sin∠cMB=es∠CAD=子 (5分) g,…5:0 B△ACB的面积为)AC:A6sin∠CAB三)X4X4X=Z✉ (8分) (Ⅱ)设∠D1C=0,则0<0<号，LCAB=号-0，∠ACD=号-A 在△ACD中，由正弦定理得D sn∠ACD=sin D即4D _AC 2经则08（-叭…(0分） 2 号-）si 在△4c中，由正孩定理得2D-品a即化 BC =AC-,则BC=8cs0,(12分） 6 (g+}c-A0=(+4小m0-8尊n(号--4n(o+) …(15分） 当0=平时，（气+之）BC-A0取得最大值，最大值为6 …(17分)》 19.命题意图本题考查概率的计算 解析记张三第一二、三关同关成功分别为事件A,BC,则4，B.C相互独立，且P(A)=P(B)=P(C)=子 5 (1)张三被淘次是指第一天三关都闯关失败.…(2分) 记事件M=“张三被淘汰”， 则P(0=P(aBC)=P(④P(B)P(C)=了×分×寸=司 (5分) (Ⅱ)张三第一天获得纪念奖是指第一天只有一关闯关成功. (6分) 记事件N=“张三第一天获得纪念奖”， 则P(N)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)… (8分) =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) =3x号x×= (10分) (Ⅲ)张三第二天获得蓝牙耳机是指第一天有两关闯关成功且第二天三关都闯关成功.…(11分) 记事件S=“张三第二天获得蓝牙耳机”，事件T=“张三第一天有两关闯关成功”，事件Q=“张三第二天三关 都闯关成功”， 则P(T刀=P(ABC)+P(ABG)+P(ABG)3X子×子×号=号…(4分) P0=PAc)=号x号x号-器 (15分) 所以P(s)=PPQO)=号×会器 …(17分）》 一6