精品解析：安徽省六安市叶集皖西当代中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

叶集皖西当代中学高二年级5月月考 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 若复数满足为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知向量，若与共线，则（ ） A. B. C. D. 5 4. 已知命题p：，，则（ ） A. 命题p的否定为，，且p是真命题 B. 命题p的否定为，，且p是真命题 C. 命题p的否定为，，且p是假命题 D. 命题p的否定为，，p是假命题 5. 在中，,BC=1,AC=5，则AB= A. B. C. D. 6. 设，若，（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 设是定义域为的偶函数，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点，，点到直线的距离为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，其样本平均数为.现加入一个新数据，且，组成新的样本数据，与原样本数据相比，新的样本数据可能（ ） A. 平均数不变 B. 众数不变 C. 极差变小 D. 第20百分位数变大 10. 某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中正确的是（ ） A. 越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B. 该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C. 该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D. 该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 11. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 异面直线，所成的角为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的表面积为___________． 13. 设O为坐标原点，直线x=a与双曲线两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为___________. 14. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字最小值为，则__________，_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且 (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值. 17. 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 18. 设抛物线，点，，过点A的直线l与C交于M，N两点. （1）当l与x轴垂直时，求直线的方程； （2）证明：. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 叶集皖西当代中学高二年级5月月考 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】联立，解得或， 所以. 故选：D. 2. 若复数满足为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将代入化简，然后根据其为纯虚数，可求出结果. 【详解】为纯虚数， ∴，∴. 故选：A 3. 已知向量，若与共线，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】现根据平面向量共线的坐标公式求出，再根据向量的模的坐标公式即可得解. 【详解】由题意可得， ∵与共线，∴，解得， ∴． 故选：A. 4. 已知命题p：，，则（ ） A. 命题p的否定为，，且p是真命题 B. 命题p的否定为，，且p是真命题 C. 命题p的否定为，，且p是假命题 D. 命题p的否定为，，p是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在性量词命题的否定，结合分式不等式的解法即可下结论. 【详解】，则. 由，得，即，解得， 所以命题为假命题. 故选：C 5. 在中，,BC=1,AC=5，则AB= A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB. 详解：因为 所以，选A. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 6. 设，若，（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二项式展开式通项公式，根据通项公式可得二项式展开式的第6项和第7项，进而求出、，再由直接计算即可得解. 【详解】二项式展开式通项公式为， 所以二项式展开式的第6项和第7项分别为和， 所以由题意可知，， 所以由得，，， 所以即. 故选：B. 7. 设是定义域为的偶函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件和偶函数的性质，得出函数的周期为2，再根据条件即可求出结果. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所 所以的周期为2， 所以． 故选：B. 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点，，点到直线的距离为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设于，则由已知条件可求出，，再利用椭圆的定义可求出，然后在中利用勾股定理列方程可求出离心率. 【详解】如图，设于， 则由题意得，， ∴，， 由椭圆定义可得， ∴， 在中，由勾股定理得， 可得. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，其样本平均数为.现加入一个新数据，且，组成新的样本数据，与原样本数据相比，新的样本数据可能（ ） A. 平均数不变 B. 众数不变 C. 极差变小 D. 第20百分位数变大 【答案】BD 【解析】 【分析】根据数据的平均数、极差、众数以及百分位数的定义判断求解. 【详解】因为，所以新的样本数据平均数减小，A错误； 加入一个新数据，则众数仍有可能为原数据的众数，B正确； 若加入一个新数据不最大值也不是最小值，则新数据极差等于原数据极差， C错误； 若为原数据从小到大排列的第20为后的数，因为样本数增加，所以第20百分位数可能后移，则新数据第20百分位数可能变大.D正确， 故选:BD. 10. 某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中正确的是（ ） A. 越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B. 该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C. 该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D. 该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线的特征逐项判断即可. 【详解】选项A：为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，正态曲线越瘦高， 所以该物理量在一次测量中落在内的概率越大，A说法正确； 选项B：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5，B说法正确； 选项C：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等，C说法正确； 选项D：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率不相等， 所以落在与落在的概率也不相等，D说法错误； 故选：ABC 11. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 异面直线，所成的角为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过线面的垂直关系可判A项真假；根据线面平行可判B项真假；根据三棱锥的体积计算的公式可判C项真假；根据列举特殊情况可判D项真假. 【详解】因为，，， 平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以，故A项正确； 易知，所以，且平面，平面， 所以平面，故B项正确； 如图1，连结交于点. 图1 因为平面，平面，所以， 所以. 因为，，，平面，平面，，所以平面. 所以到平面的距离为， 所以为定值，故C项正确； D．当，，取为，如下图2所示： 图2 因为，所以异面直线所成角为，， 且； 当，，取为，如下图3所示： 图3 易知，，所以四边形是平行四边形，所以. 因为，是的中点，所以. 又，，， 所以异面直线所成角为，且， 由此可知：异面直线所成角不是定值，故错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【详解】根据题意，截得的圆形半径、球的半径以及球心到截取平面的距离，构成了一个直角三角形，根据勾股定理，可知球的半径，因此该球的表面积为． 故正确答案为． 13. 设O为坐标原点，直线x=a与双曲线的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】写出双曲线C的渐近线方程，求出D，E坐标，由三角形面积建立a，b的关系，借助均值不等式即可作答. 【详解】双曲线C的渐近线方程为， 不妨令点D为在第一象限，E在第四象限，由解得，同理， ，所以的面积， 于是，双曲线的焦距，当且仅当时取等号，所以的焦距的最小值为 故答案为：8 14. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________． 【答案】 ①. ， ②. ## 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望. 【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以， 由已知可得的取值有1，2，3，4， ，， ， 所以, 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）假设公差，然后根据，解得，最后得到. （2）根据（1）的结果得到，然后可知是等比数列，最后计算可得. 【小问1详解】 设公差为d，， ∴，． 小问2详解】 由（1）得，∴，， ∴是首项为8，公比为4的等比数列，∴． 16. 如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且 (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ) 【解析】 【分析】 (Ⅰ)证明，根据得到，得到证明. (Ⅱ) 如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案. 【详解】(Ⅰ) 平面，平面，故. ，，故，故. ，故平面. (Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设平面的法向量，则，即， 取得到，，设直线与平面所成角为 故. 【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 17. 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可； (Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值. 【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为， 故，从面. 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的数学期望. (Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则. 且. 由题意知事件与互斥， 且事件与，事件与均相互独立， 从而由(Ⅰ)知： . 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 18. 设抛物线，点，，过点A的直线l与C交于M，N两点. （1）当l与x轴垂直时，求直线的方程； （2）证明：. 【答案】（1）或. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据l与x轴垂直得到l的方程，然后联立方程得到带你的坐标，最后求直线方程即可； （2）设的方程，联立直线和抛物线的方程，然后利用韦达定理得到，即可证明. 【小问1详解】 当l与x轴垂直时，l的方程为. 代入， 所以，或， 或， 所以的方程为或， 即或. 【小问2详解】 设的方程为，，， 联立方程得，易得， 所以，，，， 所以 ， 所以，则直线与直线的倾斜角互补， 所以. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求函数的导数，分或两种情况讨论； （2）由，令，，分，或三种情况讨论. 【小问1详解】 对函数求导可得， 当时，，此时函数在上单调递增； 当时，令得， 令得，此时函数在单调递减，单调递增． 小问2详解】 当时，显然成立． 当时，函数在上单调递增，若， 由可得， ∴， 与矛盾； 当时，函数在单调递减，单调递增， ∴，∵，∴， 即， 令，则， 令得，∴在单调递减，单调递增， ∴，∴， 综上，a的取值范围是． 【点睛】导数恒成立问题方法点睛： 1.含参不等式恒成立问题首选的方法是通过分离变量，转化为求函数的最值问题. 2.不能参变分离时，通过构造函数，分类进行讨论，求导得到函数的单调性，求此函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$