第一章 集合与常用逻辑用语 章末检测卷--2024-2025学年高一数学上学期同步测试卷（单元+周测+月考+专项+期中+期末）（人教A版2019）

章末检测卷（第一章集合与常用逻辑用语） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，则，则等于(    ) A. B. C. D. 2.已知命题“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题为(    ) A. 某班至多有一个男生爱踢足球 B. 某班至少有一个男生不爱踢足球 C. 某班所有的男生都不爱踢足球 D. 某班所有的女生都爱踢足球 3.设集合，则满足的集合B的个数是(    ) A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 4.已知集合，，则“”是“”的(    ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5.设集合，，若，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.如图，U是全集，M，N，P是U的子集，则阴影部分表示的集合是(    ) A. B. C. D. 7.已知，是方程的两个实根，是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.若命题“存在，”是真命题，则实数m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有(    ) A. 若x，y是偶数，则是偶数 B. 若，则方程有实根 C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D. 若，则 10.若是的必要不充分条件，则实数a的值为(    ) A. 2 B. C. D. 3 11.定义集合运算：，设，，则(    ) A. 当，时， B. x可取两个值，y可取两个值，对应4个式子 C. 中有4个元素 D. 的真子集有7个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.命题“对，都有”的否定为__________. 13.已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是__________. 14.若，则，就称A是“伙伴关系”集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知全集，，，求 16.本小题15分 某班共有27人参加数学、物理、化学三个兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有21人，参加化学兴趣小组的有10人，参加物理兴趣小组的有17人，同时参加数学、物理兴趣小组的有12人，同时参加数学、化学兴趣小组的有6人，三个兴趣小组都参加的有2人.同时参加化学、物理兴趣小组的有几人? 17.本小题15分 已知集合，，分别求适合下列条件的a的值. 18.本小题17分 已知非空集合， 若，求 若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 19.本小题17分 已知实数集，定义 若，求； 若，求集合A； 若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查交集运算，属于基础题. 易知 【解答】 解：根据交集运算可知，故选 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考察全称量词命题的否定，属于基础题. 某班所有的男生都爱踢足球的否定是某班至少有一个男生不爱踢足球. 【解答】 解：根据全称量词命题的否定可知，某班所有的男生都爱踢足球的否定是某班至少有一个男生不爱踢足球，故选 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题考察并集运算，属于基础题. 先求出A，再利用并集运算列举出 【解答】 解：易知，而，故B可以是 故选 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查集合包含关系和充分、必要条件的判断，属于基础题. 运用集合包含关系和充分、必要条件的定义判断即可. 【解答】解：可得，充分性成立；，可得或，必要性不成立. 故为充分不必要条件， 选 5.【答案】D  【解析】【分析】 本题考察利用集合包含关系求参数问题，属于基础题. 若，易知 【解答】 解：，，， 6.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查Venn图，属于基础题. 根据Venn图的意义，阴影部分为集合M的外部与集合N集合P交集内部的公共部分，求解即可. 【解答】 解：根据题意，阴影部分为集合M的外部与集合N集合P交集内部的公共部分， 即 故选： 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考察一元二次方程根与系数的关系以及充要条件的判断，属于基础题. 利用根与系数关系可知，为充要条件. 【解答】 解：因为，是方程的两个实根，则， 则， 则，所以所以是的充要条件. 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考察存在量词命题真假的问题，属于基础题. 利用判别式求解即可. 【解答】 解：由题意知方程有实数解， ，解得，故选 9.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考察必要条件的判断，属于基础题. 结合选项，逐个判断即可. 【解答】解：是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，A不符合题意; 当方程有实根时，则有 1，显然能推出，B符合题意; 因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，C符合题意; 显然由能推出，所以D符合题意. 10.【答案】BC  【解析】【分析】 本题考察必要不充分条件的应用，属于基础题. 由，可得或，，，可知或 【解答】 解：由，可得或对于，当时，方程无解;当时，由题意知，，则可得，此时应有或，解得或综上可得，或 11.【答案】BD  【解析】【分析】 本题考察集合新定义问题，属于一般难度题. 结合题干集合新定义，逐个选项分析即可. 【解答】 解：当，时， ，故A错误可取，，y可取1，，则z可取， ，，四个式子，选项B正确，共3个元素，选项C错误的真子集有个，选项D正确. 12.【答案】，使得  【解析】【分析】 本题考察全称量词命题的否定，属于简单题. 全称量词命题的否定是特称量词命题，所以命题“对，都有”的否定为“，使得”. 【解答】 解：改变量词，否定结论，所以命题“对，都有”的否定为“，使得”. 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考察充分不必要条件的应用，属于基础题. 根据题意，即，即 【解答】 解：由是成立的一个充分不必要条件，得，即，即 14.【答案】3  【解析】【分析】 本题考察集合新定义问题，属于基础题. 根据新定义列举符合题意的集合即可. 【解答】 解：具有伙伴关系的元素组是，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：，， 15.【答案】解：依题意知，，，，故有 由，，故有    【解析】本题考察交并补混合运算，属于基础题. 先求出A，再利用集合运算规律求解即可. 16.【答案】解：设参加数学兴趣小组的同学，参加物理兴趣小组的同学，参加化学兴趣小组的同学， 记表示集合A中元素的个数. 设同时只参加化学、物理兴趣小组的有x人，即， 结合Venn图， 有，得 故同时参加化学、物理兴趣小组的有5人.  【解析】本题考查集合的实际应用，Venn图的运用，属于基础题. 由题意，设同时只参加化学、物理兴趣小组的有x人，画出Venn图，列出关于x的方程解之即可，得到所求. 17.【答案】解：， 或， 或或当时，，当时，，不满足集合元素的互异性;当时，，，所以或 由可知，当时，，不符合题意;当时，，所以   【解析】本题考察集合交集运算以及集合的性质，属于基础题. 结合集合的互异性求解即可. 18.【答案】解：因为P 是非空集合，所以，即 当时，，或，，所以 若“”是“”的充分不必要条件，即，即且和的等号不能同时取得，解得，即实数a的取值范围为   【解析】本题考察交并补混合运算以及充分不必要条件的应用，属于一般难度题. 利用集合运算规律求解即可； 由题意，进而列出不等式求解即可. 19.【答案】解： ; 首先，因为，所以  ； 其次，中除了0以外，还有3个正数和3个负数，共6个元素，所以 A 中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记  ，不妨设  或者  . ①当  时，  ， 相乘可知  ，从而  ， 从而  ，所以  ； ②当  时，与上面类似的方法可以得到 ， 进而  ，从而 ， 所以  或者  . 估值+构造  需要分类讨论 A 中非负元素个数. 先证明  .考虑到将 A 中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合  的元素个数不变，故不妨设 A 中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： A 中没有负数． 不妨设  ，则 ， 上式中除0外从小到大共有个数，它们都是  的元素，这表明  情况二： A 中至少有一个负数． 设  是 A 中的全部负元素，  是 A 中的全部非负元素. 不妨设 ， 其中  为正整数，  . 于是有 ， 上式中有  的  个非正数元素：另外，注意到 ， 上式中有  的5个正数元素．这表明  综上可知，总有   另一方面，当  时，  中恰有13个元素. 综上所述，  中元素个数的最小值为   【解析】本题考查集合的新定义问题，属于较难题. 根据集合的新定义直接求解即可； 根据  可得  ，然后分 A 中4个非零元素的符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； 分 A 中没有负数和 A 中至少有一个负数两种情况进行讨论，证明出；再列举出的一种情况即可. 第8页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章末检测卷（第一章集合与常用逻辑用语） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，则，则等于(    ) A. B. C. D. 2.已知命题“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题为(    ) A. 某班至多有一个男生爱踢足球 B. 某班至少有一个男生不爱踢足球 C. 某班所有的男生都不爱踢足球 D. 某班所有的女生都爱踢足球 3.设集合，则满足的集合B的个数是(    ) A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 4.已知集合，，则“”是“”的(    ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5.设集合，，若，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.如图，U是全集，M，N，P是U的子集，则阴影部分表示的集合是(    ) A. B. C. D. 7.已知，是方程的两个实根，是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.若命题“存在，”是真命题，则实数m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有(    ) A. 若x，y是偶数，则是偶数 B. 若，则方程有实根 C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D. 若，则 10.若是的必要不充分条件，则实数a的值为(    ) A. 2 B. C. D. 3 11.定义集合运算：，设，，则(    ) A. 当，时， B. x可取两个值，y可取两个值，对应4个式子 C. 中有4个元素 D. 的真子集有7个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.命题“对，都有”的否定为__________. 13.已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是__________. 14.若，则，就称A是“伙伴关系”集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知全集，，，求 16.本小题15分 某班共有27人参加数学、物理、化学三个兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有21人，参加化学兴趣小组的有10人，参加物理兴趣小组的有17人，同时参加数学、物理兴趣小组的有12人，同时参加数学、化学兴趣小组的有6人，三个兴趣小组都参加的有2人.同时参加化学、物理兴趣小组的有几人? 17.本小题15分 已知集合，，分别求适合下列条件的a的值. 18.本小题17分 已知非空集合， 若，求 若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 19.本小题17分 已知实数集，定义 若，求； 若，求集合A； 若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查交集运算，属于基础题. 易知 【解答】 解：根据交集运算可知，故选 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考察全称量词命题的否定，属于基础题. 某班所有的男生都爱踢足球的否定是某班至少有一个男生不爱踢足球. 【解答】 解：根据全称量词命题的否定可知，某班所有的男生都爱踢足球的否定是某班至少有一个男生不爱踢足球，故选 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题考察并集运算，属于基础题. 先求出A，再利用并集运算列举出 【解答】 解：易知，而，故B可以是 故选 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查集合包含关系和充分、必要条件的判断，属于基础题. 运用集合包含关系和充分、必要条件的定义判断即可. 【解答】解：可得，充分性成立；，可得或，必要性不成立. 故为充分不必要条件， 选 5.【答案】D  【解析】【分析】 本题考察利用集合包含关系求参数问题，属于基础题. 若，易知 【解答】 解：，，， 6.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查Venn图，属于基础题. 根据Venn图的意义，阴影部分为集合M的外部与集合N集合P交集内部的公共部分，求解即可. 【解答】 解：根据题意，阴影部分为集合M的外部与集合N集合P交集内部的公共部分， 即 故选： 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考察一元二次方程根与系数的关系以及充要条件的判断，属于基础题. 利用根与系数关系可知，为充要条件. 【解答】 解：因为，是方程的两个实根，则， 则， 则，所以所以是的充要条件. 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考察存在量词命题真假的问题，属于基础题. 利用判别式求解即可. 【解答】 解：由题意知方程有实数解， ，解得，故选 9.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考察必要条件的判断，属于基础题. 结合选项，逐个判断即可. 【解答】解：是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，A不符合题意; 当方程有实根时，则有 1，显然能推出，B符合题意; 因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，C符合题意; 显然由能推出，所以D符合题意. 10.【答案】BC  【解析】【分析】 本题考察必要不充分条件的应用，属于基础题. 由，可得或，，，可知或 【解答】 解：由，可得或对于，当时，方程无解;当时，由题意知，，则可得，此时应有或，解得或综上可得，或 11.【答案】BD  【解析】【分析】 本题考察集合新定义问题，属于一般难度题. 结合题干集合新定义，逐个选项分析即可. 【解答】 解：当，时， ，故A错误可取，，y可取1，，则z可取， ，，四个式子，选项B正确，共3个元素，选项C错误的真子集有个，选项D正确. 12.【答案】，使得  【解析】【分析】 本题考察全称量词命题的否定，属于简单题. 全称量词命题的否定是特称量词命题，所以命题“对，都有”的否定为“，使得”. 【解答】 解：改变量词，否定结论，所以命题“对，都有”的否定为“，使得”. 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考察充分不必要条件的应用，属于基础题. 根据题意，即，即 【解答】 解：由是成立的一个充分不必要条件，得，即，即 14.【答案】3  【解析】【分析】 本题考察集合新定义问题，属于基础题. 根据新定义列举符合题意的集合即可. 【解答】 解：具有伙伴关系的元素组是，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：，， 15.【答案】解：依题意知，，，，故有 由，，故有    【解析】本题考察交并补混合运算，属于基础题. 先求出A，再利用集合运算规律求解即可. 16.【答案】解：设参加数学兴趣小组的同学，参加物理兴趣小组的同学，参加化学兴趣小组的同学， 记表示集合A中元素的个数. 设同时只参加化学、物理兴趣小组的有x人，即， 结合Venn图， 有，得 故同时参加化学、物理兴趣小组的有5人.  【解析】本题考查集合的实际应用，Venn图的运用，属于基础题. 由题意，设同时只参加化学、物理兴趣小组的有x人，画出Venn图，列出关于x的方程解之即可，得到所求. 17.【答案】解：， 或， 或或当时，，当时，，不满足集合元素的互异性;当时，，，所以或 由可知，当时，，不符合题意;当时，，所以   【解析】本题考察集合交集运算以及集合的性质，属于基础题. 结合集合的互异性求解即可. 18.【答案】解：因为P 是非空集合，所以，即 当时，，或，，所以 若“”是“”的充分不必要条件，即，即且和的等号不能同时取得，解得，即实数a的取值范围为   【解析】本题考察交并补混合运算以及充分不必要条件的应用，属于一般难度题. 利用集合运算规律求解即可； 由题意，进而列出不等式求解即可. 19.【答案】解： ; 首先，因为，所以  ； 其次，中除了0以外，还有3个正数和3个负数，共6个元素，所以 A 中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记  ，不妨设  或者  . ①当  时，  ， 相乘可知  ，从而  ， 从而  ，所以  ； ②当  时，与上面类似的方法可以得到 ， 进而  ，从而 ， 所以  或者  . 估值+构造  需要分类讨论 A 中非负元素个数. 先证明  .考虑到将 A 中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合  的元素个数不变，故不妨设 A 中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： A 中没有负数． 不妨设  ，则 ， 上式中除0外从小到大共有个数，它们都是  的元素，这表明  情况二： A 中至少有一个负数． 设  是 A 中的全部负元素，  是 A 中的全部非负元素. 不妨设 ， 其中  为正整数，  . 于是有 ， 上式中有  的  个非正数元素：另外，注意到 ， 上式中有  的5个正数元素．这表明  综上可知，总有   另一方面，当  时，  中恰有13个元素. 综上所述，  中元素个数的最小值为   【解析】本题考查集合的新定义问题，属于较难题. 根据集合的新定义直接求解即可； 根据  可得  ，然后分 A 中4个非零元素的符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； 分 A 中没有负数和 A 中至少有一个负数两种情况进行讨论，证明出；再列举出的一种情况即可. 第8页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$