精品解析：四川省遂宁市射洪中学校2023-2024学年高二下学期6月期末模拟数学试题

射洪中学高2022级高二（下）期末模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1. 下列求导数运算中正确的是（ ） A. B. C D. 2. 某项目工作需要2名服务人员，某集团迅速从人事部选取5人，市场部选取10人组成服务队，为了进一步开展工作，现选取2人作为队长，则2位队长都来自同一部门的前提下，2位队长全部来自市场部的概率为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则在（ ） A. 上单调递增 B. 处有最小值 C. 上有三个零点 D. 上单调递增 5. 对于数据组，如果由线性回归方程得到的自变量的估计值是，那么将称为样本点处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到表所示数据.若销量（单位:件）与单价（单位:元）之间的线性回归方程为，且样本点处的残差为3，则（ ） 单价/元 8.2 8.4 8.6 8.8 销量件 84 83 78 m A. 65 B. 67 C. 73 D. 75 6. 2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 7. 已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 则的值为（ ） A. 20 B. 18 C. 8 D. 6 8. 若对任意的 且 ，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列说法中正确的有（ ） A. 任取一个零件，它是次品的概率是0.0525 B. 任取一个零件，它是次品的概率是0.16 C. 如果取到的零件是次品，则它是第1台车床加工的概率为 D. 如果要求加工次品的操作员承担相应的责任，那么第1台车床的操作员应承担的份额小于第2台车床的操作员应承担的份额 10. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 11. 已知函数（且），则（ ） A. 当时，曲线在点处的切线方程为 B. 函数恒有1个极值点 C. 若曲线有两条过原点的切线，则 D. 若有两个零点，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么________． 13. 若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有__________个“十全十美数”. 14. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是_______________. 四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 80 感染支原体肺炎 40 合计 120 200 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？ （2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差． 附：，． 0.10 0.05 0.025 0010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. （1）已知的展开式中共有7项.求展开式中的常数项； （2）已知，，的展开式中含项的系数为，含 项的系数为，求的近似值.（精确到0.01） 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值; （2）若不等式在上恒成立，求实数取值范围. 18. 红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. （1）根据散点图判断，与（其中e为自然对数底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度（℃）的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程； 附：回归方程中，. 参考数据 5215 2347.3 33.6 27 81.3 3.6 （2）现在有10根棉花纤维，其中有6根为长纤维，4根为短纤维，从中随机抽取3根棉花纤维，设抽到长纤维棉花的根数为X，求X的分布列. 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题： （1）证明：； （2）设，证明：； （3）设实数使得对恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 射洪中学高2022级高二（下）期末模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1. 下列求导数运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算法则和复合函数的导数公式，即可求解. 【详解】，故A错误，，故B错误， ，故C错误，，故D正确. 故选：D 2. 某项目工作需要2名服务人员，某集团迅速从人事部选取5人，市场部选取10人组成服务队，为了进一步开展工作，现选取2人作为队长，则2位队长都来自同一部门的前提下，2位队长全部来自市场部的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，利用条件概率公式求出答案. 【详解】由题意，用A表示事件“抽到的2位队长来自同一部门”， B表示事件“抽到的2位队长都来自市场部”， 而，， 则. 故选：C． 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，正态曲线对称轴是，由，可得，根据正态分布的对称性即可求得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴是， 则，又， 所以， 所以， 故选：A. 4. 已知函数，则在（ ） A. 上单调递增 B. 处有最小值 C. 上有三个零点 D. 上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，直接利用导数研究其单调性，最值和零点即可. 【详解】， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增；； 对A：在不单调，故A错误； 对B：在处取得极大值，故B错误； 对C：，又在单调递增， 故在有一个零点；又，故在没有零点； 综上所述，在上只有一个零点，故C错误； 对D：在单调递增，故D正确. 故选：D. 5. 对于数据组，如果由线性回归方程得到的自变量的估计值是，那么将称为样本点处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到表所示数据.若销量（单位:件）与单价（单位:元）之间的线性回归方程为，且样本点处的残差为3，则（ ） 单价/元 8.2 8.4 8.6 8.8 销量件 84 83 78 m A. 65 B. 67 C. 73 D. 75 【答案】B 【解析】 【分析】利用样本点处残差为3，求得，再由，求得，进而可求得. 【详解】由条件知当时，， 代入，解得，于是， 又，所以，即，解得. 故选：B． 6. 2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，先将在同一区域的三个人选出并选定区域，再对余下的两人分别在其它两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即得. 【详解】要使五人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成： 第一步，先从五人中任选三人，有种方法； 第二步再选这三人所在的区域，有种方法； 第三步，将另外两人从余下的两个区域里任选，有种方法. 由分步乘法计数原理，共有种方法. 故选:C. 7. 已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 则的值为（ ） A. 20 B. 18 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率之和等于1求得，再根据期望公式和方差公式求出期望与方差，再根据方差的性质即可得解. 【详解】根据分布列可知，解得， ， ， 所以. 故选：B. 8. 若对任意的 且 ，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意易知，变形可得，故构造函数，根据函数单调性的定义可得函数在上单调递减，由即可得解. 【详解】对任意的，，且，，易知， 则，所以， 即． 令，则函数在上单调递减． 因为，由，可得， 所以函数的单调递减区间为， 所以，故， 即实数的取值范围为． 故选：C． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列说法中正确的有（ ） A. 任取一个零件，它是次品的概率是0.0525 B. 任取一个零件，它是次品的概率是0.16 C. 如果取到的零件是次品，则它是第1台车床加工的概率为 D. 如果要求加工次品的操作员承担相应的责任，那么第1台车床的操作员应承担的份额小于第2台车床的操作员应承担的份额 【答案】AC 【解析】 【分析】设事件B为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”， 则，且两两互斥．求出，以及，由全概率公式得，可判断A、B；“求次品为第1台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算可判断C、D 【详解】设事件B为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”， 则，且两两互斥． 根据题意得 ． 由全概率公式，得， 所以选项A正确，选项B错误． “如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是计算在件B发生的条件下，事件发生的概率， 所以． 类似地，可得， 所以第1台车床的操作员应承担的份额等于第2台车床的操作员应承担的份额，所以选项C正确，选项D错误． 故选:AC． 10. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合二项式展开式通项公式求含的项的系数，判断A，利用赋值法求系数和和，判断B，结合导数运算和赋值法求判断C，结合二项式展开式系数和与选项C结论判断D. 【详解】二项式的展开式的展开式的第项， 取可得，故，A错误， 因为， 取可得，， 取可得，， 所以，B正确， 由， 两边取导数可得， 取可得， 所以，C正确； 因为， 所以，D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数（且），则（ ） A. 当时，曲线在点处的切线方程为 B. 函数恒有1个极值点 C. 若曲线有两条过原点的切线，则 D. 若有两个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由导数的几何意义，求得曲线在点处的切线方程，可判定A正确； 由，当时，得到恒成立，可得判定B错误； 设切点为，求得点处的切线方程，代入原点，得到，设，利用导数求得函数的单调性和极大值，结合函数的图象与直线有两个不同的交点，求得的范围，可判定C正确； 转化为方程有两个解，设，利用导数求得函数单调性与极大值，进而求得的范围，可判定D正确； 【详解】由函数，可得其定义域为． A中：当时，，可得， 所以，所以曲线在点处的切线方程为，即，所以A正确； B中：由， 当时，，故在上恒成立，故函数在上单调递增，无极值点，所以B错误； C中：设切点为，则， 所以曲线在点处切线方程为，又切线过原点，所以，即，即，所以， 设（且），则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，；当时，， 且的极大值为， 由题意可知，函数的图象与直线有两个不同的交点， 可得，所以，所以，所以C正确； D中：要使有两个零点，则方程有两个解，即方程有两个解， 即方程有两个解，设，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为， 又因为，当时，，当时，， 所以，解得，所以D正确． 故选：ACD. 【点睛】方法策略：利用导数研究函数的零点问题求参的求解策略： 1、分离参数法：根据不等式的基本性质将参数分离出来，得到一端是参数，一端是变量的表达式的不等式，转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题，进而求得参数的范围； 2、构造函数法：转化为不等式的恒成立，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，求出函数的最值，进而得出相应的含参数的不等式，从而求解参数的取值范围； 3、图象法：画出不等式对应的函数的图象，结合函数图象的走势规律，确定函数的极值点或最值点的位置，进而求得参数的取值范围. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】 先求出，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解. 【详解】， 故答案为： 【点睛】本题考查两点分布的期望和期望的性质，属于基础题. 13. 若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有__________个“十全十美数”. 【答案】54 【解析】 【分析】根据给定条件，按含有0、不含0但有相同数字、不含0无相同数字分类，结合排列组合列式计算即得. 【详解】构成“十全十美数”有3类办法， 有一位数字是0的“十全十美数”有个； 不含0但有相同数字的“十全十美数”有个； 不含0无相同数字的“十全十美数”有， 所以符合要求的的“十全十美数”有个. 故答案为：54 14. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】，则， 若函数存在唯一极值点， 则在上有唯一的根， 所以由可得，则有唯一的根， 直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 又， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，函数的极大值为，且当时，，当时，， 则函数得图象如下图所示： 所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 80 感染支原体肺炎 40 合计 120 200 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？ （2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差． 附：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关. （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据已知数据完善列联表，计算卡方值并与临界值比较即可； （2）根据二项分布概率公式写出分布列，再计算其期望和方差即可. 【小问1详解】 （1）列联表，如图所示： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 40 80 感染支原体肺炎 80 40 120 合计 120 80 200 假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关. 则， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为， 由已知得， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以,. 16. （1）已知的展开式中共有7项.求展开式中的常数项； （2）已知，，的展开式中含项的系数为，含 项的系数为，求的近似值.（精确到0.01） 【答案】（1）60；（2）2.02 【解析】 【分析】（1）由展开式中共有7项得到，写出展开式的通项公式，令的指数为，得到，从而得到常数项； （2）由展开式中含项的系数为，含 项的系数为得到两个含有的方程，联立解出，从而得到，，因为精确到0.01，所以只要写出两个二项式的前两项后相加即可. 【详解】（1）由题意可知：，则的展开式通项为， 令，解得，所以展开式中的常数项为. （2）因为展开式的通项为（且）， 因为含项的系数为，所以，即①. 的展开式中的系数为. 将①变形为代入上式得，解得或， 所以或，则， 所以. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值; （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）增区间为和，减区间为，极大值为-1，极小值为 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可求得函数的增区间、减区间以及极大值、极小值； （2）结合参变量分离法可得，令，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 该函数的定义域为， 则，列表如下： 1 2 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为和，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 当时，由可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，， 所以，，故实数的取值范围是. 18. 红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. （1）根据散点图判断，与（其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度（℃）的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程； 附：回归方程中，. 参考数据 5215 2347.3 33.6 27 81.3 3.6 （2）现在有10根棉花纤维，其中有6根为长纤维，4根为短纤维，从中随机抽取3根棉花纤维，设抽到的长纤维棉花的根数为X，求X的分布列. 【答案】（1）更适宜，； （2）分布列见解析. 【解析】 【分析】（1）根据散点图的形状，判断回归方程类型；将两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案. （2）求出X的可能值及各个值对应的概率，列出分布列即可. 【小问1详解】 根据散点图的形状，判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型， 将两边同时取自然对数，得， 依题意，，， 因此，则， 于是z关于x线性回归方程为， 所以y关于x的回归方程为. 【小问2详解】 依题意，X的可能值为， ， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题： （1）证明：； （2）设，证明：； （3）设实数使得对恒成立，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）1 【解析】 【分析】（1）设，利用导数求出其最小值，即可得证； （2）先由泰勒公式求出，再放缩即可得证； （3）由（2）可得当时，，再分和两种情况讨论，即可得证. 【小问1详解】 设，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此，即； 【小问2详解】 由泰勒公式知①， 于是②， 由①②得， ， 所以， 即； 【小问3详解】 由（2）知， 所以当时，， 由此可知，当时，有对恒成立， 下面证明：当时，对不恒成立， 令，则， 令，则， 令，则， 令，即， 解得或． 因为当时，，故舍去， 所以当时，，得在上单调递减， 故，即， 从而在上单调递减，故， 即， 因此在上单调递减，所以，矛盾， 所以当时，对不恒成立， 综上，的最大值是1． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$