精品解析：河南省洛阳市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

洛阳市 2023-2024 学年第二学期期末考试 七年级数学试卷 注意事项： 1． 本试卷分试题卷和答题卡两部分， 试题卷共 6 页， 满分 120 分， 考试时间 100 分钟． 2． 试题卷上不要答题， 请用 0.5 毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上． 答在试题卷上的答案无效． 3． 答题前， 考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题 3 分， 共 30 分） 下列各小题均有四个选项， 其中只有一个是正确的． 1. 下列运算中， 正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知 、两个连续整数，且满足 ，则 、分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 某学生某月有零花钱a元，其支出情况如图所示，那么下列说法不正确是（ ） A. 该学生捐赠款为0.6a元 B. 捐赠款所对应的圆心角为240° C. 捐赠款是购书款的2倍 D 其他消费占10% 4. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 有一个数值转换器， 原理如下： 当输入的 为时，输出的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 2018年1～4月我国新能源乘用车的月销售情况如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 1月份销售为2.2万辆 B. 从2月到3月的月销售增长最快 C. 4月份销售比3月份增加了1万辆 D. 1～4月新能源乘用车销售逐月增加 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是（　 　 ） A B. C. D. 10. 对于，符号 表示不大于的最大整数，如 ，，则满足关系式的的整数值的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每小题 3 分， 共 15 分） 11. 4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表： 阅读时间（x小时） x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数 12 8 6 4 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____． 12. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则四边形的面积为______________． 14. 光线在不同介质中传播速度不同， 从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图， 水面与平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为______________． 15. 如图所示的平面直角坐标系中的长方形是由8块完全相同的小长方形拼成的，其中点的坐标为，则点的坐标为 ________． 三、解答题（本大题共 8 个小题， 共 75 分） 16. 请完成下面的证明及计算． （1）如图，点分别是三角形的边上的点，，，求证：． 证明：， （ ）， ， （ ）， ． （2）在（1）的条件下，若平分，求的度数． 17. （1）解方程组 （2）解不等式组，请按下列步骤完成解答． ①解不等式①，得 ； ②解不等式②，得 ； ③把不等式①②的解集在数轴上表示出来： ④原不等式组的解集为 ． 18. 为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动．现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（A表示 分，B表示 分，C表示 分，D表示 分，E表示 分，每组含前一个边界值，不含后一个边界值），请结合图中提供的信息，解答下列各题： （1）直接写出 的值， ，并把频数分布直方图补充完整； （2）求扇形 的圆心角的度数； （3）如果全校有 名学生参加这次活动， 分以上（含 分）为优秀，那么估计获得优秀的学生有多少人． 19. 小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出为的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知能否裁得出来，正在发愁．小华见了说：“别发愁， 一定能用一块面积大的纸片直接裁出一块面积小的纸片．”你同意小华的说法吗? 请说出你的理由． 20. 如图， 在平面直角坐标系中，三角形中，点的坐标是 ，点的标是 ，点的坐标是． 将三角形平移后得到三角形， 其中点的对应点的坐标为． （1）分别写出点和点的坐标： ， ； （2）在坐标系中画出三角形； （3）若点是三角形内的一点，点是三角形内点的对应点，求和 的值． 21. 2024年4月1日日，是第41届中国洛阳牡丹文化节，某旅游酒店计划印制一批彩色宣传册．现有甲、乙两个广告公司提供印制业务．甲公司的收费方式为每套彩色宣传册按定价5元的九折收费，另收取1500元的服务费；乙公司的收费方式为每套彩色宣传册按定价5元收费，1500元的服务费按六折优惠，且甲、乙两个广告公司都规定一次印制数量不少于1000册． （1）设共印制彩色宣传册套．甲广告公司收费 元乙广告公司收费 元（用含的式子表示） ； （2）该旅游酒店选用哪个广告公司所需费用较少? 请通过计算说明． 22. 为改善城市人居环境， 某地制定了《城市生活垃圾管理条例》(以下简称 《条例》）并于当年月日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾吨， 刚好被原有的个型和个型预处置点位处理完毕． 已知一个型点位比一个型点位每天多处理吨生活垃圾． （1）求每个型点位、型点位每天处理生活垃圾的吨数； （2）由于《条例》的施行， 垃圾分类要求提高， 现在每个点位每天将少处理吨生活垃圾， 同时由于市民环保意识增强， 该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少吨．若该区域计划增设型、型点位共 5 个，试问至少需要增设几个型点位才能当日处理完所有生活垃圾? 23. 如图1，E直线，内部一点，，连接，． （1）探究猜想： ①若，，则等于______度； ②若，，则等于______度； ③猜想图1中，，的关系并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，射线与矩形的边交于点E，与边交于点F，①②③④分别是被射线隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：，，的关系并选择其中一个证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳市 2023-2024 学年第二学期期末考试 七年级数学试卷 注意事项： 1． 本试卷分试题卷和答题卡两部分， 试题卷共 6 页， 满分 120 分， 考试时间 100 分钟． 2． 试题卷上不要答题， 请用 0.5 毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上． 答在试题卷上的答案无效． 3． 答题前， 考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题 3 分， 共 30 分） 下列各小题均有四个选项， 其中只有一个是正确的． 1. 下列运算中， 正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、实数的运算 ，根据算术平方根、立方根、实数的运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 2. 已知 、是两个连续整数，且满足 ，则 、分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．先估算出的范围，再得到的范围即可． 【详解】解：， ， ， ， 、分别是，， 故选：C． 3. 某学生某月有零花钱a元，其支出情况如图所示，那么下列说法不正确的是（ ） A. 该学生捐赠款为0.6a元 B. 捐赠款所对应的圆心角为240° C. 捐赠款是购书款的2倍 D. 其他消费占10% 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形统计图给出的信息逐项计算即可. 【详解】试题分析：捐赠款的圆心角的度数为：360°×60%=216°. 选项B错误 故选B 【点睛】本题考查扇形统计图. 4. 如图，将一副三角板和一张对边平行纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，过点作，则，，再根据平行线的性质并结合三角板的特征计算即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作， 则， 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 有一个数值转换器， 原理如下： 当输入的 为时，输出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的计算，掌握一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根是解题的关键．根据算术平方根的概念进行计算即可． 【详解】解：，， 输出的等于， 故选：D． 6. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解题要求对两个不等式进行求解得到解集即可对照数轴进行选择． 【详解】解不等式x+1＜0，得x＜-1， 解不等式，得， 所以这个不等式组的解集为，在数轴上表示如选项A所示， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解，正确求解不等式组的解集并在数轴上表示是解决本题的关键． 7. 2018年1～4月我国新能源乘用车的月销售情况如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 1月份销售为2.2万辆 B. 从2月到3月的月销售增长最快 C. 4月份销售比3月份增加了1万辆 D. 1～4月新能源乘用车销售逐月增加 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】观察折线统计图，一一判断即可. 【解答】观察图象可知： A. 1月份销售为2.2万辆,正确. B. 从2月到3月的月销售增长最快,正确. C.， 4月份销售比3月份增加了1万辆，正确. D. 1～4月新能源乘用车销售先减少后增大.故错误. 故选D. 【点评】考查折线统计图，解题的关键是看懂图象. 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可． 详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 那么可列方程组为：， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 9. 如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是（　 　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据将向右平移得到，得出，，结合的周长是，得出，再代入数值到的周长，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵将向右平移得到， ∴， ∵的周长是， ∴， 则四边形的周长 ． 故选：C 10. 对于，符号 表示不大于的最大整数，如 ，，则满足关系式的的整数值的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查不等式组的整数解，解题的关键是根据题意列出不等式组．根据符号的定义即可列出不等式组进行求解． 【详解】解：， ， 解得：， 整数值为：、，共个， 故选：B． 二、填空题（每小题 3 分， 共 15 分） 11. 4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表： 阅读时间（x小时） x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数 12 8 6 4 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____． 【答案】400 【解析】 【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论． 【详解】解：1200×＝400（人）， 答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人． 故答案为：400． 【点睛】本题主要考查了用样本所占百分比估算总体的数量的知识．正确的理解题意是解题的关键． 12. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键．先用代入消元法解方程得出、，然后再列不等式求解即可． 【详解】解：， 由②得：③， 将③代入①得： ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则四边形的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，由题意得出，，由平移的性质可得：，，从而得到，再由面积公式计算即可得出答案． 详解】解：∵，， ∴，， 由平移的性质可得：，， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 14. 光线在不同介质中传播速度不同， 从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图， 水面与平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为______________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质得出，再由计算即可得出答案，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解此题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图所示的平面直角坐标系中的长方形是由8块完全相同的小长方形拼成的，其中点的坐标为，则点的坐标为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、坐标与图形，设长方形的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出的值，即可得出答案． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共 8 个小题， 共 75 分） 16. 请完成下面的证明及计算． （1）如图，点分别是三角形的边上的点，，，求证：． 证明：， （ ）， ， （ ）， ． （2）在（1）的条件下，若平分，求的度数． 【答案】（1）；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得出，，即可得证； （2）根据平行线的性质得出，再根据角平分线定义得，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”得，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ， 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等； 【小问2详解】 解：， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 17. （1）解方程组 （2）解不等式组，请按下列步骤完成解答． ①解不等式①，得 ； ②解不等式②，得 ； ③把不等式①②的解集在数轴上表示出来： ④原不等式组的解集为 ． 【答案】（1）；（2）①；②；③见解析；④ 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）利用加减消元法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，并在数轴上表示出来，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 得： ， ， ， ， 将代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：①解不等式①：， 解得：， ②解不等式②：， 解得：， ③把不等式①②的解集在数轴上表示出来如下： ④原不等式组的解集为：． 18. 为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动．现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（A表示 分，B表示 分，C表示 分，D表示 分，E表示 分，每组含前一个边界值，不含后一个边界值），请结合图中提供的信息，解答下列各题： （1）直接写出 的值， ，并把频数分布直方图补充完整； （2）求扇形 的圆心角的度数； （3）如果全校有 名学生参加这次活动， 分以上（含 分）为优秀，那么估计获得优秀的学生有多少人． 【答案】（1）；见解析 （2） （3）400人 【解析】 【分析】（1）用组人数除以扇形图中组圆心角度数占周角的比例可得总人数，根据百分比概念可得的值；总人数减去其它四个小组人数求出组人数，从而补全图形； （2）用乘以等级人数所占比例可得； （3）用总人数乘以样本中等级人数所占比例． 【小问1详解】 解：样本容量为，，即， 组人数为：（人）， 补全图形如下： 故答案为：30； 【小问2详解】 扇形的圆心角度数为， 【小问3详解】 ）（人）． 答：估计获得优秀的学生有400人． 【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19. 小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出为的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知能否裁得出来，正在发愁．小华见了说：“别发愁， 一定能用一块面积大的纸片直接裁出一块面积小的纸片．”你同意小华的说法吗? 请说出你的理由． 【答案】不同意小华的说法，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的意义，设长方形纸片的长为，则宽为，由题意得出，求出长方形纸片的长是，宽为，结合正方形纸片的边长为，比较即可得出答案． 【详解】解：不同意小华的说法，理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为， 由题意得：， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴长方形纸片的长是，宽为， ∵正方形纸片的面积为， ∴正方形纸片的边长为， ∵， ∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长， ∴不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片． 20. 如图， 在平面直角坐标系中，三角形中，点的坐标是 ，点的标是 ，点的坐标是． 将三角形平移后得到三角形， 其中点的对应点的坐标为． （1）分别写出点和点的坐标： ， ； （2）在坐标系中画出三角形； （3）若点是三角形内的一点，点是三角形内点的对应点，求和 的值． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查平移作图和点的坐标，解题的关键是掌握平移的性质和变化规律． （1）根据点的平移变化规律即可求解； （2）根据（1）得到的、坐标，描出坐标点，再依次连接即可； （3）根据点的平移变化规律，列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：的对应点的坐标为 ， 点向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 点的标是，点的坐标是， ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 如图，三角形即为所求； 【小问3详解】 点是三角形内的一点，点是三角形内点的对应点， 点向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 根据题意可得：，， 解得：，， ，． 21. 2024年4月1日日，是第41届中国洛阳牡丹文化节，某旅游酒店计划印制一批彩色宣传册．现有甲、乙两个广告公司提供印制业务．甲公司的收费方式为每套彩色宣传册按定价5元的九折收费，另收取1500元的服务费；乙公司的收费方式为每套彩色宣传册按定价5元收费，1500元的服务费按六折优惠，且甲、乙两个广告公司都规定一次印制数量不少于1000册． （1）设共印制彩色宣传册套．甲广告公司收费 元乙广告公司收费 元（用含的式子表示） ； （2）该旅游酒店选用哪个广告公司所需费用较少? 请通过计算说明． 【答案】（1）， （2）当印制数量多与册时，甲广告公司费用较少；当印制数量为册时，甲、乙广告公司费用相同；当印制数量大于等于册且少与册时，乙广告公司费用最少 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准熟练关系，正确列出一元一次方程或一元一次不等式是解此题的关键． （1）由甲、乙公式的收费方式分别进行计算即可得出答案； （2）分三种情况：若甲广告公司收费少，若甲、乙广告公司收费相同，若乙广告公司收费少，分别列出一元一次方程或一元一次不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设共印制彩色宣传册套． 甲广告公司收费元， 乙广告公司收费元； 【小问2详解】 解：若甲广告公司收费少，则， 解得：； 若甲、乙广告公司收费相同，则， 解得：， 若乙广告公司收费少，则， 解得：； 综上所述，当印制数量多与册时，甲广告公司费用较少；当印制数量为册时，甲、乙广告公司费用相同；当印制数量大于大于册且少与册时，乙广告公司费用最少． 22. 为改善城市人居环境， 某地制定了《城市生活垃圾管理条例》(以下简称 《条例》）并于当年月日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾吨， 刚好被原有的个型和个型预处置点位处理完毕． 已知一个型点位比一个型点位每天多处理吨生活垃圾． （1）求每个型点位、型点位每天处理生活垃圾的吨数； （2）由于《条例》的施行， 垃圾分类要求提高， 现在每个点位每天将少处理吨生活垃圾， 同时由于市民环保意识增强， 该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少吨．若该区域计划增设型、型点位共 5 个，试问至少需要增设几个型点位才能当日处理完所有生活垃圾? 【答案】（1）每个型点位每天处理吨的生活垃圾，每个型点位每天处理吨垃圾 （2）至少需要增设个型点位才能当日处理完所有生活垃圾 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程以及一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式是解题关键． （1）设每个型点位每天处理生活垃圾的吨数为，则型处理的吨数为，由每天需要处理生活垃圾吨列出方程求解即可； （2）设需要增设个型点位才能当日处理完所有生活垃圾．根据两种需要处理的生活垃圾和不低于吨列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个型点位每天处理生活垃圾的吨数为，则型处理的吨数为， 由题意得：， 解得：， 型处理的吨数为：（吨）， 答：每个型点位每天处理吨的生活垃圾，每个型点位每天处理吨垃圾； 【小问2详解】 设需要增设个型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则型新增点位为（个）． 由题意得：， 解得：， 为整数， 至少需要增设个型点位， 答：至少需要增设个型点位才能当日处理完所有生活垃圾． 23. 如图1，E是直线，内部一点，，连接，． （1）探究猜想： ①若，，则等于______度； ②若，，则等于______度； ③猜想图1中，，的关系并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，射线与矩形的边交于点E，与边交于点F，①②③④分别是被射线隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：，，的关系并选择其中一个证明． 【答案】（1）①70；②80；③，证明见解析 （2）点在区域①时，；点在区域②时，；点在区域④时，；点在区域③时，；证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质． （1）①过点E作，根据平行线的性质及角的和即可得出答案； ②过点E作，根据平行线的性质及角的和即可得出答案； ③过点E作，根据平行线的性质及角的和即可得出答案； （2）按照四个区域，分别分情况讨论，画出图形，根据平行线的性质求出结果即可． 【小问1详解】 解：①如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ，， ， 故答案为：70； ②过点作， ∵， ∴， ∵，， ，， ， 故答案：80； ③猜想：． 理由：过点作， ∵， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）， ，（两直线平行，内错角相等）， （等量代换）． 【小问2详解】 解：根据题意得： 当点在区域①时，如图所示： 根据解析（1）中的结论可知：， ∵，， ∴； 当点在区域②时，如图所示： 根据解析（1）中的结论可知：； 当点在区域④时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 当点在区域③时，如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $