精品解析：重庆市大渡口区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题

大渡口区2023—2024学年度下期七年级期末质量监测 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔或签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列道路交通安全标志牌中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的定义分别判断即可． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：． 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项进行运算，然后判断即可． 【详解】解：A、，错误，故不符合要求； B、，错误，故不符合要求； C、，错误，故不符合要求； D、，正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项．解题的关键在于正确的运算． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面向上 B. 掷一次骰子，向上一面的点数是7 C. 在只有红球的袋中，摸出一个红球 D. 运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，故选项不符合题意； B．掷一次骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故选项不符合题意； C．在只有红球的袋中，摸出一个红球是必然事件，故选项符合题意； D．运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. 对于圆的周长公式，下列说法正确的是（　　） A. C是变量，π，d是常量 B. π是变量，C，d是常量 C. C，d是变量，π是常量 D. C，d，π是变量 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的基本概念，常量，变量的定义．根据常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量解答即可． 【详解】解：在圆的周长公式中， C，d是变量，π是常量， 故选：C． 5. 以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是(　　) A. 3，6，9 B. 3，5，9 C. 2，6，4 D. 4，6，9 【答案】D 【解析】 【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于第三边即可. 【详解】解：A.3+6=9，错误； B.3+5＜9，错误； C.2+4=6，错误； D.4+6＞9，正确. 故选D. 【点睛】本题考查了三角形三边关系. 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 6. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理即可作出判断． 【详解】解：A. ，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵，∴，故该选项正确，符合题意； C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； D. ，∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，分别是位于线段两侧的点，连接，则下列条件中，与相结合无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全段时间的判定，根据全等三角形的判定方法进行判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、添加，根据，能判定，故该选项不合题意； 、添加，不能判定，故该选项符合题意； 、添加，根据，能判定，故该选项不合题意； 、添加，根据，能判定，故该选项不合题意； 故选：． 8. 从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：∵大正方形的面积-小正方形的面积，矩形的面积， ∴． 故选：A． 9. 如图，在中，，，点在的延长线上，且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质得到，即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∵，， ∴， 故选：B． 10. 关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ） ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．将代入代数式求出的值，判断①，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，求出的值，确定②，计算多项式乘多项式后，项的系数为，求出的值判断③，根据恒等式对应项的系数相等，求出的值，判断④．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，；故①正确； ∵，为关于x的三次三项式，且a，b均为非零常数， ∴， ∴；故②正确； ∵ ， 又多项式M与N的乘积中不含项， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上：正确的个数为4个； 故选D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 我们知道太阳的主要成分是氢，氢原子的半径约为，数据用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 已知，则的余角等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查余角，解答的关键是明确互余的两角之和为． 利用余角的定义进行求解即可． 【详解】解：， 的余角为 故答案为：． 13. 一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球、1个蓝球，每个球除颜色外都相同，将小球摇匀后，小明同学从袋中任意摸出1个球是红球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据题意可知：用红球数除以总的球的个数，即可得到小明同学从袋中任意摸出1个球是红球的概率． 【详解】解：由题意可得， 小明同学从袋中任意摸出1个球是红球的概率是 故答案为：． 14. 某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验（油箱已加满），试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如下表： t（小时） 0 1 2 3 y（升） 80 72 64 56 如果此辆汽车在行驶6小时后加油一次，将油箱加满，此后继续行驶，由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶10小时时：油箱的余油量为_______升． 【答案】48 【解析】 【分析】由表格中的数据可得：汽车每行驶1小时，耗油8升，由于汽车已经行驶了6小时，油箱加满后，只要再计算出汽车行驶4小时的耗油量，即得剩余油量． 【详解】解：由表格中的数据可得：汽车每行驶1小时，耗油8升， 此辆汽车在行驶6小时后加油一次，将油箱加满，此时油箱中有油80升， 所以，当汽车行驶10小时时，即再行驶4小时，耗油升，则油箱的余油量为升； 故答案为：48． 【点睛】本题考查了列表法表示变量之间的关系，正确理解题意是关键． 15. 如图，将长方形纸片沿折痕所在的直线翻折，使得点、分别落在点、的位置，点在线段上，若，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，熟练掌握性质定理是解题的关键． 由矩形的性质得到，，于是得出，由翻折的性质得，，，即可求出的度数，从而求出的度数，即可得出的度数． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由翻折的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握是解题的关键． 【详解】解： ， ； 故答案：． 17. 如图，在中，点是的中点，点在边上，，，若的面积是3，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据同高的三角形底边之间的关系得出面积之间的关系是解题的关键． 根据三角形中线的性质得出，即可得出的面积，从而求出的面积，，设，由得出，然后列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的面积是3， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ， 设， ∵， ∴， 解得， 即阴影部分的面积是1， 故答案为：1． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“阶梯数”．例如：四位数1235，∵∴1235是“阶梯数”；又如：四位数2356，∵∴2356不是“阶梯数”．若一个“阶梯数”，则这个数为________；若一个“阶梯数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最小值是________． 【答案】 ①. 3482 ②. 1572 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，理解清楚“阶梯数”的定义是解题关键． 根据“阶梯数”的概念列方程求m的值；根据“阶梯数”的概念先求得，然后根据题意列出两个三位数字之差，然后结合能被9整除的数的特征分析满足条件的最小值． 【详解】解：由题意得：，即， ∵“阶梯数”， ∴， 解得：， 故这个数是：3482； “阶梯数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为： ， ∵这两个三位数的和能被9整除， ∴是9的倍数， ∵a，b，c，d互不相等且均不为0，且a，b，c，d的范围均为1到9， ∴c+d只能等于9， ∴当，时，，没有符合的a，b值； 当，时，，没有符合的a，b值； 当，时，，没有符合的a，b值； 当，时，，则，，故满足条件的数的是3145； 当，时，，没有符合的a，b值； 当，时，，没有符合的a，b值； 当，时，，则，，故满足条件的数的是1572； 当，时，，则，，故满足条件的数的是4381； 故符合题意的最小值为1572． 故答案为：3482；1572． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共7分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式、完全平方公式、积的乘方、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式、完全平方公式分别计算即可； （2）根据积的乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则分别计算即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 20. 如图，，点是的延长线上一点，且，是的平分线． （1）用无刻度直尺和圆规作的平分线交射线于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）探究与的位置关系，将下面的过程补充完整． 解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴① ， ∵， ∴② ， ∵， ∴③ ， ∴， ∴④ ． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）根据角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图—复杂作图、角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 21. 先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再算括号外的除法，然后根据求出x、y的值，最后代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ∵ ∴， 解得， 当，时，原式． 22. 文明是一座城市的名片．某校积极组织师生参加全县“共创文明城市，巩固国家卫生县城”志愿者服务活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名志愿者只参加其中一项服务活动．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿服务的部分师生，将调查结果绘制了如下不完整的统计图． （1）本次调查采用的调查方式为______（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）本次调查的师生共有______人，扇形统计图中n的值为______； （3）已知参加交通劝导志愿者服务活动30名师生中，有10名教师和20名学生，若从这30名师生中随机抽取1名志愿者参加“共创文明城市，巩固国家卫生县城”主题演讲比赛活动，且每名志愿者被抽到的可能性相同，恰好抽到学生的概率是______； （4）若该校共有师生3000名，请估计有______人参加“文明宣传”志愿者服务活动． 【答案】（1）抽样调查 （2）300，40 （3） （4）900 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、简单的概率计算、用样本估计总体，理解题意，看懂统计图是解答的关键． （1）根据调查方式的特点求解即可； （2）用参加“清洁卫生”人数除以其所占的百分比可求解调查人数，再由参加“敬老服务”人数除以调查总人数可求得n值； （3）用参加“交通劝导”中学生人数除以参加“交通劝导”总人数即可求得抽到学生的概率； （4）用总人数乘以样本中参加“文明宣传”志愿者服务活动的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查采用的调查方式为抽样调查， 故答案为：抽样调查； 【小问2详解】 解：本次调查的师生共有（人），， 故答案为：300，40； 【小问3详解】 解：从有10名教师和20名学生中随机抽取1名志愿者参加“共创文明城市，巩固国家卫生县城”主题演讲比赛活动，且每名志愿者被抽到的可能性相同，恰好抽到学生的概率是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵参加“文明宣传”志愿者服务活动人数为（人）， ∴该校共有师生3000名，估计有人参加“文明宣传”志愿者服务活动． 23. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格格点上）． （1）在图中画出关于直线对称的（要求：点，，分别与点，，相对应）； （2）在（1）的结果下，连接，求四边形的面积； （3）在直线上找一点，使的长度最短，并在图中画出最短路径． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握轴对称的性质、线段的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，利用割补法计算即可． （3）连接，交直线l于点P，则点P和最短路径即为所求． 【小问1详解】 如图，即为所求． 【小问2详解】 连接，四边形的面积为； 【小问3详解】 如图，连接，交直线l于点P，此时的长度最短，为线段的长，则点P和最短路径即为所求． 24. 如图，是等边三角形，在直线的下方有一点，且，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）过点作，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，结合即可得出垂直平分； （2）由等边三角形的性质结合垂直平分得出，由平行线的性质可得，求出得到，求出即可得解． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ， ， 垂直平分； 【小问2详解】 解：是等边三角形，垂直平分， ∴， ， ， ∴， ， ， ∵， ． 25. 已知、两地在一条笔直的公路上，甲开小轿车从地到地，乙骑摩托车从地到地，两人同时出发，匀速行驶，甲先到达目的地，两人之间的距离与行驶时间的关系大致如图所示，请根据图象解答下列问题： （1）、两地的距离是________，甲的行驶速度是________，乙的行驶速度是________； （2）甲到达目的地时，乙离地还有多远？ （3）甲、乙相距时，行驶时间是多少？ 【答案】（1）300，100，50； （2）千米 （3）或小时 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，根据函数的图象得到正确的信息是解题的关键． （1）根据图象知A、B两地的距离；乙行驶全程300千米时间为6小时可得乙的速度，根据时甲、乙相遇可得甲、乙的合速度，从而得出甲行驶的速度； （2）根据甲的速度可得走完全程的时间，再根据乙的速度可得乙3小时所走的路程； （3）根据题意分相遇前两人相距和相遇后两人相距两种情况求解即可． 【小问1详解】 由图象可得：A、B两地的距离是， 乙的行驶速度是（千米/小时）， 甲的行驶速度为（千米/小时） 故答案为：300，100，50； 【小问2详解】 由题意知，甲到达B地所用时间为（小时）， ∴乙离A地距离为：（千米）； 【小问3详解】 设行驶t小时时，甲、乙相距， 根据题意得：或， 解得：或 ∴甲、乙相距90km时，行驶时间是或小时． 26. 在中，，，点是平面内一点． （1）如图1，若点在的延长线上，，，求线段的长； （2）如图2，若点在边上（点不与点，重合），过点作，且，连接，点是的中点，连接，，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点是上一点，连接，且，在上截取，将线段沿直线翻折至所在的平面得，点是上的一动点，连接，，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，，得，而，故，，从而得出答案； （2）过E作交延长线于G，交延长线于H，连接，证明，得，BC=DG，可证，再证，得，，有，四边形是矩形，故，，可得是等腰直角三角形，即得； （3）连接，，延长到K，使，连接，由，，得，而将线段沿直线翻折至所在的平面得，可得，即知，从而，得，，当N，D，K共线，即D与B重合时，最小，故此时最小，最小值即为的长，知最小值为12． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： 过E作交延长线于G，交延长线于H，连接，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵，即F为等腰直角三角形斜边上的中点， ∴； 【小问3详解】 连接，，延长到K，使，连接，如图： ∵，， ∴， ∵将线段沿直线翻折至所在的平面得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当N，D，K共线，即D与B重合时，最小，故此时最小，最小值即为的长， 而， ∴最小值为12． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，最短距离，矩形的判定及性质，翻折的性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大渡口区2023—2024学年度下期七年级期末质量监测 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔或签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列道路交通安全标志牌中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面向上 B. 掷一次骰子，向上一面的点数是7 C. 在只有红球的袋中，摸出一个红球 D. 运动员射击一次，命中靶心 4. 对于圆的周长公式，下列说法正确的是（　　） A. C是变量，π，d是常量 B. π是变量，C，d是常量 C. C，d是变量，π是常量 D. C，d，π是变量 5. 以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是(　　) A. 3，6，9 B. 3，5，9 C. 2，6，4 D. 4，6，9 6. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，分别是位于线段两侧的点，连接，则下列条件中，与相结合无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点在的延长线上，且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ） ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 我们知道太阳的主要成分是氢，氢原子的半径约为，数据用科学记数法表示为__________． 12. 已知，则的余角等于________． 13. 一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球、1个蓝球，每个球除颜色外都相同，将小球摇匀后，小明同学从袋中任意摸出1个球是红球的概率是________． 14. 某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验（油箱已加满），试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如下表： t（小时） 0 1 2 3 y（升） 80 72 64 56 如果此辆汽车在行驶6小时后加油一次，将油箱加满，此后继续行驶，由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶10小时时：油箱的余油量为_______升． 15. 如图，将长方形纸片沿折痕所在的直线翻折，使得点、分别落在点、的位置，点在线段上，若，则________． 16. 已知，则的值为______． 17. 如图，在中，点是的中点，点在边上，，，若的面积是3，则图中阴影部分的面积是________． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“阶梯数”．例如：四位数1235，∵∴1235是“阶梯数”；又如：四位数2356，∵∴2356不是“阶梯数”．若一个“阶梯数”，则这个数为________；若一个“阶梯数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最小值是________． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共7分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，，点是的延长线上一点，且，是的平分线． （1）用无刻度直尺和圆规作的平分线交射线于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）探究与的位置关系，将下面的过程补充完整． 解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴① ， ∵， ∴② ， ∵， ∴③ ， ∴， ∴④ ． 21. 先化简，再求值：，其中，满足． 22. 文明是一座城市的名片．某校积极组织师生参加全县“共创文明城市，巩固国家卫生县城”志愿者服务活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名志愿者只参加其中一项服务活动．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿服务的部分师生，将调查结果绘制了如下不完整的统计图． （1）本次调查采用的调查方式为______（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）本次调查的师生共有______人，扇形统计图中n的值为______； （3）已知参加交通劝导志愿者服务活动30名师生中，有10名教师和20名学生，若从这30名师生中随机抽取1名志愿者参加“共创文明城市，巩固国家卫生县城”主题演讲比赛活动，且每名志愿者被抽到的可能性相同，恰好抽到学生的概率是______； （4）若该校共有师生3000名，请估计有______人参加“文明宣传”志愿者服务活动． 23. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格格点上）． （1）在图中画出关于直线对称的（要求：点，，分别与点，，相对应）； （2）在（1）的结果下，连接，求四边形的面积； （3）在直线上找一点，使的长度最短，并在图中画出最短路径． 24. 如图，是等边三角形，在直线的下方有一点，且，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）过点作，，，求的长． 25. 已知、两地在一条笔直的公路上，甲开小轿车从地到地，乙骑摩托车从地到地，两人同时出发，匀速行驶，甲先到达目的地，两人之间的距离与行驶时间的关系大致如图所示，请根据图象解答下列问题： （1）、两地的距离是________，甲的行驶速度是________，乙的行驶速度是________； （2）甲到达目的地时，乙离地还有多远？ （3）甲、乙相距时，行驶时间是多少？ 26. 在中，，，点是平面内一点． （1）如图1，若点在的延长线上，，，求线段的长； （2）如图2，若点在边上（点不与点，重合），过点作，且，连接，点是的中点，连接，，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点是上一点，连接，且，在上截取，将线段沿直线翻折至所在的平面得，点是上的一动点，连接，，若，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $