精品解析：河北省保定市清苑区清苑中学2023-2024学年高一下学期期末数学竞赛试题

高一年级第二学期期末数学竞赛试题 考试时间：120分钟；满分120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题 1. 已知向量，满足，若，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 2. 已知一组数据1.3，2.1，2.6，3.7，5.5，7.9，，9.9的第65百分位数是7.9，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 3. 已知是三条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. ，则 B. 与异面，，则不存在，使得 C. ，则 D. ，则 4. 甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是边上的点，且为的外心，则的值为（ ） A. B. 10 C. D. 9 二､多选题 9. 抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与独立 D. 与独立 10. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为1正方体中，点P，Q分别是线段，上动点，点E是棱的中点，下列命题正确的有（ ） A. 异面直线与所成的角为定值 B. 的最小值为 C. 三棱锥的体积随P点的变化而变化 D. 过点E作平面，当//平面时，平面与正方体表面的交线构成平面多边形的周长为 第II卷（非选择题） 三､填空题 12. 在中，它的内角对应边分别为.若，则__________. 13. 已知复数满足，且，则___________ 14. 在正三棱锥中，点D在棱上，且满足，，若，则三棱锥外接球的表面积为_________. 四､解答题 15. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响． （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率． 17. 某市约有万户居民，为了实现绿色发展，避免浪费资源，市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法，即制定每户居民月用电量的临界值，若居民某月用电量不超过度则按第一阶梯电价标准收费，价格为元/度；若某月用电量超过度，超出部分则按第二阶梯电价标准收费，价格为元/度，未超出部分按第一阶梯电价标准收费．为此，相关部门在该市随机调查了户居民的某月用电量，以了解这个城市家庭用电量情况，进行统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值作代表）． （1）若该市政府希望让全市70%居民在使用阶梯电价前后缴纳的电费保持不变，临界值应定为多少？并估计全市居民月用电量的众数和平均数； （2）在（1）的条件下，假定使用阶梯电价之后，月用电量未超过度的居民用电量保持不变；月用电量超过度的居民节省“超出部分”的，试估计全市居民每月节约的电量； （3）在（1）（2）的条件下，若使用阶梯电价前后全市缴纳电费总额不变，求第二阶梯电价．（结果保留两位有效数字） 18. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）已知的外接圆半径为，求的边上的高． 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，交于点N，为等腰直角三角形，，点M为棱的中点. （1）证明：//平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一年级第二学期期末数学竞赛试题 考试时间：120分钟；满分120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题 1. 已知向量，满足，若，则实数的值为（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直列出方程，结合向量的数量积运算性质求解. 【详解】∵，∴ ∵，∴ ∵，∴，即. 故选：C. 2. 已知一组数据1.3，2.1，2.6，3.7，5.5，7.9，，9.9的第65百分位数是7.9，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合百分位数分析求解. 【详解】因为，所以第65百分位数是第6位数， 当时，则第6位数位可能是或5.5，不合题意； 当时，则第6位数位是7.9，符合题意； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：A. 3. 已知是三条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. ，则 B. 与异面，，则不存在，使得 C. ，则 D. ，则 【答案】A 【解析】 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，因为，如下图， 若分别为面、面、面，且为， 显然面，则，故A正确； 对于B，如下图，为直线，为直线，为直线， 取的中点，连接， 所以四边形为，存在，使得，故B错误； 对于C，若，则相交、平行、异面，所以C错误； 对于D，若，则，所以D错误. 故选：A. 4. 甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类，利用相互独立事件概率乘法公式可得. 【详解】甲取得最后的胜利包含两种情况，一是第4局胜，此时甲胜的概率为；二是第4局负，第5局胜，此时甲胜的概率为，所以甲取得最终胜利的概率为. 故选：A. 5. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设该塔高度为米，由题意，根据同角的商关系可得，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】设该塔的高度为米， 则． 在中，， 即，由，解得， 即塔高为30米. 故选：A 6. 已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据与的数量积小于0，且不共线可得. 【详解】与的夹角为钝角， ， 又与的夹角为， 所以，即，解得， 又与不共线，所以， 所以取值范围为. 故选：D 7. 正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知平面与平面的交线为，与平面与平面的交线平行，即求解平面与平面的交线与所成角的大小即可. 【详解】因为平面平面，平面平面，平面平面，则； 在正方体中，易证平面，故，所以，即与所成角的大小为. 故选:. 8. 已知是边上的点，且为的外心，则的值为（ ） A. B. 10 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，取、中点分别为、，求出，，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，所以，因此， 取、中点分别为、，则，， 因此，， 所以. 故选：A 二､多选题 9. 抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与独立 D. 与独立 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，结合互斥事件的概念举反例排除即可； 对于B，列举出事件所包含的基本事件，结合结合互斥事件的概念即可判断； 对于CD，利用古典概型求出事件的概率，结合独立事件的概率公式判断即可. 【详解】对于A，记表示事件“第一枚点数为，第二枚点数为”，则事件包含事件，事件也包含事件，所以，故与不互斥，故A错误； 对于B，事件包含的基本事件有共5件，事件包含的基本事件有共4件，故，即与互斥，故B正确； 对于C，总的基本事件有件，事件的基本事件有件，故， 由选项B知， 而事件包含的基本事件有共2件，故， 所以，故与独立，故C正确； 对于D，事件的基本事件有件，故，由选项B知， 而事件包含的基本事件有共3件，故， 所以，故与不独立，故D错误. 故选：BC. 10. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式可求得的值，结合同角三角函数的基本关系可判断A选项的正误；利用余弦定理求出的值，可判断BC选项的正误；利用三角形的面积公式可判断D选项的正误. 【详解】，， 由正弦定理可得，可得，故为锐角， 所以，，A选项正确； 由余弦定理可得， 即，解得或， 若，则，，此时，与题意不符， 所以，，即选项B正确，选项C错误； 的面积，即选项D错误. 故选：AB. 11. 如图，在棱长为1正方体中，点P，Q分别是线段，上的动点，点E是棱的中点，下列命题正确的有（ ） A. 异面直线与所成的角为定值 B. 的最小值为 C. 三棱锥的体积随P点的变化而变化 D. 过点E作平面，当//平面时，平面与正方体表面的交线构成平面多边形的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直即可求解A，根据平面中两点间距离最小即可求解B,根据等体积法即可求解C,根据线面平行的性质可得截面多边形,即可求解D. 【详解】由于平面平面, 平面,所以平面，平面，所以，则异面直线与所成的角为90°，故A正确； 把平面沿直线翻折到平面，使得与共面且不重合，点翻折到点M的位置，过A作交于点R， 由于与为全等的直角三角形，且, 所以，故 故,则的最小值为线段的长，故B正确； 因为,由于为定值,且到底面的距离为定值，故体积为定值，故C错误. 分别取的中点为，连接构成六边形,则平面平面,故平面即为六边形所在的平面，由于六边形为正六边形，且边长为,故其周长为，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三､填空题 12. 在中，它的内角对应边分别为.若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理进行边角转化，可得到，代入即可求解. 【详解】由，可得，化简得， 又∵，∴， 故答案为：. 13. 已知复数满足，且，则___________ 【答案】7 【解析】 【分析】根据复数的几何意义与加减法的平行四边形法则，结合余弦定理得出的关系，从而得出结论． 【详解】如图，设，，作平行四边形，则，， 由已知，，， 在平行四边形中， ， ， 又，，即， 所以， 所以，， 故答案为：7. 14. 在正三棱锥中，点D在棱上，且满足，，若，则三棱锥外接球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，证明两两垂直，将此三棱锥外接球问题转化为长方体的外接球求解作答. 【详解】在正三棱锥中，取的中点E，连接，，如图， 由，，得，，又，平面，， 则平面，而平面，于是，又，,平面， 因此平面，而平面，从而，，且， 由，得，，由于两两垂直， 则以为棱的长方体与三棱锥有相同的外接球， 于是三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 四､解答题 15. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值； （2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值． 【详解】（1）由已知，得， ； （2）设与的夹角为， 则， 因此，与的夹角的余弦值为. 16. 为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响． （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，根据独立事件概率的求法计算即可得出结果； （2）根据独立事件概率的求法分别求出有0个、1个家庭回答正确的概率，利用间接法即可求出不少于2个家庭回答正确这道题的概率． 【小问1详解】 记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C， 则，，， 即，， 所以，． 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和. 【小问2详解】 有0个家庭回答正确的概率 ， 有1个家庭回答正确的概率 ， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率． 17. 某市约有万户居民，为了实现绿色发展，避免浪费资源，市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法，即制定每户居民月用电量的临界值，若居民某月用电量不超过度则按第一阶梯电价标准收费，价格为元/度；若某月用电量超过度，超出部分则按第二阶梯电价标准收费，价格为元/度，未超出部分按第一阶梯电价标准收费．为此，相关部门在该市随机调查了户居民的某月用电量，以了解这个城市家庭用电量情况，进行统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值作代表）． （1）若该市政府希望让全市70%居民在使用阶梯电价前后缴纳的电费保持不变，临界值应定为多少？并估计全市居民月用电量的众数和平均数； （2）在（1）的条件下，假定使用阶梯电价之后，月用电量未超过度的居民用电量保持不变；月用电量超过度的居民节省“超出部分”的，试估计全市居民每月节约的电量； （3）在（1）（2）的条件下，若使用阶梯电价前后全市缴纳电费总额不变，求第二阶梯电价．（结果保留两位有效数字） 【答案】（1）的值为，众数为度，平均数为度；（2）（万度）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图分析当频率之和刚好为时对应的用电度数即为的值，再根据频率分布直方图直接估计月用电量的众数，将每组数据的组中值乘以对应频率然后相加即可求得月用电量的平均数； （2）分别计算月用电量在、内的居民每月节约的电量，然后可得户居民每月所节约的电量，由此可估计全市居民每月节约的用电量； （3）根据题意分析得到“超出部分电量”对应的总电费在采用阶梯电价前后相同，由此列出关于的方程并求解出的值. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，区间的频率总和为， 由样本估计总体，可得临界值的值为， 众数为的中间值度，平均数为度． （2）由（1）知，月用电量在内的居民在使用阶梯电价前后用电量不变，节电量为度； 月用电量在内的户居民，平均每户用电度，超出部分为度， 根据题意，每户每月节电（度），户每月共节电（度）； 月用电量在内的户居民，平均每户用电度，超出部分为度， 根据题意，每户每月节电（度），户每月共节电（度） 故样本中户居民每月共节电（度）， 用样本估计总体，得全市居民每月节电量约为（万度）． （3）由题意，全市缴纳电费总额不变，由于“未超出部分”的用电量在“阶梯电价”前后不变，故“超出部分”对应的总电费也不变， 在户居民组成的样本中，每月用电量共超出度， 实行“阶梯电价”后，共节约度，剩余度，所以，解得． 18. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）已知的外接圆半径为，求的边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得和的范围可得答案； （2）由正弦定理得求出，再由余弦定理求出，最后利用△ABC的面积相等可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理得， ， 由得， 又因为，解得； 【小问2详解】 ，， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 又因为，所以，解得， 由△ABC的面积，得. 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，交于点N，为等腰直角三角形，，点M为棱的中点. （1）证明：//平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理作答. （2）取的中点F，利用面面垂直的性质推理，结合余弦定理、直线与其平行平面间距离求解作答. 【小问1详解】 在四棱锥中，菱形的对角线，交于点N，则N是的中点， 而M为棱的中点，于是，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取的中点F，连接，，，如图， 菱形中，由，得是正三角形，有， 由，得，又平面平面，平面平面， 而平面，平面，因此平面，平面， 设，则，，， 在中，由余弦定理得， 则，因为，平面，平面， 于是平面，则点C到平面的距离， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$