第11讲 函数的单调性（思维导图+2知识点+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第一册）

第11讲 函数的单调性 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解函数单调性定义、最值的定义，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 2.了解函数的平均变化率及其与单调性的关系，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.能应用定义法证明函数的单调性、确定单调区间，能结合图象判断函数的单调性、确定单调区间，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养. 4.会应用函数的单调性比较函数值大小、确定最值（值域）、解简单函数不等式. 知识点 1 单调性的定义与证明 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为，区间，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数 单调区间 I是y＝f(x)的增区间 I是y＝f(x)的减区间 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 提醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 2．证明函数单调性的定义法： 3．函数的最值 设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最大值，记为； 设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最小值，记为 知识点 2 函数的平均变化率 1.函数单调性与平均变化率 2.利用平均变化率证明单调性 （1）∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数． （2）步骤：设元--算差--求比--定号--结论 考点一：函数单调性的认识 例1.（23-24高一·全国·课堂例题）函数在某个区间上单调，能否说在整个定义域上单调？ 【变式1-1】（23-24高一·全国·课堂例题）单调递增（减）区间定义中的，有什么特征？ 【变式1-2】（23-24高一·全国·课堂例题）书写单调区间时有哪些注意事项？ 【变式1-3】（23-24高一·全国·课堂例题）“函数的单调递减区间是”与“函数在上单调递减”有什么区别？ 考点二：“定义法”判断、证明函数的单调性 例2．（22-23高一上·山东滨州·期中）已知函数，且. (1)求的值； (2)判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明. 【变式2-1】（2024高一·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【变式2-2】（24-25高一上·全国·假期作业）函数，判断函数在上的单调性，并加以证明. 【变式2-3】（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 考点三：根据解析式求函数的单调区间 例3.（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 【变式3-1】（22-23高一上·上海浦东新·期末）函数的增区间为 ． 【变式3-2】（2024高一·全国·专题练习）函数的单调区间为 【变式3-3】（18-19高一·全国·课后作业）函数的单调减区间为 . 考点四： 利用图像求函数的单调区间 例4.（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数a的值； (3)直接写出的单调区间. 【变式4-1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【变式4-3】（23-24高一上·甘肃金昌·期中）已知函数．    (1)用分段函数的形式表示该函数并画出该函数的图象； (2)写出此函数的单调区间（不需要写过程）． 考点五：根据函数的单调性求参数 例5.（2024高三·全国·专题练习）若函数在集合内为单调递增函数，则实数t的取值范围为 . 【变式5-1】（23-24高一下·广东潮州·开学考试）当 （填入恰当的数）时，函数在上递增． 【变式5-2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【变式5-3】（22-23高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 ． 考点六：应用函数的单调性求最值（值域） 例6.（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【变式6-1】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值和最小值. 【变式6-2】（23-24高一上·河南安阳·期末）已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【变式6-3】（23-24高一上·河北承德·期末）已知奇函数的图象过点. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求在上的值域. 考点七：应用函数的单调性解不等式、比较大小 例7.（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【变式7-1】（23-24高一上·山东德州·阶段练习）已知为上的增函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·重庆南岸·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（22-23高一上·北京·期中）已知函数，若，比较： （填“=、>、<、、”） 考点八：函数平均变化率及应用 例8.（23-24高一上·云南昆明·期末）设区间为函数定义域的子集，对任意且，记，，，则：在上单调递增的充要条件是在区间上恒成立；在上单调递减的充要条件是在区间上恒成立.一般地，当时，称为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率.设函数，请利用上述材料，解决以下问题： (1)分别求在区间、上的平均变化率； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式8-1】（22-23高一上·全国·课后作业）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024高一·全国·专题练习）已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 1．（23-24高一上·云南曲靖·期中）如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023高一·全国·课后作业）已知是函数的增区间，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（21-22高一上·黑龙江鸡西·期末）定义在R上的函数的图像如图所示，它在定义域上是减函数，给出下列结论，其中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 5．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的单调减区间是 ． 6.（23-24高一上·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 . 7.（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 . 8．（23-24高二上·广东·期中）已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明. 9．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知为二次函数，且满足：对称轴为.    (1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出函数的单调增区间. 10．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数. (1)判断函数在上的单调性，并加以证明. (2)求函数在上的最值. 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(1)求的值； (2)判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明. 【答案】(1)； (2)在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）由函数值求参数； （2）为对勾函数，在处取得最值，再配合定义法证明单调性即可. 【详解】（1）由； （2）在单调递减，在单调递增，证明如下： 设，则， ∵， 当，，故，函数单调递减； 当，，故，函数单调递增. 故在单调递减，在单调递增. 【变式2-1】（2024高一·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【答案】证明见解析 【分析】当时，，利用定义法即可证明函数的单调性. 【详解】当时，， 任取，且， 则. 因为，所以，，， 所以，即. 所以在上是增函数. 【变式2-2】（24-25高一上·全国·假期作业）函数，判断函数在上的单调性，并加以证明. 【答案】函数在上单调递减，证明见解析 【分析】利用单调性的定义证明，先对函数变形，然后任取，设，再对函数值作差，化简后判断符号，即可得结论. 【详解】函数在上单调递减，证明如下： 函数， 任取，设， 则， 因为，， 所以， 故，即， 故函数在上单调递减. 【变式2-3】（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 【答案】在上单调递增，证明见解析 【分析】判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明. 【详解】在上单调递增，证明如下：设， ； 因为，，，，所以， 所以是在上单调递增. 考点三：根据解析式求函数的单调区间 例3.（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用具体函数定义域的求法求解即可； （2）先判断的单调性，再利用函数单调性的定义法，结合作差法即可得证. 【详解】（1）要使函数有意义，当且仅当， 由得， 所以函数的定义域为. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，， 所以. 因为，，所以，，， 又，所以，故，即， 因此函数在上单调递减. 【变式3-1】（22-23高一上·上海浦东新·期末）函数的增区间为 ． 【答案】 【分析】根据给定的函数，利用函数单调性定义分析求解即得. 【详解】若的单调递增区间为， 任取，， 因为，，可得恒成立， 即，解得或（舍去）， 所以函数的增区间为． 故答案为： 【变式3-2】（2024高一·全国·专题练习）函数的单调区间为 【答案】增区间为和，无单调递减区间， 【分析】分离常数，即可求解. 【详解】，所以的单调递增区间为和 故答案为：单调递增区间为和，无单调递减区间， 【变式3-3】（18-19高一·全国·课后作业）函数的单调减区间为 . 【答案】 【分析】在上任取，计算，变形，判断正负，可得在上的单调性，，同理可得在上单调性，综合可得结果． 【详解】任取，且， 则. 因为， 所以，，， 即， 所以， 即， 所以在区间上单调递减， 同理可证在区间上单调递增， 所以的单调减区间为， 故答案为 考点四： 利用图像求函数的单调区间 例4.（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数a的值； (3)直接写出的单调区间. 【答案】(1) (2) (3)单调递增区间，单调递减区间， 【分析】（1）根据分段函数定义直接代入计算即可； （2）分类讨论实数a的取值范围，解方程即可得出符合题意的a的值； （3）画出函数图像即可直接写出单调区间． 【详解】（1）根据分段函数解析式可得， 易知；所以 　 即. （2）①当时，， 解得，或（舍）. 　 ②当时，，解得（舍）. 综上可得. 即实数a的值为 （3） 画出函数图像如图所示： 所以，单调递增区间，单调递减区间， 【变式4-1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象直接得到其单调增区间. 【详解】根据图象知的单调递增区间为， 故选：D. 【变式4-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. 【变式4-3】（23-24高一上·甘肃金昌·期中）已知函数．    (1)用分段函数的形式表示该函数并画出该函数的图象； (2)写出此函数的单调区间（不需要写过程）． 【答案】(1)，作图见解析 (2)单调递减区间为，无单调递增区间． 【分析】（1）利用三段法写出分段函数形式，并画出函数图象； （2）数形结合得到函数的单调区间. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 所以， 画出函数图象如下：    （2）由函数的图象可知，函数的单调递减区间为，无单调递增区间． 考点五：根据函数的单调性求参数 例5.（2024高三·全国·专题练习）若函数在集合内为单调递增函数，则实数t的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对勾函数的性质可得的单调性，则，解之即可求解. 【详解】由对勾函数的性质知在内为单调递增函数. 要使在内为单调递增函数，则，即， 解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式5-1】（23-24高一下·广东潮州·开学考试）当 （填入恰当的数）时，函数在上递增． 【答案】1（答案不唯一，只需即可） 【分析】由题意可知：的单调递增区间为，结合单调性分析求解. 【详解】因为的单调递增区间为， 若函数在上递增， 则，可取. 故答案为：1（答案不唯一，只需即可）. 【变式5-2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数写成分段函数，即可得到函数的单调区间，依题意可得，解得即可. 【详解】因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递减，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式5-3】（22-23高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出二次函数的对称轴，从而得到不等式，求出答案. 【详解】的对称轴为， 由题意得，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 考点六：应用函数的单调性求最值（值域） 例6.（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)在单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先转化，判断其单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证； （2）利用（1）中结论即可得解. 【详解】（1）因为， 因为在单调递减， 所以在单调递增. 定义法证明如下： 任取，，则， ， 所以，故在单调递增. （2）由（1）得在区间上单调递增， 所以，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 【变式6-1】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)单调递增；证明见解析 (2)最大值；最小值 【分析】（1）利用函数单调性的定义即可证明函数的单调性，从而可求解； （2）根据（1）中结论，从而可求出在区间上的最大值和最小值，从而求解. 【详解】（1）函数在区间上单调递增，证明如下： 由题意知的定义域为，，且，则， ， 所以函数在区间上单调递增. （2）由（1）知在上为增函数，所以在区间上， 当时，， 当时，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为. 【变式6-2】（23-24高一上·河南安阳·期末）已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）由题意列式计算，即可求得答案； （2）根据函数单调性的定义，即可证明结论； （3）根据函数的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知函数，且， 故，则 （2）证明：由（1）知， 任取且， 则， 因为且，可得，则， 所以，即， 所以函数在上为单调递增函数. （3）函数在上为单调递增函数， 所以， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 【变式6-3】（23-24高一上·河北承德·期末）已知奇函数的图象过点. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求在上的值域. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用定义法证明单调性即可. （2）利用单调性法求解值域即可. 【详解】（1）由题意可得解得 当时，函数是奇函数，所以. 在上单调递减，证明如下： ，且. 因为，所以. 所以，即， 所以在上单调递减. （2）由（1）得在上单调递减. 因为为奇函数，所以在上单调递减， 所以在上单调递减. ， 故在上的值域为. 考点七：应用函数的单调性解不等式、比较大小 例7.（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由题意易知函数在上单调递减，讨论与大小关系，再结合，利用单调性即可列出不等式组，解之即可得解. 【详解】因为对任意给定的实数，均有恒成立， 所以函数在上单调递减，又， 又不等式， 所以当，即时 ，， 则，解得，故； 当，即时 ，， 则，解得，故； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 【变式7-1】（23-24高一上·山东德州·阶段练习）已知为上的增函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性得到，从而得到，即可求解. 【详解】因为为上的增函数， 所以由，得：， 即，即，解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：C. 【变式7-2】（23-24高一上·重庆南岸·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的对称性与单调性比较大小. 【详解】由函数图象关于轴对称， 则，， 又函数在区间是单调递减函数， 所以， 即， 故选：B. 【变式7-3】（22-23高一上·北京·期中）已知函数，若，比较： （填“=、>、<、、”） 【答案】 【分析】法一：利用作差法即可得解； 法二：利用函数的单调性亦可得解. 【详解】法一：因为， 所以， 因为，所以， 所以，即. 法二：因为， 所以在上单调递减， 又因为，所以. 故答案为：. 考点八：函数平均变化率及应用 例8.（23-24高一上·云南昆明·期末）设区间为函数定义域的子集，对任意且，记，，，则：在上单调递增的充要条件是在区间上恒成立；在上单调递减的充要条件是在区间上恒成立.一般地，当时，称为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率.设函数，请利用上述材料，解决以下问题： (1)分别求在区间、上的平均变化率； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为 (2) 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）参变分离可得在时恒成立，利用所给定义证明在上单调递增，上单调递减，即可求出当时，从而求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为，则，，， 所以，， 所以在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为. （2）因为当时，不等式恒成立， 所以在时恒成立， 对于函数，， 设任意且，则， 因为且，所以，，则， 所以，即在上恒成立， 所以在区间上单调递增，同理可证在上单调递减， 所以当时，所以. 【点睛】关键点睛：第二问的关键是参变分离得到在时恒成立，结合所给定义证明函数，的单调性. 【变式8-1】（22-23高一上·全国·课后作业）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件确定函数的单调性，进而比较函数值大小即可. 【详解】因为，当时；当时； 所以函数在实数上单调递增，又，所以. 故选：A 【变式8-2】（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据单调函数的定义，结合反比例函数、一次函数、二次函数和对勾函数的性质依次判断即可. 【详解】 因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增. A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意； B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意； C：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以该函数在上单调递增，故C符合题意； D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 【变式8-3】（2024高一·全国·专题练习）已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 【答案】（或） 【分析】 由函数单调递减的性质即可求解. 【详解】 因为函数对于任意的，都有， 所以在区间上是减函数， 所以，所以. 故答案为：(或). 1．（23-24高一上·云南曲靖·期中）如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象即可得出单调递减区间. 【详解】根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：. 故选：. 2．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用函数单调性定义可判断得结果. 【详解】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 3．（2023高一·全国·课后作业）已知是函数的增区间，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性的定义判断即可. 【详解】因为是函数的增区间，所以，故A正确； 由于无法确定、的取值情况，故无法判断的符号，故B、C、D错误； 故选：A 4．（多选）（21-22高一上·黑龙江鸡西·期末）定义在R上的函数的图像如图所示，它在定义域上是减函数，给出下列结论，其中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据图象平移的方法可得的图象，再逐个选项判断即可. 【详解】将图像向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到图像，如图所示： 由图像可知，A错误，B正确， 又当时，，当时，，故C正确，D错误. 故选: BC. 5．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】画出函数的图象，如下：    故单调递减区间为. 故答案为： 6.（23-24高一上·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质判断即可. 【详解】二次函数开口向上，对称轴为， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 7.（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】将绝对值去掉，转化为分段函数，画出图象求解即可. 【详解】，画出函数图象，    结合图象得函数的单调递增区间为. 故答案为：. 8．（23-24高二上·广东·期中）已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1) (2)递增，证明见解析 【分析】（1）由可得答案； （2）在递增，利用单调性定义证明即可. 【详解】（1），且， ，解得：； （2）由（1）得：在递增， 证明如下： 设任意， 则 ， ， ， ， 在上单调递增. 9．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知为二次函数，且满足：对称轴为.    (1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出函数的单调增区间. 【答案】(1)，顶点坐标为. (2)图象见解析，函数的增区间为：和. 【分析】（1）设出二次函数解析式，根据条件得到方程组，解得解析式，再计算顶点即可. （2）确定函数解析式，画出函数图象，根据图象得到单调区间. 【详解】（1）设函数为，所以，解得， 所以，所以，所以顶点坐标为. （2）， 图象如图所示：    函数的增区间为：和. 10．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数. (1)判断函数在上的单调性，并加以证明. (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明； （2）根据函数在区间上的单调性，代入求值，即得答案. 【详解】（1）函数在上单调递减，证明如下： 函数，任取，设， 则， 因为，，则， 故，即， 故函数在上单调递减； （2）由（1）知函数在上单调递减， 故. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$