精品解析：江西省景德镇市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

景德镇市2023-2024学年度下学期期末质量检测卷 八年级数学 命题人：熊达力（市实验学校） 石方义（田家炳外国语学校） 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如果，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 北京时间2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，中国开启人类首次月球背面采样．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，的角平分线交的延长线于点E，交于点F，连接，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知两个分式：，进行以下运算操作：（为方便描述，将记作，将记作） 操作一：将两分式相加结果记作，相减结果记作；（即，） 操作二：将，相加结果记作；，相减结果记作（即，）； 操作三：将，相加结果记作；，相减结果记作…（以此类推） 将每一次的操作结果再不断进行相加、相减操作，通过操作，有以下结论： ①；②恒成立；③恒成立；④，⑤当时，；（注：以上结论中n均为正整数）· 以上说法中，正确的个数为（ ）· A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式： ______________． 8. 已知分式，则x的值为______． 9. 在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 10. 如图1是我国唯一一座没有红绿灯的城市，有“八卦城”之称的新疆伊犁特克斯．图2是该城市中心街道的示意图，其主体是一个正八边形，则______°． 11. 在中，，，点P为边上一动点，连接，以为边作，则的最小值为______． 12. 已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 14. 先化简再求值：，其中． 15. 如图，四边形为平行四边形，对角线交于点O，，且，求平行四边形的面积． 16. 如图，四边形为平行四边形，点E为边延长线上一点，连接．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图． （1）如图1，若，在上找一点F，使点F为的中点； （2）如图2，点，在平面内找一点G，使与全等． 17. 如图，在四边形中，． （1）若与的角平分线交于点O．求的度数； （2）若，，求的度数． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采用按月用水量收费办法，若某户居民应缴水费y（单位：元）与用水量x（单位：吨）的函数关系如图所示． （1）请你写出应缴水费y（单位：元）与用水量x（单位：吨）的函数关系式； （2）若某用户该月用水21吨，应缴水费多少元？ 19. （1）如图①，在四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，求证：四边形为平行四边形． （2）如图②，已知的中线交于点O（点O即为的重心）．若点F、G分别为的中点，，连接，求的长． 20. 已知． （1）分式的分子、分母都加1，所得的分式的值______（填：增大、不变、减小） （2）将分式的分子、分母都加c，所得的分式的值会如何变化？说说你的理由． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 马超同学在学习物理第七章第二节《怎样比较运动的快慢》时，遇到一个这样的问题：甲、乙两地之间为一座山丘，一同学从甲地到乙地先上坡再下坡，上坡速度为，下坡速度为，上坡和下坡路程相等，则这位同学从甲地到乙地的平均速度为多少？马超经过计算得出平均速度为．聪明的马超对公式进行变形得到，他马上联想到数学中也有类似变形，例如，，通过查阅资料知道了这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．请你利用上述方法，解决以下问题： （1）计算：______； （2）解方程：； （3）若分式方程有增根，求m的值． 22. 例：对多项式分解因式时有一个因式为，求m的值及另一个因式． 解：由题意可知，当时，，代入原式，得， ∴原多项式即为对进行因式分解； 利用因式分解与整式乘法的关系，可得， 综上得：，另一个因式为． 以上求m的方法叫作“试根法”，该方法最先由数学家韦达发现并加以应用． 请你根据以上方法解决下列问题： （1）已知二次三项式有一个因式为，则______； （2）若分解因式后，有两个因式和，求的值； （3）无论k取何值，点满足方程恒成立，求关于x的不等式：的解集． 六、（本大题1小题，共12分） 23. 八年级的郭小嘉同学在对已学的相关数学知识进行复习的时候，对三角形中的某一条中线与三角形的三边之间是否存在联系产生了极大的兴趣，本着对数学的热爱和积极探索的精神，他充分利用已有的知识经验和数学思想，对某一条中线和三角形的三边关系展开了以下探究： 在中，是边的中线，尝试着探索这四条线段是否存在某种联系？ 要找到四条线段的关系，首先要把四条线段之间逐步建立某种数量联系，于是小嘉立刻想到利用勾股定理将其中的几条线段进行联系： 如图①，首先，过点A作边的垂线，垂足为E，则可以得到： ；① ；② 由以上两式，可以看到这四条线段在计算关系时已出现三条，于是聪明的小嘉想到，，而，所以果断将①式+②式，得到：…… （1）接下来，根据已有提示，请你帮忙整理出这四条线段的数量关系；得出结论后，小嘉为自己新的发现感到很兴奋，回家后立刻查阅资料，发现自己刚才发现的是一条很有名的定理：该定理准确的描述了任一三角形的一条中线两侧所对边的平方和与该中线及底边之间的具体关系，其被称作中线长定理（也叫阿波罗尼奥斯定理）．小嘉很高兴自己在课堂之外产生的收获，便将该定理也分享给了自己的好朋友贾许，贾许也酷爱数学，在自己推算并总结结论后发现该定理用在平行四边形上时可以得出平行四边形的两条对角线与其四条边之间的数量关系： （2）如图②：在中，对角线交于点O，试说明之间存在的数量关系； （3）数学兴趣小组针对以上结论，开展以下迁移应用：如图③，在平面直角坐标系中，点、点，问：x轴上是否存在一点P，使得有最小值，若存在求出点P坐标及最小值，若不存在，请说明理由； （4）在中，对角线交于点O，取的中点H，连接，已知，，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇市2023-2024学年度下学期期末质量检测卷 八年级数学 命题人：熊达力（市实验学校） 石方义（田家炳外国语学校） 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如果，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．据此逐项判断求解即可． 【详解】解：A、如果，则，故原不等式不成立，不符合题意； B、如果，则，故原不等式不成立，不符合题意； C、如果，则，故原不等式不成立，不符合题意； D、如果，则，故原不等式一定成立，符合题意， 故选：D． 2. 北京时间2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，中国开启人类首次月球背面采样．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图标是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图标是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图标既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意； D中图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，根据分式的加减运算法则正确求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 4. 下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键．利用完全平方公式和平方差公式进行逐项判断即可． 【详解】解：A、在实数范围内不能用公式法因式分解，符合题意； B、，在实数范围内能用完全平方公式因式分解，不符合题意； C、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； D、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在平行四边形中，的角平分线交的延长线于点E，交于点F，连接，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解答的关键．根据平行四边形的性质，结合角平分线的定义和平行线的性质推导出，再利用等腰三角形的判定得到，，，进而可逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵平分， ∴，又， ∴， ∴，，， ∴，， 故选项A、C、D中判断正确，不符合题意， 因为无法证明，故选项B中判断错误，符合题意， 故选：B． 6. 已知两个分式：，进行以下运算操作：（为方便描述，将记作，将记作） 操作一：将两分式相加结果记作，相减结果记作；（即，） 操作二：将，相加结果记作；，相减结果记作（即，）； 操作三：将，相加结果记作；，相减结果记作…（以此类推） 将每一次的操作结果再不断进行相加、相减操作，通过操作，有以下结论： ①；②恒成立；③恒成立；④，⑤当时，；（注：以上结论中n均为正整数）· 以上说法中，正确的个数为（ ）· A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了与分式有关的规律探索，根据题意分别求出，，，，，……，进而得到规律，，，，据此规律逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∴，， ……， 以此类推可得，，，， ∴， ∴，故①错误； ∵，， ∴恒成立，故②正确； ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴且，即， ∴恒成立，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 当时，则， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，故⑤正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式： ______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法与公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式法与公式法进行因式分解是解题的关键． 综合提公因式法与公式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 8. 已知分式，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分母不为0，分子为0进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 9. 在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵直线与直线交于点A，点A的横坐标为1， ∴关于x的不等式，即不等式的解集是， 故答案为：． 10. 如图1是我国唯一一座没有红绿灯的城市，有“八卦城”之称的新疆伊犁特克斯．图2是该城市中心街道的示意图，其主体是一个正八边形，则______°． 【答案】67.5 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，利用正n多边形的一个内角等于求得正八边形的一个内角即可求解． 【详解】解：正八边形的一个内角为， ∴， 故答案为：67.5． 11. 在中，，，点P为边上一动点，连接，以为边作，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，设交于O，过点O作于D，先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，再由平行四边形的性质得到，求出，则由垂线段最短可得当点P与点D重合时，有最小值，即此时有最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，设交于O，过点O作于D， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，， 由垂线段最短可知，当点P与点D重合时，有最小值，即此时有最小值，最小值为， 故答案为：3． 12. 已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有______． 【答案】2，3，5 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，先根据分式的性质化简分式，然后根据题意得到x的取值，进而可求解． 【详解】解： ， ∵x为整数，且分式即的值为正整数， ∴x可取的值有2，3，5， 故答案为：2，3，5． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先去分母化为整式方程，然后解整式方程，注意结果要检验； （2）先求得每个不等式的解集，求出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2）解不等式组， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 14. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法后约分化简，再利用整体代入法化简求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 15. 如图，四边形为平行四边形，对角线交于点O，，且，求平行四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，先由平行四边形的性质得到，再由勾股定理得到，据此根据平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 如图，四边形为平行四边形，点E为边延长线上一点，连接．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图． （1）如图1，若，在上找一点F，使点F为的中点； （2）如图2，点，在平面内找一点G，使与全等． 【答案】（1）如图所示， （2）如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等等： （1）如图所示，连接交于O，连接交于G，连接并延长交于F，点F即为所求； （2）如图所示，连接交于O，连接并延长交延长线于G，连接，点G即为所求． 【小问1详解】 解：连接交于O，连接交于G，连接并延长交于F，点F即为所求； 易证明点G为三条中线的交点，则点F即为所求； 【小问2详解】 解：连接交于O，连接并延长交延长线于G，连接，点G即为所求； 易证明，则，据此易证明． 17. 如图，在四边形中，． （1）若与的角平分线交于点O．求的度数； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和问题，熟知四边形的内角和为是解答的关键． （1）根据四边形的内角和为求得，再根据角平分线定义求得，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）根据四边形的内角和为求得，设，，则，，进而可求得，然后利用三角形的内角和定理求解即可； 【小问1详解】 解：∵在四边形中，， ∴， ∵与的角平分线交于点O， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， 设，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采用按月用水量收费办法，若某户居民应缴水费y（单位：元）与用水量x（单位：吨）的函数关系如图所示． （1）请你写出应缴水费y（单位：元）与用水量x（单位：吨）的函数关系式； （2）若某用户该月用水21吨，应缴水费多少元？ 【答案】（1） （2）42元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）分当时，当时，两种情况利用待定系数法求解即可； （2）把把代入中求出对应的y的值即可． 【小问1详解】 解：设当时，， 把代入中得：，解得， ∴； 设当时，， 把和代入得：， 解得， ∴； 综上所述， 【小问2详解】 解：∵， ∴把代入中得：， 答：若某用户该月用水21吨，应缴水费42元． 19. （1）如图①，在四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，求证：四边形为平行四边形． （2）如图②，已知的中线交于点O（点O即为的重心）．若点F、G分别为的中点，，连接，求的长． 【答案】（1）证明： 如图所示，连接， ∵分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理： （1）连接，由三角形中位线定理得到，，进而得到，则可证明四边形为平行四边形． （2）由三角形中位线定理得到，，则，进而证明四边形是平行四边形，得到，则． 【详解】解：（1）略 （2）∵是的两条中线， ∴是的中位线， ∴， ∵F、G分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 20. 已知． （1）分式的分子、分母都加1，所得的分式的值______（填：增大、不变、减小） （2）将分式的分子、分母都加c，所得的分式的值会如何变化？说说你的理由． 【答案】（1）增大 （2） 解：当或时，的值变大；当时，得值不变；当时，的值变小， 理由如下： 由题意，， ， ∵， ∴， 当时，； 当时，，， ∴，即， ∴； 当时，，， ∴，即， ∴； 当时，，， ∴，即， ∴； 综上，当或时，的值变大；当时，得值不变；当时，的值变小． 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，利用作差法比较代数式的大小是解答的关键． （1）作差，然后利用分式加减运算法则化简，再与0比较大小即可得出结论； （2）同理，作差，然后利用分式加减运算法则化简，再分情况讨论与0比较大小即可得出结论； 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：增大； 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 马超同学在学习物理第七章第二节《怎样比较运动的快慢》时，遇到一个这样的问题：甲、乙两地之间为一座山丘，一同学从甲地到乙地先上坡再下坡，上坡速度为，下坡速度为，上坡和下坡路程相等，则这位同学从甲地到乙地的平均速度为多少？马超经过计算得出平均速度为．聪明的马超对公式进行变形得到，他马上联想到数学中也有类似变形，例如，，通过查阅资料知道了这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．请你利用上述方法，解决以下问题： （1）计算：______； （2）解方程：； （3）若分式方程有增根，求m的值． 【答案】（1） （2） （3）4或8 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解分式方程： （1）根据题意把所求式子裂项求解即可； （2）把裂项变成，再化简解分式方程即可； （3）先把式子，裂项变成，，再化简得到，再根据分式方程有增根进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵原方程有增根， ∴当时，， 当时，， 当时，（舍去） 综上所述，m的值为4或8． 22. 例：对多项式分解因式时有一个因式为，求m的值及另一个因式． 解：由题意可知，当时，，代入原式，得， ∴原多项式即为对进行因式分解； 利用因式分解与整式乘法的关系，可得， 综上得：，另一个因式为． 以上求m的方法叫作“试根法”，该方法最先由数学家韦达发现并加以应用． 请你根据以上方法解决下列问题： （1）已知二次三项式有一个因式为，则______； （2）若分解因式后，有两个因式和，求的值； （3）无论k取何值，点满足方程恒成立，求关于x的不等式：的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，解二元一次方程组，求一元一次不等式的解集： （1）根据题意可得当时，，即当时，，据此求解即可； （2）根据题意可得当时，，当时，，则，解方程组即可得到答案； （3）根据题意得到，无论k取何值，点满足方程恒成立，则，据此求出m、n的值，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵二次三项式有一个因式为， ∴当时，， ∴当时，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵分解因式后，有两个因式和， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴得， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵无论k取何值，点满足方程恒成立， ∴， 解得， ∴不等式，即为不等式， ∴． 六、（本大题1小题，共12分） 23. 八年级的郭小嘉同学在对已学的相关数学知识进行复习的时候，对三角形中的某一条中线与三角形的三边之间是否存在联系产生了极大的兴趣，本着对数学的热爱和积极探索的精神，他充分利用已有的知识经验和数学思想，对某一条中线和三角形的三边关系展开了以下探究： 在中，是边的中线，尝试着探索这四条线段是否存在某种联系？ 要找到四条线段的关系，首先要把四条线段之间逐步建立某种数量联系，于是小嘉立刻想到利用勾股定理将其中的几条线段进行联系： 如图①，首先，过点A作边的垂线，垂足为E，则可以得到： ；① ；② 由以上两式，可以看到这四条线段在计算关系时已出现三条，于是聪明的小嘉想到，，而，所以果断将①式+②式，得到：…… （1）接下来，根据已有提示，请你帮忙整理出这四条线段的数量关系；得出结论后，小嘉为自己新的发现感到很兴奋，回家后立刻查阅资料，发现自己刚才发现的是一条很有名的定理：该定理准确的描述了任一三角形的一条中线两侧所对边的平方和与该中线及底边之间的具体关系，其被称作中线长定理（也叫阿波罗尼奥斯定理）．小嘉很高兴自己在课堂之外产生的收获，便将该定理也分享给了自己的好朋友贾许，贾许也酷爱数学，在自己推算并总结结论后发现该定理用在平行四边形上时可以得出平行四边形的两条对角线与其四条边之间的数量关系： （2）如图②：在中，对角线交于点O，试说明之间存在的数量关系； （3）数学兴趣小组针对以上结论，开展以下迁移应用：如图③，在平面直角坐标系中，点、点，问：x轴上是否存在一点P，使得有最小值，若存在求出点P坐标及最小值，若不存在，请说明理由； （4）在中，对角线交于点O，取的中点H，连接，已知，，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）100 （4）6 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，坐标与图形： （1）先把原式变形为，据此去括号化简即可得到结论； （2）先由平行四边形的性质得到，再由（1）的结论得到，，两式相加即可得到答案； （3）连接，取中点C，连接，则，由（1）的结论可知，则当最小时，最小，由垂线段最短可知，当轴，最小，即此时点P的坐标为，，据此可得答案； （4）先由平行四边形的性质得到， 由（1）的结论可知，则；由（2）的结论可知，则，可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，由（1）的结论可得， 在中，由（1）的结论可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，连接，取中点C，连接， ∵点、点， ∴， 由（1）的结论可知， ∴， ∴当最小时，最小， 由垂线段最短可知，当轴，最小，即此时点P的坐标为，， ∴， ∴的最小值为100； 【小问4详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点H为的中点， ∴由（1）的结论可知， ∴， ∴； 由（2）的结论可知， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $