精品解析：河南省开封市第三十三中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年开封市鼓楼区第三十三中学八年级下册数学期末 一、单选题（共30分） 1. 春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个容器装有1升水，按照如下方法把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出水量是升，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的，…，第次倒出水量是升的．按照这种倒水的方法，次倒出的水量共为（ ） A. 1升 B. 升 C. 升 D. 升 4. 如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 5. 如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是( ) A. 关于x的方程的解是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 6. 在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C的右侧）在x轴上移动，y轴上的点A、B坐标分别为、，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 4 9. 2023年10月8日，第十九届杭州亚运会圆满结束．各国参赛代表团在激烈的比赛中展现了出色的实力．中国体育代表团在本届亚运会上，收获了201枚金牌，取得了亚运会参赛历史最好成绩，中国成为首个在单届亚运会上获得200枚以上金牌的国家．现将我国近六届亚运会的金牌数统计如下，在这组数据中，金牌数的中位数是（ ） A. 155 B. 158 C. 165 D. 199 10. 如图1，已知A，B是反比例函数（，）图像上的两点，轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作轴，垂足为M．设三角形的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图像大致如图2，则k的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 二、填空题（共15分） 11. 计算： ____________． 12. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 13. 如图，平面直角坐标系中有一，点的坐标为，点的坐标为，若以点为圆心，为半径画弧交轴于点，则点的坐标为______（带根号表示）． 14. 如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________． 15. 如图，正方形边长为6，点E为边中点，连接，将沿翻折得到，延长交于点G，则长为______． 三、解答题（共75分） 16. 化简，再从，1，3中选择一个合适的数代入求值． 17. “珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是______米． （2）小明在书店停留了______分钟． （3）本次上学途中，小明一共行驶了______米，一共用了______分钟． （4）我们以为骑单车的速度超过米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 18. 如图，直线解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． （1）求直线的解析式； （2）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，求出点的坐标； （3）若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 人教版数学八年级下册教材的数学活动—折纸，引起许多同学的兴趣．实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开：以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处，把纸片展开，连接． （1）求； （2）如图②，折叠矩形纸片，使点A落在边上点处，并且折痕交边于点T，交边于点S．把纸片展开，连接交于点O，连接．求证：四边形是菱形． 20. 如图，点是正方形的边上一点，将顺时针旋转至的位置． （1）旋转中心是 点，旋转角度是 度； （2）若正方形边长为6，，求的长． 21. 为了让广大青少年学生走向操场、走进自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，我国启动了“全国亿万学生阳光体育运动”短跑运动可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组.在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中所示解答以下问题． （1）请根据图中信息，补齐下面的表格； 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 张明 ________ 王明 ________ （2）从图中看，张明与王明哪次的成绩最好？ （3）分别计算他们的平均数和方差，若你是他们的教练，将张明与王明的成绩比较后，你将分别给予他们怎样的建议？ 22. 2023年12月8日，中国国际轨道交通和装备制造产业博览会在株洲国际会展中心开幕，株洲为此次展出推出30多款具有株洲特色的文创产品.某商家用3200元购进了一批文创品，上市后供不应求：商家又用7200元购进了第二批这种文创品，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件贵了10元 （1）该商家购进的第一批文创品单价是多少元? （2）若两批文创品按相同的标价销售，最后剩下20件按标价八折优惠卖出，若两批文创品全部售完利润不低于3520元（不考虑其他因素），那么每件文创品的标价至少是多少元? 23. 综合与实践： 问题情境：数学课上，小广和小都两位同学利用三角板操作探究图形的旋转问题． 操作探究：小广将两块全等的含角的直角三角板按如图①方式在平面内放置，其中两锐角顶点重合于点，，已知长，则点、之间的距离为______． 操作探究：小都将两块全等的含角的直角三角板按如图②方式在平面内放置． 其中两个角顶点重合于点，与重合，已知长，请你帮小都同学求出此时点、之间距离； 操作探究：随后，小将图②中的换成了含角的三角板，同相是顶点重合于点，与重合，已知直角边与长均为，他还想求点，之间距离，小广提出，如果把三角板也换成了含角的三角板，并利用旋转的知识，结论将更容易得到，你能求出此时点，之间的距离吗？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年开封市鼓楼区第三十三中学八年级下册数学期末 一、单选题（共30分） 1. 春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．求出原计划用的天数，再求出实际用的天数，作差即可． 【详解】解：由题意得，原计划用的天数为天，实际用的天数为天， 这些消毒液提前天用完． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式，分式的乘法，同底数幂的除法，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式，分式的乘法，分式的性质，同底数幂的除法，掌握以上知识是解题的关键． 3. 一个容器装有1升水，按照如下方法把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的，…，第次倒出水量是升的．按照这种倒水的方法，次倒出的水量共为（ ） A. 1升 B. 升 C. 升 D. 升 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查根据题意列代数式，分式加减运算，列出代数式，裂项求和，是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： = = =（升）， 即次倒出的水量共为升． 故选：B． 4. 如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的概念求解即可． 【详解】①：由题意可知，对于注水量的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，所以V是自变量，S是因变量，所以S是V的函数，符合题意； ②：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函数，不符合题意； ③：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函数，不符合题意； ④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，h是自变量，S是因变量，所以S是h的函数，符合题意； 所以正确的序号有①④， 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟记函数的概念． 5. 如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是( ) A. 关于x的方程的解是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C的右侧）在x轴上移动，y轴上的点A、B坐标分别为、，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查最短路径问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质，坐标与图形的性质，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质，勾股定理． 作关于轴的对称点，再过作轴且，连接交轴于点，过作交轴于点，得到四边形为平行四边形，故可知最短等于的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】作关于轴的对称点， 过作轴且，则， 连接交轴与点, 过作交轴于点， 四边形为平行四边形， 此时最短等于的长， 即 故选：C． 7. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质和折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及间接法求三角形的面积，解题的关键是利用勾股定理正确求出BF的长度． 先证明，得到，设，则，根据勾股定理，求出x，然后利用的面积减去的面积，即可得到答案． 【详解】解：由折叠和矩形的性质可知，，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得： ， 解得：， ∴； 故选：C． 8. 如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．由菱形的性质和勾股定理，得出，证明四边形是矩形，得到，当时，有最小值，利用三角形面积公式，求出的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，． ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值， ， ， 的最小值为2.4， 故选：A． 9. 2023年10月8日，第十九届杭州亚运会圆满结束．各国参赛代表团在激烈的比赛中展现了出色的实力．中国体育代表团在本届亚运会上，收获了201枚金牌，取得了亚运会参赛历史最好成绩，中国成为首个在单届亚运会上获得200枚以上金牌的国家．现将我国近六届亚运会的金牌数统计如下，在这组数据中，金牌数的中位数是（ ） A. 155 B. 158 C. 165 D. 199 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，熟记中位数的定义是解题关键．根据中位数的定义求解即可得． 【详解】解：将这组数据从小到大进行排序为，第3个数和第4个数的平均数即为中位数， 则在这组数据中，金牌数的中位数是， 故选：B． 10. 如图1，已知A，B是反比例函数（，）图像上的两点，轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作轴，垂足为M．设三角形的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图像大致如图2，则k的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】当点P在上运动时，此时S随t的增大而增大，当点P从点A到点B的过程中，三角形的面积S是定值，再根据此时的面积为4，列式计算，即可求解． 【详解】解：由图1可知，点P从点A到点B的过程中，三角形的面积S是定值， 由图2可知：点P从点A到点B的过程中，， ， 解得：， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义及反比例函数的性质，动点问题的函数图象，解题的关键是从函数图象获取相关信息． 二、填空题（共15分） 11. 计算： ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 详解】解：， 故答案为：． 12. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，平面直角坐标系中有一，点的坐标为，点的坐标为，若以点为圆心，为半径画弧交轴于点，则点的坐标为______（带根号表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理的应用，根据题意可得，，，根据勾股定理得到，继而根据得到的长，可得结论．掌握勾股定理及确定点的坐标的方法是解题的关键． 【详解】解：∵在，点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、平行线的性质，由平行四边形的性质得，，再由由折叠的性质得，，，，根据平行线的性质得，进而得，再根据，利用等量代换求得，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形边长为6，点E为边的中点，连接，将沿翻折得到，延长交于点G，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；先判定，即可得出，设为，则，，，由勾股定理得：，解方程得出的值，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 由折叠可得，，，， ， 是的中点， ， ， 又， ， ， 设为，则，，， 由勾股定理得：， 即， 解得． ， ． 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 化简，再从，1，3中选择一个合适的数代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值；熟知运算法则是正确解答此题的关键． 先根据异分母分式的减法法则计算，再将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，最后进行约分化简；再选择使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ， 当时，原式． 17. “珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是______米． （2）小明在书店停留了______分钟． （3）本次上学途中，小明一共行驶了______米，一共用了______分钟． （4）我们以为骑单车的速度超过米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 【答案】（1） （2）4 （3）， （4）分钟内，骑车速度最快，速度不在安全限度内 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，有理数的运算．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． （1）由图象可知，小明家到学校的路程是米； （2）由图象可知，根据，计算求解即可； （3）由题意知，根据路程为米，时间为分，计算求解即可； （4）由题意知，分钟内，骑车速度为（米/分钟）；分钟内，骑车速度为（米/分钟）；分钟内，骑车速度为（米/分钟）；由，判断作答即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，小明家到学校的路程是（米）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图象可知，小明在书店停留了（分钟）， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：由题意知，本次上学途中，小明一共行驶了 （米），一共用了（分钟）， 故答案为：，； 【小问4详解】 解：由题意知，分钟内，骑车速度为（米/分钟）； 分钟内，骑车速度为（米/分钟）； 分钟内，骑车速度为（米/分钟）； ∵， ∴分钟内，骑车速度最快，速度不在安全限度内． 18. 如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． （1）求直线的解析式； （2）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，求出点的坐标； （3）若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或或，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意，设直线的解析式为，把点，代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数与坐标轴的交点，分别求出的坐标，根据几何图形面积的计算方法即可求解； （3）根据平行四边形判定和性质，图形几何分析即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线经过点，，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：直线的解析表达式为：， ∴令时，；令时，； ∴， ∵直线的解析式为：， ∴令时，；令时，； ∴， 联立直线，得， ， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 设， ∴， 解得，， ∵异于点的另一点，且， ∴，即； 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或或，理由如下， 如图所示，，，， 根据题意，四边形，四边形，四边形为平行四边形， ∴的中点坐标的横坐标为，纵坐标为0， ∴设， ∴，， 解得，， ∴； ∵， ∴， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴； 同理，的横坐标为，纵坐标为， ∴； 综上所述，存在，点的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质，平行四边形的判定和性质，几何图形面积的计算方法，一次函数交点与二元一次方程组的运用，掌握一次函数图象，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 19. 人教版数学八年级下册教材数学活动—折纸，引起许多同学的兴趣．实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开：以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处，把纸片展开，连接． （1）求； （2）如图②，折叠矩形纸片，使点A落在边上点处，并且折痕交边于点T，交边于点S．把纸片展开，连接交于点O，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）60° （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． （1）由折叠可知垂直平分，，，由垂直平分线的性质可得，进而得到，则为等边三角形，，由三角形内角定理求得，于是，代入计算即可求解； （2）由折叠可知，，由平行线的性质可得，，以此可通过证明，得到，由对角线互相垂直平分的四边形为菱形即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴垂直平分， ∴， ∵以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处， ∴，， ∴， ∴等边三角形，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵折叠矩形纸片，使点A落在边上点处， ∴垂直平分，， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． 20. 如图，点是正方形的边上一点，将顺时针旋转至的位置． （1）旋转中心是 点，旋转角度是 度； （2）若正方形边长为6，，求的长． 【答案】（1）A，90 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的相关定义，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形四边相等，四个角都是直角；旋转前后对应边相等，对应角相等；以及勾股定理． （1）根据正方形的性质和旋转的性质，即可解答； （2）根据旋转的性质得出进而得出，，最后根据勾股定理，即可解答． 【小问1详解】 解：∵顺时针旋转至的位置，四边形为正方形， ∴旋转中心是点A，旋转角度为， 故答案：A，90； 【小问2详解】 解：∵顾时针旋转至的位置，四边形为正方形， ∴， ∴，即点F、B、C三点共线， ∵正方形边长为6， ∴， ∴，， 根据勾股定理可得：． 21. 为了让广大青少年学生走向操场、走进自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，我国启动了“全国亿万学生阳光体育运动”短跑运动可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组.在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中所示解答以下问题． （1）请根据图中信息，补齐下面的表格； 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 张明 ________ 王明 ________ （2）从图中看，张明与王明哪次成绩最好？ （3）分别计算他们的平均数和方差，若你是他们的教练，将张明与王明的成绩比较后，你将分别给予他们怎样的建议？ 【答案】（1）张明，王明； （2）张明第2次成绩最好，王明第4次成绩最好； （3）张明平均数：，方差为：；王明平均数为：，方差为：；建议张明加强锻炼，提高爆发力，提高短跑成绩；建议王明总结经验，找出成绩忽高忽低的原因，在稳定中求提高． 【解析】 【分析】本题考查求平均数和方差．找出题干中必要的数据和信息是解题的关键． （1）根据折线统计图即可直接补全表格； （2）根据表格即可直接得出张明与王明的最好成绩是第几次； （3）根据平均数和方差的计算公式分别计算出张明和王明的平均成绩和方差，再给出合理建议即可． 【小问1详解】 解：由题知，张明第4次成绩，王明第2次成绩； 故答案为：张明13.2，王明13.4． 【小问2详解】 解：由折线统计图可知，张明第2次成绩最好，王明第4次成绩最好； 【小问3详解】 解：张明成绩的平均数为， 张明成绩的方差为， 王明成绩的平均数为， 王明成绩的方差为， ， 建议张明加强锻炼，提高爆发力，提高短跑成绩；建议王明总结经验，找出成绩忽高忽低的原因，在稳定中求提高． 22. 2023年12月8日，中国国际轨道交通和装备制造产业博览会在株洲国际会展中心开幕，株洲为此次展出推出30多款具有株洲特色的文创产品.某商家用3200元购进了一批文创品，上市后供不应求：商家又用7200元购进了第二批这种文创品，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件贵了10元 （1）该商家购进的第一批文创品单价是多少元? （2）若两批文创品按相同的标价销售，最后剩下20件按标价八折优惠卖出，若两批文创品全部售完利润不低于3520元（不考虑其他因素），那么每件文创品的标价至少是多少元? 【答案】（1）该商家购进的第一批纪念衫单价是80元 （2）每件纪念衫的标价至少是120元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用： （1）设该商家购进的第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是元，根据购进了第二批这种纪念衫数量是第一批购进量的2倍列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）根据（1）得：第一批数量为40件，第二批为80件，设每件纪念衫的标价是y元，由题意列出不等式，求出不等式的解集确定出y的最小值即可． 【小问1详解】 解：设该商家购进的第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， 则该商家购进的第一批纪念衫单价是80元； 【小问2详解】 解：根据（1）得：第一批数量为40件，第二批为80件， 设每件纪念衫的标价是y元， 根据题意得：， 解得：， 则每件纪念衫的标价至少是120元． 23. 综合与实践： 问题情境：数学课上，小广和小都两位同学利用三角板操作探究图形的旋转问题． 操作探究：小广将两块全等的含角的直角三角板按如图①方式在平面内放置，其中两锐角顶点重合于点，，已知长，则点、之间的距离为______． 操作探究：小都将两块全等的含角的直角三角板按如图②方式在平面内放置． 其中两个角顶点重合于点，与重合，已知长，请你帮小都同学求出此时点、之间的距离； 操作探究：随后，小将图②中的换成了含角的三角板，同相是顶点重合于点，与重合，已知直角边与长均为，他还想求点，之间距离，小广提出，如果把三角板也换成了含角的三角板，并利用旋转的知识，结论将更容易得到，你能求出此时点，之间的距离吗？ 【答案】操作探究1：；操作探究2：；操作探究3：能，cm． 【解析】 【分析】操作探究：连接证明四边形为正方形，根据已知可得、、三点共线结合已知条件，由勾股定理在直角三角形中可求得的长； 操作探究：连接.由已知条件可得三角形为正三角形，进而得，，则，在直角三角形中，根据勾股定理可得的长； 操作探究：过作的延长线于点，过作的延长线于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质可得，连接，可证明三角形全等于三角形，则，进而得三角形为等腰直角三角形，在直角三角形中可得的长，充分利用直角三角形中度角对的直角边等斜边的一半的性质．利用等腰直角三角形中斜边等于直角边的倍即可解决． 【详解】操作探究：解：连接， ，，， 且， 四边形是正方形， ，，， ， 、、三点共线， ， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， ， 解得：（负值舍去）， 故答案为：； 操作探究：连接， ，， 是等边三角形， ，， 在中，，， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：（负值舍去）； 操作探究：过作的延长线于点，过作的延长线于点， ， 四边形是矩形， ， 连接， 为中点且， ， ，即 ， ， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得：或舍去， ， ， 是等腰直角三角形， ； 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，度角所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形中，斜边等于直角边的倍，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形全等的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $