精品解析：河南省鹤壁市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年下期期末教学质量调研测试 八年级数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息．然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分．共30分） 1. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2. 纳秒是非常小的时间单位．1纳秒秒．我国北斗全球导航系统的授时精度忧于20纳秒，用科学记数法表示20纳秒为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．先把20纳秒化为秒，再利用科学记数法表示，科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往右移动到2的后面，所以． 【详解】解：20纳秒 ， 故选：C． 3. 如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（ ） A. 的度数 B. 的长度 C. 的面积 D. 的长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答即可． 【详解】解：在转动过程中，的度数，的面积，的长度都在变化，属于变量， ∴常量为的长度． 4. 每年的6月1日还是“世界牛奶日”，牛奶是营养全面的食物，被科学家们称为“最接近完善的食品”．小明随机调查了本校八年级30名同学近两周每人饮用牛奶的数量，数据如下表： 每人饮用牛妈的数量/升 1 1.5 2 2.5 3 人数 3 5 7 10 5 则饮用牛奶数量约中位数和众数分别是（ ） A. 7人，10人 B. 升，升 C. 升，升 D. 升，3升 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数和众数的定义，掌握平均数、中位数和众数的概念是解题的关键． 根据中位数，众数的定义即可解答．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或者两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：中位数为第15个和第16个的平均数为：； 数据中出现的次数最多，即众数为． 故选：B． 5. 如图所示，在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质是解决问题的关键．根据平行四边形的性质得到，，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ，， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 对于一次函数的性质．下列描述错误的是（ ） A. 函数图象经过第一、二、四象限 B. y随x的增大而减小 C. 图象可从由直线向上平移3个单位长度得到 D. 图象与y轴的交点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质、一次函数的平移等知识点，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐项分析即可解答． 【详解】解：A、由，，则函数图象过第一、二、四象限，原描述正确，不符合题意； B、由，则 y随x的增大而减小，原描述正确，不符合题意； C、直线向上平移3个单位得到，原描述正确，不符合题意； D、当时，，即图象经过点，原描述错误，符合题意． 故选：D． 7. 某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵25元．根据题意可列方程，则方程中x表示（ ） A. 篮球的数量 B. 足球的数量 C. 篮球的单价 D. 足球的单价 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找出等量关系，即可解题． 【详解】解：设篮球的数量为个，足球的数量为个， 根据题意可得， 表示的是篮球的数量， 故选：A． 8. 已知反比例函数点，则下列描述不正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象必经过点 C. 图象位于第二、四象限 D. 图象不可能与坐标轴相交 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．， 在每一个象限内，随的增大而增大，故错误，符合题意． B．， 图象必经过点，故正确，不符合题意； C．， 图象位于第二、第四象限，故正确，不符合题意； D．∵自变量，且， 图象不可能与坐标轴相交，故正确，不符合题意； 故选：A． 9. 如图所示，四边形是边长为2的正方形，是正三角形，连接和，则的面积是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过P作于E，于F，证四边形是矩形，得出，由等边三角形的性质和勾股定理求出的长，找到，进行求解即可． 【详解】解：如图所示：过P作于E，于F， 则， ∵正方形的边长是2，为等边三角形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理及三角形面积等知识；解决本题的关键是找到． 10. 如图所示，等边三角形的边长为10cm，射线，点E从点A出发沿射线：以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（ ） A. 2或3 B. 2或5 C. 5或10 D. 2或10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．分别从当点在的左侧时与当点在的右侧时去分析，由当时，以、、、为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：①当点在的左侧时，根据题意得：，， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点在的右侧时，根据题意得：，， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； 综上可得：当或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运用，已知代数式的值求值，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 根据分式的加减进行运算，整体代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故答案为： ． 12. 写出一个图象经过第一、三象限的函数，其表达式为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，当时，图象过第一，三象限，当时，图象过第二，四象限，即可解答． 【详解】解： 经过第一、三象限的函数可以是， 故答案为：（答案不唯一） 13. 如图所示，四边形是矩形，的平分线交的延长线于点E．若，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，弄清各线段间的关系成为解题的关键． 如图：根据矩形的性质和角平分线的性质推知，则，所以在直角中，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图：∵四边形是矩形，     ∴． ∴． 又∵的平分线交的延长线于点E， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴，即，解得． 故答案为4. 14. 甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为___（填或）． 【答案】 【解析】 【分析】根据气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小，即可求解． 【详解】解：观察平均气温统计图得：乙地的平均气温比较稳定，波动较小； ∴乙地的日平均气温的方差小， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题的关键． 15. 如图所示，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．若，当点C恰好是的中点时，_______． 【答案】10 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，过点D作于点G，根据角平分线的性质证明，进而可证四边形是正方形；证明，，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 过点D作于点G ∵平分， ∴， 同理可得：， ∴四边形是正方形； ， ∴， ∵点C为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，实数的混合运算和分式的加减运算等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的运算法则进行计算是解此题的关键． （1）先根据立方根的定义，负整数幂和零指数幂进行计算，再算加减即可； （2）先根据异分母分式的减法法则结合平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17. 如图，在中，点，在对角线上，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：四边形为平行四边形， ，，， ． ，， ． ． ． （2）证明：由（1）得， ． ，， ． ． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件求证，最后证明即可求出答案． （2）根据三角形全等证明角度相等，再利用邻补角定义推出即可证明两直线平行． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图所示，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点． （1）求m的值和该反比例函数的解析式； （2）当时，请根据图象直接写出的x的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法； （1）先确定出点坐标，再代入反比例函数解析式中，即可得出结论； （2）利用数形结合的思想求解． 【小问1详解】 解：点在一次函数的图象上， 把点坐标代入，得， 点的坐标是， ∵反比例函数的解析式为， 把点的坐标代入得，， 解得， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，如下图： 满足的x的取值范围为：． 19. 某校根据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指导学生积极参加劳动教育．该校八年级数学兴趣小组利用课后时间，对本年级学生一周参加家庭劳动次数情况开展了一项调查研究．请将下面的过程补充完整． 【收集数据】 通过问卷调查，兴趣小组获得了20名同学每人一周参加家庭劳动的次数如下： 3 1 2 2 4 3 3 2 3 4 3 4 0 5 5 2 6 4 6 3 【整理、描述数据】 频数分布表 分组 频数/人数 2 10 6 m 【分析数据】 平均数/次 中位数/次 众数/次 3.25 a 3 请根据以上信息，回答下列问题： （1）兴趣小组计划抽取该校八年级20名学生进行问卷调查，下面的抽取方法合理的是______； A．从该校八年级1班中随机抽取20名学生 B．从该校八年级女生中随机抽取20名学生 C．从该校八年级学生中随机抽取男、女各10名学生 （2）填空：______，______； （3）补全频数分布直方图； （4）该校八年级现有500名学生，请估计该校八年级学生一周参加劳动的次数达到平均水平及以上的学生人数； （5）根据以上数据分析，你还能得出什么结论？（写出一条即可） 【答案】（1）C （2）2，3 （3）见解 （4）200名 （5）有极个别学生一周内不参加家庭劳动．大多数学生能一周内参加家庭劳动次．（答案不唯一，合理即可．） 【解析】 【分析】此题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想来解答． （1）根据抽样调查的要求判断即可； （2）用被调查的总人数减去已知的数据即可求出m的值，根据中位数的定义即可求出a的值； （3）根据频数分布表的数据补全频数分布直方图即可； （4）用样本的比估计总体的比进行计算即可； （5）根据数据解答即可． 【小问1详解】 解：∵抽样调查的样本要具有代表性， ∴兴趣小组计划抽取该校八年级20名学生进行问卷调查，合理的是从该校八年级学生中随机抽取男、女各10名学生， 故选：C； 【小问2详解】 解：； ∵被抽取的20名学生每人一周参加家庭劳动的次数从小到大排列后为：0 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6 ，排在中间的两个数分别为3、3， ∴中位数，即； 【小问3详解】 解：由（2）知， 补全频数分布直方图如下： 【小问4详解】 解：解：由题意可知，被抽取的20名学生中达到平均水平及以上的学生人数有8人， （人）， 答：该校八年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生为200人； 【小问5详解】 解：有极个别学生一周内不参加家庭劳动．大多数学生能一周内参加家庭劳动次．（答案不唯一，合理即可．） 20. 在学习“可化为一元一次方程的分式方程”后，老师提出了如下问题，小明和小亮都列出了对应的方程 有甲、乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，乙队每天比甲队多修，求甲队每天修的路长． 小明： 小亮： 根据以上信息，回答下列问题： （1）小明所列方程，x表示______，列方程所依据的等量关系是______； （2）小亮所列方程，y表示______，列方程所依据的等量关系是______； （3）请你在两个方程中任选一个，完整解答本题． 【答案】（1）甲队每天修的路长，甲队修路800米与乙队修路1000米所用时间相等 （2）甲队修路所用的时间（或：乙队修路所用的时间）；乙队每天比甲队多修20米 （3） 解：小明： 经检验是原方程的解， 答：甲队每天修的路长为； 小亮： ， 经检验是原方程的解， 则， 答：甲队每天修的路长为． 【解析】 【分析】本题考查分式方程，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出等量关系式是解题的关键． （1）设甲队每天修的路为x米，则乙队每天修，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，以此数量关系列出两分式方程，即可解答； （2）设甲队修路，乙队修路所用时间为y天；乙队每天比甲队多修，以此数量关系列出分式方程，即可解答； （3）解出分式方程即可． 【小问1详解】 解：设甲队每天修的路为x米，则乙队每天修， 根据题意得：， 小明所列方程，x表示甲队每天修的路长，列方程所依据的等量关系是甲队修路与乙队修路所用的时间相等； 【小问2详解】 解：设甲队修路，乙队修路所用时间为y天； 根据题意得：， 小亮所列方程，y表示甲队修路所用的时间（或：乙队修路所用的时间），列方程所依据的等量关系是乙队每天比甲队多修； 【小问3详解】 略 21. 如图所示，在矩形中，点E是上一点，平分，交于点F，连接． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形和平行线的性质可证四边形是矩形，再证是等腰直角三角形可得，然后根据邻边相等的矩形是正方形即可证明结论； （2）根据等腰直角三角形的性质及勾股定理可得，进而求得，然后运用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ． 是直角三角形． ， ． ． 四边形是矩形． ∵平分， ． 是等腰直角三角形． ． 四边形是正方形． 【小问2详解】 解：由（1）知，，是等腰直角三角形，且， 在中， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 22. 近年来；市民交通安全意识逐步增强，骑行用头盔需求量持续增大．某生产厂家销售的甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元．某商店打算购进头盔共100顶，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每顶降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔的数量，那么应购买多少顶甲种头盔能使此次购买头盔的总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】应购买50顶甲种头盔，最少费用是5000元 【解析】 【分析】本题主要考查不等式及一次函数的应用，理解题意，设购买甲种头盔x顶，则购买乙种头盔顶，总费用为w元，确定，然后列出相应的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设购买甲种头盔x顶，则购买乙种头盔顶．根据题意，得 ，解得， 设总费用为y元，则 ， ， y随x的增大而增大，减小而减小， 当x取最小值时，y有最小值， 此时， 答：应购买50顶甲种头盔，最少费用是5000元． 23. 已知，在矩形中，，，在上取一点E，使，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点H落在边上，点G落在矩形内或其边上，若，的面积为S． （1）如图1，当四边形是正方形时，求x的值； （2）如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求出S与x的函数关系式并直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）①见解析；②， 【解析】 【分析】（1）证明，得，即可求解； （2）①连接，由矩形和菱形的性质，得，，从而得，，所以，即可得出结论； ②过点G作于M， 证明，得，，所以，当A、H重合时，，当点G在上时，，即可得x的取值范围为． 【小问1详解】 解：如图1， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①如图2，连接， ∵四边形为矩形，四边形为菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ②如图3，过点G作于M， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 当A、H重合时，则， ∵ ∴，即， 当点G在上时， ∵，，， ∴ 即 解得： ∴x的取值范围为． 【点睛】本题考查矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，一次函数的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年下期期末教学质量调研测试 八年级数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息．然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分．共30分） 1. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 纳秒是非常小的时间单位．1纳秒秒．我国北斗全球导航系统的授时精度忧于20纳秒，用科学记数法表示20纳秒为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 3. 如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（ ） A. 的度数 B. 的长度 C. 的面积 D. 的长度 4. 每年的6月1日还是“世界牛奶日”，牛奶是营养全面的食物，被科学家们称为“最接近完善的食品”．小明随机调查了本校八年级30名同学近两周每人饮用牛奶的数量，数据如下表： 每人饮用牛妈的数量/升 1 1.5 2 2.5 3 人数 3 5 7 10 5 则饮用牛奶数量约中位数和众数分别是（ ） A. 7人，10人 B. 升，升 C. 升，升 D. 升，3升 5. 如图所示，在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 对于一次函数的性质．下列描述错误的是（ ） A. 函数图象经过第一、二、四象限 B. y随x的增大而减小 C. 图象可从由直线向上平移3个单位长度得到 D. 图象与y轴的交点坐标为 7. 某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵25元．根据题意可列方程，则方程中x表示（ ） A. 篮球的数量 B. 足球的数量 C. 篮球的单价 D. 足球的单价 8. 已知反比例函数点，则下列描述不正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象必经过点 C. 图象位于第二、四象限 D. 图象不可能与坐标轴相交 9. 如图所示，四边形是边长为2的正方形，是正三角形，连接和，则的面积是（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图所示，等边三角形的边长为10cm，射线，点E从点A出发沿射线：以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（ ） A. 2或3 B. 2或5 C. 5或10 D. 2或10 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，，则的值为______． 12. 写出一个图象经过第一、三象限的函数，其表达式为______． 13. 如图所示，四边形是矩形，的平分线交的延长线于点E．若，，则的长为______． 14. 甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为___（填或）． 15. 如图所示，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．若，当点C恰好是的中点时，_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，在中，点，在对角线上，．求证： （1）； （2）． 18. 如图所示，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点． （1）求m的值和该反比例函数的解析式； （2）当时，请根据图象直接写出的x的取值范围． 19. 某校根据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指导学生积极参加劳动教育．该校八年级数学兴趣小组利用课后时间，对本年级学生一周参加家庭劳动次数情况开展了一项调查研究．请将下面的过程补充完整． 【收集数据】 通过问卷调查，兴趣小组获得了20名同学每人一周参加家庭劳动的次数如下： 3 1 2 2 4 3 3 2 3 4 3 4 0 5 5 2 6 4 6 3 【整理、描述数据】 频数分布表 分组 频数/人数 2 10 6 m 【分析数据】 平均数/次 中位数/次 众数/次 3.25 a 3 请根据以上信息，回答下列问题： （1）兴趣小组计划抽取该校八年级20名学生进行问卷调查，下面的抽取方法合理的是______； A．从该校八年级1班中随机抽取20名学生 B．从该校八年级女生中随机抽取20名学生 C．从该校八年级学生中随机抽取男、女各10名学生 （2）填空：______，______； （3）补全频数分布直方图； （4）该校八年级现有500名学生，请估计该校八年级学生一周参加劳动的次数达到平均水平及以上的学生人数； （5）根据以上数据分析，你还能得出什么结论？（写出一条即可） 20. 在学习“可化为一元一次方程的分式方程”后，老师提出了如下问题，小明和小亮都列出了对应的方程 有甲、乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，乙队每天比甲队多修，求甲队每天修的路长． 小明： 小亮： 根据以上信息，回答下列问题： （1）小明所列方程，x表示______，列方程所依据的等量关系是______； （2）小亮所列方程，y表示______，列方程所依据的等量关系是______； （3）请你在两个方程中任选一个，完整解答本题． 21. 如图所示，在矩形中，点E是上一点，平分，交于点F，连接． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求的长． 22. 近年来；市民交通安全意识逐步增强，骑行用头盔需求量持续增大．某生产厂家销售的甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元．某商店打算购进头盔共100顶，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每顶降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔的数量，那么应购买多少顶甲种头盔能使此次购买头盔的总费用最少？最少费用是多少元？ 23. 已知，在矩形中，，，在上取一点E，使，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点H落在边上，点G落在矩形内或其边上，若，的面积为S． （1）如图1，当四边形是正方形时，求x的值； （2）如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求出S与x的函数关系式并直接写出x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $