精品解析：福建省泉州市南星中学、泉港二中、晋江陈埭民族中学、福师大泉州附中四校联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

南星中学､泉港二中､晋江陈埭民族中学､福师大泉州附中四校联盟 2023-2024学年度下学期期中考高二年段数学学科试卷 考试时间：120分钟，满分150分 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1. 曲线在 处的切线与直线平行，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 二项式的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 3. 元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B为“取到的2个为事物谜”，则（ ） A. B. C. D. 4. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 20种 5. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（ ） -2 1 3 A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. 展开式中二项式系数最大项为第1012项 B. 展开式中所有项的系数和为1 C. D. 11. 已知函数在处取得极值，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数的图像与直线只有一个公共点 D. 对任意的 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设是等差数列的前 项和，若，则________. 13. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有__________种． 14. 近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单，某外卖小哥每天来往于r个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，…，r，其中），约定：每天他首先从1号外卖店取单，称为第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单，称为第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单．设事件表示“第k次取单恰好是从1号店取单（）”，是事件发生的概率，显然，，则______，与的关系式为______． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知是公差不为0的等差数列，若是等比数列的连续三项． （1）求数列的公比； （2）若，数列的前 和为且，求 的最小值． 16. 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球. （1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； （2）抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率； （3）在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率. 17. 已知函数（为常数） （1）讨论函数的单调性； （2）不等式在上有解，求实数的取值范围. 18. 某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有5kg），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 40 30 10 20 （1）若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率； （2）利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27元/kg；方案二：分等级出售，橙子价格如下表. 等级 珍品 特级 优级 一级 价格/（元∕kg） 36 30 24 18 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？ （3）用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的珍品的箱数，求X的分布列及均值. 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题． （1）证明：； （2）设，证明：； （3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南星中学､泉港二中､晋江陈埭民族中学､福师大泉州附中四校联盟 2023-2024学年度下学期期中考高二年段数学学科试卷 考试时间：120分钟，满分150分 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1. 曲线在 处的切线与直线平行，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，进而求导计算即可. 【详解】解：由得， 因为曲线在 处的切线与直线平行 所以，解得． 故选：C． 2. 二项式的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解. 【详解】由二项式定理可知，的展开式的通项为 ， 令，解得， 所以， 所以二项式的展开式中含项的系数为. 故选：B. 3. 元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B为“取到的2个为事物谜”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，， 所以， 故选：B. 4. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 20种 【答案】A 【解析】 【分析】利用捆绑法确定正确答案. 【详解】依题意，“礼”在第一次，固定， “射”和“御”两次相邻，两者捆绑，与另外艺进行排列， 所以“六艺”讲座不同的次序共有种， 故选：A 5. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式，先求出，再依二项分布的期望公式求出结果 【详解】， 即，所以，，故选A． 【点睛】本题主要考查二项分布的期望公式，记准公式是解题的关键． 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用组合数的性质求出的值，再利用组合数的性质可求得的值. 【详解】因为，则，解得， 故 . 故选：D. 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除选项C；利用特殊值排除选项A，利用导数判断函数的零点和单调性，排除选项B，可得答案． 【详解】，则是偶函数，图象关于 轴对称，排除C， 当且，，排除A， 当时，，则， ∵，，，则有两个不同的零点， 即当时，函数至少有三个单调区间，排除B， 故选：D． 8. 已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由是定义在上的偶函数，得出导函数为奇函数，再根据也是偶函数，两者联立求出，由的正负得出的单调性，再用单调性结合偶函数性质解题即可 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，，所以， 则， 又因为函数也是偶函数，所以，得， 因为为减函数，为增函数，所以为减函数， 令，得，所以时，在上单调递减， 根据偶函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以，即，即，得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（ ） -2 1 3 A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分布列的性质求得，再依次计算期望、方差、概率. 【详解】对于，由分布列的性质可得，解得，故错误； 对于，故B正确； 对于 ，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10. 已知，则（ ） A. 展开式中二项式系数最大项为第1012项 B. 展开式中所有项的系数和为1 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第1013项，A错误；利用赋值法可知展开式中所有项的系数和为1，B正确；求出之后再利用赋值令可得，C正确；对等式两边求导再进行赋值计算可得D正确. 【详解】对于A，由二项展开式中的二项式系数性质可知二项式系数最大为，易知应为第1013项，即A错误； 对于B，令 ，可得，即展开式中所有项的系数和为1，可得B正确； 对于C，令，可得，令，可得， 所以，即C正确； 对于D，将等式两边同时求导可得， ， 再令 ，可得，即D正确. 故选：BCD 11. 已知函数在处取得极值，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数的图像与直线只有一个公共点 D. 对任意的 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数在处取得极值，求得，即可判断A；欲证，只需证，求得即可判断B；欲证与只有一个交点，只需证只有一个根，结合B项结论，即可判断C；由时，，即，结合对数运算，即可判断D. 【详解】对于A，因为函数在处取得极值， 所以，，解得，故A正确. 即 对于B，因为真数，所以 所以，欲证，只需证 因为，定义域为 所以，令，解得 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，即，所以， 即，故B错误 对于C，欲证与只有一个交点，只需证只有一个根， 即证只有一个根，即只有一个根， 由上述可得在递减，在递增， 所以，故C正确 对于D，由上述得恒成立， 即恒成立， 所以当时，，即 因为 所以 且 所以， 即证，故D正确 故选:ACD. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设是等差数列的前项和，若，则________. 【答案】10 【解析】 【分析】直接利用性质求出，代入前n项和公式即可求解. 【详解】因为为等差数列，所以， 所以. 故答案为：10. 13. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有__________种． 【答案】450 【解析】 【分析】依据分类加法计数原理和平均及不平均分组问题处理方法求解即可. 【详解】若6名航天员三个实验舱，三个实验舱每个至少一人至多三人， 若每组人数分别为，共有种， 若每组人数分别为，共有种， 综上所有不同的安排方法共有. 故答案为：450 14. 近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单，某外卖小哥每天来往于r个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，…，r，其中），约定：每天他首先从1号外卖店取单，称为第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单，称为第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单．设事件表示“第k次取单恰好是从1号店取单（）”，是事件发生的概率，显然，，则______，与的关系式为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，事件表示“第3次取单恰好是从1号店取单”， 因此 ； 同理 ． 故答案为：；. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知是公差不为0的等差数列，若是等比数列的连续三项． （1）求数列的公比； （2）若，数列的前和为且，求的最小值． 【答案】（1）5；（2）1011． 【解析】 【分析】（1）用基本量表示，可得，解得，结合可得解； （2）裂项相消法求和，解不等式即得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由是等比数列的连续三项， 得，即，化简得． ． 设数列的公比的公比为，则． （2）若，则， ． 由，得，故的最小值为1011． 16. 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球. （1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； （2）抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率； （3）在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出事件，运用条件概率公式求解即可； （2）设出事件，运用全概率公式求解即可； （3）设出事件，运用贝叶斯概率公式求解即可. 【小问1详解】 记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件 表示“两个球都是红球”， 则，故 【小问2详解】 设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”， 则， 可得 【小问3详解】 在（2）的条件下. 17. 已知函数（为常数） （1）讨论函数的单调性； （2）不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）根据题意将问题转化为在上有解，然后构造函数，利用导数求出其最小值即可. 【小问1详解】 的定义域为， ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，令，解得， 若，则，所以在上单调递增， 若，则，所以在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减 【小问2详解】 在上有解在上有解， 在上有解， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 因为 所以， 所以， 故实数的取值范围是. 18. 某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有5kg），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 40 30 10 20 （1）若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率； （2）利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27元/kg；方案二：分等级出售，橙子价格如下表. 等级 珍品 特级 优级 一级 价格/（元∕kg） 36 30 24 18 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？ （3）用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的珍品的箱数，求X的分布列及均值. 【答案】（1） （2）方案一 （3） X 0 1 2 3 P . 【解析】 【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求概率. （2）求得新方案采购价格的期望值，由此作出判断. （3）利用超几何分布的知识计算出分布列并求得. 【小问1详解】 设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品”为事件A，则， 现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为，则， 所以恰好有2箱是一级品的概率为. 【小问2详解】 设方案二中每千克橙子的价格为元， 则， 因为，所以从采购商的角度考虑应该采用方案一. 【小问3详解】 用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱， 再从中随机抽取3箱，则珍品的箱数X服从超几何分布，其中，，， ，，，. X的分布列为： X 0 1 2 3 P . 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题． （1）证明：； （2）设，证明：； （3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：设，则． 当时，：当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此，，即． （2）证明：由泰勒公式知，① 于是，② 由①②得， ， 所以 ． 即． （3）． 【解析】 【分析】（1）设，利用导数求出该函数的最小值后可得不等式恒成立； （2）利用泰勒展式可证不等式成立； （3）就和分类讨论，前面可利用导数证明为极小值点，后者可判断为极大值点，故可得参数的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 则，设． 设，则，当时， 故在上为增函数. 由基本不等式知，，当且仅当时等号成立． 所以当时，，所以在R上单调递增． 又因为是奇函数，且， 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此，是的极小值点． 下面证明：当时，不是的极小值点． 当时，， 又因为是R上的偶函数，且在上单调递增， 所以当时，． 因此，在上单调递减． 又因为是奇函数，且， 所以当时，；当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 因此，是的极大值点，不是的极小值点． 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $