1.1 集合的概念（九大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

1．1 集合的概念 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：集合的含义 4 题型二：元素与集合的关系的判断 4 题型三：根据元素与集合的关系求参数 5 题型四：集合中元素的特性及应用 6 题型五：用列举法表示集合 7 题型六：用描述法表示集合 8 题型七：集合表示法的综合应用 9 题型八：方程与集合的综合应用 10 题型九：集合新定义运算 11 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 知识点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 知识点诠释： （1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 【典型例题】 题型一：集合的含义 【典例1-1】（2024·高一·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 【典例1-2】（2024·高一·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【方法技巧与总结】（判断一组对象能否组成集合的标准） 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 【变式1-1】（2024·高一·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【变式1-2】（2024·高一·河北·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ） A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体 C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生 【变式1-3】（2024·高一·河北邢台·阶段练习）下列各组对象中不能构成集合的是（    ） A．数学课迟到的学生 B．小于的正整数 C．未来世界的高科技产品 D．所有有理数 题型二：元素与集合的关系的判断 【典例2-1】（多选题）（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）已知集合，则下列表示正确的是（　　 ） A． B． C． D． 【典例2-2】（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，，且，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式2-1】（2024·高一·全国·专题练习）用符号“”或“”填空： （1）若，则-1 A； （2）若，则3 B； （3）若，则8 C，9.1 C. （4） ； （5） ； （6）2017 . （7） ， ， ， ． 【变式2-2】（2024·上海·模拟预测）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高一·江苏·专题练习）用符号“”或“”填空：①设集合A是由正整数的全体构成的集合，则0 A， A， A；②设集合B是由小于的实数的全体构成的集合，则 B， B. 题型三：根据元素与集合的关系求参数 【典例3-1】（2024·高三·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【典例3-2】（2024·高一·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【方法技巧与总结】 根据元素与集合的关系求参数，关键在于利用集合中元素的确定性、互异性，以及集合间的关系或运算结果。通过观察元素是否属于集合、集合间是否存在子集或交集等关系，我们可以建立关于参数的数学条件，进而求解出参数的具体值或取值范围。 【变式3-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高一·河南·阶段练习）设集合，若，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【变式3-3】（2024·高三·广东惠州·阶段练习）集合 ，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：集合中元素的特性及应用 【典例4-1】（2024·高一·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 【典例4-2】（2024·高一·重庆万州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【方法技巧与总结】（根据集合中元素的特性求解字母取值（范围）的3个步骤） 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）若集合，则下列说法中正确的是（   ） A．a可取全体实数 B．a可取除去0以外的所有实数 C．a可取除去3以外的所有实数 D．a可取除去0和3以外的所有实数 【变式4-2】（2024·高三·全国·专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式4-3】（多选题）（2024·高一·湖南衡阳·阶段练习）由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．-2 D．0 题型五：用列举法表示集合 【典例5-1】（2024·高三·全国·专题练习）方程的解集为 【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）若、、且、，集合，则用列举法可表示为 . 【方法技巧与总结】（用列举法表示集合的三个步骤） 1、求出集合的元素； 2、把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 3、用花括号括起来． 【变式5-1】（2024·高一·全国·假期作业）求下列方程组的解集： (1)； (2)； 【变式5-2】（2024·高一·全国·课堂例题）用列举法表示下列集合： (1)由方程的所有实数解构成的集合； (2)平方小于200的所有素数之集． 【变式5-3】（2024·高一·全国·课后作业）用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 题型六：用描述法表示集合 【典例6-1】（2024·高一·上海长宁·阶段练习）所有平行四边形组成的集合可以表示为 . 【典例6-2】（2024·高一·全国·专题练习）用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为 ． 【方法技巧与总结】（描述法表示集合的2个步骤） 【变式6-1】（2024·高一·上海黄浦·阶段练习）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ） A． B．或 C． D． 【变式6-2】（2024·高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【变式6-3】（2024·高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 题型七：集合表示法的综合应用 【典例7-1】（多选题）（2024·高一·湖北咸宁·阶段练习）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知集合的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其它所有元素； (2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？ (3)根据（1）（2），你能得出什么结论． 【方法技巧与总结】（集合表示法中元素与集合的关系） 1、若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键； 2、若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键； 【变式7-1】（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）已知M是满足下列条件的集合：①，；②若、，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：“若，则”是真命题； (3)证明：若，，则. 【变式7-2】（2024·高一·全国·课后作业）设集合A由实数构成，且满足：若（且），则． (1)若，试证明集合A中有元素－1，； (2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由； (3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积． 题型八：方程与集合的综合应用 【典例8-1】（2024·高一·全国·课后作业）设关于的方程的解集为． （1）求证：中至少有2个元素； （2）若中有3个元素，求的值及中3个元素之和． 【典例8-2】（2024·高一·河南南阳·阶段练习）已知集合，求集合A满足下列条件时实数a的所有可能取值组成的集合 (1)集合A中有且仅有一个元素; (2)集合A中有两个元素； 【方法技巧与总结】 (1)集合中元素的个数即为方程的根的个数． (2)解方程时注意对a的讨论． 【变式8-1】（2024·高一·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知集合，其中为常数，且. (1)若是空集，求的范围； (2)若中只有一个元素，求的值； (3)若中至多只有一个元素，求的范围. 【变式8-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知集合A是方程的解集． (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值； (3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 题型九：集合新定义运算 【典例9-1】（多选题）（2024·高一·新疆伊犁·阶段练习）若集合具有以下三个条件，则称集合为一个“封闭集合”， ①若，则；②若，则；③若，则；据此判断下列集合是封闭集合的有（    ） A．R B． C． D．Q 【典例9-2】（2024·高一·安徽安庆·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 【方法技巧与总结】 一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性． 【变式9-1】（2024·高一·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式9-2】（2024·高一·重庆北碚·期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式9-3】（2024·高一·山东淄博·阶段练习）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【变式9-4】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）定义集合，其中集合，则中元素个数为 ． 【变式9-5】（2024·高一·北京·阶段练习）若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)设集合是“好集”，求证：若，则； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．1 集合的概念 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：集合的含义 4 题型二：元素与集合的关系的判断 5 题型三：根据元素与集合的关系求参数 7 题型四：集合中元素的特性及应用 8 题型五：用列举法表示集合 10 题型六：用描述法表示集合 12 题型七：集合表示法的综合应用 15 题型八：方程与集合的综合应用 18 题型九：集合新定义运算 20 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 知识点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 知识点诠释： （1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 【典型例题】 题型一：集合的含义 【典例1-1】（2024·高一·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 【答案】A 【解析】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合； B：，方程根确定，可构成集合； C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合； D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合. 故选：A 【典例1-2】（2024·高一·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 【方法技巧与总结】（判断一组对象能否组成集合的标准） 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 【变式1-1】（2024·高一·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【答案】C 【解析】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误； 对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确. 故选：C. 【变式1-2】（2024·高一·河北·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ） A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体 C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生 【答案】C 【解析】对于A，成绩较好不是一个确定的概念，不能构成集合，故A不符合； 对于B，与10接近的不是一个确定的概念，不能构成集合，故B不符合； 对于C，绝对值小于5的整数全体是个明确的概念，并且给定一个元素能确定是否属于这个整体，故能构成集合，故C符合； 对于D，兴趣广泛的不是一个确定的概念，不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 【变式1-3】（2024·高一·河北邢台·阶段练习）下列各组对象中不能构成集合的是（    ） A．数学课迟到的学生 B．小于的正整数 C．未来世界的高科技产品 D．所有有理数 【答案】C 【解析】对于A，数学课迟到的学生具备集合元素的确定性,能构成集合，故A不符合题意； 对于B，小于π的正整数具备集合元素的确定性，能构成集合，故B不符合题意； 对于C，“未来世界的高科技产品”中的“高科技产品”没有明确标准，不具备确定性，因此不能构成集合，故C符合题意； 对于D，所有有理数具备集合元素的确定性，能构成集合,故D不符合题意. 故选：C. 题型二：元素与集合的关系的判断 【典例2-1】（多选题）（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）已知集合，则下列表示正确的是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】易知，，， 令， 即B、C、D正确，A错误； 故选：BCD 【典例2-2】（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，，且，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由题知：集合A为奇数集，集合B为偶数集， 所以为奇数，为偶数． 所以是奇数，是偶数，是偶数，是偶数． 即，，，. 故选：ABC． 【方法技巧与总结】判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式2-1】（2024·高一·全国·专题练习）用符号“”或“”填空： （1）若，则-1 A； （2）若，则3 B； （3）若，则8 C，9.1 C. （4） ； （5） ； （6）2017 . （7） ， ， ， ． 【答案】 【解析】（1），故； （2），故； （3），故； （4），； （5） （6）因为2017不能被表示为的形式，所以； （7） 【变式2-2】（2024·上海·模拟预测）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，由，得或， 又，且，即有且，因此， 所以. 故选：A 【变式2-3】（2024·高一·江苏·专题练习）用符号“”或“”填空：①设集合A是由正整数的全体构成的集合，则0 A， A， A；②设集合B是由小于的实数的全体构成的集合，则 B， B. 【答案】 【解析】①0不是正整数，不是整数，是正整数，故依次填，，. ②，由，得，故依次填，. 故答案为：；；；；. 题型三：根据元素与集合的关系求参数 【典例3-1】（2024·高三·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【答案】C 【解析】由元素和集合关系可知：或或， 解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性， 所以的取值为或. 故选：C. 【典例3-2】（2024·高一·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【解析】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 【方法技巧与总结】 根据元素与集合的关系求参数，关键在于利用集合中元素的确定性、互异性，以及集合间的关系或运算结果。通过观察元素是否属于集合、集合间是否存在子集或交集等关系，我们可以建立关于参数的数学条件，进而求解出参数的具体值或取值范围。 【变式3-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【变式3-2】（2024·高一·河南·阶段练习）设集合，若，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】B 【解析】由集合，因，则或， 当时，，此时，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，当时，满足．故． 故选：B． 【变式3-3】（2024·高三·广东惠州·阶段练习）集合 ，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为且，所以且，解得. 故选：B. 题型四：集合中元素的特性及应用 【典例4-1】（2024·高一·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 【答案】D 【解析】由集合元素的互异性可知，，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选：D. 【典例4-2】（2024·高一·重庆万州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【解析】∵集合，分母， ∴，，且，解得， ∴. 故选：B. 【方法技巧与总结】（根据集合中元素的特性求解字母取值（范围）的3个步骤） 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）若集合，则下列说法中正确的是（   ） A．a可取全体实数 B．a可取除去0以外的所有实数 C．a可取除去3以外的所有实数 D．a可取除去0和3以外的所有实数 【答案】D 【解析】由集合中元素的互异性可知，即，故，，因此a可取除去0和3以外的所有实数， 故选：D. 【变式4-2】（2024·高三·全国·专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 【变式4-3】（多选题）（2024·高一·湖南衡阳·阶段练习）由a2，a-1，1组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．2 B．1 C．-2 D．0 【答案】CD 【解析】由题意得,解得a≠2且a≠±1，则符合要求的只有CD. 故选：CD. 题型五：用列举法表示集合 【典例5-1】（2024·高三·全国·专题练习）方程的解集为 【答案】 【解析】，即， 即，解得，或. 故答案为： 【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）若、、且、，集合，则用列举法可表示为 . 【答案】 【解析】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以用列举法可表示为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】（用列举法表示集合的三个步骤） 1、求出集合的元素； 2、把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 3、用花括号括起来． 【变式5-1】（2024·高一·全国·假期作业）求下列方程组的解集： (1)； (2)； 【解析】（1）由不等式组， ①+②，可得，②③，可得， 联立方程组，解得， 代入①式，可得， 所以不等式组的解集为. （2）由方程组， 整理得，解得或， 当时，可得； 时，可得， 所以方程组的解集为. 【变式5-2】（2024·高一·全国·课堂例题）用列举法表示下列集合： (1)由方程的所有实数解构成的集合； (2)平方小于200的所有素数之集． 【解析】（1）由可得， 所以. （2）由于， 所以平方小于200的所有素数构成的集合. 【变式5-3】（2024·高一·全国·课后作业）用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【解析】（1）不大于10的非负偶数有， 所以； （2）小于8的质数有，所以； （3）方程的实数根为， 所以． （4）由，得， 所以一次函数与图象的交点为， 所以． 题型六：用描述法表示集合 【典例6-1】（2024·高一·上海长宁·阶段练习）所有平行四边形组成的集合可以表示为 . 【答案】为平行四边形 【解析】由题意可知，所有平行四边形组成的集合可以表示为为平行四边形. 故答案为：为平行四边形. 【典例6-2】（2024·高一·全国·专题练习）用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为 ． 【答案】{（x，y）|xy≥0，且﹣1≤x≤2，y≤1} 【解析】：图中的阴影部分的点设为（x，y）则 {x，y）|﹣1≤x≤0，y≤0或0≤x≤2，0≤y≤1} ＝{（x，y）|xy≥0且﹣1≤x≤2，y≤1} 故答案为：{（x，y）|xy≥0，且﹣1≤x≤2，y≤1}． 【方法技巧与总结】（描述法表示集合的2个步骤） 【变式6-1】（2024·高一·上海黄浦·阶段练习）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】直角坐标平面中除去两点､，其余的点全部在集合中，逐一排除法．直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中， 选项中除去的是四条线； 选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意； 选项，则且，即除去两点､，符合题意； 选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点． 故选：C 【变式6-2】（2024·高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【解析】（1）因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3）设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 【变式6-3】（2024·高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【解析】（1）不等式的解集用描述法表示为. （2）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （3）集合用描述法表示为. （4）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （5）集合用描述法表示为. （6）集合用描述法表示为. （7）方程的解集用描述法表示为. 题型七：集合表示法的综合应用 【典例7-1】（多选题）（2024·高一·湖北咸宁·阶段练习）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】依题意，当都为正数，代数值等于4； 当中只有一个负数两个正数，代数值为0； 当中只有一个正数两个负数，代数值为0； 当都为负数，代数值为. 故选：CD 【典例7-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知集合的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其它所有元素； (2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？ (3)根据（1）（2），你能得出什么结论． 【解析】（1）由题意，可知， 则，，，， 所以A中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是A中的元素． 取，则，，，， 所以当时，A中的元素是3，，，． （3）猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数． 由（2）知0，， 若，则，与矛盾， 则有，即，0，1都不在集合A中． 若实数，则，， ，． 结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，． 显然，否则，即，无实数解． 同理，，即A中有4个元素． 所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数． 【方法技巧与总结】（集合表示法中元素与集合的关系） 1、若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键； 2、若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键； 【变式7-1】（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）已知M是满足下列条件的集合：①，；②若、，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：“若，则”是真命题； (3)证明：若，，则. 【解析】（1）正确，理由如下： 由①②可知，，， 由③可知，. （2）由②可知，对于，，故只需证明对于，， 由(1)中知，， 由，， 假设正整数，则， 故对于，都成立， 从而“若，则”是真命题. （3）若，且，由①②知，，， 由③知，，， 又由②③知，，则， 又由②知，， 因为，， 故时，， 因为，，所以，， 所以由(2)知，，则 ，， 又由，则， 又因为，所以，从而，故， 从而，. 【变式7-2】（2024·高一·全国·课后作业）设集合A由实数构成，且满足：若（且），则． (1)若，试证明集合A中有元素－1，； (2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由； (3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积． 【解析】（1）证明：∵，∴． ∵，∴． ∴集合A中有元素－1，； （2）由题意，可知若（且）， 则，，， 且，，， 故集合A中至少有3个元素； （3）由（2）知A中元素的个数为． 又集合A是有限集，且， 所以若为奇数，则集合A中所有元素的积为； 若为偶数，则集合A中所有元素的积为1． 所以集合A中所有元素的积为1或－1． 题型八：方程与集合的综合应用 【典例8-1】（2024·高一·全国·课后作业）设关于的方程的解集为． （1）求证：中至少有2个元素； （2）若中有3个元素，求的值及中3个元素之和． 【解析】（1）方程等价于或． 记方程的解集为， 因为，所以中含有2个元素． 又因为，所以中至少有2个元素． （2）记方程的解集为，由（1）知，中恰有1个元素． 所以，因此，． 当时，，中2个元素之和为-2，所以中3个元素之和为； 当时，，中2个元素之和为2，所以中3个元素之和为3． 【典例8-2】（2024·高一·河南南阳·阶段练习）已知集合，求集合A满足下列条件时实数a的所有可能取值组成的集合 (1)集合A中有且仅有一个元素; (2)集合A中有两个元素； 【解析】（1）集合中有且仅有一个元素，即方程只有一个解， ①当时，方程为，解得，符合要求； ②当时，方程为一元二次方程，，解得； 所以的所有可能取值构成的集合为. （2）集合中有两个元素，即方程为一元二次方程，，且方程有两个解，所以，解得，所以的所有可能取值构成的集合为或. 【方法技巧与总结】 (1)集合中元素的个数即为方程的根的个数． (2)解方程时注意对a的讨论． 【变式8-1】（2024·高一·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知集合，其中为常数，且. (1)若是空集，求的范围； (2)若中只有一个元素，求的值； (3)若中至多只有一个元素，求的范围. 【解析】（1）若是空集，则方程无解， 此时，即， （2）若中只有一个元素，则方程有且只有一个实根， 当时方程为一元一次方程，满足条件 当，此时，解得：. ∴或； （3）若中至多只有一个元素，则为空集，或有且只有一个元素 由①②得满足条件的的取值范围是：或. 【变式8-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知集合A是方程的解集． (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值； (3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 【解析】（1）若，则或，当时，方程为， 其解为，所以A是单元素集． 当时，方程为，无实数解，所以A为空集． 所以，若A是空集， 则或 即，所以a的取值范围为； （2）由（1）可知，若A是单元素集，则或即； （3）由（1）（2）知，若A中至多只有一个元素，即A为空集或单元素集，则a的取值范围为或. 题型九：集合新定义运算 【典例9-1】（多选题）（2024·高一·新疆伊犁·阶段练习）若集合具有以下三个条件，则称集合为一个“封闭集合”， ①若，则；②若，则；③若，则；据此判断下列集合是封闭集合的有（    ） A．R B． C． D．Q 【答案】ABD 【解析】对A，任意两个实数的和、差、积仍是实数，故R是封闭集合，故A正确； 对B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故是封闭集合，故B正确； 对C，取，则，故不是封闭集合，故C错误； 对D，任意两个有理数的和、差、积仍是有理数，故是封闭集合，故D正确； 故选：ABD 【典例9-2】（2024·高一·安徽安庆·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】若不是孤立元，. 设另一元素为， 假设，此时，不合题意，故. 据此分析满足条件的集合为，共有6个. 故选：D 【方法技巧与总结】 一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性． 【变式9-1】（2024·高一·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 【变式9-2】（2024·高一·重庆北碚·期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【解析】因为且， 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 综上可知：，所以集合中元素个数为5， 故选：D. 【变式9-3】（2024·高一·山东淄博·阶段练习）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【答案】8 【解析】因为定义集合， 又，，，，，，，，， 所以集合中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个. 故答案为：8． 【变式9-4】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）定义集合，其中集合，则中元素个数为 ． 【答案】4 【解析】， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 所以中元素个数为. 故答案为：4. 【变式9-5】（2024·高一·北京·阶段练习）若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)设集合是“好集”，求证：若，则； 【解析】（1）B不是“好集”, 理由是： ，，而，∴B不是“好集”； 是“好集”， 理由是：，；对任意，，有， 且时，，∴有理数集Q是“好集”. （2）因为集合是“好集”，所以. 若，则，即. 所以，即. （3）对任意一个“好集”，任取， 若或时，显然. 且时，由定义可知：. 所以，即. 所以. 由（2）可得：，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$1．1 集合的概念 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 知识梳理 知识点一：集合的有关概念 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 知识梳理 知识点一：集合的有关概念 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 知识梳理 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内． 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 03 典型例题 【例1】（2024·高一·湖北孝感·阶段练习）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B．小于5的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 【答案】C 【解析】对于A，参加杭州亚运会的全体乒乓球选手明确可知，可以构成集合； 对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合； 对于C，2023年高考数学难题模棱两可，给定一个2023年高考数学题不能判断其是否是难题，不能构成集合； 对于D，无理数明确可知，可以构成集合．故选：C 【方法技巧与总结】（判断一组对象能否组成集合的标准） 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 题型一：集合的含义 典型例题 【变式1-1】（2024·高一·安徽蚌埠·阶段练习）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．，，，，，，， 【答案】B 【解析】对于A，充分接近的所有实数不能满足集合元素的确定性，故A错误； 对于B，所有的正方形可以构成一个集合，故B正确； 对于C，著名的数学家不能满足集合元素的确定性，故C错误； 对于D，元素有重复，不满足集合元素的互异性，故D错误． 故选：B． 题型一：集合的含义 典型例题 【变式1-2】（2024·高一·陕西·阶段练习）下列元素的全体可以组成集合的是（    ） A．人口密度大的国家 B．所有美丽的城市 C．地球上的四大洋 D．优秀的高中生 【答案】C 【解析】由题意， 选项ABD，都不满足集合元素的确定性，选项C的元素是确定的，可以组成集合． 故选：C． 题型一：集合的含义 典型例题 【例2】（多选题）（2024·高一·广东汕头·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由正整数、有理数、整数的定义知：，，，， 所以A、C错，B、D对．故选：BD 【方法技巧与总结】判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 题型二：元素与集合的关系的判断 典型例题 【变式2-1】（多选题）（2024·高一·山东青岛·阶段练习）下列关系中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为Z表示集合中的整数集，N表示集合中的自然数集， Q表示有理数集，R表示实数集． 所以AB正确．故选：AB 题型二：元素与集合的关系的判断 典型例题 【变式2-2】（多选题）（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】点在函数图像上，有，A选项正确； 集合A为数集，集合B为点集，，B选项错误； 函数的值域为，则，，C选项正确； 集合B为点集，，D选项错误． 故选：AC． 题型二：元素与集合的关系的判断 典型例题 【例3】（2024·高一·福建三明·期中）已知集合，且， 则（　　） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【解析】由集合，得，解得且， 显然，由，得，而，解得， 当时，，符合题意， 所以．故选：D 【方法技巧与总结】 根据元素与集合的关系求参数，关键在于利用集合中元素的确定性、互异性，以及集合间的关系或运算结果。通过观察元素是否属于集合、集合间是否存在子集或交集等关系，我们可以建立关于参数的数学条件，进而求解出参数的具体值或取值范围。 题型三：根据元素与集合的关系求参数 典型例题 【变式3-1】（2024·高一·贵州·阶段练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 【答案】C 【解析】当时，则，此时集合，符合要求， 当时，得或，而当时，不符合要求， 而当时，，符合题意， 综上可知：或， 故选：C 题型三：根据元素与集合的关系求参数 典型例题 【变式3-2】（2024·高一·全国·阶段练习）已知集合，若，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为，， 所以或（舍去）， 则．即 故选：B． 题型三：根据元素与集合的关系求参数 典型例题 【例4】（2024·高一·北京海淀·阶段练习）若，则a2020+b2020的值为（    ） A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1 【答案】C 【解析】∵，根据集合中元素的性质可得： ∴，解得a=﹣1，b=0， ∴a2020+b2020=（﹣1）2020+0=1． 故选：C． 题型四：集合中元素的特性及应用 【方法技巧与总结】（根据集合中元素的特性求解字母取值（范围）的3个步骤） 典型例题 【变式4-1】（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）集合中a的取值范围是（    ） A．或 B． C．且 D． 【答案】C 【解析】由集合中元素的互异性，需要满足， 解得且， 故选：C． 题型四：集合中元素的特性及应用 典型例题 【变式4-2】（2024·高一·安徽铜陵·阶段练习）已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【解析】根据集合中元素互异性可知，构成的四边形边长不相等， 其中平行四边形，矩形和菱形对边均相等，不合要求，梯形的四边可能互不相等，故可能为梯形． 故选：D 题型四：集合中元素的特性及应用 典型例题 【变式4-3】（多选题）（2024·高一·广西南宁·阶段练习）若集合 中含有3个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．6 D．2 【答案】AC 【解析】由题意知，，解得且且， 故选：AC． 题型四：集合中元素的特性及应用 典型例题 【变式4-4】（2024·高一·江苏·课后作业）若，则中的元素应满足什么条件？ 【解析】根据集合中元素的互异性可得： ，解得且且， 所以应满足且且． 题型四：集合中元素的特性及应用 典型例题 【例5】（2024·高一·天津·阶段练习）若，用列举法表示集合 ． 【答案】 【解析】由题意可知，是方程的一个根， 则， 代入方程，即，解得或， 所以，故答案为： 【方法技巧与总结】（用列举法表示集合的三个步骤） 1、求出集合的元素； 2、把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 3、用花括号括起来． 题型五：用列举法表示集合 典型例题 【变式5-1】（2024·高二·辽宁阜新·期末）集合用列举法表示为 ． 【答案】 【解析】时，时， 时，时， 时，时，不合题意， 故满足题意的有， 故答案为：． 题型五：用列举法表示集合 典型例题 【变式5-2】（2024·高一·江苏·专题练习）用列举法表示下列给定的集合： （1）大于1且小于6的整数组成的集合A； （2）方程的实数根组成的集合B； （3）一次函数与的图象的交点组成的集合C． 【解析】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以． （2）因为方程的实数根为，所以． （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以． 题型五：用列举法表示集合 典型例题 【变式5-3】（2024·高一·陕西西安·阶段练习） 已知，用列举法表示A． 【解析】由，则， 所以，，，，，，， 则列举法表示A为． 题型五：用列举法表示集合 典型例题 【变式5-4】（2024·高一·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： （1） （2）． 【解析】（1）， ∴或， ； （2）， ， ． 题型五：用列举法表示集合 典型例题 【例6】（2024·高一·河北·阶段练习）用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解析】表示平面内第二象限的点构成的集合为且． 故选：D． 【方法技巧与总结】（描述法表示集合的2个步骤） 题型六：用描述法表示集合 典型例题 【变式6-1】（2024·高一·上海长宁·期中）所有正奇数组成的集合用描述当表示为 ． 【答案】 【解析】因为正奇数除以，余数为， 所以所有正奇数组成的集合用描述当表示为， 故答案为： 题型六：用描述法表示集合 典型例题 【变式6-2】（2024·高一·新疆·期中）用描述法表示下列集合； （1）不等式的解集． （2）所有的偶数组成的集合． 【解析】（1）解不等式得， 所以，原不等式的解集用描述法表示为． （2）所有的偶数组成的集合为． 题型六：用描述法表示集合 典型例题 【变式6-3】（2024·高一·全国·随堂练习）用描述法表示下列集合： （1）； （2）36的所有因数组成的集合． 【解析】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有因数组成的集合为． 题型六：用描述法表示集合 典型例题 【变式6-4】（2024·高一·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． （1）所有不在第一、三象限的点组成的集合； （2）所有被3除余1的整数组成的集合； （3）使有意义的实数x组成的集合． （4）方程的解集． 【解析】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为， ∴所有被3除余1的整数组成的集合为． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． 题型六：用描述法表示集合 典型例题 【例7】（多选题）（2024·高一·湖北咸宁·阶段练习）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】依题意，当都为正数，代数值等于4； 当中只有一个负数两个正数，代数值为0； 当中只有一个正数两个负数，代数值为0； 当都为负数，代数值为．故选：CD 【方法技巧与总结】（集合表示法中元素与集合的关系） 1、若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键； 2、若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键； 题型七：集合表示法的综合应用 典型例题 【变式7-1】（2024·高一·全国·课后作业）集合A中的元素是实数，且满足条件 ①若，则，②，求： （1）A中至少有几个元素？ （2）若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？ （3）请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素． 【解析】（1）因为，由①知，，而， 则，而，则，所以集合A中至少有3个元素． （2）因为，由①知，，而，则，而， 则，所以集合A中至少含有的元素是． （3）令，由①知，，而，则，而， 则，所以集合A中至少含有的其它元素是． 题型七：集合表示法的综合应用 典型例题 【变式7-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知集合 ． （1）若，则是否存在，使成立？ （2）对于任意，是否一定存在，使，证明你的结论． 【解析】（1）设， 令，， 则． 故若，则存在，使成立． （2）不一定存在，使，证明如下： 设，则， 当时，，此时存在，使； 当时，， 此时不存在，使成立． 故对于任意，不一定存在，使． 题型七：集合表示法的综合应用 典型例题 【例8】（多选题）（2024·高一·河南焦作·阶段练习） 若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】AD 【解析】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素，由一元二次方程根的判别式，解得． 综上实数的值可以为1，4．故选：AD． 【方法技巧与总结】 (1)集合中元素的个数即为方程的根的个数． (2)解方程时注意对a的讨论． 题型八：方程与集合的综合应用 典型例题 【变式8-1】（2024·高一·江苏·专题练习）已知， ，当时，求集合B． 【解析】∵， ∴方程有两个相等实根， 则由根与系数关系得 ∴， ∴． 可得，解得或， 故集合． 题型八：方程与集合的综合应用 典型例题 【变式8-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合． （1）若A是空集，求的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【解析】（1） 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合 题型八：方程与集合的综合应用 典型例题 【变式8-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合． （1）若A是空集，求的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围． （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且， 即， 解得且； 综上可得，时中至少有一个元素． 题型八：方程与集合的综合应用 典型例题 【例9】（2024·高一·上海闵行·期中）对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，．在此定义下，集合中的元素个数是 【答案】17 【解析】当a，b都是偶数或奇数时，因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16； 当a，b一奇一偶时，1×16=16； 集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有8×2+1=17个． 故答案为：17． 【方法技巧与总结】 一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性． 题型九：集合新定义运算 典型例题 【变式9-1】（2024·高一·全国·课后作业）对于任意两个正整数，，定义运算⊕如下： ①当，奇偶性相同时，； ②当，奇偶性不同时，． 若集合，则的元素个数为 ． 【答案】 【解析】因为， 当、都是正偶数时，则集合中含有，，，，共个元素； 当、都是正奇数时，则集合中含有，，，，，共个元素； 当、一个为正偶数，一个为正奇数，则集合中含有，，，共个元素； 所以的元素共有个．故答案为： 题型九：集合新定义运算 典型例题 【变式9-2】（2024·高一·上海松江·期中）定义集合运算 ，设集合，则集合 ． 【答案】 【解析】由题意可知， ①当时，则； ②当，时，； ③当，时，． 综上所述，． 故答案为：． 题型九：集合新定义运算 典型例题 【变式9-3】（2024·高一·全国·课后作业）定义满足“如果，，那么，且，且”的集合为“闭集”，则数集中是“闭集”的有 ． 【答案】 【解析】数集，都不是“闭集”． 例如，，，而；，，而，故，都不是“闭集”． 数集，都是“闭集”． 由于两个有理数与的和（差）、积、商，即，，仍都是有理数，故是“闭集”．同理也是“闭集”．故答案为： 题型九：集合新定义运算 典型例题 【变式9-4】（2024·高一·北京·期中）设A是实数集的非空子集，称集合为集合A的生成集． （1）当时，写出集合A的生成集B； （2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值． 【解析】（1）根据题意，，， （2）设， 不妨设， 所以中元素个数大于等于7个， 所以生成集合中元素个数最小值为7．   题型九：集合新定义运算 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2024届河南省新乡市高三第三次模拟考试数学试卷）下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 2．（贵州省凯里市第一中学2024届高三模拟考试（二模）数学试题）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标II卷））已知集合 ，则中元素的个数为（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 4．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷））设集合,则集合 中元素的个数是（ ） A． B． C． D． 5．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国大纲卷））设集合， ，，则M中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 D D A C B $$