1.1 第2课时 集合的表示-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第2课时　集合的表示 　 第一章　1.1　集合的概念 学习目标 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法．　 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合，提升数学 抽象与数学运算核心素养． 知识点一　列举法 1 知识点二　描述法 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　列举法 返回 观察下面两个集合： (1)中国的“五岳”组成的集合M； (2)小于6的正整数构成的集合N. 问题1.上述问题中的集合M，N中的元素能一一列举出来吗？ 提示：能．集合M中的元素为：泰山、华山、衡山、恒山、嵩山；集合N中的元素为：1，2，3，4，5. 问题2.上述集合M与N除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？ 提示：列举法．M＝{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}；N＝{1，2，3，4，5}． 问题导思 1．列举法 把集合的所有元素__________出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做________． 2．用列举法表示的集合的结构 新知构建 一一列举 列举法 一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？ 提示：不用考虑元素的顺序． 微思考 微提醒 用列举法表示集合的关注点 (1)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可．(2)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}．(3)集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼． (链教材P3例1)用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； 解：不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}． (2)小于8的质数组成的集合B； 解：小于8的质数有2，3，5，7， 所以B＝{2，3，5，7}． 例1 (3)方程x2＝x的实数根组成的集合C； 解：由x2＝x，得x＝0或x＝1， 所以方程x2＝x的实数根组成的集合C＝{0，1}． (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)，所以D＝ {(1，4)}． 规律方法 用列举法表示集合的步骤 第一步：求出集合的元素； 第二步：把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；　　 第三步：用花括号括起来． 提醒　二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}．　　 对点练1.用列举法表示下列集合： (1)大于2且小于8的整数组成的集合A； 解：因为大于2且小于8的整数包括3，4，5，6，7，所以集合A＝{3，4，5，6，7}． (2)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合B； 解：因为方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1或2， 所以集合B＝{1，2}． (3)直线y＝3x＋1与y轴的交点所组成的集合C. 解：将x＝0代入y＝3x＋1，得y＝1. 所以两直线的交点为(0，1)， 故集合C＝{(0，1)}． 返回 知识点二　描述法 返回 问题3.你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？ 提示：不等式x－7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x－7<3的解集无法用列举法表示．但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}． 问题4.仿照问题3中的例子以及阅读教材，你能表示偶数集吗？ 提示：{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． 问题导思 1．描述法 设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为___________，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线，写成____________或____________． 2．用描述法表示的集合的结构 新知构建 {x∈A|P(x)} {x∈A：P(x)} {x∈A；P(x)} 用描述法表示集合的注意点 (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}．(2)用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的．(4)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应为{x∈Z|x＝2m，m∈N*}．(5)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1，或x>1}． 微提醒 (链教材P4例2)用描述法表示下列集合： (1)不等式2x－7<3的解集A； 解：解2x－7<3得x<5， 所以集合A＝{x|x<5}． (2)二次函数y＝x2＋1的函数值组成的集合B； 解：函数值组成的集合就是y的取值集合， 所以集合B＝{y|y＝x2＋1，x∈R}． (3)被3除余2的正整数的集合C； 解：被3除余2的正整数可以表示为3n＋2(n∈N)，所以集合C＝{x|x＝3n ＋2，n∈N}． 例2 (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合D. 解：平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0， 所以集合D＝{(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}． 规律方法 用描述法表示集合的2个步骤 对点练2.用描述法表示下列集合： (1)小于10的非负整数构成的集合； 解：小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x∈Z|0≤x<10}． (2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合； 解：数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可表示为{x||x|>3}． (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合； 解：平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述法可表示为{(x，y)|xy<0}． (4)集合{1，3，5，7，…}． 解：{1，3，5，7，…}用描述法可表示为{x|x＝2k－1，k∈N*}． 返回 综合应用 返回 集合与方程的综合问题 若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A. 解：若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有1个实根或有两个相等的实根． 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2. 此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根， 只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1. 当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． 例3 变式探究　1.(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值范围． 解得k<1，且k≠0. 所以k的取值范围为{k|k<1，且k≠0}． 2．(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值集合． 解：①当集合A中含有1个元素时，由例3知，k＝0或k＝1；②当集合A中没 有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，即 解得k>1. 综上，实数k的取值集合为{k|k＝0，或k≥1}． 规律方法 求解集合与方程的综合问题应关注三点 1．弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根． 2．当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论． 3．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性． 对点练3.已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，则a＝_，b＝_． 5 6 由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系 得 因此a＝5，b＝6. 返回 课堂小结 知识归纳 (1)列举法．(2)描述法．(3)集合与方程的关系 方法技巧 分类讨论 常见误区 (1)列举法与描述法的乱用．(2)涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程 随堂演练 返回 1．集合{x∈N|x－2<2}用列举法表示是　 A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3} 集合{x∈N|x－2<2}＝{x∈N|x<4}＝{0，1，2，3}．故选D. √ 2．在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数组成的集合是 A．{x|x≤－3或x≥3 B．{x|－3≤x≤3} C．{x|x≤－3} D．{x|x≥3} √ 在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数x满足|x|≤3，即－3≤x≤3，因此所求的集合为{x|－3≤x≤3}，故选B. 3．(多选)下列各组集合表示的不是同一集合的是 A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{(x，y)|2x＋y＝1}，N＝{y|2x＋y＝1} C．M＝{1，2}，N＝{2，1} D．M＝{2，4}，N＝{(2，4)} 对于A，M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}是不同的点构成的集合，故M与N不是同一集合；对于B，M＝{(x，y)|2x＋y＝1}是点集，N＝{y|2x＋y＝1}是数集，故M与N不是同一集合；对于C，M＝{1，2}和N＝{2，1}都是由元素1，2构成的集合，故M与N是同一集合；对于D，M＝{2，4}是数集，N＝{(2，4)}是点集，故M与N不是同一集合．故选ABD. √ √ √ 4．若集合{x∈R|x2＋2ax＋1＝0}中只有一个元素，则实数a的取值集合为________． {－1，1} 因为集合{x∈R|x2＋2ax＋1＝0}中只有一个元素，所以Δ＝4a2－4＝0，解得a＝±1.所以实数a的取值集合为{－1，1}． 返回 课时测评 返回 1．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是 A．0∈A B．1∉A C．－1∈A D．0∉A 因为A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0，1}，所以0∈A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是 A．{x∈Z|－3<x<11} B．{x|－3<x<11} C．{x|－3<x<11，x＝2k} D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z} √ 由题意可知，满足题设条件的只有选项D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．方程组 的解集是 A．{(1，－1)，(－1，1)} B．{(－2，2)，(1，1)} C．{(－2，2)，(1，－1)} D．{(2，－2)，(－2，2)} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．已知集合A＝{－1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝ A．{－1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2} 因为y＝|x|，x∈A，所以当x＝－1，1时，y＝1；当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝2.因此集合B＝{0，1，2}．故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)下列说法中正确的是 A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素 B．集合{0}中没有元素 C． ∈{x|x<2 } D．{1，2}与{2，1}是同一个集合 {x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0； ；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合．故选AD. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)下列说法错误的是 A．在平面直角坐标系内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy>0} B．方程x2－4＝0的解集为{(－2，2)} C．集合{(x，y)|y＝3x＋1}与{x|y＝3x＋1}是相等的 D．若A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，则－1.1∈A √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项A，因为xy>0，所以 所以集合{(x，y)|xy>0}表示 平面直角坐标系内第一、三象限的点的集合，故A正确；对于选项B，方程x2－4＝0的解集为{2，－2}，故B错误；对于选项C，集合{(x，y)|y＝3x＋1}表示直线y＝3x＋1上的点，集合{x|y＝3x＋1}表示函数y＝3x＋1中x的取值范围，故集合{(x，y)|y＝3x＋1}与{x|y＝3x＋1}不相等，故C错误；对于选项D，A＝{x∈Z|－1≤x≤1}＝{－1，0，1}，所以－1.1∉A，故D错误．故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．将集合{(x，y)|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为______________ ________． {(2，4)，(5，2)， (8，0)} 因为2x＋3y＝16，所以3y＝16－2x＝2(8－x)，且x，y∈N，所以y为偶数且0≤y≤5.当y＝4时，x＝2；当y＝2时，x＝5；当y＝0时，x＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为________________ _______． 因为被3除余数等于1的自然数为x＝3k＋1，k∈N，所以其对应的集合用描述法可表示为{x|x＝3k＋1，k∈N}． {x|x＝3k＋1， k∈N} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．若集合A＝{x∈R|kx2＋4x＋4＝0}只有一个元素，则实数k的值为________． 0或1 集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个实根或有两个相等实根，当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个实根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若集合只有一个元素，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1.所以实数k的值为0或1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)用适当的方法表示下列集合： (1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(3分) 解：方程的实数根为－1，0，3，故可以用列举法表示为{－1，0，3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}． (2)大于2且小于6的有理数组成的集合；(3分) 解：由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2<x<6}． (3)图中阴影部分的点(含边界)的集合．(4分) 解：题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为 A．5 B．6 C．8 D．9 √ A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}．当a＝b时，则a－b＝0，当a>b时，a－b＝1或a－b＝2，当a<b时，a－b＝－1或a－b＝－2.所以集合B＝{0，1，2，－2，－1}，有5个元素．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C．(3，4) D．(4，3) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．(新定义)定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，3}，B＝{1，2}，则集合A⊙B的所有元素的平均数为 A．14 B．15 C．16 D．17 √ 根据题意，A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，且集合A＝{0，3}，B＝{1，2}，当x＝0，y＝1或2时，都有z＝0，当x＝3，y＝1时，有z＝3×1×(3＋1)＝12，当x＝3，y＝2时，有z＝3×2×(3＋2)＝30，则A⊙B ＝{0，12，30}，其平均数为 ＝14.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)已知A＝{x|3x2－mx＋2m<0}． (1)若3∈A，求m的取值范围；(4分) 解：由3∈A，得27－3m＋2m<0， 解得m>27，所以m的取值范围为{m|m>27} (2)若0∈A且1∈A，求m的取值范围．(6分) 解：因为0∈A，且1∈A， 所以 解得m<－3， 所以m的取值范围为{m|m<－3}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(新设问)若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒 数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________________________． 不是 (答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 合A与B有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合． 返回 所以A＝{1，7，9}，B＝{1，3，9}． 所以集合A与B有2个相同的元素，集合A，B的相同元素组成的集合为 {1，9}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 返回 解：由得 由得或所以方程组的解集是{(－2，2)， (1，－1)}．故选C. {x|x<2}＝{x|x<}, >，所以∉{x|x<2} 或 12．(多选)下列选项中是集合A＝中的元素的是 A． B． 由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素 a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等． 16．(15分)已知集合A＝，B＝，试问集 解：对于集合A，B，因为x∈N，∈N，所以当x＝1时，＝1； 当x＝7时，＝3；当x＝9时，＝9. $$