第02讲 数轴、相反数和绝对值（4大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新七年级数学衔接讲义（沪科版）

第02讲 数轴、相反数和绝对值（4大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 数轴的三要素及其画法 题型二 用数轴上的点表示有理数 题型三 利用数铀比较有理数的大小 题型四 数轴上两点之间的距离 题型五 数轴上的动点问题 题型六 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型七 相反数的定义 题型八 化简多重符号 题型九 相反数的应用 题型十 绝对值的意义 题型十一 求一个数的绝对值 题型十二 化简绝对值 题型十三 绝对值非负性 题型十四 绝对值方程 题型十五 绝对值的其他应用 知识点01 相反数 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点02 绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 知识点03 利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 知识点04 数轴 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 3.应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 【典型例题一 数轴的三要素及其画法】 1．（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四个同学各画了一条数轴，你认为正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数轴的三个要素是：原点、 和单位长度． 4．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）规定了原点、正方向和 的直线叫做数轴． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： . 6．（22-23七年级上·新疆昌吉·期中）请画一条数轴，并在数轴上表示下列各数，并用“<”连接起来：5、，2.5、0，、+1． 【典型例题二 用数轴上的点表示有理数】 1．（2024·河南·中考真题）如图，数轴上点P表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（23-24七年级上·贵州黔西·阶段练习）如图，被墨迹盖住的数中，整数一共有 个． 4．（2024九年级·全国·竞赛）在数轴上，区域关于原点对称的区域是 ． 5．（23-24七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数：2，，0，，． 6．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）在数轴上（每一格代表单位长度）表示出数，1，0，， 【典型例题三 利用数铀比较有理数的大小】 1．（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西咸阳·一模）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）从数轴上看，大于且不大于2的整数有 个． 4．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）如图，在一个不完整的数轴上有两个点，它们表示的数分别是a，b，则a b.（填“”、“”或“”）    5．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”连接． ，，，，， 6． （23-24七年级上·广东惠州·期中）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来：，，，，，. 【典型例题四 数轴上两点之间的距离】 1．（2024·河北石家庄·二模）在原点左侧距离原点3个单位长度的点表示的数是（    ） A．3 B． C． D． 2．（2024·陕西汉中·一模）如图，数轴上表示的点A到原点的距离是（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（2024·宁夏中卫·一模）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是，点C表示的数是5，点B是的中点，则点B表示的数是 ． 4．（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为 ． 5．（22-23七年级上·河北保定·期中），如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．    (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为多少？ (2)图中点A所表示的数和点B所表示的数分别是多少． 6．（22-23七年级上·河南洛阳·阶段练习）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：    (1)请根据图中，两点的位置，分别写出它们所表示的有理数，：______，：______； (2)在数轴上与点的距离为2的点所表示的数是______； (3)若经过折叠，点与表示数的点重合，则点与表示数______的点重合； (4)若数轴上，两点之间的距离为2022（点在点的左侧），且点，经过（3）中的折叠方式折叠后重合，求，两点表示的数． 【典型例题五 数轴上的动点问题】 1．（2024·四川广元·中考真题）将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（    ） A． B．1 C． D．3 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）数轴上点表示的数是，将点沿数轴移动单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）数轴上的点A表示的数是，将点A向右移动3个单位长度，得到点B，点B表示的数为 ． 4．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，周长为14的长方形，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为，，若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2023次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 ． 5．（22-23七年级上·河北邢台·期末）数轴上，点表示-2，现从点开始先向右移动3个单位到达点，再从点向左移动5个单位到达点. （1）点各表示什么数？ （2）到达点后，再向哪个方向移动几个单位，才能回到原点？ 6．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15． （1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______； （2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？ 【典型例题六 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 1．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）若有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（        ）    A． B． C． D． 3．（2023·广西北海·一模）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 0（填“”，“”或“”）． 4．（2023·陕西渭南·一模）实数，在数轴上的位置如图所示，则 (填“”，“”或“”) 5．（22-23七年级上·福建漳州·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： 6．（22-23七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知有理数a、b、c在数轴上对应点如图所示， (1)填空：a-b____0,b-c___0,c-a___0(用＜或＞或=号填空) (2)化简:|a－b|＋|b－c|－|c－a| 【典型例题七 相反数的定义】 1．（2024·四川达州·中考真题）有理数2024的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 2．（2024·陕西西安·三模）的相反数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏镇江·二模）若a与互为相反数，则a的值为 ． 4．（23-24九年级下·湖南株洲·期中）如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数是，点为原点，若，则点B表示的数是 ． 5．（23-24七年级上·广西南宁·期中）在数轴上表示下列各数，并将它们用“”号连接起来．      6．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）（1）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，，，，，． 正有理数：{                    …}； 负有理数：{                    …}； （2） 若点，，，分别表示点，，，，点，分别表示与的相反数，请画出数轴并在数轴上标出点，，，，，． 【典型例题八 化简多重符号】 1．（2023·山东滨州·模拟预测）化简，结果正确的为（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）化简： ． 5．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）把数，，，在数轴上表示出来，然后用“”把它们连接起来． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【典型例题九 相反数的应用】 1．（23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习）若a和b互为相反数，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（22-23七年级上·四川乐山·期中）不等于零的两个互为相反数的数，它们的（   ） A．和为1 B．积为0 C．商为 D．差为 3．（22-23七年级下·湖北孝感·期中）若实数与实数互为相反数则等于 ． 4．（22-23七年级下·山东济宁·期末）一个数a在数轴上表示的点是A，当点A在数轴上向左移动了6个单位长度后到点B，点A与点B表示的数恰好互为相反数，则数a是 ． 5．（22-23七年级上·甘肃天水·期中）已知与互为相反数，求的值． 7． （2023七年级·全国·专题练习）a的相反数是什么？若把 a分别换成＋5，－7，0时，这些数的相反数怎样表示？ 【典型例题十 绝对值的意义】 1．（2024·辽宁·模拟预测）绝对值等于的数是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个数的绝对值是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广东潮州·期中）如果一个数的绝对值是，那么这个数是 ． 4．（23-24七年级上·广东广州·期末）当时，去绝对值后可化为 ． 5．（22-23七年级·江苏·假期作业）求绝对值不大于3的所有整数． 6．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，请根据有理数的加法法则判断下列各式的正负性： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 【典型例题十一 求一个数的绝对值】 1．（2024·江苏宿迁·二模）有理数的绝对值是（    ） A． B．5 C． D．0.5 2．（2024·甘肃天水·三模）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·河南郑州·二模） ． 4．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）一个数具有以下两个特点：①它的绝对值等于3；②它是负数．这个数是 ． 5．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，且，求的值． 6．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： (1)正数集合：_________； (2)整数集合：_________； (3)负分数集合：_________； 【典型例题十二 化简绝对值】 1．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A．或 B． C．或 D．或 2．（22-23七年级上·山东滨州·期中）如果，下列成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·福建福州·期末）当时，化简 ． 4．（23-24七年级上·广东广州·期中）数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则可化简为 ．    5．（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）如果，，且，求的值． 6．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并比较这些数的大小． ，，，，. 【典型例题十三 绝对值非负性】 1．（2023七年级上·全国·专题练习）如果，则a+1一定是（   ） A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数 2．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）关于下列叙述正确的是（ ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最小值0 D．有最大值0 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 4．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）当 时，的值最小，最小值为 ． 5．（22-23七年级上·湖南永州·阶段练习）已知，求x，y的值分别是多少？ 6．（22-23七年级上·辽宁丹东·期中）已知＋=0，求的值. 【典型例题十四 绝对值方程】 1．（23-24七年级上·江苏·周测）已知，则x的值是〔   〕 A． B．5 C．或5 D．以上答案都不对 2．（22-23七年级上·福建泉州·阶段练习）适合的整数的值有（    ） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则 ． 4．（22-23七年级上·浙江台州·期末）定义运算，如．若，且，则的值为 ． 5．（22-23七年级上·四川眉山·阶段练习）若，求的值. 6．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 【典型例题十五 绝对值的其他应用】 1．（23-24七年级上·广西来宾·期中）某部门检测一种零件，零件的标准长度是6cm，超过标准的长度用正数表示，不足的用负数表示，抽查了4个零件，测量结果如下：①，②，③，④．在这4个零件中，最接近标准长度的是（    ） A．④ B．③ C．② D．① 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如表，检测四个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，某教练想从这四个排球中挑一个最接近标准的排球作为比赛用球，应选哪一个（   ） 排球 1号 2号 3号 4号 质量（克） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 3．（23-24七年级上·湖南湘西·期中）写出一个绝对值小于4的负数 ．（写出一个即可） 4．（23-24七年级上·河南驻马店·期中）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“、”分别表示比标准质量多、少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 饼干． 威化 咸味 甜味 酥脆 5．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，检测4个篮球，其中质量超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数（单位：g），从轻重的角度看，最接近标准的球是几号？并说明理由．    6．（23-24七年级上·内蒙古通辽·阶段练习）阅读下面的材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示、在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______． (2)若，则______． (3)满足的有理数有______个． 【变式训练1 数轴的三要素及其画法】 1．（23-24七年级上·广西南宁·期中）下列是四位同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广西钦州·期中）下列选项中，数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（22-23七年级上·湖南永州·阶段练习）数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴.（填数轴的三要素） 4．（22-23七年级上·全国·课前预习）画一条水平 ，在直线上取一点，表示 （叫做 ），选取某一适当长度为 ，规定直线上向 的方向为 ，就得到一条数轴． 5．（22-23七年级上·山东菏泽·期中）请补全数轴，并用数轴上的点表示下列各数，然后按照由小到大的顺序用“”把它们连接起来． ，，－2.5，，－1． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，2.5，3，，0，，． 【变式训练2 用数轴上的点表示有理数】 1．（23-24六年级上·山东泰安·期末）A为数轴上表示的点，将点A沿数轴移动5个单位长度到点B，点B所表示的数为（    ） A． B．或7 C．或3 D．3 2．（22-23七年级上·浙江湖州·期中）下面的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数有（    ）个． A． B． C．9 D．8 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）写出一个“数轴上到原点的距离小于3的点”表示的有理数： ． 4．（23-24六年级上·山东烟台·期末）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆周上4等分点处分别标上数字0、1、2、3，让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示数的点对应圆周上的数字是 ． 5．（22-23七年级上·江西宜春·期中）将下列各数在给出的数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． ，0，，，． 6． （24-25七年级上·全国·假期作业）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”连接：，，，，，． 【变式训练3 利用数铀比较有理数的大小】 1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）有理数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图所示，则下列关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·新疆喀什·阶段练习）如图，a与b的大小关系是（   ）    A． B． C． D．不能确定 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，比较大小：a ．（填“＞”“＜”“＝”） 4．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）两个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．(填“”、“”或“”)    5．（2024六年级下·上海·专题练习）为庆祝中华人民共和国成立74周年，某校举行一场文艺汇演，汇演中途设置了一个有奖问答环节，题目在背景屏幕上显示如图： 7． （23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）已知数轴上表示数的点与表示数的点之间得到距离为，表示数的点与表示数的点之间的距离为，求，两点之间的距离． 【变式训练4 数轴上两点之间的距离】 1．（22-23七年级上·四川眉山·期中）点A为数轴上表示的点，将点A沿数轴移动4个单位长度得到点B，点B表示的数为（     ） A．2 B． C．2或 D． 2．（23-24七年级上·浙江·期末）如图，数轴上A点所表示的数是，B点所表示的数是3，则线段的中点所表示的数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．1.5 3．（2024六年级下·上海·专题练习）在数轴上表示的点，沿数轴正方向移动个单位，移动后的点所对应的有理数是 ． 4．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，数轴上点为原点，点，分别表示数，2，则线段的长度为 ． 5．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应的数分别为、1．B与D两点间的距离是3．在图中标出点B，C的位置，并写出点B对应的数． 6．（23-24七年级上·广西玉林·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图，且．    (1) _______0， _______0， ______0（请用“”或“”填空）； (2)化简：． 【变式训练5 数轴上的动点问题】 1．（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）点M在数轴上运动，先向右移动7个单位长度，再向左移动4个单位长度，此时正好在原点处，M开始运动时表示的数是（　　） A．3； B．-3； C．-10； D．10； 2．（22-23九年级下·江苏淮安·期中）如图，在数轴上，点A表示的数是4，将点A沿数轴向左移动a（）个单位长度得到点P，则点P表示的数可能是（    ）    A．0 B． C．0.5 D．2 3．（22-23七年级上·湖北武汉·阶段练习）点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动6个单位，再向左移动7个单位，终点恰好是原点，则点A最初表示的数是 ． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）在数轴上，点从某点表示的数是开始移动，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度，最后到达点表示的数是 ． 5．（23-24七年级上·河南周口·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．那么在数轴上表示A、B两点之间的距离记为，请你利用数轴回答问题：    (1)在数轴上，如果表示的是，表示的是3，求两点之间的距离． (2)分别用字母表示数轴上m和2两点之间的距离以及n和两点之间的距离． (3)判断正负，用“＞”或“＜”填空：______0，______0，______0． 6．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“＜”号连接起来： ，， ，0，， 【变式训练6 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 1．（23-24七年级上·广东深圳·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东茂名·期中）有理数a、b的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，则 0（填“” “” “”）． 4．（22-23七年级上·重庆渝北·期末）已知A，B，C三点在数轴上对应的数为a，b，c，它们在数轴上的位置如图所示，化简： ． 5． （23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）已知a，b互为相反数，且，求b的值． 6． （22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）设a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧，c，d互为倒数，e的绝对值为1，请求出下列代数式的值：2a+2b﹣+e． 【变式训练7 相反数的定义】 1．（2024·山东济宁·一模）相反数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·二模）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．请问的相反数是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）已知a，b互为相反数，则 ． 4．（22-23七年级上·甘肃平凉·阶段练习）已知，那么的相反数是 ；已知，则a的相反数是 ． 5．（22-23七年级上·北京·阶段练习）已知|a|＝3，|b|＝3，a、b异号，求a+b的值． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练8 化简多重符号】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）等于（    ） A．2024 B． C． D． 2．（2023·吉林松原·三模）化简的结果为（　　） A． B． C．0 D．2 3．（22-23七年级上·广东深圳·期末）化简： ． 4．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）化简： ， ． 5．（23-24七年级上·全国·课堂例题）化简下列各数． ． 6．（23-24七年级上·新疆喀什·期中）如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【变式训练9 相反数的应用】 1．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）若a与是互为相反数，则a的值为（） A．0 B． C．3 D． 2．（22-23七年级上·河北沧州·期末）m与互为相反数，则m的值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）若a，b互为相反数，则 ． 4．（22-23七年级上·重庆綦江·阶段练习）已知与的值互为相反数，则x的值为 ． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）如果一个数的绝对值等于，则这个数是 ． 6．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【变式训练10 绝对值的意义】 1．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）如果，那么的取值范围是（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 2．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上表示的点A到原点的距离是（　　） A． B．3 C． D． 3．（22-23七年级·浙江温州·阶段练习）绝对值小于的所有整数有 个． 4．（23-24七年级上·福建厦门·期末）有理数b，在数轴上的对应点的位置如图中黑点所示，若整数a满足，则整数a的值可以是 ．（写出一个满足题意的具体数值）    5．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）把下列各数序号填入相应的类别中． ①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨． 自然数：{                           } 正分数：{                           } 负整数：{                           } 负有理数：{                           } 7． （22-23七年级上·浙江·阶段练习）请你在数轴上表示下列有理数：，，，，，并将这些数用“<”连接起来． 【变式训练11 求一个数的绝对值】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）的绝对值是（    ） A． B． C． D．23 2．（2024·江苏泰州·一模）等于（   ） A． B．4 C． D．2 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）化简： ； ； ． 4．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）的相反数是 ；的绝对值是 ． 5．（23-24六年级上·山东东营·阶段练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（23-24七年级下·全国·假期作业）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数， 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，； 所以的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： （1）的最小值是______； （2）当为何值时，代数式的最小值是． 【变式训练12 化简绝对值】 1．（22-23七年级上·全国·单元测试）若，则等于（ ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·山西朔州·期末）的相反数是（    ） A．2023 B． C． D．不能确定 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）化简： ． 4．（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）化简： ①+（+2）=_________； ②－（+6）=_________； ③_________； ④_________． 5． （24-25七年级上·全国·假期作业）若，求，的值． 6．（23-24七年级上·河南焦作·期中）已知：c是最小的两位正整数，且a、b、c满足，若a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点P为数轴上的一个动点，对应的数为x． (1)求A、C两点间的距离； (2)若P、B两点间的距离是8，求x的值． 【变式训练13 绝对值非负性】 1．（22-23七年级上·山东德州·阶段练习）若，则的值可以是（　　） A． B． C． D．1 2．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）如果，那么（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）已知，则 ． 4．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）已知a，b，c为的三边长，b，c满足，且a为2，则的周长为 ． 5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，求x的值． 6．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：    (1)表示数轴上________与________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得．这样的整数有_ ____． (4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值． 【变式训练14 绝对值方程】 1．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）若，则的值为（    ） A．1或11 B．1或 C．或11 D．或 2．（2023·陕西西安·模拟预测）如果，那么（    ） A． B．或2 C． D．2 3．（22-23七年级上·江苏常州·期中）若，则 ． 4．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）绝对值等于11的数是 5．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）阅读下面材料： 在数轴上2与所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与3所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与所对应的两点之间的距离为． 归纳：在数轴上点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离或． 回答下列问题： (1)数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示数x和 的两点之间的距离表示为； (2)试说明当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，并求出这个固定值． 6．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）[例读]表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离: 可以看做表示3与的差的绝对值.也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之向的距离. [探索] (1)数轴上表示4和的两点之间的距离是； (2)①若，则x＝_____； ②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和是多少？ 【变式训练15 绝对值的其他应用】 1．（22-23七年级上·河北保定·期末）如图，检测个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）一种大米每袋的标准质量为，下列选项记录了4袋大米的质量，不足的记为负数，超过的记为正数，则其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·江西·阶段练习）绝对值小于 3的整数有 个． 4．（22-23七年级上·浙江台州·期中）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球． 排球编号 一号 二号 三号 四号 五号 检测结果 5．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答：                                                             （1）如果将A点向右移动4个单位长度，表示什么数? （2）如果将点C向左移动3个单位长度，三个点中哪个点表示的数最大？是多少？ （3）如果点A、点B同时向右运动，点A的速度是2个单位/秒，点B的速度是1个单位/秒，问经过多长时间两点重合？ 6．（22-23七年级上·全国·阶段练习）如图，数轴上有三个点A、B、C，它们可以沿着数轴左右移动，请回答： （1）点A、B、C分别表示的数是______________________． （2）将点B 向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是_____________． （3）移动点A到达点E，使B、C、E三点的其中任意一点为连接另外两点之间线段的中点，请直接写出所有点A 移动的距离和方向． 1．（2023·广东东莞·一模）的化简结果（    ） A．2 B．0 C． D． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）实数在数轴上对应的点如图所示，则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上这个数所对应的点是（    ）      A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 4．（22-23七年级上·北京门头沟·期末）有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，如果有理数b满足，那么b的值不可能是（    ） A．2 B．3 C． D． 5．（22-23七年级上·山西临汾·期末）正式排球比赛时所使用的排球质量是由严格规定的，检查了4个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数．检查结果如下：①号；②号；③号；④号，那么质量最好的排球是（    ） A．①号 B．②号 C．③号 D．④号 6．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．    7．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列结论中①；②；③；④，⑤其中正确的有 ．（填序号） 8．（22-23七年级上·陕西宝鸡·期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a、b、-a、-b 的大小关系是 （用“＜”把它们连接起来）． 9．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且个位上的数字不大于十位上的数字，十位上的数字不大于百位上的数字，百位上的数字不大于千位上的数字，当取得最大值时，这个四位数的最小值是 ． 10．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）定义：若数轴上A、B两点分别对应数a、b，则 A、B两点之间的距离记作，且．根据图中信息，完成下列各题： （1） ； （2）若数轴上点P 对应数，则 ①当=时，= ； ②当取最小值时，的取值范围为 ； （3）求A、B、O、C、D这5个点中所有两点间的距离之和． 11．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）在数轴上表示下列各数，并把它们按照从小到大的顺序排列． ，，，． 12．（22-23七年级·全国·假期作业）判断下面所画数轴是否正确，并说明理由 13．（22-23七年级上·吉林长春·期中） 如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，化简：. 14．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：    (1)如果点，表示的数是互为相反数，那么原点对应的点是________； (2)如果点，表示的数是互为相反数，那么图中数轴上的5个点所对应的有理数为： 点 对应数 15．（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且．    (1)写出数轴上点B表示的数 ； (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则 ． ②的最小值为 ； (3)动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（）秒．求当t为 时，A，P两点之间的距离为2． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 数轴、相反数和绝对值（4大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 数轴的三要素及其画法 题型二 用数轴上的点表示有理数 题型三 利用数铀比较有理数的大小 题型四 数轴上两点之间的距离 题型五 数轴上的动点问题 题型六 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型七 相反数的定义 题型八 化简多重符号 题型九 相反数的应用 题型十 绝对值的意义 题型十一 求一个数的绝对值 题型十二 化简绝对值 题型十三 绝对值非负性 题型十四 绝对值方程 题型十五 绝对值的其他应用 知识点01 相反数 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点02 绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 知识点03 利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 知识点04 数轴 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 3.应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 【典型例题一 数轴的三要素及其画法】 1．（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴．根据数轴定义：规定了正方向、原点、单位长度的直线叫做数轴，我们一般规定，数轴向右为正方向，单位长度必须一致，依据以上标准判断即可． 【详解】解：A、不正确，错误原因：数轴单位长度不一致； B、正确； C、不正确，错误原因：缺少正方向； D、不正确，错误原因：缺少了原点． 故选：B． 2．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四个同学各画了一条数轴，你认为正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴的判断，根据一条带有方向，坐标原点，单位长度的直线叫数轴逐个判断即可得到答案； 【详解】A选项方向与数不对应，不符合题意， B选项图形正确，符合题意， C选项图形无原点不符合题意， D选项图形无单位长度不符合题意， 故选：B． 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数轴的三个要素是：原点、 和单位长度． 【答案】正方向 【分析】本题考查数轴的三要素（原点、正方向和单位长度），解题的关键是熟记数轴的三要素，据此解答即可． 【详解】解：数轴的三个要素是：原点、正方向和单位长度． 故答案为：正方向． 4．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）规定了原点、正方向和 的直线叫做数轴． 【答案】单位长度 【分析】根据数轴的定义，作答即可． 【详解】解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴； 故答案为：单位长度． 【点睛】本题考查数轴的定义，牢记数轴的三要素：原点，单位长度，正方向，是解题的关键． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： 【答案】作图见解析 【分析】先根据数轴的定义画出数轴，再将各数标记在数轴上即可． 【详解】解：如图所示． 【点睛】本题考查了数轴与有理数的关系，熟练掌握数轴的定义是解决本题的关键，数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 6．（22-23七年级上·新疆昌吉·期中）请画一条数轴，并在数轴上表示下列各数，并用“<”连接起来：5、，2.5、0，、+1． 【答案】数轴图见解析，． 【分析】先画出数轴，再根据数轴上表示的数，左边的总小于右边的即可得出答案． 【详解】解：在数轴上表示下列各数如下： 则． 【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的三要素：原点、正方向、单位长度是解题关键． 【典型例题二 用数轴上的点表示有理数】 1．（2024·河南·中考真题）如图，数轴上点P表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键． 根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解． 【详解】解：根据题意可知点P表示的数为， 故选：A． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：B． 3．（23-24七年级上·贵州黔西·阶段练习）如图，被墨迹盖住的数中，整数一共有 个． 【答案】10 【分析】本题考查用数轴表示有理数，根据图形，求出被墨迹盖住的数，即可． 【详解】解：由图可知，被墨迹盖住的数中，整数有，共10个； 故答案为：10． 4．（2024九年级·全国·竞赛）在数轴上，区域关于原点对称的区域是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上关于原点对称的点的特征，根据数轴上关于原点对称的点表示的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：∵关于原点对称的点表示的数为6，8关于原点对称的点表示的数为， ∴在数轴上，区域关于原点对称的区域是， 故答案为： 5．（23-24七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数：2，，0，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，先画出数轴，再在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 6．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）在数轴上（每一格代表单位长度）表示出数，1，0，， 【答案】见详解 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数：先化简，再根据正负数的定义在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则把各数表示在数轴上如下， ． 【典型例题三 利用数铀比较有理数的大小】 1．（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，根据点在数轴上的位置，以及数轴上的数右边比左边的大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：； 故选C． 2．（2024·陕西咸阳·一模）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数，数形结合即可求解． 【详解】解：根据数轴可知，，， A. ，故该选项正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）从数轴上看，大于且不大于2的整数有 个． 【答案】5 【分析】大于且不大于2的整数在数轴上与2之间，结合分界点可得答案． 【详解】解：根据数轴可得大于且不大于2的整数有：、、0、1、2共5个． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了有理数大小比较，整数的含义，注意零也是整数． 4．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）如图，在一个不完整的数轴上有两个点，它们表示的数分别是a，b，则a b.（填“”、“”或“”）    【答案】＜ 【分析】根据“数轴上的两个点，靠右边的数总比靠左边的数大”即可求解． 【详解】解：因为数a、b在数轴上，且数a在数轴上的点比数b在数轴上的点靠左边， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，掌握数轴右边的数大于左边的数是解题的关键． 5．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”连接． ，，，，， 【答案】各数在数轴上的表示见解析； 【分析】本题主要考查数轴，在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大． 【详解】 6．（23-24七年级上·广东惠州·期中）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来：，，，，， 【答案】表示见解析，． 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，先在数轴上表示出各数，再按照从左到右的顺序用“”连接起来即可，正确在数轴上表示各数是解题的关键． 【详解】解：在数轴上表示各数如图所示： 由数轴可得，． 【典型例题四 数轴上两点之间的距离】 1．（2024·河北石家庄·二模）在原点左侧距离原点3个单位长度的点表示的数是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可． 【详解】解：原点左侧距离原点3个单位长度的点表示的数是． 故选C． 2．（2024·陕西汉中·一模）如图，数轴上表示的点A到原点的距离是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴．根据数轴上各点到原点距离的定义进行解答即可． 【详解】解：数轴上表示的点到原点的距离是． 故选：B． 3．（2024·宁夏中卫·一模）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是，点C表示的数是5，点B是的中点，则点B表示的数是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了数轴上两点的中点计算公式，根据数轴上两点中点计算公式求解即可． 【详解】解：∵点A，B，C在数轴上，点A表示的数是，点C表示的数是5，点B是的中点， ∴点B表示的数是， 故答案为：． 4．（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为 ． 【答案】4 【分析】根据平移规律计算，，解答即可，本题考查了数轴上的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】根据平移规律，得，， 故点B表示的数是4， 故答案为：4． 5．（22-23七年级上·河北保定·期中），如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．    (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为多少？ (2)图中点A所表示的数和点B所表示的数分别是多少． 【答案】(1)8 (2)14，22 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）根据用数轴上的点表示有理数即可求解． 【详解】（1）解：观察数轴可知三根木棒长为（）， 则这根木棒的长为（）． （2），， 所以图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22． 【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离及用数轴上的点表示有理数是解题的关键． 6．（22-23七年级上·河南洛阳·阶段练习）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：    (1)请根据图中，两点的位置，分别写出它们所表示的有理数，：______，：______； (2)在数轴上与点的距离为2的点所表示的数是______； (3)若经过折叠，点与表示数的点重合，则点与表示数______的点重合； (4)若数轴上，两点之间的距离为2022（点在点的左侧），且点，经过（3）中的折叠方式折叠后重合，求，两点表示的数． 【答案】(1)1， (2)或3 (3)2 (4)表示的数是，点表示的数为1010 【分析】（1）数轴上可以直接看出：1，：； （2）利用与点的距离为2的点有两个，一个向左，一个向右，可得答案； （3）找到对称中心即可得答案； （4）由题意知对称中心为，以及，两点间的距离为2022，即可得，两点间的位置． 【详解】（1）数轴上可以直接看出：1，：； 故答案为：1，； （2）利用与点的距离为2的点有两个，一个向左，一个向右， 点的距离为2的点所表示的数：，， 故答案为：或3； （3）∵经过折叠，点与表示数的点重合， ∴两点的对称中心为， ∴点与表示数2的点重合， 故答案为：2； （4）∵折叠后，点与表示数的点重合，且点表示的数为1， ∴． ∴，即折叠点表示的数为． ∵，，点在点的左侧， ∴点表示的数是，点表示的数为1010． 【点睛】本题考查了数轴有关的知识，解题的关键在于要考虑周全，特别要注意折叠重合中的性质利用． 【典型例题五 数轴上的动点问题】 1．（2024·四川广元·中考真题）将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数． 【详解】根据题意：数轴上所对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是1． 故选B． 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）数轴上点表示的数是，将点沿数轴移动单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点移动后数字表示，解题关键是移动规律左减右加．根据数轴上点的移动规律，左减右加计算即可． 【详解】解：根据数轴上点的移动规律，左减右加， 可得点向左移动时：， 可得点向右移动时：， 综上可得点表示的数是或， 故选． 3．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）数轴上的点A表示的数是，将点A向右移动3个单位长度，得到点B，点B表示的数为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了数轴上的动点问题，根据左加右减的规律求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 则点B表示的数是1， 故答案为：1． 4．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，周长为14的长方形，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为，，若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2023次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 ． 【答案】7083 【分析】此题是找规律的题，长方形的周长是14，长是6，宽则为1，翻滚2次的和为7，翻滚2022次的和为7077，再翻滚1次即翻滚2023和为7078， 【详解】解：长方形的周长是14，长为6，则宽为1，点A对应，点B 对应5． 翻滚1次到达数轴上的点对应6，翻滚2次到达数轴上的点对应12； 翻滚3次到达数轴上的点对应13，翻滚4次到达数轴上的点对应19； 翻滚5次到达数轴上的点对应20，翻滚6次到达数轴上的点对应26； …… 翻滚2021次到达数轴上的点对应7076，翻滚1次到达数轴上的点对应7082； 翻滚2023次到达数轴上的点对应7083，故点P对应的数是7083． 故答案为：7083． 【点睛】本题考查的是数轴的一个知识，解题的关键是找到规律． 5．（22-23七年级上·河北邢台·期末）数轴上，点表示-2，现从点开始先向右移动3个单位到达点，再从点向左移动5个单位到达点. （1）点各表示什么数？ （2）到达点后，再向哪个方向移动几个单位，才能回到原点？ 【答案】(1)P:1,Q:4;(2) 向右移动4个单位，才能回到原点 【分析】（1）利用数轴上点的移动规律：左减右加得出P，Q各表示什么数； （2）根据得出Q点表示的数与原点的位置，回答问题即可. 【详解】解：（1）点表示-2，点表示， 点表示1-5=-4； （2）-4在原点的左边，距离原点4个单位，所以向右移动4个单位，才能回到原点. 【点睛】此题考查的知识点是数轴，利用数轴上点的移动规律是解决问题的关键. 6．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15． （1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______； （2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？ 【答案】-10，14，24；(2) -2；(3) t=23或25 【分析】(1)根据AB、CD的长度结合点A、D在数轴上表示的数，即可求出点B、C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式求出线段BC的长度； (2)设相遇时间为a,分别用a表示出相遇时B、C两点所表示的数,让其相等即可求出; (3) 分线段AB与线段CD在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合BC=1，得出关于t的的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】解：（1）∵AB=2，点A在数轴上表示的数是-12， ∴点B在数轴上表示的数是-12+2=-10； ∵CD=1，点D在数轴上表示的数是15， ∴点C在数轴上表示的数是15-1=14． ∴BC=14-（-10）=24． 故答案为：-10，14，24； （2）设运动时间为a秒时B、C相遇， 此时点B在数轴上表示的数为-10+a，点C在数轴上表示的数为14-2a ∵B、C重合 ∴-10+a=14-2a 解得a=8 此时点与点在数轴上表示的数是-10+a=-10+8=-2； 故答案为：-2 (3)当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为-10-t，点C在数轴上表示的数为14-2t ∴BC== ∵BC=1 ∴=1 ∴t1=，t2= 综上所述：当BC=1时，t=23或25； 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴等知识，解题的关键是：根据点与点之间的位置关系求出点B、C在数轴上表示的数． 【典型例题六 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 1．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）若有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴的应用，由数轴确定a、b、c的符号是解题的关键． 先由数轴确定a、b、c的符号，然后运用整式的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由图示可得：且，则，即B选项正确，符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据数轴上点的位置确定式子的符号，能利用数形结合得到a、b的大小是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得：， A. ，运算错误，不符合题意； B. ，运算错误，不符合题意； C. ，运算正确，符合题意； D. ，运算错误，不符合题意； 故选C． 3．（2023·广西北海·一模）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 0（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较的应用，能根据数轴得出，是解此题的关键． 根据可知a、b异号，结合a、b在数轴上的位置得到：． 【详解】解:，， ． 故答案为：． 4．（2023·陕西渭南·一模）实数，在数轴上的位置如图所示，则 (填“”，“”或“”) 【答案】 【分析】根据数轴判断出距离原点的距离比距离原点的距离小，即可得出答案． 【详解】解：∵距离原点的距离比距离原点的距离小， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，掌握，在数轴上对应点的位置得出距离原点的距离比距离原点的距离小是关键． 5．（22-23七年级上·福建漳州·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： 【答案】2a+2b; 【分析】根据数轴分别判断a+b,b+c,c-a的正负性,然后去绝对值解题即可. 【详解】 【点睛】本题结合数轴和绝对值,关键在于根据数轴判断正负性. 6．（22-23七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知有理数a、b、c在数轴上对应点如图所示， (1)填空：a-b____0,b-c___0,c-a___0(用＜或＞或=号填空) (2)化简:|a－b|＋|b－c|－|c－a| 【答案】（1）＞，＞，＜；（2）0． 【分析】（1）根据数轴上点的位置比较数的大小即可求出答案； （2）先去掉绝对值符号，再合并即可． 【详解】解：（1）根据数轴可知： c＜0＜b＜a， ∴a-b＞0，b-c＞0，c-a＜0； （2）原式=（a-b）+（b-c）+（c-a） =a-b+b-c+c-a =0． 【点睛】本题考查绝对值、数轴和有理数的大小比较，熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 【典型例题七 相反数的定义】 1．（2024·四川达州·中考真题）有理数2024的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2．（2024·陕西西安·三模）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 3．（2024·江苏镇江·二模）若a与互为相反数，则a的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：若与互为相反数，则的值为， 故答案为：． 4．（23-24九年级下·湖南株洲·期中）如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数是，点为原点，若，则点B表示的数是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，相反数的意义．根据数轴上两点间的距离，即可求解. 【详解】解：∵点A表示的数是，， ∴点A点B表示的数互为相反数， ∴点B表示的数为：， 故答案为：2024． 5．（23-24七年级上·广西南宁·期中）在数轴上表示下列各数，并将它们用“”号连接起来．      【答案】图见解析， 【分析】本题考查的是有理数的大小比较及相反数、绝对值，熟知数轴上右边的数总比左边的大及相反数、绝对值的意义是解答此题的关键． 在数轴上表示出各数，从左到右用“”将它们连接起来即可． 【详解】解：， 如图所示：      6．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）（1）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，，，，，． 正有理数：{                    …}； 负有理数：{                    …}； （2）若点，，，分别表示点，，，，点，分别表示与的相反数，请画出数轴并在数轴上标出点，，，，，． 【答案】（1）15，，，； ，，，；（2）见解析 【分析】本题考查了有理数的分类及用数轴上的点表示有理数： （1）根据正、负有理数的定义即可求解； （2）先将，，，，，所表示的有理数计算出来，再将其在数轴上表示出来即可； 熟练掌握有理数的分类及数轴上表示有理数的方法是解题的关键． 【详解】解：（1）正有理数{15，，， }， 负有理数{ ，，，}， 故答案为：15，，，； ，，，． （2）因为，，，， 的相反数是4，的相反数是， 所以画出的数轴及各点在数轴上的位置如图．    【典型例题八 化简多重符号】 1．（2023·山东滨州·模拟预测）化简，结果正确的为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的意义去括号，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B 2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义解答即可，本题考查了相反数，多重符号的化简方法，熟练掌握以上方法是解题的关键． 【详解】解：A、，不符合题意 B、，不符合题意 C、，符合题意 D、，不符合题意 故选：C． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 【答案】4 【分析】本题考查利用相反数定义化简符号．根据的相反数是4求解即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数中化简多重符号. 【详解】解：． 故答案为：． 5．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）把数，，，在数轴上表示出来，然后用“”把它们连接起来． 【答案】数轴见解析， 【分析】首先在数轴上表示各数，然后再根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数用“”号把它们连接起来． 【详解】解：，， 如图所示： 用“”连接为：． 【点睛】此题主要考查了有理数的大小，以及数轴，关键是掌握在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1)3，与互为相反数 (2)1.2，，与互为相反数 (3)， (4)， 【分析】首先化简各对数，然后根据相反数的概念求解即可． 【详解】（1）， 所以与互为相反数； （2），， 所以与互为相反数； （3），， 所以与相等； （4），， 所以与相等． 【点睛】本题考查了多重符号的化简方法，一个数前面有偶数个“”号，结果为正，一个数前面有奇数个“”号，结果为负，0前面无论有几个“”号，结果都为0．只有符号不同的两个数互为相反数． 【典型例题九 相反数的应用】 1．（23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习）若a和b互为相反数，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】互为相反数的两数的和为零． 【详解】解：由题意得： ∴ 故选：B 【点睛】本题考查相反数的性质．熟记相关结论即可． 2．（22-23七年级上·四川乐山·期中）不等于零的两个互为相反数的数，它们的（   ） A．和为1 B．积为0 C．商为 D．差为 【答案】C 【分析】根据相反数的定义可知选项C正确 【详解】设不等于零的两个互为相反数的数为与，则 ，，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的运算方式即可 3．（22-23七年级下·湖北孝感·期中）若实数与实数互为相反数则等于 ． 【答案】0 【分析】互为相反数的两个数的和为0，据此解答即可． 【详解】解：实数与实数互为相反数，则． 故答案为：0 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键． 4．（22-23七年级下·山东济宁·期末）一个数a在数轴上表示的点是A，当点A在数轴上向左移动了6个单位长度后到点B，点A与点B表示的数恰好互为相反数，则数a是 ． 【答案】3 【分析】由题意得，且，联立解答即可． 【详解】解：由题意得：，，解得， 故答案为． 【点睛】本题考查了相反数的应用，解题的关键是能根据题意列出方程，． 5．（22-23七年级上·甘肃天水·期中）已知与互为相反数，求的值． 【答案】3 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程求解即可． 【详解】∵3m−2与−7互为相反数， ∴（3m−2）＋（−7）＝0， 解得m＝3． 【点睛】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 6．（2023七年级·全国·专题练习）a的相反数是什么？若把 a分别换成＋5，－7，0时，这些数的相反数怎样表示？ 【答案】见解析 【分析】a的相反数是－a，a可表示任意有理数，求任意一个数的相反数，就可以在这个数前加一个“－”号，注意0的相反数是0． 【详解】a的相反数是－a， ＋5的相反数是-5， -7的相反数是7， 0的相反数是0． 【点睛】本题考查求一个数的相反数，能够掌握相反数的求法是解决本题的关键． 【典型例题十 绝对值的意义】 1．（2024·辽宁·模拟预测）绝对值等于的数是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值．熟练掌握绝对值是解题的关键． 根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：由题意知，绝对值等于的数是或， 故选：C． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个数的绝对值是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的知识，解题的关键是掌握绝对值的代数意义，即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．（23-24七年级上·广东潮州·期中）如果一个数的绝对值是，那么这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据负数的绝对值为它的相反数，正数的绝对值是它本身，进行作答即可． 【详解】解：∵一个数的绝对值是 ∴这个数是 故答案为： 4．（23-24七年级上·广东广州·期末）当时，去绝对值后可化为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查绝对值化简．根据题意先判断绝对值内数的正负性，再根据绝对值定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵当时，， ∴， 故答案为：． 5．（22-23七年级·江苏·假期作业）求绝对值不大于3的所有整数． 【答案】、、、0、1、2、3． 【分析】根据绝对值的性质直接求得结果． 【详解】绝对值不大于3的所有整数为0，． 【点睛】考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 6．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，请根据有理数的加法法则判断下列各式的正负性： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴的定义，绝对值的意义，由数轴的定义，得到，即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，，， ∴①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦． 【典型例题十一 求一个数的绝对值】 1．（2024·江苏宿迁·二模）有理数的绝对值是（    ） A． B．5 C． D．0.5 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题的关键．直接利用绝对值得定义：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，即可得出答案． 【详解】解：有理数的绝对值是． 故选：B． 2．（2024·甘肃天水·三模）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：的绝对值是． 故选B． 3．（2024·河南郑州·二模） ． 【答案】2 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，直接化简，得出2，进行作答即可． 【详解】解：依题意，， 故答案为：2． 4．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）一个数具有以下两个特点：①它的绝对值等于3；②它是负数．这个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 【详解】解；∵一个数它的绝对值等于3，且它是负数， ∴这个数为， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，且，求的值． 【答案】 【分析】根据题意分析出a与b的值再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，或． ∵， ∴或， 故． 【点睛】本题考查绝对值的应用，根据题意得出a与b的可能取值是解题的关键． 6．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： (1)正数集合：_________； (2)整数集合：_________； (3)负分数集合：_________； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）大于零的数叫做正数，据此即可求解； （2）整数包括正整数、负整数和零，据此即可求解； （3）可在负数中找分数，也可在分数中找负数． 【详解】（1）解： 故正数有： 故答案为： （2）解：整数有： 故答案为： （3）解：负分数有： 故答案为： 【点睛】本题考查有理数的分类．掌握相关定义即可． 【典型例题十二 化简绝对值】 1．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意可得或，即可求解． 【详解】解：∵且 ∴或 ∴或 故选：D 【点睛】本题考查绝对值的应用，根据限制条件得出的可能取值是解题关键． 2．（22-23七年级上·山东滨州·期中）如果，下列成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了绝对值的知识，掌握去绝对值的方法是解答本题的关键． 3．（23-24七年级上·福建福州·期末）当时，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值化简，判断，由绝对值的性质即可求解；掌握是解题的关键． 【详解】解：， ， ； 故答案：． 4．（23-24七年级上·广东广州·期中）数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则可化简为 ．    【答案】 【分析】根据数轴判断出，再根据绝对值的性质化简可解答． 【详解】解：由图可知，， ， 所以，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值，数轴，是基础题，判断出、的正负情况是解题的关键． 5．（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）如果，，且，求的值． 【答案】的值为或 【分析】根据绝对值的性质“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，零的绝对值等于零”，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当时，；当时，； ∴的值为或． 【点睛】本题主要考查绝对值的性质，掌握其性质的运用是解题的关键． 6．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并比较这些数的大小． ，，，， 【答案】各数在数轴上的表示见解析      【分析】根据绝对值和相反数的定义，将和化简，再根据在数轴上表示数的方法作图并判断各数大小即可． 【详解】，． 各数表示在数轴上如图所示．      观察数轴上各数的位置，这些数的大小顺序为． 【点睛】本题主要考查用绝对值和相反数的定义化简，以及在数轴上表示数，牢记绝对值和相反数的定义以及在数轴上表示数的方法是解题的关键． 【典型例题十三 绝对值非负性】 1．（2023七年级上·全国·专题练习）如果，则a+1一定是（   ） A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数 【答案】C 【分析】直接根据绝对值的非负性判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故a+1一定是非负数， 故选C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． 2．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）关于下列叙述正确的是（ ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最小值0 D．有最大值0 【答案】B 【分析】利用绝对值的定义，非负数的性质来判断即可． 【详解】解：， ，即有最小值2， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值，非负数，做题的关键是掌握绝对值的定义，非负数的性质． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 4．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）当 时，的值最小，最小值为 ． 【答案】 1 0 【分析】本题考查绝对值的意义．由绝对值的意义可知，即说明当时，的值最小，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，的值最小， ∴，的最小值为． 故答案为：1，0． 5．（22-23七年级上·湖南永州·阶段练习）已知，求x，y的值分别是多少？ 【答案】 【分析】根据绝对值的非负数的性质即可求出x、y的值． 【详解】解：∵，而， ∴ ， 解得． 【点睛】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个非负数也必为零． 6．（22-23七年级上·辽宁丹东·期中）已知＋=0，求的值 【答案】-1 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解. 【详解】解:根据题意得： 解得： 所以， 故答案为. 【点睛】本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键. 【典型例题十四 绝对值方程】 1．（23-24七年级上·江苏·周测）已知，则x的值是〔   〕 A． B．5 C．或5 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的意义作答即可． 【详解】， ， ， ∴或者， 故选：C． 2．（22-23七年级上·福建泉州·阶段练习）适合的整数的值有（    ） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【答案】A 【分析】由题意可理解为到和5的距离的和，由此可得出的值，继而可得出答案． 【详解】解：表示到的距离， 表示到5的距离， 则表示由到5点的距离为12， 故到5中间所有点都满足， 则，由此可得为整数的值有：、、、1，共4个值， 故选：． 【点睛】本题考查了绝对值方程，理解和表示的意义是解题的关键． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了绝对值的意义，正确熟练掌握知识点是解题的关键． 直接取绝对值即可． 【详解】解： ∴或． 故答案为：3或. 4．（22-23七年级上·浙江台州·期末）定义运算，如．若，且，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，正确理解题意即可.根据题意列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：． ∴或 故答案为：3或． 5．（22-23七年级上·四川眉山·阶段练习）若，求的值 【答案】-5或-13 【分析】依据绝对值的性质求得a、b的值，然后代入求解即可． 【详解】∵|a|=4，|b|=9，|a-b|=a-b， ∴a=±4，b=±9，a-b≥0． ∴a=±4，b=-9． 当a=4，b=-9时，则a+b=4+（-9）=-5； 当a=-4，b=-9时，则a+b=-4+（-9）=-13． 综上所述，a+b的值为-5或-13． 【点睛】考查了绝对值的性质、有理数的加法法则，熟练掌握相关性质是解题的关键． 6．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 【答案】或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论：，，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案是解题关键，以防遗漏． 【详解】当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意； 所以，原方程的解为：或． 【典型例题十五 绝对值的其他应用】 1．（23-24七年级上·广西来宾·期中）某部门检测一种零件，零件的标准长度是6cm，超过标准的长度用正数表示，不足的用负数表示，抽查了4个零件，测量结果如下：①，②，③，④．在这4个零件中，最接近标准长度的是（    ） A．④ B．③ C．② D．① 【答案】D 【分析】本题考查的是正负数的应用，绝对值的应用，本题根据正负数的意义，与标准尺寸差值的绝对值越小越符合标准解答即可，理解绝对值的意义是解本题的关键． 【详解】解：①，②，③，④， 在所抽查零件的结果中绝对值最小 ∴①最接近标准长度． 故选D． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如表，检测四个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，某教练想从这四个排球中挑一个最接近标准的排球作为比赛用球，应选哪一个（   ） 排球 1号 2号 3号 4号 质量（克） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数及绝对值．将表格中的数据分别求得对应的绝对值后比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴4号排球最接近标准， 故选：D． 3．（23-24七年级上·湖南湘西·期中）写出一个绝对值小于4的负数 ．（写出一个即可） 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查绝对值与有理数比较大小，解题的关键是掌握负数的绝对值等于它的相反数． 写出一个比大的负数即可． 【详解】解：比大的负数的绝对值均小于4，如． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24七年级上·河南驻马店·期中）按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“、”分别表示比标准质量多、少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 饼干． 威化 咸味 甜味 酥脆 【答案】甜味 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解题意，正确求出各数的绝对值是解题关键．找出表格中四个数值的绝对值最小的即可得． 【详解】解：，，，， ， 最符合标准的一种食品是甜味饼干， 故答案为：甜味． 5．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，检测4个篮球，其中质量超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数（单位：g），从轻重的角度看，最接近标准的球是几号？并说明理由．    【答案】（4）号球，理由见解析 【分析】由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球． 【详解】解：通过求4个篮球的绝对值得： ，，，， 的绝对值最小． 所以（4）号球是最接近标准的球． 【点睛】本题考查了正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中表示的实际意义． 6．（23-24七年级上·内蒙古通辽·阶段练习）阅读下面的材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示、在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______． (2)若，则______． (3)满足的有理数有______个． 【答案】(1)， (2)或 (3)无数 【分析】（1）根据材料提示的两点之间距离的计算方法即可求解； （2）根据绝对值的性质即可求解； （3）根据绝对值的性质，结合数轴即可求解． 【详解】（1）解：与的两点之间的距离是， 与的两点之间的距离是， 故答案为：，． （2）解： 当时，；当时，； ∴或， 故答案为：或． （3）解：根据材料提示两点之间距离公式，则表示为，即点到表示的点，与点到表示的点的距离和为，如图所示，    ∴在点之间的任何数都可以， 故答案为：无数． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离的计算，绝对值的性质的综合，掌握绝对值的性质计算数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． 【变式训练1 数轴的三要素及其画法】 1．（23-24七年级上·广西南宁·期中）下列是四位同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴的三要素和画法．掌握原点、正方向、单位长度称数轴的三要素是解题关键．根据三要素逐一分析即可． 【详解】解：根据原点、正方向、单位长度称数轴的三要素，即可知C选项正确． 故选：C． 2．（23-24七年级上·广西钦州·期中）下列选项中，数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了数轴，掌握规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是关键； 根据数轴的定义可判断； 【详解】解：根据数轴的定义可得，数轴正确的是C， 故选：C． 3．（22-23七年级上·湖南永州·阶段练习）数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴.（填数轴的三要素） 【答案】 原点 正方向 单位长度 【分析】根据数轴的三要素填空即可． 【详解】解：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 故答案为：原点，正方向，单位长度． 【点睛】此题考查了数轴，属于基础知识，要记住：原点，正方向，单位长度被称为数轴的三要素． 4．（22-23七年级上·全国·课前预习）画一条水平 ，在直线上取一点，表示 （叫做 ），选取某一适当长度为 ，规定直线上向 的方向为 ，就得到一条数轴． 【答案】 直线 O 原点 单位长度 右 正方向 【解析】略 5．（22-23七年级上·山东菏泽·期中）请补全数轴，并用数轴上的点表示下列各数，然后按照由小到大的顺序用“”把它们连接起来． ，，－2.5，，－1． 【答案】补全数轴见解析； 【分析】把各点表示在数轴上，根据“在数轴上右边的数总比左边的数大”用“＜”号连接即可． 【详解】解：各数在数轴上表示如图所示， ∴ 【点睛】本题考查了数轴和有理数大小的比较，掌握借助数轴比较有理数大小的方法是解决本题的关键． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，2.5，3，，0，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，关键是正确在数轴上表示各数，（1）画数轴必须具备“三要素”，三者缺一不可；单位长度必须一致，不能长短不一；正方向向右；（2）用数轴上的点表示数时，注意数的符号和该数到原点的距离． 根据有理数的大小，在数轴上表示出各点即可． 【详解】解：如图： 【变式训练2 用数轴上的点表示有理数】 1．（23-24六年级上·山东泰安·期末）A为数轴上表示的点，将点A沿数轴移动5个单位长度到点B，点B所表示的数为（    ） A． B．或7 C．或3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴，由于A移动的方向不确定，故分A点向右移动与向左移动两种情况分别解题即可． 【详解】解：解：A表示的数是，右移个单位，得； 点A表示的数是，左移个单位，得； 所以点B表示的数是或3， 故选C． 2．（22-23七年级上·浙江湖州·期中）下面的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数有（    ）个． A． B． C．9 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了数轴．熟练掌握数轴是解题的关键． 根据在数轴上表示有理数进行作答即可． 【详解】解：由数轴可知，被盖住的整数有，共9个， 故选：C． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）写出一个“数轴上到原点的距离小于3的点”表示的有理数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查数轴的上距离的相关知识，到原点的距离等于3的点所表示的有理数在原点左侧是，在右侧表示3，那么到原点的距离小于3的点所表示的有理数在和3之间． 【详解】解：到原点的距离小于3的点所表示的有理数是． 故答案为：． 4．（23-24六年级上·山东烟台·期末）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆周上4等分点处分别标上数字0、1、2、3，让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示数的点对应圆周上的数字是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了找到表示数的点与圆周上起点处表示的数字重合，是解题的关键． 由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合． 【详解】解：∵， ， ∴数轴上表示数的点与圆周上表示的数字2重合，即与2重合． 故答案为：2． 5．（22-23七年级上·江西宜春·期中）将下列各数在给出的数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． ，0，，，． 【答案】，数轴见解析 【分析】该题主要考查了有理数大小比较，把各数在给出的数轴上表示出来是解题的关键；先把各数在数轴上表示出来，再从左到右用“”连接起来即可． 【详解】解：， 则， 用“”把它们连接起来如图． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”连接：，，，，，． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查有理数与数轴的关系，理解并掌握数轴上的点与实数一一对应的关系是解题的关键． 画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行比较． 【详解】解：如图所示： 因为在数轴上右边的数大于左边的数， 所以． 【变式训练3 利用数铀比较有理数的大小】 1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）有理数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图所示，则下列关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上的点从左往右依次增大得到a、b、c的大小关系．本题考查数轴上的点表示有理数，解题的关键是掌握利用数轴比较有理数大小． 【详解】解：根据a、b、c在数轴上的位置，得． 故选：C 2．（23-24七年级上·新疆喀什·阶段练习）如图，a与b的大小关系是（   ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上有理数的大小比较，根据数轴可直接进行求解． 【详解】解：由数轴可知； 故选A． 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，比较大小：a ．（填“＞”“＜”“＝”） 【答案】＜ 【分析】本题考查了利用数轴进行比较大小，根据越在数轴的右边的数越大，即可作答． 【详解】解：由数轴可知 ∴ 故答案为：＜ 4．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）两个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．(填“”、“”或“”)    【答案】 【分析】根据数轴左边的数小于右边的数得到，即可直接解答． 【详解】解：根据数轴得：， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大． 5．（2024六年级下·上海·专题练习）为庆祝中华人民共和国成立74周年，某校举行一场文艺汇演，汇演中途设置了一个有奖问答环节，题目在背景屏幕上显示如图： 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，绝对值，准确熟练地在数轴上找到各数对应的点是解题的关键． 先化简各数，然后在数轴上准确找到各数对应的点，即可解答． 【详解】解：，，最小的正整数是1，的最小值是，0的相反数是0，比大的数是， 如图： ． 6．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）已知数轴上表示数的点与表示数的点之间得到距离为，表示数的点与表示数的点之间的距离为，求，两点之间的距离． 【答案】之间的距离为或或 【分析】本题考查了数轴上两点距离；根据题意求出与的值，即可确定出，两点之间的距离． 【详解】解：根据题意得：或，或， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 综上所述，之间的距离为或或． 【变式训练4 数轴上两点之间的距离】 1．（22-23七年级上·四川眉山·期中）点A为数轴上表示的点，将点A沿数轴移动4个单位长度得到点B，点B表示的数为（     ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴，解题的关键是左减右加．没有说明移动方向，因此有两种情况向左减，向右加即可． 【详解】解：向左移动4个单位长度对应的点表示，向右移动4个单位长度对应的点表示， 所以点B表示的数为2或， 故选：C 2．（23-24七年级上·浙江·期末）如图，数轴上A点所表示的数是，B点所表示的数是3，则线段的中点所表示的数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的位置，掌握若点A表示的数是a，点B表示的数是b，则线段的中点表示的数是是解题的关键． 【详解】解：依题意得：中点表示的数为： 故选：B． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）在数轴上表示的点，沿数轴正方向移动个单位，移动后的点所对应的有理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的特点，掌握数轴上两点间的距离公式求解即可． 根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，数轴上点为原点，点，分别表示数，2，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴；根据数轴上两点间距离进行计算，即可解答． 【详解】解：∵数轴上点分别表示数，2， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应的数分别为、1．B与D两点间的距离是3．在图中标出点B，C的位置，并写出点B对应的数． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查用数轴表示有理数．根据点A、D所对应的数确定出原点的位置，即为C的位置，根据B与D两点间的距离是3，且点在点的左侧，确定出点位置即可． 【详解】解：由题意，标出B，C的位置如图所示： 由图可知，点表示的数为． 6．（23-24七年级上·广西玉林·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图，且．    (1) _______0， _______0， ______0（请用“”或“”填空）； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先根据各点在数轴上的位置判断出a，b，c的符号，即可判断各式的符号； （2）根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可化简求解． 本题考查的是数轴与绝对值相结合的问题，解答此类问题的关键是数值数轴的特点及绝对值的性质． 【详解】（1）由图可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）∵，， ∴=． 【变式训练5 数轴上的动点问题】 1．（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）点M在数轴上运动，先向右移动7个单位长度，再向左移动4个单位长度，此时正好在原点处，M开始运动时表示的数是（　　） A．3； B．-3； C．-10； D．10； 【答案】B 【分析】画出数轴，利用逆向思维，从原点出发向右4个单位，再向左7个单位，即可得到点M的位置，然后写出所表示的数即可． 【详解】解：如图所示，原点表示的数是0， ∵向左移动4个单位长度，此时正好在原点处， ∴第二次移动时，点表示的数是4， ∵点M先向右移动7个单位长度后点表示的数4， ∴点M开始运动时表示的数是-3． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，是基础题，逆向思维确定各点的位置是解题的关键，作出图形更形象直观． 2．（22-23九年级下·江苏淮安·期中）如图，在数轴上，点A表示的数是4，将点A沿数轴向左移动a（）个单位长度得到点P，则点P表示的数可能是（    ）    A．0 B． C．0.5 D．2 【答案】B 【分析】判断点P所在的大概位置，估计即可． 【详解】解：∵点A表示的数是4，将点A沿数轴向左移动a（）个单位长度得到点P， ∴点P在原点左边，即点P表示的数为负数 故选：B． 【点睛】本题考查数轴上点表示的数以及平移，关键是熟悉数轴上的点的平移规律左减右加． 3．（22-23七年级上·湖北武汉·阶段练习）点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动6个单位，再向左移动7个单位，终点恰好是原点，则点A最初表示的数是 ． 【答案】1 【分析】根据反推法得到点A最初表示的数． 【详解】解：原点向右移动7个单位，得到的点表示的数是7，再向左移动6个单位得到的点表示的数是1， 故答案为1． 【点睛】此题考查了数轴上点移动的规律：左减右加，正确掌握点移动的规律是解题的关键． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）在数轴上，点从某点表示的数是开始移动，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度，最后到达点表示的数是 ． 【答案】0 【分析】根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案． 【详解】解：点从数轴上表示的点开始移动， 点表示的数是， 点向右移动个单位长度， 点表示的数是， 又向左移动个单位长度， 点表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，利用数轴上的点左移减，右移加是解题的关键． 5．（23-24七年级上·河南周口·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．那么在数轴上表示A、B两点之间的距离记为，请你利用数轴回答问题：    (1)在数轴上，如果表示的是，表示的是3，求两点之间的距离． (2)分别用字母表示数轴上m和2两点之间的距离以及n和两点之间的距离． (3)判断正负，用“＞”或“＜”填空：______0，______0，______0． 【答案】(1)8 (2)，； (3)＞；＜；＞ 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． （1）求两个数的差的绝对值即可； （2）利用绝对值的定义，再根据数轴上两点的距离解答即可； （3）根据、、在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再判断出各式的符号即可． 【详解】（1）解：如果表示的是，表示的是3，则两点之间的距离为； （2）解：m和2两点之间的距离为，n和两点之间的距离为； （3）解：由题意可知，，， ，，． 故答案为：＞，＜，＞． 6．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“＜”号连接起来： ，， ，0，， 【答案】见解析， 【分析】本题考查有理数的大小比较及数轴，根据相反数、绝对值和乘方的意义化简各数，再利用数轴表示出6个数，然后利用数轴上右边的数总比左边的数大确定它们的大小关系． 【详解】解：，，，， 把各数在数轴上表示如下： ． 【变式训练6 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 1．（23-24七年级上·广东深圳·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可知的取值范围，即可进行判断． 【详解】解：由数轴可知： A：，故A 错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，∴，故D正确； 故选：D 【点睛】本题考查根据数轴上实数的位置判断式子的正负．正确得出的取值范围是解题关键． 2．（23-24七年级上·广东茂名·期中）有理数a、b的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减运算，根据、在数轴上的位置以及掌握有理数加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题可知：，且， A. ，结论错误； B. ，结论错误； C. ，结论错误； D. ，结论正确； 故选D． 3．（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，则 0（填“” “” “”）． 【答案】 【分析】由数轴上右边的数总是大于左边的数可以知道：，且．根据有理数的运算法则即可判断． 【详解】解：由数轴可知，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用数轴判断式子的符号，掌握“一个正数和一个负数相加时，和的符号与绝对值较大的数的符号相同”是解题的关键． 4．（22-23七年级上·重庆渝北·期末）已知A，B，C三点在数轴上对应的数为a，b，c，它们在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】由数轴上点的位置可知且，则，，由此化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴上点的位置可知且， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置化简绝对值，正确得到，是解题的关键． 5．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）已知a，b互为相反数，且，求b的值． 【答案】3或 【分析】本题考查相反数的定义，求解绝对值，根据相反数的定义可得，代入，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴． ∵， ∴，，即． 当时，，得． 当时，，得． ∴b的值为3或． 6．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）设a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧，c，d互为倒数，e的绝对值为1，请求出下列代数式的值：2a+2b﹣+e． 【答案】或 【分析】根据题意，a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧,所以，c，d互为倒数，所以，e的绝对值为1，所以，列出等量关系，然后把条件代入即可. 【详解】解： 由题意得， 时， 原式， ②， 原式＝， 答：代数式的值为或 【点睛】本题考查的是有理数部分的知识点，利用相反数、倒数以及绝对值的含义求出表等式之后在代入即可. 【变式训练7 相反数的定义】 1．（2024·山东济宁·一模）相反数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的相反数，根据只有符合不同的两个数是互为相反数即可解答． 【详解】解：，而的相反数为； 故选：A． 2．（2024·湖南·二模）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．请问的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：的相反数是； 故选D． 3．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）已知a，b互为相反数，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， 故答案为：0． 4．（22-23七年级上·甘肃平凉·阶段练习）已知，那么的相反数是 ；已知，则a的相反数是 ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了相反数的概念．只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：已知，那么的相反数是； 已知，则a的相反数是9． 故答案为：；9． 5．（22-23七年级上·北京·阶段练习）已知|a|＝3，|b|＝3，a、b异号，求a+b的值． 【答案】0 【分析】根据，，、异号，可以可得、互为相反数，从而可以求得a+b=0． 【详解】解：，，、异号， ∴、互为相反数， ∴， 【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是绝对值相等，符号相反的两个数是相反数， 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【分析】（1）根据绝对值的意义解答； （2）根据相反数的意义解答； （3）根据相反数的意义解答； （4）根据绝对值的意义解答． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了多重符号的化简，涉及相反数和绝对值，熟练掌握有理数的基本知识是关键． 【变式训练8 化简多重符号】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）等于（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多重复号的化简，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】， 故选C． 2．（2023·吉林松原·三模）化简的结果为（　　） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据多重符号化简法则求解即可，熟练掌握多重符号化简法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 3．（22-23七年级上·广东深圳·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数．熟练掌握的相反数是是解题的关键．根据定义求相反数即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）化简： ， ． 【答案】 2 【分析】根据相反数的意义进行符号的化简即可得． 【详解】，， 故答案为：2，． 【点睛】本题主要考查了多重符号化简，熟练掌握相反数的意义是解答本题的关键． 5．（23-24七年级上·全国·课堂例题）化简下列各数． ． 【答案】8；；； 【分析】利用化简多重符合的方法即可求解． 【详解】解：； ； ； 【点睛】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符合的方法是解题的关键． 6．（23-24七年级上·新疆喀什·期中）如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【答案】(1) (2)点表示的数是，点表示的数是 【分析】本题考查是数轴与有理数； （1）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解； （2）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点为原点，点表示的数是．    （2）如图，点为原点，点表示的数是，点D表示的数是．    【变式训练9 相反数的应用】 1．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）若a与是互为相反数，则a的值为（） A．0 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据相反数的意义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2．（22-23七年级上·河北沧州·期末）m与互为相反数，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵m与互为相反数， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查相反数的概念，解题的关键是掌握两数互为相反数，它们的和为0． 3．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）若a，b互为相反数，则 ． 【答案】0 【分析】根据a，b互为相反数，得到，代入计算即可． 【详解】∵a，b互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了相反数即只有符号不同的两个数，熟记互为相反数的两个数的和为零是解题的关键． 4．（22-23七年级上·重庆綦江·阶段练习）已知与的值互为相反数，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握互为相反数的两个数和为0是解本题的关键． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）如果一个数的绝对值等于，则这个数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数是互为相反数的关系，解题关键是掌握绝对值的定义．根据一个正数的绝对值等于它的本身，一个负数的绝对值等于它的相反数计算即可． 【详解】或的绝对值都等于， 绝对值等于的数是或 故答案为：或． 6．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【答案】（1）或 （2） 【分析】 本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知，，结合a，b异号，可知或 （2）根据绝对值的性质，可知，，而，即可确定出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵a，b异号， ∴或． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 【变式训练10 绝对值的意义】 1．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）如果，那么的取值范围是（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】此题主要考查了绝对值，根据非负数的绝对值等于本身，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则a的取值范围是：非负数． 故选C． 2．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上表示的点A到原点的距离是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：数轴上表示的点A到原点的距离是3， 故选：B 3．（22-23七年级·浙江温州·阶段练习）绝对值小于的所有整数有 个． 【答案】7 【分析】本题考查了绝对值、整数的知识．根据绝对值、相反数、整数、的性质求解，即可得到答案． 【详解】解：绝对值小于的整数是：，共7个． 故答案为：7． 4．（23-24七年级上·福建厦门·期末）有理数b，在数轴上的对应点的位置如图中黑点所示，若整数a满足，则整数a的值可以是 ．（写出一个满足题意的具体数值）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系．先判断的范围，再确定符合条件的数即可． 【详解】解：， 结合数轴，a的值可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 5．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）把下列各数序号填入相应的类别中． ①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨． 自然数：{                           } 正分数：{                           } 负整数：{                           } 负有理数：{                           } 【答案】③⑥⑨；④⑤⑧；①⑦；①②⑦ 【分析】 本题考查了有理数的分类，绝对值的求解，根据自然数，正分数，负整数，负有理数的定义进行解答即可． 【详解】解：，， 自然数有：； 正分数有：； 负整数有：； 负有理数有：， 故答案为：③⑥⑨；④⑤⑧；①⑦；①②⑦． 6．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）请你在数轴上表示下列有理数：，，，，，并将这些数用“<”连接起来． 【答案】数轴见解析，． 【分析】本题考查了化简绝对值，化简多重符号，在数轴上表示有理数，根据数轴比较有理数的大小．先化简绝对值与多重符号，然后表示在数轴上，根据数轴右边的数大于左边的数，比较大小即可求解． 【详解】解：，， 在数轴上表示有理数如图所示： 所以，． 【变式训练11 求一个数的绝对值】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）的绝对值是（    ） A． B． C． D．23 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的意义，负数的绝对值是这个数的相反数，进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是23． 故选：D． 2．（2024·江苏泰州·一模）等于（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握． 利用绝对值的意义求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）化简： ； ； ． 【答案】 2 【分析】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则． 【详解】解：，，， 故答案为：，，2． 4．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 2 / 【分析】本题主要考查相反数以及绝对值的定义，掌握相反数以及绝对值的定义是解题的关键．根据相反数以及绝对值的定义即可求解． 【详解】解：的相反数是；的绝对值是； 故答案为：；． 5．（23-24六年级上·山东东营·阶段练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查化简绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键： （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）根据绝对值的性质化简即可； （3）根据绝对值的性质化简即可； （4）根据绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 6．（23-24七年级下·全国·假期作业）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数， 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，； 所以的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： （1）的最小值是______； （2）当为何值时，代数式的最小值是． 【答案】 （1）（2）为或 【分析】考查数轴上两点之间的距离． （1）把原式转化为看作是数轴上表示的点与表示和的点之间的距离最小值，即可求解； （2）根据原式的最小值为，得知此题为动点问题，因此通过数轴上表示的点的左边和右边，得到与的距离为的点即可． 【详解】（1）因为． 如图，表示点到点的距离与点到点的距离之和 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以的最小值是； （2）因为数轴上表示数的点到表示数的点的距离为，数轴上表示数的点到表示数的点的距离也为， 因此当为或时，原式的最小值是． 【变式训练12 化简绝对值】 1．（22-23七年级上·全国·单元测试）若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据非负数的绝对值等于本身，可得． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了化简对绝对，解题的关键是熟练掌握非负数的绝对值等于本身． 2．（22-23七年级上·山西朔州·期末）的相反数是（    ） A．2023 B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】先化简绝对值，根据相反数的定义求解即可． 【详解】解： 2023的相反数是 ∴的相反数是． 故选：B． 【点睛】此题考查了绝对值的意义，相反数的概念，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，相反数的概念．只有符合不同的两个数互为相反数． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）化简： ． 【答案】 【分析】根据绝对值的化简即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查绝对值的化简，掌握绝对值的性质是解题的关键． 4．（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）化简： ①+（+2）=_________； ②－（+6）=_________； ③_________； ④_________． 【答案】①2；②－6；③－9；④－5 【分析】①②④根据相反数的定义化简，③根据绝对值的定义化简． 【详解】解：①+（+2）=2； ②－（+6）=－6； ③－9； ④． 故答案为：①2；②－6；③－9；④－5． 【点睛】本题考查了相反数和绝对值的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键． 只有符号不同的两个数是互为相反数． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）若，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质去绝对值是解题的关键．根据，求出，的值． 【详解】解：由绝对值的性质得，， ， ，， ，． 6．（23-24七年级上·河南焦作·期中）已知：c是最小的两位正整数，且a、b、c满足，若a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点P为数轴上的一个动点，对应的数为x． (1)求A、C两点间的距离； (2)若P、B两点间的距离是8，求x的值． 【答案】(1)26 (2)或 【分析】本题考查非负性，数轴上两点间的距离． （1）最小的两位正整数为，得到，根据非负性，求出的值，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）分点在点的左侧和右侧，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵c是最小的两位正整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴A、C两点间的距离为：； （2）∵，P、B两点间的距离是8，点P在数轴上， ①当点P在点B左边时，； ②当点P在点B右边时，； ∴或． 【变式训练13 绝对值非负性】 1．（22-23七年级上·山东德州·阶段练习）若，则的值可以是（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据正数或0的绝对值等于本身即可求解． 【详解】解：∵， ∴的值为正数或0， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 2．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的非负性解决此题． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 3．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用绝对值的非负性可得，即可求解． 【详解】解：∵且 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查绝对值的非负性，熟记相关结论即可． 4．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）已知a，b，c为的三边长，b，c满足，且a为2，则的周长为 ． 【答案】7 【分析】根据绝对值和平方的非负性即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴的周长为： 故答案为：7 【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性．熟记相关结论即可． 5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，求x的值． 【答案】或 【分析】根据绝对值的意义，解绝对值方程即可． 【详解】解：， ∴或 ∴或． 【点睛】本题考查解绝对值方程．熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键． 6．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：    (1)表示数轴上________与________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得．这样的整数有_ ____． (4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值． 【答案】(1)4，1 (2)5， (3)，，0，1，2，3，4，5 (4)5 【分析】（1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数x所对应的点到−2的距离和到5的距离的和为7，继而求解； （4）首先结合数轴判断出式子的几何意义，再结合数轴判断． 【详解】（1）解：表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离； 故答案为：4，1； （2）表示数轴上有理数所对应的点到5所对应的点之间的距离； ∵， 则表示数轴上有理数所对应的点到所对应的点之间的距离； 故答案为：5，； （3）表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到5的距离的和为7， ∴这样的整数x有，，0，1，2，3，4，5， 故答案为：，，0，1，2，3，4，5； （4）表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到2的距离的和， 当时，的最小值为5． 【点睛】本题主要考查绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质，并结合数轴的特点解答． 【变式训练14 绝对值方程】 1．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）若，则的值为（    ） A．1或11 B．1或 C．或11 D．或 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质得到或，解之即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故选B． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是注意互为相反数的两个数的绝对值相同． 2．（2023·陕西西安·模拟预测）如果，那么（    ） A． B．或2 C． D．2 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义求解即可． 【详解】∵ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义． 3．（22-23七年级上·江苏常州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】先移项，再根据绝对值的性质计算． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，如果原代数式为正，去掉绝对值后，其结果为本身；如果原代数式为负，去掉绝对值后，其结果为相反数． 4．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）绝对值等于11的数是 【答案】/11或-11/-11或11 【分析】利用绝对值是正数的数有两个，且互为相反数解答即可． 【详解】解：∵丨11丨=11，丨－11丨=11， ∴绝对值等于11的数是±11， 故答案为：±11． 【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的性质及意义是解答的关键． 5．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）阅读下面材料： 在数轴上2与所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与3所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与所对应的两点之间的距离为． 归纳：在数轴上点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离或． 回答下列问题： (1)数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示数x和 的两点之间的距离表示为； (2)试说明当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，并求出这个固定值． 【答案】(1)或， (2)这个固定值为5 【分析】本题考查了绝对值的意义与性质： （1）结合题干条件，即可作答； （2）因为当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，即，再根据绝对值的性质进行化简，即可作答； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为或， 因为， 所以数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为； （2）解：依题意， 因为当表示数x的点在与3的对应点之间移动时， 所以， 故， 即当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，且为5． 6．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）[例读]表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离: 可以看做表示3与的差的绝对值.也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之向的距离. [探索] (1)数轴上表示4和的两点之间的距离是； (2)①若，则x＝_____； ②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和是多少？ 【答案】(1)数轴上表示4和的两点之间的距离是6 (2)①2或；②3 【分析】（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可得； （2）①根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可得；②由题意得，，根据3与的距离是5得，根据x是整数得x的值为，进行计算即可得． 【详解】（1）解：， 即数轴上表示4和的两点之间的距离是6； （2）解：① 或， 或， 或， 故答案为：2或； ②由题意得，， ∵3与的距离是5， ∴， ∵x是整数， ∴x的值为， ∴所有符合条件的整数x的和为：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了实数与数轴，解题的关键是理解题意，掌握实数与数轴，绝对值． 【变式训练15 绝对值的其他应用】 1．（22-23七年级上·河北保定·期末）如图，检测个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是绝对值的应用，解题关键是理解绝对值的意义． 在本题中，正数表示超过标准质量的克数，负数表示不足标准质量的克数，最接近标准指绝对值最接近，由此可对选项进行逐一判断求解． 【详解】解：依题得：本题中最接近标准指绝对值最接近， 选项中，， 选项中，， 选项中，， 选项中，， 选项最接近， 即选项最接近标准． 故选：． 2．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）一种大米每袋的标准质量为，下列选项记录了4袋大米的质量，不足的记为负数，超过的记为正数，则其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】绝对值越小越接近标准质量，据此即可求解． 【详解】解： ∴D选项最接近标准质量 故选：D 【点睛】本题考查绝对值的应用．掌握绝对值的意义是关键． 3．（22-23七年级上·江西·阶段练习）绝对值小于 3的整数有 个． 【答案】5 【分析】绝对值小于3的整数有﹣2，﹣1，0，1，2，据此界的即可． 【详解】解：绝对值小于3的整数有﹣2，﹣1，0，1，2. ∴绝对值小于3的整数有5个． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． 4．（22-23七年级上·浙江台州·期中）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球． 排球编号 一号 二号 三号 四号 五号 检测结果 【答案】五 【分析】使用误差的绝对值作为评价标准，误差的绝对值越小数据越接近标准，即可判断． 【详解】根据表格检测结果的绝对值排序：，可知五号排球质量最接近标准， 故答案为：五． 【点睛】本题考查了绝对值的实际运用，关键要掌握绝对值的含义，以及在误差判断中运用． 5．（22-23七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答：                                                             （1）如果将A点向右移动4个单位长度，表示什么数? （2）如果将点C向左移动3个单位长度，三个点中哪个点表示的数最大？是多少？ （3）如果点A、点B同时向右运动，点A的速度是2个单位/秒，点B的速度是1个单位/秒，问经过多长时间两点重合？ 【答案】（1）1；（2）点C表示的数最大，是0；（3）2秒． 【分析】（1）根据向右移动加求出点A表示的数； （2）根据向左移动减求出点C表示的数，然后作出判断即可； （3）设经过x秒两点重合，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：（1）A移动后表示的数是：-3+4=1， 即A点向右移动4个单位长度后表示的数是1； （2）C移动后表示的数是：3-3=0， 0>-1>-3， 所以，点C表示的数最大，是0； （3）设经过x秒两点重合，根据题意得 -3+2x=-1+x 解得：x=2， 则经过2秒两点重合． 故答案为（1）1；（2）点C表示的数最大，是0；（3）2秒． 【点睛】本题考查数轴，熟记“向左移动减，向右移动加”的规律是解题的关键． 6．（22-23七年级上·全国·阶段练习）如图，数轴上有三个点A、B、C，它们可以沿着数轴左右移动，请回答： （1）点A、B、C分别表示的数是______________________． （2）将点B 向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是_____________． （3）移动点A到达点E，使B、C、E三点的其中任意一点为连接另外两点之间线段的中点，请直接写出所有点A 移动的距离和方向． 【答案】（1）﹣4，﹣2，3； （2）1； （3）点A向右移动4.5个单位长度或12个单位长度，点A向左移动3个单位长度. 【分析】（1）根据点A、B、C在数轴上的位置写出即可； （2）将点B向右移动三个单位长度后到达点D，则点D表示的数为-2+3=1； （3）分类讨论：当点A向左移动时，则点B为线段AC的中点；当点A向右移动并且落在BC之间，则A点为BC的中点；当点A向右移动并且在线段BC的延长线上，则C点为BA的中点，然后根据中点的定义分别求出对应的A点表示的数，从而得到移动的距离． 【详解】解：（1）点A、B、C分别表示的数分别是﹣4，﹣2，3； （2）将点B 向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是1； （3）当点A向左移动时，则点B为线段AC的中点， ∵线段BC=3-（-2）=5， ∴点A距离点B有5个单位， ∴点A要向左移动3个单位长度； 当点A向右移动并且落在BC之间，则A点为BC的中点， ∴A点在B点右侧，距离B点2.5个单位， ∴点A要向右移动4.5 单位长度； 当点A向右移动并且在线段BC的延长线上，则C点为BA的中点， ∴点A要向右移动12个单位长度． 故答案为（1）﹣4，﹣2，3；（2）1；（3）点A向右移动4.5个单位长度或12个单位长度，点A向左移动3个单位长度． 【点睛】本题考查数轴：数轴三要素（原点、正方向和单位长度）；数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数要小．也考查了平移的性质，注意数形结合的运用． 1．（2023·广东东莞·一模）的化简结果（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相反数的概念．根据相反数的概念“只有符号不同的两个数叫做相反数”求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）实数在数轴上对应的点如图所示，则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数大小比较和实数与数轴，能够根据数轴分析出大小关系是解题的关键．由数轴上的位置可知，由此即可求解． 【详解】解：由数轴可知，，且， 故、、的大小关系为：． 故选：B． 3．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上这个数所对应的点是（    ）      A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】D 【分析】由题意可知，E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5，可知其翻转6次一周，由此可以确定出数轴上这个数所对应的点． 【详解】解：正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转第一圈时E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5， ∴翻转6次一周， ∴， 数轴上这个数所对应的点是F点， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键． 4．（22-23七年级上·北京门头沟·期末）有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，如果有理数b满足，那么b的值不可能是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上的位置可判断a在-2到-3之间，则-a在2到3之间，则b在a与-a之间，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， b在a与-a之间， 则b的值不可能为3， 故选B． 【点睛】本题考查了相反数，数轴，解题的关键是掌握这些知识点． 5．（22-23七年级上·山西临汾·期末）正式排球比赛时所使用的排球质量是由严格规定的，检查了4个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数．检查结果如下：①号；②号；③号；④号，那么质量最好的排球是（    ） A．①号 B．②号 C．③号 D．④号 【答案】C 【分析】质量最接近规定质量即绝对值最小的数． 【详解】解：在四个数：，，，中，的绝对值最小． ∴质量最好的排球是的那一个，即③号． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是正数和负数、绝对值的应用，明确质量最好即绝对值最小是解题的关键． 6．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，代数式的符号的判定，绝对值的化简，有理数的加减运算的应用，掌握以上知识是解题的关键．由题意可知，，从而去绝对值，即可得到答案． 【详解】解：依题意，得 ，， ． 故答案为：． 7．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列结论中①；②；③；④，⑤其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查数轴，根据数轴判断式子的正负． 根据数轴可知：，可得，，，根据，且，可得，根据，可得 ，． 【详解】解：根据数轴可知：， ∴，，， 故①⑤正确，④错误． ∵，且， ∴， 故②错误， ∵， ∴， ∴， 故③正确， 综上，①③⑤正确， 故答案为：①③⑤． 8．（22-23七年级上·陕西宝鸡·期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a、b、-a、-b 的大小关系是 （用“＜”把它们连接起来）． 【答案】 【分析】利用相反数的含义：互为相反数的两个数所对应的点与原点的距离相等，再在数轴上描出．从而可得答案． 【详解】解：如图，在数轴上描出对应的点的位置如下， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是相反数的含义，利用数轴比较有理数的大小，掌握相反数的特点是解本题的关键． 9．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且个位上的数字不大于十位上的数字，十位上的数字不大于百位上的数字，百位上的数字不大于千位上的数字，当取得最大值时，这个四位数的最小值是 ． 【答案】9000 【分析】依题意，原式最大，所以，，即可求解． 【详解】解：依题意， 则原式最大， 则，，四位数要取最小值且可以重复， 故答案为：9000． 【点睛】此题考查了绝对值的性质，同时要根据低位上的数字不小于高位上的数字进行逻辑推理． 10．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）定义：若数轴上A、B两点分别对应数a、b，则 A、B两点之间的距离记作，且．根据图中信息，完成下列各题： （1） ； （2）若数轴上点P 对应数，则 ①当=时，= ； ②当取最小值时，的取值范围为 ； （3）求A、B、O、C、D这5个点中所有两点间的距离之和． 【答案】（1）1；（2）①或，②；（3）30 【分析】（1）根据题目已知中的A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a−b|．即可解答； （2）使①中的式子等于2，解出即可；求|PB|＋|PC|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当−2≤x≤1时，|PB|＋|PC|有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值 （3）根据两点间的距离公式，可得答案． 【详解】（1）A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a−b|＝|−3−（−2）|＝1． （2）①当|PA|＝2时，即|x−（−3）|＝2，解得：x＝−1或−5； ②当|PB|＋|PC|取最小值时，即可得|x−（−2）|＋|x−1|取最小值时，|x−1|＋|x＋2|的最小值为3，此时x的取值是−2≤x≤1； （3）A、B、O、C、D这5个点中所有两点间的距离之和＝|AB|＋|AO|＋|AC|＋|AD|＋|BO|＋|BC|＋|BD|＋|OC|＋|OD|＋|CD|＝1＋3＋4＋6＋2＋3＋5＋1＋3＋2＝30 故答案为：（1）1；（2）①＝−1或−5；②−2≤x≤1；（3）30． 【点睛】考查了绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A−B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离． 11．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）在数轴上表示下列各数，并把它们按照从小到大的顺序排列． ，，，． 【答案】，见解析 【分析】先计算， 的值，再把各点在数轴上表示出来，用“”从左到右连接起来，即可求解，本题考查了有理数的比较大小，解题的关键是：明确数轴上右边的数比左边的数大． 【详解】解： ， ， 如图所示： 故答案为：． 12．（22-23七年级·全国·假期作业）判断下面所画数轴是否正确，并说明理由 【答案】1、错误；2、错误；3、错误；4、错误；5、错误；6、错误；7、错误；8、正确 【分析】根据数轴的概念，即可求解． 【详解】解：1、不是直线，故所画错误； 2、不是直线，故所画错误； 3、无原点，故所画错误； 4、无单位长度，故所画错误； 5、无正方向，故所画错误； 6、数轴只有一个正方向，故所画错误； 7、数轴上右边的数总是大于左边的数，正数在原点的右侧，负数在原点的左侧，故所画错误； 8、原点、正方向、长度单位都有，故所画正确． 【点睛】本题主要考查了数轴的概念，熟练掌握规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴．原点，正方向，单位长度是数轴的三要素是解题的关键． 13．（22-23七年级上·吉林长春·期中） 如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，化简：. 【答案】a-2b 【分析】首先根据数轴判断出b，a-c，c-b的大小关系，再运用绝对值的性质去掉绝对值化简求值. 【详解】解：由图可知，b〈 0、a〈 c、c〉b， 所以原式= -b-(c-a)+(c-b) = -b+(a-c)+c-b    = -b+a-c+c-b   = a-2b 【点睛】本题考查了绝对值的性质，务必清楚的是负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值的它本身，0的绝对值是0. 14．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：    (1)如果点，表示的数是互为相反数，那么原点对应的点是________； (2)如果点，表示的数是互为相反数，那么图中数轴上的5个点所对应的有理数为： 点 对应数 【答案】(1)C (2)见解析 【分析】（1）互为相反数的两个数到原点的距离相等，据此可知原点在点，的正中间，据此作答即可； （2）根据（1）的方法找到原点，问题随之得解． 【详解】（1）如果点，表示的数是互为相反数， 那么原点在线段的中点，即为点， 故答案为：C （2）如果点，表示的数是互为相反数， 原点就应该是线段的中点﹐即在点右边一格， 各点表示的数见下表： 点 对应数 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握互为相反数的两个数到原点的距离相等，是解答本题的关键． 15．（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且．    (1)写出数轴上点B表示的数 ； (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则 ． ②的最小值为 ； (3)动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（）秒．求当t为 时，A，P两点之间的距离为2． 【答案】(1) (2)①6或；② (3)3或 【分析】（1）数轴上左边点表示的数比右边小，使用减法运算，用右边的点减去距离即可； （2）依据绝对值的几何意义及两条线段之和最短的情况计算即可； （3）依据距离的非负性，分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：点B表示的数为； 故答案为：； （2）解：①因为，所以， 则或； ②当时，取得最小值，最小值为， 故答案为：①6或10；②20； （3）解：由A，P两点之间的距离为2，可得， ，则（秒）； ，则（秒）， 所以当或秒时，A，P两点之间的距离为2． 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了绝对值的定义及几何意义的运用，关键掌握绝对值的非负性，根据实际距离分类讨论计算． 学科网（北京）股份有限公司 $$