第08讲 一元一次方程及其解法（2大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新七年级数学衔接讲义（沪科版）

第08讲 一元一次方程及其解法（2大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 方程的解 题型二 一元一次方程的定义 题型三 等式的性质 题型四 解一元一次方程(一)--合并同类项与移项 题型五 解一元一次方程(二)--去括号 题型六 解一元一次方程(三)--去分母 题型七 解一元一次方程--拓展 知识点01 一元一次方程 1. 定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 2. 标准形式：方程（其中是未知数，、是已知数，并且）叫做一元一次方程的标准形式。 温馨提示： ① 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母不含未知数。 ② 一元一次方程只含有一个未知数，未知数的次数都为1。如，，都不是一元一次方程。 知识点01 等式的性质 性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即如果，那么。 性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即如果，那么；如果，那么。 【典型例题一 方程的解】 1．（23-24七年级下·广西南宁·期中）若是一元一次方程的解，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）若关于x的方程的解是，则 ． 4．（22-23七年级上·浙江衢州·期末）若是关于的方程的解，则的值是 ． 5．（23-24七年级上·安徽淮南·期中）检验括号内的未知数的值是否为方程的解． （，） 6．（22-23六年级下·上海宝山·期中）关于的方程有一个解是，求的值． 【典型例题二 一元一次方程的定义】 1．（23-24七年级下·河南鹤壁·期末）下面选项中，哪个是一元一次方程（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）下列各式中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）写出一个解为3的一元一次方程 ． 4．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）若关于的方程是一元一次方程，则的值是 ． 5．（22-23七年级上·江苏·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，求k的值. 6．（2022七年级上·江苏·专题练习）根据条件列方程： (1)正方形的边长为2x，周长为50厘米； (2)x的相反数减去3的差是x的2倍． 【典型例题三 等式的性质】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期中）运用等式的性质，下列变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）根据如图，＝（ ）克． A． B． C． 3．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）若，则的值为 ． 4．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）根据等式的性质填空：若，则 ． 5．（2023九年级上·江苏·专题练习）方程的解相同，求的值． 6．（23-24六年级上·山东滨州·期末）解方程 (1) (2) (3) 【典型例题四 解一元一次方程(一)--合并同类项与移项】 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）若是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A．5 B． C．7 D． 3．（23-24七年级下·福建漳州·期中）方程的解是 ． 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）若代数式与的值相等，则 ． 5．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）解方程：． 6．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）解方程． (1)； (2)． 【典型例题五 解一元一次方程(二)--去括号】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期中）方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如下图，用黑白两种颜色的平行四边形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图形，若第n个图案中有2020个白色纸片，则n的值为（    ） A．671 B．672 C．673 D．674 3．（22-23七年级上·广东肇庆·期末）一元一次方程的解为 ． 4．（23-24七年级上·四川达州·期末）若是方程的解，则a的值为 ． 5．（23-24七年级下·福建泉州·期中）解方程：． 6．（23-24七年级上·吉林白城·期末）张华同学在解方程时步骤如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)张华同学的解法从第___________步开始错误，错误的原因是___________． (2)请你写出正确的解题过程． 【典型例题六 解一元一次方程(三)--去分母】 1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）方程去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南安阳·期末）下列解方程的部分过程，从哪一步开始错了（    ） 解方程：． ①； ②； ③； ④． A．① B．② C．③ D．④ 3．（23-24七年级上·吉林白城·期中）方程的解为 ． 4．（23-24七年级上·天津滨海新·期末）将的分母化为整数 ． 5．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）解方程：． 6．（23-24七年级上·北京海淀·期末）解方程： (1)； (2)． 【典型例题七 解一元一次方程--拓展】 1．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）如果关于x的方程有解，那么m的取值范围是（  　  ） A． B． C． D．任意实数 2．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·四川雅安·阶段练习）关于x的方程的解为 ． 4．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设，，，为有理数，现规定一种新的运算，则满足等式：的的值为 ． 5．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； 6．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）平顶山某初中数学小组学完“一元一次方程”后，对一种新的求解方法进行了交流，请你仔细阅读． 小明：对于，我采取的去括号移项的方法，计算比较繁琐． 小亮：我有一种方法——整体求解法．可先将、分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解． 小明：你的这种方法比我的要简便一些，我尝试一下．… (1)请你继续进行小亮的求解． (2)请利用小亮的方法解下面的方程：． 【变式训练1 方程的解】 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于的方程的解为，则的值为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知是方程的解，那么的值是 ． 3．（2022七年级上·江苏·专题练习）判断是不是方程的解． 【变式训练2 一元一次方程的定义】 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）下面的式子中，是方程的是（ ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）若是关于x的一元一次方程，则 ． 3．（22-23七年级上·湖北恩施·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，求的值． 【变式训练3 等式的性质】 1．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）把方程变形为的依据是（    ） A．不等式的基本性质1 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分数的基本性质 2．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 3．（21-22七年级上·全国·课后作业）认真思考，回答下列问题： （1）由能不能得到？为什么？ （2）由能不能得到？为什么？ （3）由能不能得到？为什么？ （4）由能不能得到？为什么？反之，能不能由得到？为什么？ （5）由，能不能得到？为什么？ 【变式训练4 解一元一次方程(一)--合并同类项与移项】 1．（2024·海南三亚·二模）已知代数式的值等于8，则x的值等于（    ） A． B．7 C． D．9 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）定义一种新运算：，若，则 ． 3．（23-24七年级上·青海海东·期末）解方程：． 【变式训练5 解一元一次方程(二)--去括号】 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在解方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图所示的框图表示解方程的流程，其中代表的步骤是 ． 3．（23-24七年级上·吉林·期末）解方程：． 【变式训练6 解一元一次方程(三)--去分母】 1．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）解方程 下面去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级上·山东威海·期末）在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母，因而求得方程的解为，则方程正确的解是 ． 3．（23-24七年级上·广东深圳·期中）解方程：． 【变式训练7 解一元一次方程--拓展】 1．（2023七年级上·全国·专题练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）对于任何有理数、、、，我们规定，如．如果，那么的值是 ． 3．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）阅读与理解： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，的解为，两个方程解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)请你通过计算说明方程与方程是否互为“美好方程”？ (2)若关于x的方程与方程互为“美好方程”，求m的值． 1．（23-24七年级下·河南鹤壁·阶段练习）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·海南海口·期中）若代数式 的值为7，则等于（     ） A．4 B． C．10 D． 3．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）下列方程：，，，，，中，是一元一次方程有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23七年级上·河北衡水·阶段练习）在解关于x的方程时，小冉在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则a的值为（　　） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·山西晋中·期末）下列解一元一次方程的步骤中，正确的是（     ） A．方程，移项得 B．方程，去分母得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为1得 6．（23-24七年级下·山西临汾·期中）一元一次方程的解为 ． 7．（23-24七年级下·福建泉州·期中）若关于x的方程 是一元一次方程， 则 ． 8．（24-25七年级上·全国·假期作业）如果，，那么， ． 9．（2024·江苏盐城·一模）关于x的方程的解是，现给出另一个关于x的方程，则它的解是 ． 10．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值： 0 1 2 3 0 4 8 则关于的方程的解是 ． 11． （2024七年级下·江苏·专题练习）解方程：． 12．（23-24六年级下·上海·阶段练习）已知方程的解与的解相同，求的值． 13．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若此方程的解与方程的解互为倒数，求的值． 14．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 15．（23-24七年级上·江西南昌·期中）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 一元一次方程及其解法（2大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 方程的解 题型二 一元一次方程的定义 题型三 等式的性质 题型四 解一元一次方程(一)--合并同类项与移项 题型五 解一元一次方程(二)--去括号 题型六 解一元一次方程(三)--去分母 题型七 解一元一次方程--拓展 知识点01 一元一次方程 1. 定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 2. 标准形式：方程（其中是未知数，、是已知数，并且）叫做一元一次方程的标准形式。 温馨提示： ① 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母不含未知数。 ② 一元一次方程只含有一个未知数，未知数的次数都为1。如，，都不是一元一次方程。 知识点01 等式的性质 性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即如果，那么。 性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即如果，那么；如果，那么。 【典型例题一 方程的解】 1．（23-24七年级下·广西南宁·期中）若是一元一次方程的解，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查方程的解，将代入方程，进行求解即可． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， ∴a的值是3． 故选：C． 2．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，把方程的解代入原方程进行检验是解题的关键． 方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等． 【详解】解：A、把代入，不满足方程，因而不是方程的解． B、把代入，不满足方程，因而不是方程的解； C、把代入，满足方程，因而是方程的解； D、把代入方程，不满足方程，因而不是方程的解； 故选：C． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）若关于x的方程的解是，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入分式方程即可求解． 【详解】解：把代入得：， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·浙江衢州·期末）若是关于的方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程计算，即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 5．（23-24七年级上·安徽淮南·期中）检验括号内的未知数的值是否为方程的解． （，） 【答案】不是方程的解，是方程的解 【分析】本题主要考查了方程的解，分别把，代入方程两边，判断两边是否相等，即可解答． 【详解】解：把代入方程，左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解． 把代入方程，左边，右边， ∵左边右边， ∴是方程的解． 6．（22-23六年级下·上海宝山·期中）关于的方程有一个解是，求的值． 【答案】0 【分析】把代入方程，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了方程的解的概念，解题时注意：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解． 【典型例题二 一元一次方程的定义】 1．（23-24七年级下·河南鹤壁·期末）下面选项中，哪个是一元一次方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义：一个未知数，含未知数的项的次数为1的整式方程，逐一进行判断． 【详解】A、是不等式，不是方程，不符合题意； B、该方程是一元一次方程，符合题意； C、，不含未知数，不符合题意； D、含2个未知数，不符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）下列各式中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：由一元一次方程的定义可得，四个选项中只有D选项中的方程是一元一次方程， 故选：D． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）写出一个解为3的一元一次方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次方程的定义，一元一次方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，写出一个一元一次方程即可． 【详解】解：由题意，一元一次方程可以为：； 故答案为：． 4．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）若关于的方程是一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解；关于的方程是一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：0． 5．（22-23七年级上·江苏·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，求k的值. 【答案】k的值是 【详解】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，得到，，进行求解即可． 【解答】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 解得， 即k的值是 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义及一般形式，牢固掌握其定义是解题的关键． 6．（2022七年级上·江苏·专题练习）根据条件列方程： (1)正方形的边长为2x，周长为50厘米； (2)x的相反数减去3的差是x的2倍． 【答案】(1)4×2x＝50； (2)﹣x﹣3＝2x． 【分析】（1）由正方形的周长公式列出方程； （2）找到等量关系：x的相反数减去3的差＝x的2倍． 【详解】（1）根据题意得到：4×2x＝50； （2）根据题意得到：﹣x﹣3＝2x． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找到等量关系． 【典型例题三 等式的性质】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期中）运用等式的性质，下列变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质是解题的关键．根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立． 【详解】解：A、两边都，等式仍成立，故本选项不符合题意； B、两边都乘以c，等式仍成立，故本选项不符合题意； C、两边都除以c，且，等式才成立，故本选项符合题意． D、两边都乘以c，等式仍成立，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）根据如图，＝（ ）克． A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了式与方程，解题的关键是数形结合，先由图1可以得到一个较大圆是克，再由图2可知，一个小圆为克，由图3可求出最大圆的克数． 【详解】图1可以得到一个较大圆是24克 由图2可知，一个小圆是（克） 由图3可知，最大圆是（克）， 故选：C． 3．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】 根据等式的基本性质，在等式两边同时除以，即可求解， 本题考查了等式的基本性质，解题的关键是：熟练掌握等式的基本性质． 【详解】解：当时，无意义， 当时，在等式两边同时除以得：， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）根据等式的性质填空：若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，根据等式两边同时加上或减去一个数，等式仍然成立． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 5．（2023九年级上·江苏·专题练习）方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】依据等式的性质，即可求解． 【详解】解：将左右两边同时乘以3，得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 6．（23-24六年级上·山东滨州·期末）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用等式的性质求解一元一次方程，熟记相关结论即可． （1）等式两边先同时加上，再同时除以即可求解； （2）等式两边同时乘以即可求解； （3）等式两边同时乘以即可求解； 【详解】（1）解：， ， （2）解：， （3）解：， 【典型例题四 解一元一次方程(一)--合并同类项与移项】 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解法，属于基础题型．明确等式的性质是解题的关键．根据等式的性质求出方程的解． 【详解】解： 移向得， 系数化为得 故选A． 2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）若是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A．5 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解和解一元一次方程是解题的关键．将代入，求解即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得：， 故选：A． 3．（23-24七年级下·福建漳州·期中）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程．直接将常数项移到等号右边即可解答． 【详解】解：， 移项，得：． 故答案为：． 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）若代数式与的值相等，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据题意得出方程，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】解：∵代数式与的值相同， ∴．， 移项得， 合并同类项得， 系数化成1得： 故答案为：1． 5．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查的是一元一次方程的解法，先移项，合并同类项，再把未知数的系数化为“1”即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 6．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）合并同类项，系数化成1即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （2）， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 【典型例题五 解一元一次方程(二)--去括号】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期中）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1计算即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如下图，用黑白两种颜色的平行四边形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图形，若第n个图案中有2020个白色纸片，则n的值为（    ） A．671 B．672 C．673 D．674 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化，发现题目中白色纸片的变化规律、利用数形结合思想解题是关键．根据题目中的图形，可以发现白色纸片的变化规律，然后根据第个图案中白色纸片2022个，即可解题． 【详解】解：由图可知，第1个图案，有4个白色纸片； 第2个图案，有个白色纸片； 第3个图案，有个白色纸片； …… 以此类推，当第个图案，时，有个白色纸片， 当时，化简得 ， 解得：． 故选：C． 3．（22-23七年级上·广东肇庆·期末）一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解即可． 【详解】解：去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 故答案为：． 4．（23-24七年级上·四川达州·期末）若是方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．把代入方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：； 故答案为：． 5．（23-24七年级下·福建泉州·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”，从而可得答案． 【详解】解：， 去括号得：， 整理得：， 解得：； 6．（23-24七年级上·吉林白城·期末）张华同学在解方程时步骤如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)张华同学的解法从第___________步开始错误，错误的原因是___________． (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；去括号时，括号前面是负号，去掉括号没全变号 (2) 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）去括号时，变号错误； （2）根据解一元一次方程的步骤，求解即可． 掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得：， ∴张华同学的解法从第一步就开始出错，错误的原因是去括号时，括号前面是负号，去掉括号没全变号； 故答案为：一；去括号时，括号前面是负号，去掉括号没全变号； （2） ， ， ． 【典型例题六 解一元一次方程(三)--去分母】 1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）方程去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解含分母的一元一次方程，解题的关键是熟练掌握去分母的方法， 根据等式的性质，在方程的两边都乘以所有分母的最小公倍数，不能漏乘常数项即可； 【详解】解： 去分母得：, 故选：C 2．（23-24七年级上·河南安阳·期末）下列解方程的部分过程，从哪一步开始错了（    ） 解方程：． ①； ②； ③； ④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟记相关求解步骤是解题关键． 【详解】解：第③步，去括号得：， 故选：C 3．（23-24七年级上·吉林白城·期中）方程的解为 ． 【答案】 【分析】先去分母，再移项并系数化1，即可作答． 【详解】解：因为， 所以方程两边同时乘上9，得 则移项并系数化1，， 即， 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次方程，涉及去分母、移项并系数化1等过程，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（23-24七年级上·天津滨海新·期末）将的分母化为整数 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程、分数的性质，根据分数的分子、分母同乘以不为零的数，分数值不变求解即可． 【详解】解：将的分母化为整数，为， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键． 先通过去分母，然后检验即可解答即可． 【详解】解：， 去分母得:， 去括号得:， 移项得:， 合并同类项，得． 6．（23-24七年级上·北京海淀·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； 【典型例题七 解一元一次方程--拓展】 1．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）如果关于x的方程有解，那么m的取值范围是（  　  ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程无解的情况， 根据中，当时，方程无解可知当时关于的方程有解． 【详解】解：由题意得：当时，关于的方程有解， 解得， 故选：C． 2．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次方程的拓展，利用换元法求解是解题关键．令，将可变形为，再根据方程的解为，即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程，即 中， 解得， 故选C． 3．（23-24七年级上·四川雅安·阶段练习）关于x的方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是含有绝对值符号的一元一次方程，充分利用绝对值的几何意义，采用分类讨论的方法即可求解． 【详解】解：当时，方程可化为，即，解得； 当时，方程可化为，即，此时原方程无解； 当时，方程可化为，即，解得； 综上，方程的解为：或． 4．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设，，，为有理数，现规定一种新的运算，则满足等式：的的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元一次方程，根据新运算得出，再求解即可得出答案． 【详解】解：根据新运算可得：， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 5．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； 【答案】(1) (2)1或2 【分析】（1）由题意得：，再将带入原方程即可求解． （2）将带入原方程求出方程的解，再利用条件分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将带入原方程得：， 解得：， 故答案为：． （2）将带入原方程得：， 解得：， 由于m是整数， 或或， 解得：或或（舍去）， 正整数k的值为：1或2． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解得意义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 6．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）平顶山某初中数学小组学完“一元一次方程”后，对一种新的求解方法进行了交流，请你仔细阅读． 小明：对于，我采取的去括号移项的方法，计算比较繁琐． 小亮：我有一种方法——整体求解法．可先将、分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解． 小明：你的这种方法比我的要简便一些，我尝试一下．… (1)请你继续进行小亮的求解． (2)请利用小亮的方法解下面的方程：． 【答案】(1)；过程见解析 (2) 【分析】 本题考查解一元一次方程—拓展，正确计算是解题的关键： （1）根据整体求解法求解即可； （2）根据整体求解法求解即可． 【详解】（1）解：解方程， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解， 将看作一个整体， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ． 【变式训练1 方程的解】 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于的方程的解为，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的解的定义可知即可解答．本题考查了一元一次方程的解的定义，理解一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知是方程的解，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出a的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2022七年级上·江苏·专题练习）判断是不是方程的解． 【答案】见解析 【分析】将代入方程两边判断求解即可． 【详解】将代入方程的左边，得方程左边， 将代入方程的右边，得方程右边， ∵左边＝右边， ∴是方程的解． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的概念． 【变式训练2 一元一次方程的定义】 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）下面的式子中，是方程的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义，根据含有未知数的等式叫做方程解答即可． 【详解】A．，含有未知数，但不是等式，不是方程； B．，含有未知数，但不是等式，不是方程； C．，含有未知数，是等式，是方程； D．，是等式，但不含有未知数，不是方程； 故答案为：C． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）若是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1的整式方程是一元一次方程． 根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（22-23七年级上·湖北恩施·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义列出方程即可求解． 【详解】∵关于x的方程是一元一次方程， ， 解得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，解题关键是根据一元一次方程的定义列出方程，注意：未知数的系数不能为0． 【变式训练3 等式的性质】 1．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）把方程变形为的依据是（    ） A．不等式的基本性质1 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分数的基本性质 【答案】C 【分析】本题考查等式的基本性质，等式基本性质1：等式两边同时加上/减去同一个数，等式不变；等式基本性质2：等式两边同时乘以/除以（不为0的数）同一个数，等式不变，结合题意，将方程变形为需要等式两边同时乘以3，从而得到答案，熟记等式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：将方程的两边同时乘以3，可变形为， 的依据是把方程变形为的依据是等式的基本性质2， 故选：C． 2．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】根据等式的性质，移项解答即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 移项，得． 故答案为：． 3．（21-22七年级上·全国·课后作业）认真思考，回答下列问题： （1）由能不能得到？为什么？ （2）由能不能得到？为什么？ （3）由能不能得到？为什么？ （4）由能不能得到？为什么？反之，能不能由得到？为什么？ （5）由，能不能得到？为什么？ 【答案】（1）等式不能得到，见解析；（2）能得到，见解析；（3）当时，不能得到；当时，能得到，见解析；（4）不能由得到，见解析；能由得到，见解析；（5）能得到，见解析 【分析】根据等式的基本性质，即可求解 【详解】（1）由等式不能得到，理由如下： 因为根据等式性质1，等式两边都减去3，得． 再根据等式性质2，等式两边都除以2，得，所以不能得到； （2）由能得到，理由如下： 因为根据等式性质2，等式两边都除以2，得，所以能得到； （3）由不一定能得到，理由如下： 因为当时，由不能得到，这是因为等式两边不能都除以0； 当时，根据等式性质2，能得到，这时在等式两边可以同除以； （4）不能由得到，理由如下： 因为当时，不能利用等式性质2，两边同除以； 当时，可利用等式性质2，两边同除以，得到； 能由得到，理由如下： 这是因为由隐含条件可知，利用等式性质2，两边同乘，可得到； （5）因为， 所以可利用等式性质2，两边同除以 ，得到 所以可以得到． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，等式仍然成立是解题的关键． 【变式训练4 解一元一次方程(一)--合并同类项与移项】 1．（2024·海南三亚·二模）已知代数式的值等于8，则x的值等于（    ） A． B．7 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式的值等于8， ∴， 解得， 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了即一元一次方程，解题的关键是根据新定义得到一元一次方程．根据新运算的方法得到关于m的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·青海海东·期末）解方程：． 【答案】． 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先移项，再合并同类项，最后把系数化为1即可. 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得： 【变式训练5 解一元一次方程(二)--去括号】 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在解方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．方程去括号得到结果，即可做出判断． 【详解】解：将方程去括号，得． 故选：D 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图所示的框图表示解方程的流程，其中代表的步骤是 ． 【答案】移项 【分析】本题考查了解一元一次方程——移项、等式的基本性质等知识点，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键． 观察框图中解方程步骤，找出A代表的步骤，即可． 【详解】解：由图可知，A代表的步骤是移项． 故答案为：移项． 3．（23-24七年级上·吉林·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式训练6 解一元一次方程(三)--去分母】 1．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）解方程 下面去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程——去分母，注意方程两边同时乘以最简公分母，不要漏乘项，分子是多项式时，要看做一个整体加括号．运用等式的性质，方程两边同时乘以6，计算即可． 【详解】解：方程两边同时乘以6，得 ， 故选：B． 2．（23-24六年级上·山东威海·期末）在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母，因而求得方程的解为，则方程正确的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键．由题意得知去分母后得到错误方程为，可求出，即可求解． 【详解】解：由题意得：小颖在去分母时，得到的错误方程为： 将代入得： ， 解得： ∴原方程为：， 即：， 解得： 故答案为： 3．（23-24七年级上·广东深圳·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可作答． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式训练7 解一元一次方程--拓展】 1．（2023七年级上·全国·专题练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟知方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，设，将替换代入方程是解答本题的关键． 【详解】解：设， 则，变形为， ， 解得：， 故选：． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）对于任何有理数、、、，我们规定，如．如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，掌握其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解是解题关键．利用题中的新定义化简所求式子得到一元一次方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得，变形得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）阅读与理解： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，的解为，两个方程解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)请你通过计算说明方程与方程是否互为“美好方程”？ (2)若关于x的方程与方程互为“美好方程”，求m的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程及新定义方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键； （1）根据“美好方程”的定义判断即可； （2）分别求出两个方程的解为：、，再根据“美好方程”的定义可以得到，即可求解； 【详解】（1）解：， 解得：， ， 解得：． ∵， ∴方程与方程互为“美好方程”． （2）， 解得：， ， 解得：． ∵关于x的方程与方程互为“美好方程”， ∴， 解得： 1．（23-24七年级下·河南鹤壁·阶段练习）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，直接将代入方程看是否成立即可判断． 【详解】解：A．将代入，得，不符合题意； B．将代入，得，不符合题意； C．将代入，得，不符合题意； D．将代入，得，符合题意； 故选：D． 2．（22-23九年级上·海南海口·期中）若代数式 的值为7，则等于（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知代数式的值，求字母的值，因为的值为7，得，解得的值即可作答． 【详解】解：依题意， ∴ 故选：A 3．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）下列方程：，，，，，中，是一元一次方程有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程，据此判断即可． 【详解】解：，含有两个未知数，故不是一元一次方程； ，是一元一次方程； ，未知数的最高次数不是1次，故不是一元一次方程； ，不是整式方程，故不是一元一次方程； ，是一元一次方程； ，是一元一次方程； 所以是一元一次方程的有3个． 故选：C． 4．（22-23七年级上·河北衡水·阶段练习）在解关于x的方程时，小冉在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得是方程的解，代入计算即可． 【详解】∵ ∴去分母，右边的“”漏乘了公分母6，得 ， ∴是该方程的解， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，正确理解方程解的意义，熟练掌握解方程是解题的关键． 5．（22-23七年级上·山西晋中·期末）下列解一元一次方程的步骤中，正确的是（     ） A．方程，移项得 B．方程，去分母得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为1得 【答案】A 【分析】根据解一元一次方程的步骤——移项、去分母、去括号、系数化为1，逐一进行计算，即可得到答案． 【详解】解：A、方程，移项得，原步骤正确，符合题意，选项正确； B、方程，去分母得，原步骤不正确，不符合题意，选项错误； C、方程，去括号得，原步骤不正确，不符合题意，选项错误； D、方程，系数化为1得，原步骤不正确，不符合题意，选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题关键． 6．（23-24七年级下·山西临汾·期中）一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了解一元一次方程．方程去分母、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，合并得， 系数化为1，得． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·福建泉州·期中）若关于x的方程 是一元一次方程， 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程 是一元一次方程 ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·全国·假期作业）如果，，那么， ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，利用代换的方式把其中一个数用另一个数表示，两个未知数就成了一个未知数，进一步解决问题即可，熟练掌握等式的性质是解题关键．首先利用第二个式子减去第一个式子得出和的关系，用其中一个表示另一个，再代入任何一个式子求出一个，进一步求出另一个，计算加法即可解决问题． 【详解】① ② 所以②－①得：， ，③ 把③代入①得：， 所以， 所以， 所以． 故答案为： 9．（2024·江苏盐城·一模）关于x的方程的解是，现给出另一个关于x的方程，则它的解是 ． 【答案】2025 【分析】此题考查解一元一次方程，根据两个方程的特点得到所解方程的解为，由此求出x的值． 【详解】∵关于x的方程的解是， ∴方程的解是, ∴, 故答案为2025． 10．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值： 0 1 2 3 0 4 8 则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了方程的解，根据表格中的数据求解即可． 【详解】根据题意可得， 当时， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 11．（2024七年级下·江苏·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解决本题的关键是先根据单项式乘以多项式去括号．先根据单项式乘以多项式去括号，再解一元一次方程，即可解答． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 12．（23-24六年级下·上海·阶段练习）已知方程的解与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，先解得已知方程再代入未知方程是解题的关键．根据题意先解方程，再把解代入方程中，即可解答． 【详解】解：解方程， 得， ∵方程的解与的解相同， ∴，， 解得：． 13．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若此方程的解与方程的解互为倒数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，相反数． （1）根据一元一次方程的定义， 得出，且，即可求解； （2）求出的解为，则已知方程的解为，将代入即可求出n的值． 【详解】（1）解：因为是一元一次方程． 所以，且， 所以； （2）解：由（1）知． 所以已知方程为 解方程， 得． 因为已知方程与方程的解互为相反数， 所以方程为的解为． 代入得， 解得． 14．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． （1）根据新定义得出，进一步计算即可求解； （2）根据新定义得出，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得． 15．（23-24七年级上·江西南昌·期中）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 【答案】(1)等式的性质1 (2)小明第二步的结论不正确，理由见解析 【分析】此题考查了等式性质的应用能力： （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行求解． 【详解】（1）∵ ∴根据等式的性质1，两边都减去 得 ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）小明第二步的结论不正确， ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的一个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以a，等式不成立， 当时，两边都除以a，得不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$