精品解析：上海市毓秀学校&清河湾中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

上海市毓秀学校&青浦区清河湾中学2023学年第二学期 八年级数学期末检测 （考试时间：100分钟，满分150分） 一、选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（） A. B. C. D. 2. 如果是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中属于随机事件的是（ ） A. 关于的方程有实数解 B. 一元二次方程有两个不相等的实数根 C. 点（m为实数）落在直线上 D. 直线与直线相交 4. 探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 5. 在中，点、分别在边、上，以下能推出的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 二、填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么__________． 8. 掷一枚骰子，落地后朝上一面的数是素数的概率为______． 9. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 10. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．． 11. 在等腰梯形中，已知，，那么______． 12. 已知平行四边形的对角线与相交于点，设，，则向量关于、的分解式为______． 13. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ___________． 14. 如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么______． 15. 如图，点、分别是梯形的腰、的中点，连接、，交于点，如果，，则与的面积比为______． 16. 如图，已知在中，，，点、点在边上，且，若，则______． 17. 定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，如图1中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图2，在中，，，，点在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是______． 18. 如图，在 中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与 的重心重合，与相交于点，那么的值为_________． 三、简答题（本大题共7题，满分78分） 19. 解方程： 20. 解方程组：． 21. 已知，如图，是矩形的对角线的垂直平分线，与对角线及边、分别交于点O，E，F． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求的值． 22. 在2021“五五购物节”中，某商店的两种品牌的小电器参与促销活动．经统计后发现，每天的销售中，乙品牌小电器的销售数量y（件）与甲品牌小电器的销售量x（件）符合如图表示的函数关系． （1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）； （2）在5月2日一天的销售中，甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，已知甲品牌的小电器单价比乙品牌的小电器单价多20元，求甲、乙两种品牌的小电器的单价．（其中小电器的单价大于100元） 23. 如图：已知在中，是边上一点，连结、，延长、相交于点，． （1）求证：； （2）求证：． 24. 如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形，且，，点在轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，，，梯形的高为2，双曲线经过点，直线经过、两点． （1）求双曲线和直线的解析式； （2）已知点在双曲线上，点在轴上，如果四边形是平行四边形，直接与出点N的坐标； （3）点是第三象限双曲线上的一点，设的横坐标为，直线与直线交于点，；连接，设的面积为，的面积为，用含t的代数式表示的值． 25. 在直角梯形中，，，，，，点是射线上的动点（不与点重合） （1）将沿者直线翻折，点落在处，射线交边于点． ①如图，当点在边上时，求证：； ②当中有一条边平行于时，求的长； （2）当点在的延长线上时，连接，射线与射线交于点，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市毓秀学校&青浦区清河湾中学2023学年第二学期 八年级数学期末检测 （考试时间：100分钟，满分150分） 一、选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如(即)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．由于，则不成比例，所以A选项不符合题意； B．由于，则成比例，所以B选项符合题意； C．由于，则不成比例，所以C选项不符合题意； D．由于，则不成比例，所以D选项不符合题意． 故选：B． 2. 如果是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是非零向量的长度及方向的性质， 长度不为0的向量叫做非零向量，本题根据向量的长度及方向易得结果，掌握平面向量的概念是解题的关键． 【详解】解：是非零向量， ∴， 故选：． 3. 下列事件中属于随机事件的是（ ） A. 关于的方程有实数解 B. 一元二次方程有两个不相等的实数根 C. 点（m为实数）落在直线上 D. 直线与直线相交 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，根据不可能事件，随机事件和必然事件的意义进行判断即可 【详解】解：A. 关于的方程没有实数解，故选项A是不可能事件，不符合题意； B. 一元二次方程的判别式，所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，是必然事件，不符合题意； C. 当时，点（m为实数）落在直线上，是随机事件，故符合题意； D. 直线与直线相交，是必然事件，不符合题意； 故选：C 4. 探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定，根据作图可知，，即可得到答案. 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故选：B 5. 在中，点、分别在边、上，以下能推出的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定；画出图形，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：画出图形如下： A、由，不能得出，故不能判定； B、由，不能得出，故不能判定； C、，则有，，则，，从而； D、由，不能得出，故不能判定； 故选：C． 6. 如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，根据旋转的性质得到，，，，，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质得，， ∴， ∴，， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故B不符合题意； 又，， ∴，故C不符合题意； 根据题意，无法求解与相似， 故D符合题意； 故选：D． 二、填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 即． 8. 掷一枚骰子，落地后朝上一面的数是素数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式的应用．骰子共有6面，点数分别为1、2、3、4、5、6点；其中素数有2、3、5三个，求素数朝上的可能性，根据可能性的计算方法：即求一个数是另一个数是几分之几，用除法解答即可． 【详解】解：骰子共有6面，点数分别为1、2、3、4、5、6点，其中素数有2、3、5三个， 朝上一面的点数是素数的可能性的大小为， 故答案为：． 9. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 10. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当时，四边形ABCD为矩形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解题的关键． 11. 在等腰梯形中，已知，，那么______． 【答案】130 【解析】 【分析】本题考查了等腰梯形的性质．由，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由四边形等腰梯形，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴． 故答案为：130． 12. 已知平行四边形的对角线与相交于点，设，，则向量关于、的分解式为______． 【答案】 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得，然后由三角形法则，可求得向量关于、的分解式． 【详解】解：如图 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∵ 故答案为. 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握平行四边形的性质以及三角形法则的应用． 13. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，据此列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设的长为，则， 根据黄金分割的定义可知：，即， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的长为； 故答案为：． 14. 如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先由，运用平行线分线段成比例的内容可得，再进行变形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点、分别是梯形的腰、的中点，连接、，交于点，如果，，则与的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了梯形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关的知识．根据题意得出，，进而得到，设和的高为，，根据相似三角形的性质可得，进而得到，，，即可求解． 【详解】解：在梯形中，，点、分别是、的中点，，， ，， ， 设和的高为，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 16. 如图，已知在中，，，点、点在边上，且，若，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】首先根据题意可得，，，将绕点逆时针旋转至，点的对应点为点，连接，易知，再证明 ，由全等三角形的性质可得，设，则，在中，由勾股定理可得，代入数值并解得的值，然后计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 如下图，将绕点逆时针旋转至，点的对应点为点，连接， 则， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，可有， 即，解得， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 17. 定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，如图1中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图2，在中，，，，点在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．设正方形的边长为，则，，由，可得，根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：当线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上时， 设正方形的边长为，则，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 18. 如图，在 中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与 的重心重合，与相交于点，那么的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形重心的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质．熟练掌握三角形重心的性质和三角形相似的判定定理与性质定理是解题关键． 延长交于点D，根据三角形重心的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得出．根据旋转的性质得出，，从而得出，并可证，再结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点D， ∵点恰好与的重心重合， ∴，是的中线， ∴， ∴． 由旋转得：，， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、简答题（本大题共7题，满分78分） 19. 解方程： 【答案】x=2 【解析】 【分析】先方程两边都乘化成整式方程，再解一元一次方程，检验即可得答案． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 整理得：， 解得， 经检验，为原方程的增根（舍去），x=2是方程的根 则原方程的根为x=2． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键，注意：解分式方程必须检验，避免出现增根． 20. 解方程组：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解高次方程组和解二元一次方程组，能把解高次方程组转化成解二元一次方程组是解此题的关键．由②得出，求出或③，由③和①组成两个二元一次方程组，，求出方程组的解即可． 【详解】解：， 由②得：， 或③， 由①和③组成方程组，， 解得：，， 原方程组的解是或． 21. 已知，如图，是矩形的对角线的垂直平分线，与对角线及边、分别交于点O，E，F． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∵是矩形的对角线的垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、菱形的判定、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定是解题的关键． （1）证明，则，又由得到四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是菱形； （2）证明，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是菱形 ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 22. 在2021“五五购物节”中，某商店的两种品牌的小电器参与促销活动．经统计后发现，每天的销售中，乙品牌小电器的销售数量y（件）与甲品牌小电器的销售量x（件）符合如图表示的函数关系． （1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）； （2）在5月2日一天的销售中，甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，已知甲品牌的小电器单价比乙品牌的小电器单价多20元，求甲、乙两种品牌的小电器的单价．（其中小电器的单价大于100元） 【答案】（1）；（2）甲品牌的小电器单价为200元，乙品牌的小电器单价为180元 【解析】 【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式； （2）设甲品牌的小电器单价m元，则乙品牌的小电器单价为（m-20）元，根据甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，即可得出关于m的方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设关于的函数解析式为． 将，代入得： ， 解得：， 关于的函数解析式为； （2）设甲品牌的小电器单价元，则乙品牌的小电器单价为元， 依题意得：， 解得：，． 小电器的单价大于100元， ， （元）， 答：甲品牌的小电器单价为200元，则乙品牌的小电器单价为180元． 【点睛】本题考查了方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出方程组． 23. 如图：已知在中，是边上一点，连结、，延长、相交于点，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的判定定理是本题的关键． （1）通过证明，可得结论； （2）通过证明，可得，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形，且，，点在轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，，，梯形的高为2，双曲线经过点，直线经过、两点． （1）求双曲线和直线的解析式； （2）已知点在双曲线上，点在轴上，如果四边形是平行四边形，直接与出点N的坐标； （3）点是第三象限双曲线上的一点，设的横坐标为，直线与直线交于点，；连接，设的面积为，的面积为，用含t的代数式表示的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先过点作轴于点，由，，易得四边形是矩形，证得，又由，梯形的高为2，即可求得；由双曲线过点，直线过点，直接利用待定系数法求解即可求得答案； （2）由四边形是平行四边形，可得点的横坐标为，继而求得点的坐标，又由，求得答案． （3）设点，求出直线解析式和直线解析式，求出点坐标和点坐标，表示出，，即可求解； 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点． ∵，， ∴四边形是等腰梯形， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴， ∵梯形的高为2， ∴． ， ， ， ∵双曲线经过点， ， ∴双曲线的解析式为：， ∵直线经过、两点， 得：， ∴解得：． ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，四边形是平行四边形． ∴且． ∵点在轴上， ∴过点作轴的垂线与双曲线的交点即为点． ∴点的坐标为， ∴． ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：根据（1）可得，双曲线的解析式为：， 设直线解析式为， 即可得， 解得：， 故直线解析式为． 设点， 设直线解析式为， 即可得， 解得：， 故直线解析式为． 令，则，故． 联立可得：， 故， ∴， ， ∴． 【点睛】此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 25. 在直角梯形中，，，，，，点是射线上的动点（不与点重合） （1）将沿者直线翻折，点落在处，射线交边于点． ①如图，当点在边上时，求证：； ②当中有一条边平行于时，求的长； （2）当点在的延长线上时，连接，射线与射线交于点，且，求的值． 【答案】（1） ①证明：根据折叠的性质， 又 ②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据折叠的性质和，可推出，即可证明；②分情况讨论，当时，可推出四边形为平行四边形，得到，设，则，，，根据，推出，最后利用勾股定理，即可得到；当时，连接，作，可得四边形是平行四边形，结合勾股定理得到，然后证明，可设，则，，最后利用，即可求得； （2）连接，作于点，证明，，，，设，则，，，，由得到值，再由和得到，最后由得到答案． 【小问1详解】 ①略 ②解：第一种情况：根据题意，当时，如图 ， 四边形为平行四边形 设，则， 又， 由题意可知， ，即 解得：，（舍去负值） 第二种情况：根据题意，当时，连接，作，如图所示： ，， ，， 又 四边形是平行四边形 又， 又， ， 又根据折叠的性质，可知 设，则， 由①可知， 由题意可知，， ，即 综上所述，或． 【小问2详解】 解：连接，作于点，如图 由（1）可知， 又 ， 又 设，则， ， 又， ，即 解得： ， ，即 又， 的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $