精品解析：云南省昆明市五华区德仁中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2023-2024学年高一年级下学期期中考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数，则（ ） A. 10 B. C. 6 D. 5. 已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，侧棱长为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，满足，，且，则( ) A. B. C. 2 D. 4 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列叙述中错误的是（ ） A. 若，则 B. 已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 C. 若，，则 D. 在等边中，与的夹角为60° 10. 在中，若，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. BC边上的高线长为 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 方程无实数根 B. 在上的最小值为4 C. 是定义域内的偶函数 D. 是定义域内的奇函数 12. 已知函数的图象关于点中心对称，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期 B. C. 的图象关于直线对称 D. 的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在中，已知，，，则的值为________. 14. 已知函数，则__________. 15. 底面半径为3，高为4的圆柱和圆锥的表面积的比值为______． 16. 如图，在直三棱柱中，为等边三角形，，，则三棱柱的外接球的表面积为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算下列各式的值: （1）； （2）. 18. 已知平面向量． （1）若，求； （2）若，求向量与的夹角． 19. 如图所示，在平行四边形中，点为中点，点在上，且，记，. （1）以为基底表示； （2）求证：三点共线. 20. 如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：平面平面. 21. 在中，内角，，所对的边分别为a，b，c.已知 （1）求和的值； （2）求 的值. 22. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，且． （1）若平面，求三棱锥的体积； （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年高一年级下学期期中考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，然后可求出其共轭复数，从而可得答案. 【详解】因为， 所以，则在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 命题的否定：利用“改量词，否结论”即可判断. 【详解】由命题“”， 可得它的否定是：. 故选：B. 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ，解得，所以， 所以． 故选：B. 4. 已知复数，则（ ） A. 10 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数加减乘除运算化简复数z，再根据共轭复数的概念和复数模长公式得出复数z的共轭复数的模. 【详解】由题复数，则， 则. 故选：B. 5. 已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，，则或者异面，或者相交，故A错误， 对于B，若，，则，故B正确， 对于C，若，，则或者，故C错误， 对于D，若，，则，D正确， 故选：BD 6. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，侧棱长为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用正四棱台的几何结构特征，求得棱台的高，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设正四棱台的上底面的中心为，下底面的中心为，连接， 在平面内，作，交于点，可得 因为正四棱台的上下底面边长分别为和，可得， 则， 在直角中，由，可得， 即，即正四棱台的高为， 所以正四棱台的体积为. 故选：D. 7. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】依题意，. 故选：B 8. 已知向量，满足，，且，则( ) A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】用表示出向量的坐标，再根据数量积的坐标运算即可求得答案． 【详解】， ， 又， ，， ， ． 故选：D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列叙述中错误的是（ ） A. 若，则 B. 已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 C. 若，，则 D. 在等边中，与的夹角为60° 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.由向量不能比较大小判断；B.由共线向量的定义判断；C. 由时判断；D.由夹角的定义判断. 【详解】A.向量不能比较大小，故错误； B.因为非零向量与且，所以与的方向相同或相反，故正确； C. 当时，满足，，但与不一定共线，故错误； D.在等边中，与的夹角为120°，故错误， 故选：ACD 10. 在中，若，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. BC边上的高线长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A，由余弦定理得到，结合同角三角函数关系得到；B选项，利用三角形面积公式求出答案；C选项，根据平面向量数量积公式计算；D选项，由B选项中三角形面积求出BC边上的高线. 【详解】A选项，在中，， 因为，所以，A正确； B选项，，故B正确; C选项，，C正确； D选项，设BC边上的高线为，则，解得，D错误. 故选：ABC 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 方程无实数根 B. 在上的最小值为4 C. 是定义域内的偶函数 D. 是定义域内的奇函数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，以及函数的奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，其定义域为， 当时，，当且仅当时，即时，等号成立； 当时，，当且仅当时，等号成立， 所以函数的值域为， 对于A中，方程有唯一的实数根，所以A不正确； 对于B中，函数在上的最小值为，所以B正确； 对于C、D中，由，所以函数为奇函数， 所以C错误，D正确. 故选：BD. 12. 已知函数的图象关于点中心对称，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期 B. C. 的图象关于直线对称 D. 的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦型函数的对称性结合的取值范围求出的表达式，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；代值计算可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断D选项. 【详解】因为函数图象关于点中心对称， 则，可得， 因为，可得，所以，， 对于A选项，的最小正周期为，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，， 故函数的图象关于直线对称，C对； 对于D选项，将的图象向左平移个单位长度后， 可得到函数， 故的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，D错. 故选：BC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在中，已知，，，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算即可. 【详解】因为在中，已知，，， 所以，即， 故答案为： 14. 已知函数，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】分段函数求值根据自变量所属范围代入相应部分的解析式求值. 【详解】因为， 所以，则. 故答案为：. 15. 底面半径为3，高为4的圆柱和圆锥的表面积的比值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别计算圆柱和圆锥的表面积，然后计算比值即可. 【详解】结合题意可得：圆柱的表面积是由上下底面和侧面构成， 则圆柱的表面积. 圆锥的表面积是由底面和侧面构成，易知圆锥的母线， 所以圆锥的表面积， 所以该圆柱和圆锥的表面积的比值为. 故答案为：. 16. 如图，在直三棱柱中，为等边三角形，，，则三棱柱的外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件确定三棱柱的外接球的球心的位置，结合球的截面性质求球的半径，利用球的表面积公式可得结论. 【详解】如图所示，取，的外接圆的圆心分别为，， 连接，取的中点， 则是三棱柱外接球的球心，连接，． 延长，交于点， 由正三角形性质可得为的中点，为的中心， 所以， 因为，所以， 由正三角形的性质可得 设的外接圆的半径为，三棱柱的外接球的半径为， 又，所以， 所以， 所以三棱柱的外接球的表面积为． 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算下列各式的值: （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由对数运算法则、指数以及分数指数幂的运算法则求解即可； （2）由诱导公式以及特殊三角函数值即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 18. 已知平面向量． （1）若，求； （2）若，求向量与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积公式及模长公式计算即可； （2）根据平面向量共线的充要条件及夹角的坐标表示计算即可. 【小问1详解】 因为， 所以 即， 即， 即， 所以， 所以； 【小问2详解】 由题意可得 又因，所以， 解得， 所以 所以 即 又因为， 所以. 19. 如图所示，在平行四边形中，点为中点，点在上，且，记，. （1）以为基底表示； （2）求证：三点共线. 【答案】（1） （2） ，， ， ，且与有公共点， 所以三点共线. 【解析】 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算即可求解； （2）根据平面的线性运算可得，即，即可证明. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 略 20. 如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：平面平面. 【答案】 ∵、分别是，的中点，∴， 又平面平面平面， ∵且 ，故四边形为平行四边形，进而， 又平面平面平面， 平面， 故平面平面. 【解析】 【分析】根据线线平行求证线面平行，进而可证面面平行. 【详解】略 21. 在中，内角，，所对的边分别为a，b，c.已知 （1）求和的值； （2）求 的值. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求，根据平方关系求得，再由正弦定理得； （2）由（1）可计算，利用两角和的余弦公式代入计算即可. 【小问1详解】 由已知及余弦定理，有，所以， 因为，所以， 由正弦定理，得， 【小问2详解】 因为，所以，所以，所以为锐角， 由（1）得， . 22. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，且． （1）若平面，求三棱锥的体积； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接，交于点，连接， 四边形为正方形，， 又为的中点，， ，且、平面， 平面， 又平面． 【解析】 【分析】（1）借助锥体体积公式计算即可得； （2）借助线面垂直判定定理及性质定理即可得. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $