精品解析：浙江省温州十校联合体2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题

2023学年第二学期温州十校联合体期末联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分（共58分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的补集及交集运算可得. 【详解】由补集可得，又, 所以. 故选：D. 2. 的展开式中的常数项是（ ） A. -120 B. -60 C. 60 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二项式定理计算得到答案. 【详解】的展开式通项为：， 取得到常数项为：. 故选：. 【点睛】本题考查了二项式定理求常数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 3. 已知圆台的高为8，上､下底面圆的半径分别为2和8，则圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆台的母线长，根据圆台的表面积公式计算即可求得答案. 【详解】如图所示，由题知，，，则. 故圆台的表面积. 故选：D 4. 已知向量，在上的投影向量记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的模长公式进行计算 【详解】， 故. 故选：C 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得,可以求出的值,再根据即可求值. 【详解】根据题意:,则, 因为,所以,所以, 所以. 故选: A 6. 已知数列的前项和，则“”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列、充要条件的定义判断可得答案. 【详解】若， 当时，，所以， 当时，， 所以， 可得，即， 可得是公比为2首项的等比数列； 若为等比数列， 可得当时，，所以，即， 则“”是“为等比数列”的充要条件. 故选：C. 7. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，分析函数单调性及最值，得当时有且仅有一个零点，则当时，有3个零点，结合图象分析得，解不等式即可. 【详解】当时，是减函数，且， 故当时有且仅有一个零点， 由题意得，当时，有3个零点， ， ， 令，即， 结合图象分析得，即，解得. 故选：. 8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值判断A，令可判断C，令，结合条件求出函数周期可判断BD. 【详解】令，则，解得，故A正确； 令，则，即， 因为不恒为0，所以，且定义域为，故函数为奇函数，故C正确； 令，则，因为不恒为0，且， 所以只能，从而，周期为4， 显然，故B错误D正确. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），下列结论正确的是（ ） A. B. 为纯虚数 C. 对应的点位于第四象限 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模即可判断A；根据复数的乘法运算即可判断BD；根据共轭复数的定义及复数的几何意义即可判断C. 【详解】， 则，故A错误； 为纯虚数，故B正确； ，对应的点为，位于第四象限，故C正确； ，，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，在处的切线方程为 B. 当时，恒成立 C. 若恰有一个零点，则 D. 若恰有两个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，根据点斜式即可求切线方程判断A，根据导数判断函数的单调性，即可求解B，构造函数，由导数求解单调性，即可得直线与的交点个数，进而判断CD. 【详解】对于A，当时，，，则，, 故切线方程是，即，故A正确； 对于B，当时，，， 当单调递增，当单调递减， 故，故B正确， 对于CD，令，则，记，则， 当单调递增，当单调递减， 故，又，而， 故当时，此时直线与有两个不相等的交点， 当或时，直线与有1个交点，故C错误，D正确， 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 11. 如图，是棱长为1的正方体的表面上一个动点，为棱的中点，为侧面的中心.下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成角的余弦值为 C. 若点在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点有9个 D. 若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立以为原点空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，可得，即可判断A；设与平面所成的角为，由，即可判断B；由正方体各个顶点到平面的距离与比较，即可判断C；点在侧面内运动，且满足，可得点在侧面内，以为圆心，为半径的一段圆弧上运动，而当点于或重合时与所成角为，即可判断D. 【详解】 对A，如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则，所以，即， 所以平面，故A正确； 对B，设与平面所成的角为， 则，故B错误； 对C，因为正方体的棱长为1，所以正的边长为， 正方体的对角线， 设到平面的距离为，由， 则，则， 则到平面的距离为， 因为， 所以在以为顶点的棱上，满足条件的点共有3个， 又与平面所成角的正弦值为， 所以到平面的距离为， 因为，所以在棱上都存在满足条件的点， 同理在都存在满足条件的点， 而棱到平面最近的距离为，所以不存在满足条件的点， 所以满足条件的点共有9个，故C正确； 对D，设，则，又， 所以，即， 则点在侧面内，以为圆心，为半径的一段圆弧上运动， 而当点和或重合时与所成角为，故D错误. 故选：AC. 非选择题部分（共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件“两次向上点数之和为7”的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则基本事件有 共个， 记“两次向上点数之和为7”为事件， 则包含的基本事件有，，，，，共个， 所以. 故答案为： 13. 在中，为所在平面内的两点，，，则的值为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】通过向量的线性运算，用向量分别表示，然后求出数量积. 【详解】因为在中，， 所以为正三角形， 因为, , 所以 ， 故答案为：12. 14. 椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导可得椭圆在的切线斜率为，进而可得点的轨迹方程为（），利用点到直线的距离公式即可求解最小值. 【详解】由可得， 由于直线与椭圆相切于，故上半椭圆的方程为， 求导得，因此， 故椭圆在的切线斜率为，由于直线于圆也相切于， 故圆心所在的直线斜率为1，且经过点，故点的轨迹方程为（）， ，故的最小值为到的距离， 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是. （1）求角的大小； （2）若面积为，且周长为6，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，边化角，再结合三角和角公式和诱导公式求解即可； （2）由面积公式求出，结合周长，得到，再用余弦定理得到，，代入求解即可． 【小问1详解】 因为，所以 由正弦定理得， 因为 所以 因为，所以，所以，故 【小问2详解】 由题意得 因为，所以 由余弦定理得，所以 所以，解得. 16. 在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间内，将样本数据按的分组作出频率分布直方图如图所示. （1）求的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值.假设所有参与者得分，试估计得分在上的人数. 参考数据：若，则 【答案】（1），估计抽取的100位参与者得分的平均值为75分 （2）估计得分在上的人数约为人. 【解析】 【分析】（1）由频率和为1解得，再根据频率分布直方图求出平均值； （2）取，标准差，利用正态分布的性质可得答案. 【小问1详解】 由题意得，解得， 因为上的频率分别为， 所以样本的平均值为， 估计抽取的100位参与者得分的平均值为75分； 【小问2详解】 取，则，可得标准差， ， ， ， ， 估计得分在上的人数约为人. 17. 已知四棱锥为的中点，平面，. （1）若，证明：平面； （2）若，二面角的大小为，求. 【答案】（1） 且为的中点，， 平面平面， 又且平面平面， 平面， 与共面，， 又平面平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，且，即可得到，再由线面平行的判定定理，即可证明； （2）方法一：作交于，连接，由二面角的定义可得是二面角的平面角，再由勾股定理代入计算，即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角的公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法1：如图，作交于，连接. 由得， ， ，且， 是二面角的平面角， ，又， ， 在中，，由，解得， . 法2：如图，以为原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系.则， 设，则， ， 设面的法向量为， 由，令，可得 设面的法向量为，由，令，可得. 设二面角的大小为，则， . 18. 已知双曲线的离心率为，右顶点为为双曲线右支上两点，且点在第一象限，与不重合，以为直径的圆经过点． （1）求的方程； （2）证明：直线恒过定点； （3）若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值． 【答案】（1）； （2）证明如下： 显然直线不垂直于，设其方程为，， 由消去，得， 则，即，， 由以为直径的圆经过点，得，即， 则，， ，化简得， 当时，直线经过点，不符条件，因此， 所以直线必过定点. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及顶点即可求的方程. （2）联立直线与双曲线方程，由向量垂直的坐标表示列式，结合韦达定理，化简求解. （3）根据中点坐标可得，即可根据三角形面积之比求解. 【小问1详解】 由双曲线右顶点，得， 由离心率为，得双曲线半焦距，则双曲线虚半轴长， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，， 由为中点，得，于是，解得， 由，得， 因此，所以. 19. 已知奇函数，其中. （1）求值； （2）若对任意上恒成立，求的取值范围； （3）记，证明：当时，. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）函数为奇函数，故，从而得到方程，化简得到，求出； （2）当时，，根据函数单调性，放缩得到对任意上恒成立，当时，可举出反例，从而得到结论； （3）变形得到，即证：当时，，构造，求导得到单调性和最值，得到结论. 【小问1详解】 为奇函数，， 即， 化简得， 且，， ，； 【小问2详解】 由（1）知. 当时，， 又在上单调递增， ， ， 对任意上恒成立， 当时，令，则， 此时， 与条件矛盾. 综上，. 【小问3详解】 由条件可知， 待证不等式可作如下等价变形： ， 故即证：当时，. 构造函数，则. 在上单调递增， ，即. 当时，. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期温州十校联合体期末联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分（共58分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中的常数项是（ ） A. -120 B. -60 C. 60 D. 120 3. 已知圆台的高为8，上､下底面圆的半径分别为2和8，则圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，在上的投影向量记为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和，则“”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），下列结论正确的是（ ） A. B. 为纯虚数 C. 对应的点位于第四象限 D. 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，在处的切线方程为 B. 当时，恒成立 C. 若恰有一个零点，则 D. 若恰有两个零点，则 11. 如图，是棱长为1的正方体的表面上一个动点，为棱的中点，为侧面的中心.下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成角的余弦值为 C. 若点在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点有9个 D. 若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为 非选择题部分（共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件“两次向上点数之和为7”的概率为______. 13. 在中，为所在平面内的两点，，，则的值为__________. 14. 椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是. （1）求角的大小； （2）若面积为，且周长为6，求. 16. 在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间内，将样本数据按的分组作出频率分布直方图如图所示. （1）求的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值.假设所有参与者得分，试估计得分在上的人数. 参考数据：若，则 17. 已知四棱锥为的中点，平面，. （1）若，证明：平面； （2）若，二面角的大小为，求. 18. 已知双曲线的离心率为，右顶点为为双曲线右支上两点，且点在第一象限，与不重合，以为直径的圆经过点． （1）求的方程； （2）证明：直线恒过定点； （3）若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值． 19. 已知奇函数，其中. （1）求值； （2）若对任意上恒成立，求的取值范围； （3）记，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $